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2025-2026学年 九年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版九年级数学上册第1~2章。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．最高次项为一次，不符合题意；
B．当时，不是二次函数，不符合题意；
C．不是整式，不符合题意；
D．满足二次函数的定义，符合题意；
故选：D．
2．将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意，
∵向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
∴
故选：D．
3．下列成语所描绘的情景事件中，是不可能事件的是（ ）
A．日出东方 B．无独有偶 C．水中捞月 D．百发百中
【答案】C
【详解】解：A、日出东方是自然规律，必然发生，属于必然事件，故本选项不符合题意；
B、无独有偶指事物虽少见但可能存在同类，是可能发生的随机事件，故本选项不符合题意；
C、水中捞月因月亮在水中是虚像，无法捞取，属于不可能事件，故本选项符合题意；
D、百发百中虽难度高，但技术高超者可实现，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 5 0 …
下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．二次函数的图象开口向下
B．二次函数图象的对称轴是直线
C．当时，随的增大而增大
D．当时，
【答案】B
【详解】解：将点代入中，
得：，
解得，
∴二次函数解析式为，
A、∵二次函数解析式为，
得：，
∴函数图象开口向上，
故不符合题意；
B、∵二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
故符合题意；
C、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上，
∴当时，的值随值的增大而减小，
故不符合题意；
D、当时，
二次函数解析式，
故项不符合题意；
故选：B．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：将点代入抛物线，得：，
化简得：，即，
设抛物线与x轴交点，，则：
，，
，
，即，
，
，
将代入得：，
化简得：，解得，
，
，
令，得，整理得：，
解得：，，
抛物线与轴的交点坐标为，．
故选： D．
6．以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率最小，则对应的转盘是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：．指针落在阴影区域的概率为：，
．指针落在阴影区域的概率为：，
．指针落在阴影区域的概率为：，
．指针落在阴影区域的概率为：，
∵，
则指针落在阴影区域的概率最小的是，
故选：B．
7．小丽借助之前学习的画出函数的图象，你认为正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：当时，函数表达式为，
当时，得：，
解得：（舍去）或，
此时函数图象与轴的交点为；
当时，函数表达式为，
当时，得：，
解得：（舍去）或，
此时函数图象与轴的交点为；
当时，，
此时函数图象与轴的交点为；
∴函数图象与轴有两个交点且关于原点对称，与轴一个交点且在原点上方．
故选：A．
8．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表，根据抽测结果，估计该区初中生体质健康合格的概率最可能是（ ）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学生数与n的比值
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由图表可知，
该区初中生体质健康合格的概率最可能是，
故选：A．
9．如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数的图像形状相同的抛物线形，杯脚高，杯口宽为，则酒杯总高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：抛物线的顶点坐标为
即，
∴对称轴为直线，
∵为，
∴当时，代入解析式得，
即，
∴点到的距离为，
∴酒杯总高度为，
故选：C．
10．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，其对称轴为直线，则下列说法：①；②；③抛物线一定经过点﹔④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤若 （其中）是抛物线上的两点，且，则．正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴交于点B，
∴，
又∵二次函数的图象与x轴交于点，其对称轴为，
∴，
∴，
①∵，
∴，
∴，故结论①正确；
②∵，
∴，
∴，故结论②正确，
∴，
③当时，，
∴抛物线一定经过点，即抛物线一定经过点，故结论③正确；
∵，
∴可化为：，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
即关于x的方程有两个不相等的实数根，故结论④正确．
⑤∵抛物线二次函数的图象开口向下，其对称轴为，
∴当时，y的值随值的增大而增大；
当时，y的值随值的增大而减小，
∵，，
当时，
此时，此时，
当时，满足，
此时，，
当时，不满足舍去，故⑤正确，
综上所述，正确结论的个数是5个．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知那么= ．
【答案】4
【详解】解：．
故答案是：4．
