2026年中考数学一轮复习 图形的相似（含解析）

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中考数学一轮复习 图形的相似
一．选择题（共10小题）
1．（2024 阿克苏地区模拟）如图所示，中，，分别交边，于，两点，若，则与的面积比为　　
A． B． C． D．
2．（2024 绥化模拟）已知，且相似比为，则和的周长比为　　
A． B． C． D．
3．（2024 巧家县模拟）如图，是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是　　
A． B． C． D．
4．（2024 昌吉州模拟）如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接，有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，正确的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024 湖南）如图，在△中，点，分别为边，的中点．下列结论中，错误的是　　
A． B．△△
C． D．
6．（2024 清城区一模）已知△△，，则　　
A． B． C． D．
7．（2024 罗湖区校级模拟）如图，△中，，，．将△沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是　　
A． B．
C． D．
8．（2024 重庆模拟）如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长是5，则的周长是　　
A．15 B．20 C．25 D．45
9．（2024 兴宁市校级二模）如果，则　　
A． B． C． D．
10．（2024 南岗区校级三模）如图所示，中若，，则下列比例式正确的是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2024 滨州）如图，在中，点，分别在边，上．添加一个条件使，则这个条件可以是 　　．（写出一种情况即可）
12．（2024 达州模拟）已知线段，点是的黄金分割点，且，则　　．
13．（2024 淮安模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若点坐标为，点的坐标为，且，则点的坐标为 　　．
14．（2024 成都）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则　　．
15．（2024 茂南区校级模拟）如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的长为，则路灯的高度是 　　．
16．（2024 文山市模拟）已知，请添加一个条件　 　，使．
17．（2024 凉州区三模）如图，点、是边、上的点，，连接、，交点为，，那么的值是 　　．
18．（2024 深圳三模）如图，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交线段于点．连接交于点．若，则的值为 　　．
19．（2024 苏州）如图，△中，，，，点，分别在，边上，，连接，将△沿翻折，得到△，连接，．若△的面积是△面积的2倍，则 　　．
20．（2024 绥化模拟）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿着向点匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过 　　秒后，与相似．
三．解答题（共5小题）
21．（2024 贵州）综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点．
（1）【操作判断】
如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，图中的度数为 　　度；
（2）【问题探究】
如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：；
（3）【拓展延伸】
点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值．
22．（2024 惠城区一模）综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，与点在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．
探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时，　　；
运用：（2）如果将视力表中的两个“”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心为点，①号“”与②号“”的相似比为，点与点为一组对应点．若点的坐标为，则点的坐标为 　　．
23．（2024 修水县一模）如图，平分，为上一点，．
（1）求证：；
（2）若为中点，，求的长．
24．（2024 凉州区二模）已知线段，点是线段的黄金分割点．
（1）求线段的长；
（2）以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长．
25．（2024 鼓楼区二模）晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯，的照射下，地面上形成了他的两个影子，．已知光源，的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，，，，，在同一平面内．
（1）当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离；
（2）连接，判断与的位置关系，并说明理由；
（3）小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯跳起的最大高度．
中考数学一轮复习 图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024 阿克苏地区模拟）如图所示，中，，分别交边，于，两点，若，则与的面积比为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】相似三角形的判定与性质
【专题】推理能力；几何直观；图形的相似
【分析】根据已知可得到，从而可得到其相似比与面积比，由相似三角形的面积比等于相似比的平方求得与的面积比．
【解答】解：在中，，
，
，，
与的相似比为：，
与的面积比是：；
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．解答本题的关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．
2．（2024 绥化模拟）已知，且相似比为，则和的周长比为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】相似三角形的性质
【专题】推理能力；图形的相似
【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比得出．
【解答】解：，与的相似比为，
与的周长比为．
故选：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比．
3．（2024 巧家县模拟）如图，是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】相似三角形的判定
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；
、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；
、当时，无法得出，故此选项符合题意；
、当时，即，再由，可得出，故此选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
4．（2024 昌吉州模拟）如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接，有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，正确的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【专题】推理能力
