七年级数学第二章导学案
2.3整式的概念
第1课时 整式的概念
一.学习目标
1.理解单项式的相关概念,并能准确地找出单项式的系数、次数.
2.理解多项式和整式的概念，能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数.
3.能用单项式表示具体问题中的数量关系.
4.在整式概念的形成过程中,体会抽象的数学思想,提高观察、分析、归纳、概括的能力.
二.自主预习
1.用代数式表示下列数量：
(1)若正方形的边长为a，则正方形的面积是_______ ；
(2)若x表示正方体的棱长，则正方体的体积是_______；
(3)若m表示一个有理数，则它的相反数是_______；
(4)小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款_______元.
2.填空
(1)单项式－5y的系数是____，次数是____；
(2)单项式2a3b的系数是_____，次数是_____.
(3)多项式有_____项，它们分别是_______.其中常数项是______，它是一个___次_____项式.
(4)多项式a3－a2b＋ab2－b3的项数为_______，次数为_______.
(5)多项式3n4－2n2＋1的次数为________，常数项为_________.
三.探究新知
探究点一.单项式的相关概念
1.用含有字母的式子填空,并观察特点:
（1）以8km/h的平均速度行走th的路程是 ;
（2）半径为r的圆的面积是 ；
（3）底面是边长为x的正方形，高为y的长方体的体积是 .
(4)铅笔的单价为x元,圆珠笔的单价是铅笔单价的2.5倍,圆珠笔的单价是 元.
问题 上述代数式中含有加减运算吗？只含哪些运算？
思考:观察上面各式中运算有什么共同特点
归纳:
小结：
(1)由数与字母及其幂的 组成的代数式叫作单项式,单独的 也可看作单项式，并约定一个不为0的数的其次数为0.例如:2024,a,等是单项式，而,1+x都不是 ;
(2)单项式的系数、次数:
单项式中数与字母相乘,其中这个数叫作单项式的系数，例如6a2的系数是 ,a3的系数是 ,-n的系数是 ,-的系数是 ；
所有字母的 叫作单项式的次数.例如,2.5x中字母x的指数是 ,2.5x是一次单项式;vt中字母v与t的指数和是2,vt是 单项式,-ab2c中字母a,b,c的指数和是4,-ab2c是 单项式.
问题1 单独一个字母是单项式吗？它的系数和次数分别是多少？
问题2 单项式书写注意哪些问题？
问题3 ,,-16x哪些是单项式 是单项式的写出其系数和次数.
【方法归纳】判断单项式的方法
(1)单独一个数或一个字母也是单项式.
(2)不含加减运算，单项式只能含有乘积或乘方运算.
(3)单项式数字因数与字母可能一个或多个.
(4)可以含有除以数的运算（可看作乘这个数的倒数），不能含有除以字母的运算．
例1.判断下列各式是否是单项式，如果不是，请简要说明理由;如果是，请指出它的系数与次数.
(1) x+1;(2);(3)πr2;(4)-a2b.
探究点二.多项式的相关概念
1.图是由一个长方形和一个半圆组成，已知长方形的长为x，宽为y，半圆的直径为y.
(1)长方形的面积为 ；
(2)半圆的面积为 ；
(3)由长方形和半圆组成的图形的面积为 .
2.问题1 列式表示下列数量:
(1)买一个篮球需要x元,买一个排球需要y元,买一个足球需要z元,那么买3个篮球、5个排球、2个足球共需要 元.
(2)如图(1)所示,三角尺的面积为 .
(3)如图(2)所示的是一所住宅区的建筑平面图,这所住宅的建筑面积是 m2.
图(1) 图(2)
问题1 上述几个式子都是单项式吗 若不是单项式，它有什么共同特点
问题2 多项式中不含分母的项怎么定义？
问题3 多项式的次数怎么定义？
问题4一个多项式的最高次项一定只有一项吗？
例2.说出下列多项式的项，次数和常数项.
(1)2x－3；
(2)﹣x3+7x－4；
(3)3x2－5xy+y2-4x＋6y－9.
例3.已知-5xm+104xm+1-4xmy2是关于x,y的六次多项式,求m的值,并写出该多项式.
变式 若关于x的多项式-5x3-mx2+(n-1)x-1不含二次项和一次项,求m,n的值.