12．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ．
【答案】或
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，
又∵当自变量时，函数有最大值为10，
∴当即时，时取最大值，即，
解得，
当即时，号时取最大值，即，
则
∵，方程没有实数根，
当时即，时取最大值，即，
解得
综上，的值为或，
故答案为：或．
13．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为 ．
【答案】/
【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴离直线的距离最远，其次是，而点点离直线最近，
．
故答案为：．
14．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒．
【答案】120
【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为，
所以瓶子中豆子的总数为粒．
故答案为：120．
15．已知抛物线的图象如图①所示，先将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有两个公共点时，则的取值范围为 ．
【答案】或
【详解】解：令，即，解得：，
故，两点的坐标分别为，．
如图，当直线经过点时，，可得，
当直线经过点时，，可得，
所以的取值范围为：；
翻折后的二次函数解析式为二次函数．
当直线与二次函数的图象只有一个交点时，，
整理得：，，
解得：，
所以的取值范围为：．
由图可知，符合题意的的取值范围为：或．
故答案为：或．
16．已知抛物线上有、两点，且横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结，作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形．当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，则的取值范围是
【答案】或
【详解】解： 上有、两点，且横坐标分别为、，则点的坐标为，点的坐标为，
点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，
点的坐标为
设直线的解析式为
解得：
直线的解析式
的中点坐标为
垂直平分线为，点的坐标为
设直线的解析式为
解得：
直线的解析式为
，抛物线顶点
∵不重合，则，
如图所示，当时，
当在对称轴的左侧时，抛物线在菱形内部随增大而减小．
∴
当时，当直线经过抛物线顶点时，如图所示
抛物线在菱形内部随增大而减小．
解得：或（舍去）
的取值范围为：
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）若是关于x的二次函数．
(1)求m的值及函数表达式．
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】（1）解：根据二次函数的定义得，
由①得，，由②得，
∴，函数的表达式是．
（2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0．
18．（8分）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，求水流喷射的最远水平距离．
【答案】解：喷水头的高度（即的长度）是1米．
当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，
∴设抛物线解析式为，
将点代入，得，解得，
抛物线解析式为：．
令，则，
解得，（不合题意，舍去）．
∴，
．
答：水流喷射的最远水平距离为20米．
19．（8分）小明想用描点法画抛物线．
(1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的图平面直角坐标系中画出此抛物线；
x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．．
．．． 0 0 ．．．
(2)当时，请观察函数图像，直接写出的取值范围
【答案】（1）解：由题意得
x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．．
．．． 0 0 ．．．
图象如下：
（2）解：由图象得，
．
20．（8分）一个不透明的口袋内装有红球和蓝球共5个，它们除颜色外完全相同．
(1)小知想通过试验的方法探求红球的个数，他从中任取一个球，记下颜色后放回，记为一次试验．重复这个试验．下表是进行试验时，记录的一些数据：
试验次数（） 100 200 400 500 600 1000
取出红色球的次数（） 42 88 166 200 246 402
取出红色球的频率 0.43 0.44 0.415 0.4 0.41 0.402
由表格中的信息可得：口袋中有________个红球；
(2)从口袋中随机取出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球，求两个球的颜色能配成紫色的概率（蓝色和红色可配成紫色）．
【答案】（1）解：由题意得，当实验次数足够多时，取出红色球的频率为，
∴红球个数为，
故答案为：2；
（2）解：将2个红球分别记为“红1”、“红2”，3个蓝球分别记为“蓝1”、“蓝2”、“蓝3”
是否为紫色 红1 红2 蓝1 蓝2 蓝3
红1 否 是 是 是
红2 否 是 是 是
蓝1 是 是 否 否
蓝2 是 是 否 否
蓝3 是 是 否 否
共有20种等可能的结果，其中“配成紫色”有12种
∴（配成紫色）
21．（8分）某省将于2024年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文，数学，外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门．
(1)首选科目选择物理的概率为