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质逐一判断即可，
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
作于，设，，则，，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，故③正确；
设的面积为，
，
，，
的面积为，的面积为，
的面积的面积，
，故④错误；
综上①②③正确，共3个，
故选：．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用参数表示三角形的面积是解题的关键．
5．（2024 湖南）如图，在△中，点，分别为边，的中点．下列结论中，错误的是　　
A． B．△△
C． D．
【答案】
【考点】三角形的面积；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【专题】三角形；图形的相似；推理能力
【分析】根据题中所给条件可得出△与△相似，再根据相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：点，分别为边，的中点，
是△的中位线，
，．
故、选项不符合题意．
，
△△．
故选项不符合题意．
△△，
，
则．
故选项符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积及三角形中位线定理，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2024 清城区一模）已知△△，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】相似三角形的性质
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：△△，，
，
故选：．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
7．（2024 罗湖区校级模拟）如图，△中，，，．将△沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】相似三角形的判定
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
、阴影三角形中，的两边分别为，，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
8．（2024 重庆模拟）如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长是5，则的周长是　　
A．15 B．20 C．25 D．45
【答案】
【考点】位似变换
【专题】图形的相似；运算能力
【分析】利用相似三角形的性质相似比周长比，解决问题．
【解答】解：与位似，
，
，
的周长是5，
的周长为15．
故选：．
【点评】本题考查位似变换，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
9．（2024 兴宁市校级二模）如果，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】比例的性质
【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】此题考查了比例的基本性质．此题比较简单，注意熟记比例变形．
10．（2024 南岗区校级三模）如图所示，中若，，则下列比例式正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线分线段成比例
【专题】几何直观
【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，；
，
，
，
，
，，
，
故选：．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．找准对应关系，避免错选其他答案．
二．填空题（共10小题）
11．（2024 滨州）如图，在中，点，分别在边，上．添加一个条件使，则这个条件可以是 　（答案不唯一）　．（写出一种情况即可）
【答案】（答案不唯一）．
【考点】相似三角形的判定
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】由相似三角形的判定方法，即可得到答案．
【解答】解：，
添加条件：（答案不唯一），判定，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
12．（2024 达州模拟）已知线段，点是的黄金分割点，且，则　　．
【考点】黄金分割
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力
【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：点是的黄金分割点，且，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13．（2024 淮安模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若点坐标为，点的坐标为，且，则点的坐标为 　　．
【答案】．
【考点】坐标与图形性质；位似变换
【专题】运算能力；图形的相似
【分析】过点作轴于点，过点作于点．利用相似三角形的性质求出，可得结论．
【解答】解：过点作轴于点，过点作于点．
与是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，，
，，，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【点评】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
14．（2024 成都）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则　　．
【答案】．
【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力
【分析】连接，过作于，设，则，由，为中点，可得，有，，证明，可得，，故，再证，得，而，即得，从而，即可解得答案．
【解答】解：连接，过作于，如图：
设，则，
，为中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为中点，
，
，
，
，
，
解得或（小于0，舍去），
．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．
15．（2024 茂南区校级模拟）如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的长为，则路灯的高度是 　4.5　．
【考点】相似三角形的应用；中心投影
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出方程求解即可．
【解答】解：由题意可知，△△，
，
，
，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
16．（2024 文山市模拟）已知，请添加一个条件　　，使．
【考点】：相似三角形的判定
【专题】26：开放型
【分析】假设可得，，已知，则，故添加即可使得．
【解答】解：，
，
，
，
故添加即可使得．
【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质和相似三角形的判定，添加并证明是解题的关键．
17．（2024 凉州区三模）如图，点、是边、上的点，，连接、，交点为，，那么的值是 　　．
【考点】平行线分线段成比例
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力
【分析】过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到，，进而可得的值．
【解答】解：如图所示，过作，交于，
则，即：，，
，即：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
18．（2024 深圳三模）如图，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交线段于点．连接交于点．若，则的值为 　15　．
