2024-2025人教版（2019）高中数学必修二 第七章 复数 题型归纳（含答案）

第七章复数题型归纳
【题型1 复数的基本概念】
【例1】下列命题正确的个数是（ ）
①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小.
A．1 B．2 C．0 D．3
【变式1-1】下列命题：
①若，则是纯虚数；②若，，且，则；
③若是纯虚数，则实数；④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式1-2】复数，则（ ）
A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为
【变式1-3】下列命题正确的是（ ）
A．实数集与复数集的交集是空集 B．任何两个复数都不能比较大小
C．任何复数的平方均非负 D．虚数集与实数集的并集为复数集
【题型2 复数的分类】
【例2】若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．2 D．
【变式2-1】若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式2-2】若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【题型3 复数的几何意义】
【例3】已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【变式3-1】已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式3-2】已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式3-3】 在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 复数的模的计算】
【例4】若复数满足，i为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】如图，在复平面内，复数对应的向量分别为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式4-2】若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式4-3】若复数（为虚数单位，）为纯虚数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型5 复数的模的几何意义】
【例5】已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式5-1】已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【变式5-2】设，在复平面内对应的点为，若，则点所在区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 复数的四则运算】
【例6】已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】记复数的共轭复数为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】计算：
(1)； (2).
【变式6-3】已知i是虚数单位，设复数，．
(1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求．
【题型7 复数范围内方程的根的问题】
【例7】已知是关于的方程的一个根，则（ ）
A． B． C．1 D．9
【变式7-1】已知，为关于的实系数方程的两个虚根，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，是实数
(1)求和的值； (2)若是纯虚数，求实数的值
【变式7-3】已知复数，其中是正实数，是虚数单位
(1)如果为纯虚数，求实数的值；
(2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值.
【题型8 复数的三角表示】
【例8】（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（ ）
A．； B．；
C．； D．.
【变式8-1】棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式8-2】复数的三角形式是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．的虚部为 B．
C． D．的共轭复数为
【题型9 复数乘、除运算的三角表示】
【例9】已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】计算：
(1)；
(2).
【变式9-3】设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数.
【题型10 复数中的新定义问题】
【例10】定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式10-1】 定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且），称．若且，称．其余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则下列各式一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】定义运算，则符合条件的复数 ．
【变式10-3】已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．
(1)求实数；
(2)定义复数的一种运算“”：，求．
第七章复数题型归纳答案
【题型1 复数的基本概念】
【例1】下列命题正确的个数是（ ）
①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小.
A．1 B．2 C．0 D．3
【解答过程】对于①，因为，所以，故①正确；
对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误；
对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B.
【变式1-1】下列命题：
①若，则是纯虚数；②若，，且，则；
③若是纯虚数，则实数；④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解答过程】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误；
对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误；
对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误；
对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确.
故选：.
【变式1-2】复数，则（ ）
A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为
【解答过程】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误；
的虚部为，B正确，D错误.故选：B.
【变式1-3】下列命题正确的是（ ）
A．实数集与复数集的交集是空集 B．任何两个复数都不能比较大小
C．任何复数的平方均非负 D．虚数集与实数集的并集为复数集
【解答过程】解：实数集与复数集的交集是实数集，所以A不正确；
任何两个复数都不能比较大小，不正确，当两个复数是实数时，可以比较大小，所以B不正确；任何复数的平方均非负，反例，所以C不正确；
虚数集与实数集的并集为复数集，所以D正确 ，故选：D．
【题型2 复数的分类】
【例2】若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．2 D．
【解答过程】因为是纯虚数，所以，解得：，
故选：C.
【变式2-1】若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解答过程】若复数（是虚数单位）是纯虚数，
则，解得.故选：A.
【变式2-2】若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【解答过程】根据题意，复数是纯虚数，
所以且，解得.故选：A.
【题型3 复数的几何意义】
【例3】已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【解答过程】由题意得，所以在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：B.
【变式3-1】已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答过程】在复平面内对应的点为，其关于直线的对称点为，
所以，则，所以其在复平面内对应的点为，位于第一象限．
故选：A.
【变式3-2】已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答过程】，
故在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限.故选：D.
【变式3-3】 在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【解答过程】由题知，点，设点D的坐标为，
则有，.又因为四边形ABCD为平行四边形，所以，
即，得，所以点D对应的复数为.故选：C.
【题型4 复数的模的计算】
【例4】若复数满足，i为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【解答过程】设，
则，即，解得，
所以，，故选：A.
【变式4-1】如图，在复平面内，复数对应的向量分别为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答过程】由图可得，所以，所以.故选：C.
