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数列测试卷——等比数列（培优卷）
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 63.0(42.0%)
主观题（占比） 87.0(58.0%)
题量分布 客观题（占比） 12(63.2%)
主观题（占比） 7(36.8%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (42.1%)
2 容易 (36.8%)
3 困难 (21.1%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 等比数列的前n项和 76.0(50.7%) 3,4,5,8,10,14,15,17,18
2 等比数列的通项公式 103.0(68.7%) 2,4,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15,16,18
3 等差数列的通项公式 50.0(33.3%) 3,15,17,18
4 必要条件、充分条件与充要条件的判断 5.0(3.3%) 2
5 数列的函数特性 16.0(10.7%) 7,11,14
6 数列的应用 17.0(11.3%) 19
7 等差数列概念与表示 20.0(13.3%) 1,16
8 等比数列概念与表示 26.0(17.3%) 1,4,6,8,10
9 等差数列的前n项和 60.0(40.0%) 15,16,17,18
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数列测试卷——等比数列（培优卷）
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、若，满足 a，b，c成等差数列 ，但，，无意义，故A错误；
B、若，，时，，，故B错误；
C、若a，b，c成等差数列，则，即，则，，构成等比数列，故C正确；
D、当时，满足 a，b，c成等比数列 ，但，，无意义，故 D错误．
故答案为：C．
【分析】取特值法即可判断ABD；由题意可得，利用等比中项即可判断C.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：在数列的公比为，
若且，则 ，所以是递减数列 ，.
若 是递减数列 ，但且不成立，
所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据等比数列定义可知若且则是递减数列 ，若是递减数列 ，举反例
可知不一定且，根据充分必要条件的定义，即可判断A正确.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：设的公差为d．
因为，
所以，，
则，，．
因为，所以，解得．
故选：B
【分析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的前n项和公式.根据等差数列的性质可得：，据此求出，，进一步求出，，，利用等比数列的前n项和公式可得方程：，解方程可求出m的值.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：不妨取，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
所以，，
整理可得，解得.
故答案为：C.
【分析】不妨取和等比数列的定义，从而判断出数列是以为首项，以为公比的等比数列，进而确定该数列的首项和公比，则可求出等比数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式可求得的值.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：解：由题意，设等比数列的公比为q，
由 ，可得，
因为，
所以，
解得，或，
所以，
当时，，
当q=2时，，
所以或
故答案为：D.
【分析】先设等比数列 的公比为q，根据已知条件列出关于公比q的方程，解出q的值，进而可求得 的值.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：观察图形发现，从第二个图形开始，
每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，
所以为首项为，公比为的等比数列，.
故答案为：A.
【分析】观察图形和等比数列的定义，从而判断出数列为首项为，公比为的等比数列，再结合等比数列的通项公式得的值.
7．【答案】C
【解析】【解答】当 时，有 ，在 上任意取两个数 ，令 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴ 在区间 上是单调递增函数，
令 ，则 ，解得 ，
又∵数列 满足 ，且 ， ，
∴ ，即 ，而 ，
∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ .
故答案为：C.
【分析】先利用题意可证得 在区间 上是单调递增函数，再得到 ，进而可得 ，即数列 为等比数列，从而可得答案.
8．【答案】C
【解析】【解答】因为，
所以当时，，
两式相减得，
所以，
又因为也适合该式，
故，
所以为等比数列，
所以。
故答案为：C
【分析】利用，得出当时，，两式相减得出时的数列 的通项公式，再利用代入法得出也适合该通项公式，进而得出当时的数列的通项公式，再利用等比数列的定义判断出数列 为等比数列，再结合等比数列前n项和公式得出的值。
9．【答案】A,D
【解析】【解答】设 的公比是 ，则 ，
A． ， ， ， 成等比数列，正确；
B， ， ，在 时，两者不相等，错误；
C． ， ，在 时，两者不相等，错误；
D． ， ， ， 成等比数列，正确．
故答案为：AD．
【分析】首先根据等比数列的通项公式，对选项里的项进行验证即可得出结论。
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：∵ ，①
∴，②
两式作差得：an+1=2an+1-2an ， ，
∴ an+1=2an， ，
又∵a1=S1=2a1+1，
∴a1=-1
∴数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列，
则an=(-1)·2n+1=-2n+1 ， .
由上述内容可知，选项A，C正确.
当n=5时，S5=-25+1=-31 ，则选项B错误.
∵ Sn-1=-2n， Sn+1-1=-2n+1，
∴，
数列{Sn-1}是首项为-2的等比数列.
则数列{Sn-1}的前n项和为 ，则选项D正确.
故选：ACD
【分析】根据an与Sn的关系可知数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列，并写出通项公式及求和公式，即可判断选项正误
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：因为数列为等比数列，，，
所以，即所以为递增数列 ，故A选项正确；
因为，
所以为递增数列且为等比数列，所以，故B选项正确；
由选项B可知最小，所以，故C选项错误；
，
所以当时，，
当时，，
所以，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用等比数列的通项公式和单调性逐项判断即可.