【答案】15．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力
【分析】把绕点逆时针旋转得到，连接，先证得，由可设，则，继而知，，由可求出，最后通过可得出答案．
【解答】解：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接，
，，
，，，，
，，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，则，
正方形的边长为，
，
，
，
，，
，，
，
，
．
故答案为：15．
【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点．
19．（2024 苏州）如图，△中，，，，点，分别在，边上，，连接，将△沿翻折，得到△，连接，．若△的面积是△面积的2倍，则 　　．
【考点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】设，，根据折叠性质得，，过作于，设与相交于，证明△△，得到，进而得到，，证明△是等腰直角三角形，得到，可得，证明△△，得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解的值即可．
【解答】解：，
设，，
△沿翻折，得到△，
，，
过作于，设与相交于，
则，
又，
△△，
，
，，，
，
，，则，
△是等腰直角三角形，
，则，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
△的面积是△的面积的2倍，
，
则，
解得，（舍去），
则，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解 答的关键．
20．（2024 绥化模拟）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿着向点匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过 　或　秒后，与相似．
【答案】或．
【考点】勾股定理；相似三角形的判定
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】分两种情况分别计算，①设经过秒后，得，②设经过秒后，得，代入用表示的线段计算即可．
【解答】解：①设经过秒后，
，
，
解得；
②设经过秒后，
，
，
解得，
经过秒或秒，与相似．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2024 贵州）综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点．
（1）【操作判断】
如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，图中的度数为 　90　度；
（2）【问题探究】
如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：；
（3）【拓展延伸】
点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值．
【考点】相似形综合题
【专题】压轴题；几何直观；模型思想
【分析】（1）依题意画出图形，证四边形是矩形即可求解；
（2）过作于点，证矩形是正方形，得出，再证△△，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可证明；
（3）分在线段上和的延长线上讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【解答】（1）解：如图，即为所求．
，，，
四边形是矩形，
，
故答案为：90．
（2）证明：如图，过作于点．
由知四边形是矩形，
点在的平分线上，，，
，
矩形是正方形，
，，
，
，
又，，
△△，
，
，
．
（3）①当在线段上时，如图，延长、交于点．
由（2）知，
设，则，．
，
，，
△△，
，
，
△△，
，
，
；
②当在的延长线上时，如图，过作于，并延长交于．
由（2）知，四边形是正方形，
，，，
，
，
又，，
△△，
，
，
，
，，
，
△△，
，即，
，
，
△△，
，
，
；
综上，的值为或．
【点评】本题考查了四边形综合，同时考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键．
22．（2024 惠城区一模）综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，与点在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．
探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时，　43.2　；
运用：（2）如果将视力表中的两个“”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心为点，①号“”与②号“”的相似比为，点与点为一组对应点．若点的坐标为，则点的坐标为 　　．
【答案】（1）①相等，见解析；②43.2；（2）．
【考点】相似形综合题
【专题】图形的相似；应用意识
【分析】（1）①根据题意证明△△，从而得到，即可得到；②把，，，代入即可求解．
（2）根据位似比为，代入数据计算即可．
【解答】解：（1）①．
由题意得，
△△，
，
，
；
②，，，
．
．
故答案为：43.2．
（2）①号“”与②号“”的相似比为，点与点为一组对应点．若点的坐标为，
点的坐标为，即，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，位似的性质，掌握相似的性质是解题的关键．
23．（2024 修水县一模）如图，平分，为上一点，．
（1）求证：；
（2）若为中点，，求的长．
【考点】相似三角形的判定与性质
【专题】证明题；图形的相似；推理能力
【分析】（1）根据角平分线定义可得，进而可以证明结论；
（2）结合（1），根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：平分，
，
．
；
（2）解：为中点，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，得出是解题的关键．
24．（2024 凉州区二模）已知线段，点是线段的黄金分割点．
（1）求线段的长；
（2）以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长．
【答案】（1）；（2）2．
【考点】黄金分割
【专题】推理能力；线段、角、相交线与平行线；运算能力
【分析】（1）依据题意，根据黄金比值计算即可得解；
（2）依据题意，由若平分，可得到、的距离相等，从而，又由（1），再结合，即可得解．
【解答】解：（1）点是线段的黄金分割点，，
．
（2）平分，
到、的距离相等．
．
又由（1），
，
．
．
【点评】本题主要考查了黄金分割的意义，解题时要熟练掌握并灵活运用．
25．（2024 鼓楼区二模）晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯，的照射下，地面上形成了他的两个影子，．已知光源，的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，，，，，在同一平面内．
（1）当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离；
（2）连接，判断与的位置关系，并说明理由；
（3）小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯跳起的最大高度．
【答案】见解析
【考点】列代数式；相似三角形的应用；中心投影
【分析】（1）证明，运用相似三角形的性质即可得出结论；
（2）证明，可得，可得；
（3）由，求出，再由求出即可．
【解答】（1）解：，
，
，
，，，
，
解得，，
答：此时小凯到路灯的距离；
（2）解：如图：连接，
由（1）可得，
，
又，
，
，
；
（3）解：如图，
同（2）可得，
，
，，
，
，
又，
设最大高度为，
，
，
解得，，
所以，小凯头顶离地面的最大高度．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据题意证明三角形相似，利用比例式求解即可．
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