【变式4-2】（2024·四川德阳·模拟预测）若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答过程】由得，
，解得或.
故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
【变式4-3】若复数（为虚数单位，）为纯虚数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据纯虚数可得，即可根据模长公式求解.
【解答过程】解：复数为纯虚数，则且，解得，
则 故选：B.
【题型5 复数的模的几何意义】
【例5】已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解答过程】设在复平面内对应的点分别为，
因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示.
故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值，
故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1.故选：A.
【变式5-1】已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【解答过程】设复数在复平面内对应的点为，因为复数满足，
所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，
所以在复平面内点的轨迹为，又表示点到点的距离，
所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，
当为时，到定点的距离最小，最小值为1，所以的最小值为1，
故选：A．
【变式5-2】设，在复平面内对应的点为，若，则点所在区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答过程】因为，所以点所在区域为两个同心圆所形成的圆环，其中一个半径为，另一个半径为，则其面积为.故选：A.
【变式5-3】已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解答过程】设，则，
所以，表示以为圆心，半径为的圆，
则，
表示与之间的距离，即与圆上任意一点的距离，
因，所以在圆外，
所以.故选：D.
【题型6 复数的四则运算】
【例6】已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解答过程】因为，所以.故选：B.
【变式6-1】记复数的共轭复数为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解答过程】由，得，所以.故选：A.
【变式6-2】计算：
(1)；(2).
【解答过程】（1）.
（2）.
【变式6-3】已知i是虚数单位，设复数，．
(1)若是实数，求；(2)若是纯虚数，求．
【解答过程】（1）因为是实数，
所以，即，所以，所以.
（2）因为 是纯虚数，所以且，解得，所以，所以.
【题型7 复数范围内方程的根的问题】
【例7】已知是关于的方程的一个根，则（ ）
A． B． C．1 D．9
【解答过程】由题意可得关于的方程的另一个根为，
则，解得，则.故选：D.
【变式7-1】已知，为关于的实系数方程的两个虚根，则（ ）
A． B． C． D．
【解答过程】由，，
∴方程的两个虚根为，
或，，
不妨取，，则，，
∴.故选：B.
【变式7-2】已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，是实数
(1)求和的值；(2)若是纯虚数，求实数的值
【解答过程】（1）因为复数（是虚数单位）是方程的根（，是实数），所以也为方程的根，所以，所以；
（2）由（1）可知
，
又是纯虚数，所以，解得.
【变式7-3】已知复数，其中是正实数，是虚数单位
(1)如果为纯虚数，求实数的值；
(2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值.
【解答过程】（1）因为，所以，
因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去），所以.
（2）因为，所以，则，
因为是关于的方程的一个复根，
所以与是的两个复根，故，则，
所以.
【题型8 复数的三角表示】
【例8】复数的三角形式是（ ）
A．； B．；
C．； D．.
【解答过程】，故选：C.
【变式8-1】棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答过程】，
在复平面内所对应的点为，在第二象限.故选：B.
【变式8-2】复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【解答过程】依题意，令，
则，所以，
因为，所以，所以的三角形式是.
故选：D.
【变式8-3】欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．的虚部为 B．
C． D．的共轭复数为
【解答过程】对于A，，其虚部为1，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，则，故C错误；
对于D, ，故的共轭复数为，D正确，
故选：D.
【题型9 复数乘、除运算的三角表示】
【例9】已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解答过程】
逆时针旋转后得，所以=.故选：A.
【变式9-1】欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答过程】.故选：C.
【变式9-2】计算：
(1)；(2).
【解答过程】（1）解：根据复数的三角形式的运算法则，
可得：
.
（2）解：根据复数的三角形式的运算法则，
可得：
.
【变式9-3】设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数.
【解答过程】依题意得，
所以
.
【题型10 复数中的新定义问题】
【例10】定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答过程】由题意，可化为，
所以，所以在复平面内对应的点的坐标为，
所以复数在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．
【变式10-1】 定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且），称．若且，称．其余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则下列各式一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
【解答过程】设复数，若，则，则无解，
所以，将代入，可得，
，即，
所以，解得，所以，
又因为，
设，所以，
所以，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，
所以，从而最大，故B错误；
若，，则，
所以当，或，
时，则，C正确；若，此时，则，A正确；
若，此时，则，D正确；故选：B.
【变式10-2】定义运算，则符合条件的复数 ．
【解答过程】由题意得．设，
则，
所以，解得，所以．故答案为：.
【变式10-3】已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．
(1)求实数；
(2)定义复数的一种运算“”：，求．
【解答过程】（1）解：由题得，
，是“理想复数”，
，；
（2）由（1）知，所以，
由，得，.