12．【答案】32
【解析】【解答】解：设正项等比数列的公比为，可知；
因此可得，两式相除可得，
解得或；
可得或（舍）；
因此.
故答案为：32
【分析】先利用等比数列定义及其通项公式列方程组，可得，再利用等比数列的通项公式即可求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，
所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：..
【分析】
根据题意可得数列是以1为首项，为公比的等比数列，根据等比数列通项公式可求出数列的通项，即可求解.
14．【答案】(-15，-2]
【解析】【解答】设，
则根据，得，
两式相除得，
结合正项等比数列知，
所以，
所以，
因为，
所以，
即，
所以，
累加得 ；n=1成立
，
，所以当时，
所以数列在时单调递减，
根据题意需要，所以，
则实数的取值范围为：.
故答案为：(-15，-2].
【分析】根据题意首先由等比数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出首项与公比的取值，从而得到数列的通项公式，再由已知条件数列前n项和与项之间的关系，整理化简即可求出数列的单调性，由数列的单调性代入数值即可得到关于的不等式组，求解出的取值范围即可。
15．【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d= = = 3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n
设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则
q3= = =8，∴q=2，
∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=3n+2n﹣1
（2）解：由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1， ∵数列{3n}的前n项和为 n（n+1），
数列{2n﹣1}的前n项和为1× = 2n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和为；
【解析】【分析】（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论；（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列 前n项和．
16．【答案】解： Ⅰ 设等比数列 的公比为 ，依题意 ．
由 得 ，解得 ．
故 ．
Ⅱ 证明：由（Ⅰ）得 ．
故 ，所以 是首项为1，公差为 的等差数列，
所以 ．
【解析】【分析】(1)利用等比数列的通项公式整理得到关于q的方程求解出结果即可。
(2)首先由(1)的结论整理，再由等差数列的定义从而得到 是首项为1，公差为 的等差数列 ，结合得出数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
17．【答案】（1）解：当时，，当时，，是以2为首项，2为公比的等比数列，.
（2）解：，…①
…②
①-②得
，.
【解析】【分析】（1）依据：当n=1时，从而解得：，再根据：，递推出
，从而得出：，再根据等比数列的通项公式进行求解即可，且检验n=1时的情况.
（2）由（1）知：，从而求出，所以：，再利用错位相减法进行求和即可.
18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，各项均为正数的等比数列的公比为，
由得：，
，
，
解得：
，
（2）解：由（1）知，
.
【解析】【分析】(1)利用等差数列和等比数列的通项公式即可求解出数列的通项公式；
(2) ， 利用等差数列和等比数列的求和公式即可求解出数列的前11项和.
19．【答案】（1），
，
；
（2）令
由题意，
所以一定有，即，
所以，所以；
（3）由题意，对任意均有，且类似于（2），令
，其中，
而时，有
，
有，
所以当时，可推出，
所以，
假设，则有
，即，
所以，
由于，符合的取值，这样的递推存在，
所以，使得任意的均有
，
即，即.
【解析】【分析】（1）根据条件直接写答案即可；
（2）令，根据题意可得，得到的不等式即可证明；
（3）由题意，对任意均有，且类似于（2），令
，其中，从数表中的某一行，找满足该行的每一数都小于等于0即可.
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数列测试卷——等比数列（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．已知非零实数a，b，c不全相等，则下列结论正确的是（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则，，构成等差数列
B．若a，b，c成等比数列，则，，构成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则，，构成等比数列
D．若a，b，c成等比数列，则，，构成等比数列
2．设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在等差数列中，，．设，记为数列的前n项和，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．设为等比数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
6．如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为 ，当 时， ，对于任意的 ， 成立，若数列 满足 ，且 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．对任意等比数列 ，下列说法一定正确的是（ ）
A． ， ， 成等比数列 B． ， ， 成等比数列
C． ， ， 成等比数列 D． ， ， 成等比数列
10．已知数列 的前n项和为 ， ，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．数列 是等比数列
D．数列 的前n项和为
11．等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法正确的是（ ）
A．为递增数列 B．为递增数列
C．中最小项的值为1 D．
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知正项等比数列满足，，则 ．
13．已知数列中，，，则通项公式 ．
14．已知首项为1的数列的前n项和为，正项等比数列满足，，若，且在数列中，仅有5项不小于实数，则实数的取值范围为 .
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ，且 是等比数列.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
16．已知等比数列 的各项均为正数， ．
Ⅰ 求数列 的通项公式；
Ⅱ 设 证明： 为等差数列，并求 的前n项和 ．
17．已知数列的前项的和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且有.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前11项和.
19．对于一个行列的数表，用表示数表中第行第列的数，其中，且数表满足以下两个条件：
①；
②，规定．
（1）已知数表中，，．写出，，的值；
（2）若，其中表示数集中最大的数．规定．证明：；
（3）证明：存在，对于任意，有．
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