(2)某同学物理成绩优异，首选科目为物理，现还需从再选科目中任意选择两门，请用画树状图或列表的方法，求出该同学恰好选中化学、地理两科的概率．
【答案】（1）解：考生从物理、历史2门科目中自主选择1门，
选择物理的概率是；
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有12种结果，并且各种结果的可能性相同，其中该同学恰好选中化学、地理两科记为事件A，共有2种结果．
∴
22．（10分）二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题：
(1)方程的两个根是？
(2)不等式的解集是？
(3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过，对称轴是，
则，
∴二次函数与轴的另一个交点坐标是，
∴方程的两个根是，；
（2）解：由图课得出二次函数图象的开口向下，
由（1）得二次函数与轴的交点坐标是和，
∴当时，则的取值范围为，
∴不等式的解集是．
（3）解：∵二次函数的图象的最高点，且图象开口向下
∴当方程有两个实数根，则的取值范围是．
23．（10分）某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示．
(1)每件商品在第50天出售时的利润是______元；
(2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式；
(3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？
【答案】（1）解：当时，设与的函数关系式为．
由题意得：，
解得：，，
，
当时，，
．
故答案为：100；
（2）解：由（1）知，当时，
当时，设与的函数关系式为．
由题意得：，
解得，，
与的关系式为．
综上所述，与之间的函数关系式为；
（3）解：设商品的成本与时间的关系式为．
将代入得：，
，
，
当时，取最大值为100，
元．
答：从5月1日开始的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：过点作轴交于点，垂足为F，如图：
∵，，设直线解析式为，
将、代入，
得：，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴面积为，
∴ 面积的最大值：，
此时.
（3）解：存在．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为，点M的坐标为
分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图，
∵、，
∴，即，
解得，.
∴，
∴点M的坐标为
②当为平行四边形的对角线时，如图，
∵、，
∴，即，
解得，.
∴，
∴点M的坐标为；
③当AC为平行四边形的对角线时，如图，
∵、，
∴线段的中点H的坐标为，即H，
∴，
解得，，
∴，
∴点M的坐标为，
综上，点的坐标为：或或．
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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版九年级数学上册第1~2章。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．最高次项为一次，不符合题意；
B．当时，不是二次函数，不符合题意；
C．不是整式，不符合题意；
D．满足二次函数的定义，符合题意；
故选：D．
2．将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意，
∵向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
∴
故选：D．
3．下列成语所描绘的情景事件中，是不可能事件的是（ ）
A．日出东方 B．无独有偶 C．水中捞月 D．百发百中
【答案】C
【详解】解：A、日出东方是自然规律，必然发生，属于必然事件，故本选项不符合题意；
B、无独有偶指事物虽少见但可能存在同类，是可能发生的随机事件，故本选项不符合题意；
C、水中捞月因月亮在水中是虚像，无法捞取，属于不可能事件，故本选项符合题意；
D、百发百中虽难度高，但技术高超者可实现，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 5 0 …
下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．二次函数的图象开口向下
B．二次函数图象的对称轴是直线
C．当时，随的增大而增大
D．当时，
【答案】B
【详解】解：将点代入中，
得：，
解得，
∴二次函数解析式为，
A、∵二次函数解析式为，
得：，
∴函数图象开口向上，
故不符合题意；
B、∵二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
故符合题意；
C、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上，
∴当时，的值随值的增大而减小，
故不符合题意；
D、当时，
二次函数解析式，
故项不符合题意；
故选：B．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：将点代入抛物线，得：，
化简得：，即，
设抛物线与x轴交点，，则：
，，
，
，即，
，
，
将代入得：，
化简得：，解得，
，
，
令，得，整理得：，
解得：，，
抛物线与轴的交点坐标为，．
故选： D．
6．以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率最小，则对应的转盘是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：．指针落在阴影区域的概率为：，
．指针落在阴影区域的概率为：，
．指针落在阴影区域的概率为：，
．指针落在阴影区域的概率为：，
∵，
则指针落在阴影区域的概率最小的是，
故选：B．
7．小丽借助之前学习的画出函数的图象，你认为正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：当时，函数表达式为，
当时，得：，
解得：（舍去）或，
此时函数图象与轴的交点为；
当时，函数表达式为，
当时，得：，
解得：（舍去）或，
此时函数图象与轴的交点为；
当时，，
此时函数图象与轴的交点为；
∴函数图象与轴有两个交点且关于原点对称，与轴一个交点且在原点上方．
故选：A．
8．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表，根据抽测结果，估计该区初中生体质健康合格的概率最可能是（ ）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学生数与n的比值
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由图表可知，
该区初中生体质健康合格的概率最可能是，
故选：A．
9．如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数的图像形状相同的抛物线形，杯脚高，杯口宽为，则酒杯总高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：抛物线的顶点坐标为
即，
∴对称轴为直线，
∵为，
∴当时，代入解析式得，
即，
∴点到的距离为，
∴酒杯总高度为，
故选：C．
10．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，其对称轴为直线，则下列说法：①；②；③抛物线一定经过点﹔④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤若 （其中）是抛物线上的两点，且，则．正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴交于点B，
∴，
又∵二次函数的图象与x轴交于点，其对称轴为，
∴，
∴，
①∵，
∴，
∴，故结论①正确；
②∵，
∴，
∴，故结论②正确，
∴，
③当时，，
∴抛物线一定经过点，即抛物线一定经过点，故结论③正确；
∵，
∴可化为：，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
即关于x的方程有两个不相等的实数根，故结论④正确．
⑤∵抛物线二次函数的图象开口向下，其对称轴为，
∴当时，y的值随值的增大而增大；
当时，y的值随值的增大而减小，
∵，，
当时，
此时，此时，
当时，满足，
此时，，
当时，不满足舍去，故⑤正确，
综上所述，正确结论的个数是5个．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知那么= ．
【答案】4
【详解】解：．
故答案是：4．
12．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ．
【答案】或
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，
又∵当自变量时，函数有最大值为10，
∴当即时，时取最大值，即，
解得，
当即时，号时取最大值，即，
则
∵，方程没有实数根，
当时即，时取最大值，即，
解得
综上，的值为或，
故答案为：或．
13．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为 ．
【答案】/
【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴离直线的距离最远，其次是，而点点离直线最近，
．
故答案为：．
14．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒．
【答案】120
【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为，
所以瓶子中豆子的总数为粒．
故答案为：120．
15．已知抛物线的图象如图①所示，先将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有两个公共点时，则的取值范围为 ．
【答案】或
【详解】解：令，即，解得：，
故，两点的坐标分别为，．
如图，当直线经过点时，，可得，
当直线经过点时，，可得，
所以的取值范围为：；
翻折后的二次函数解析式为二次函数．
当直线与二次函数的图象只有一个交点时，，
整理得：，，
解得：，
所以的取值范围为：．
由图可知，符合题意的的取值范围为：或．
故答案为：或．
16．已知抛物线上有、两点，且横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结，作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形．当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，则的取值范围是
【答案】或
【详解】解： 上有、两点，且横坐标分别为、，则点的坐标为，点的坐标为，
点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，
点的坐标为
设直线的解析式为
解得：
直线的解析式
的中点坐标为
垂直平分线为，点的坐标为
设直线的解析式为
解得：
直线的解析式为
，抛物线顶点
∵不重合，则，
如图所示，当时，
当在对称轴的左侧时，抛物线在菱形内部随增大而减小．
∴
当时，当直线经过抛物线顶点时，如图所示
抛物线在菱形内部随增大而减小．
解得：或（舍去）
的取值范围为：
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）若是关于x的二次函数．
(1)求m的值及函数表达式．
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】（1）解：根据二次函数的定义得，
由①得，，由②得，
∴，函数的表达式是．
（2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0．
18．（8分）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，求水流喷射的最远水平距离．
【答案】解：喷水头的高度（即的长度）是1米．
当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，
∴设抛物线解析式为，
将点代入，得，解得，
抛物线解析式为：．
令，则，
解得，（不合题意，舍去）．
∴，
．
答：水流喷射的最远水平距离为20米．
19．（8分）小明想用描点法画抛物线．
(1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的图平面直角坐标系中画出此抛物线；
x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．．
．．． 0 0 ．．．
(2)当时，请观察函数图像，直接写出的取值范围
【答案】（1）解：由题意得
x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．．
．．． 0 0 ．．．
图象如下：
（2）解：由图象得，
．
20．（8分）一个不透明的口袋内装有红球和蓝球共5个，它们除颜色外完全相同．
(1)小知想通过试验的方法探求红球的个数，他从中任取一个球，记下颜色后放回，记为一次试验．重复这个试验．下表是进行试验时，记录的一些数据：
试验次数（） 100 200 400 500 600 1000
取出红色球的次数（） 42 88 166 200 246 402
取出红色球的频率 0.43 0.44 0.415 0.4 0.41 0.402
由表格中的信息可得：口袋中有________个红球；
(2)从口袋中随机取出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球，求两个球的颜色能配成紫色的概率（蓝色和红色可配成紫色）．
【答案】（1）解：由题意得，当实验次数足够多时，取出红色球的频率为，
∴红球个数为，
故答案为：2；
（2）解：将2个红球分别记为“红1”、“红2”，3个蓝球分别记为“蓝1”、“蓝2”、“蓝3”
是否为紫色 红1 红2 蓝1 蓝2 蓝3
红1 否 是 是 是
红2 否 是 是 是
蓝1 是 是 否 否
蓝2 是 是 否 否
蓝3 是 是 否 否
共有20种等可能的结果，其中“配成紫色”有12种
∴（配成紫色）
21．（8分）某省将于2024年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文，数学，外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门．
(1)首选科目选择物理的概率为
(2)某同学物理成绩优异，首选科目为物理，现还需从再选科目中任意选择两门，请用画树状图或列表的方法，求出该同学恰好选中化学、地理两科的概率．
【答案】（1）解：考生从物理、历史2门科目中自主选择1门，
选择物理的概率是；
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有12种结果，并且各种结果的可能性相同，其中该同学恰好选中化学、地理两科记为事件A，共有2种结果．
∴
22．（10分）二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题：
(1)方程的两个根是？
(2)不等式的解集是？
(3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过，对称轴是，
则，
∴二次函数与轴的另一个交点坐标是，
∴方程的两个根是，；
（2）解：由图课得出二次函数图象的开口向下，
由（1）得二次函数与轴的交点坐标是和，
∴当时，则的取值范围为，
∴不等式的解集是．
（3）解：∵二次函数的图象的最高点，且图象开口向下
∴当方程有两个实数根，则的取值范围是．
23．（10分）某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示．
(1)每件商品在第50天出售时的利润是______元；
(2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式；
(3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？
【答案】（1）解：当时，设与的函数关系式为．
由题意得：，
解得：，，
，
当时，，
．
故答案为：100；
（2）解：由（1）知，当时，
当时，设与的函数关系式为．
由题意得：，
解得，，
与的关系式为．
综上所述，与之间的函数关系式为；
（3）解：设商品的成本与时间的关系式为．
将代入得：，
，
，
当时，取最大值为100，
元．
答：从5月1日开始的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：过点作轴交于点，垂足为F，如图：
∵，，设直线解析式为，
将、代入，
得：，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴面积为，
∴ 面积的最大值：，
此时.
（3）解：存在．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为，点M的坐标为
分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图，
∵、，
∴，即，
解得，.
∴，
∴点M的坐标为
②当为平行四边形的对角线时，如图，
∵、，
∴，即，
解得，.
∴，
∴点M的坐标为；
③当AC为平行四边形的对角线时，如图，
∵、，
∴线段的中点H的坐标为，即H，
∴，
解得，，
∴，
∴点M的坐标为，
综上，点的坐标为：或或．
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