四.运用新知
1.下列说法中,正确的是( )
A.单项式的系数是-2,次数是3
B.单项式a的系数是0,次数是0
C.-3x2y+4x-1是三次三项式,常数项是1
D.单项式-的次数是2,系数是-
2.如果-axyb是关于x,y的四次单项式,且系数为7,那么a+b= .
3.若关于x的多项式(a-4)x3-x2+x-2是二次三项式,则a= .
4.下列整式中哪些是单项式 哪些是多项式 是单项式的指出系数和次数,是多项式的指出项和次数:
-a2b,,x2+y2-1,x,32t3,,3x2-y+3xy3+x4-1,2x-y.
5.多项式-3a2b3+5a2b2-4ab-2共有几项,多项式的次数是多少 第三项是什么,它的系数和次数分别是多少
五.达标测试
1.下列式子中,是单项式的是( )
A. B. C.a2+3b3 D.
2.下列各式:1-3x2,-x3,,-,π+a,0,-x2+y2-1.其中是整式的有( )
A.7个 B.6个 C.5个 D.4个
3.若单项式-a2bm与-x3y4是次数相同的单项式,则m的值为 .
4.有一块长为x m,宽为y m的长方形草坪,在草坪中间有一条宽为2m的人行道,形状如图所示,则这块草坪的实际绿化面积是 m2.
5.已知（a-1）是关于x，y的五次单项式，求这个单项式的系数．
6.已知多项式a3＋ab4－am+1b－6是六次多项式，单项式2xy3n与该多项式的次数相同，求m2＋n2的值．
参考答案
达标检测
1.B 2.B 3.5 4.(xy-2y)
5.解：依题意得m＋1＋1＝6，1＋3n＝6，
则m＝4，n＝．
所以m2＋n2＝42＋()2=18 .
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情境导入
情境导入
港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛为一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96km/h，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72 km/h和92 km/h.请根据这些数据回答:
汽车在主桥上行驶th的路程是多少千米
观察所列式子包含什么运算,有什么特点.
壹
92t
新知初探
新知初探
探究一 单项式的相关概念
用含有字母的式子填空，并观察特点：
（1）以8km/h的平均速度行走th的路程是 ;
（2）半径为r的圆的面积是 ；
（3）底面是边长为x的正方形，高为y的长方体的体积是 .
（4）铅笔的单价为x元,圆珠笔的单价是铅笔的单价2.5倍,圆珠 笔的单价是 元.
2.5x
贰
8t
问题
问题1 上述代数式中含有加减运算吗？只含哪些运算？
解：上述代数式中不含有加减运算，只含数与字母的幂的乘法运算.
问题2 单独一个字母是单项式吗？它的系数和次数分别是多少？
答：单独一个字母是单项式，它的系数是1，次数是1.
问题3 单项式书写注意哪些问题？
答：书写单项式时，一般数字写在前面，字母写在后边，字母顺序一般遵循英文字母表顺序.
问题4 ， ，-16x哪些是单项式 是单项式的写出其系数和次数.
答：-16x是单项式，其系数是﹣16，次数是1.
上面各式的运算中数字和字母之间，字母与字母之间的运算都是乘法运算(都是表示数字与字母、字母与字母的积).
由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单项式,单独的一个数也可看作单项式，并约定一个不为0的数的其次数为0.
知识要点
例如:像 2024, x , 等是单项式.
单项式中的数字因数称为这个单项式的系数.
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
系数
1
次数为3+1=4
叫做四次单项式
知识要点
1.单独一个数或一个字母也是单项式.
2.不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
3.单项式数字因数与字母可能一个或多个.
4.可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．
方法总结:判断单项式的方法
例题讲解
解：(1) x+1不是单项式，因为代数式中出现了加法运算.
(2) 不是单项式，因为代数式中出现了数字与字母的除法运算.
(3)πr2是单项式，系数是π，次数是2;
(4)- a2b是单项式，系数是- ，次数是3.
新知初探
探究二 多项式的相关概念
1.图是由一个长方形和一个半圆组成，已知长方形的长为x，宽为y，半圆的直径为y.
(1)长方形的面积为 ；
(2)半圆的面积为 ；
(3)由长方形和半圆组成的图形的面积为 .
贰
xy
2.如图三角尺的面积为 .
3.如图是一所住宅区的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是 ㎡.
（x2+2x+18）
1.买一个篮球需要x元,买一个排球需要y元,买一个足球需要z元,那么买3个篮球、5个排球、2个足球共需要 元.
(3x+5y+2z)
(1)几个单项式的和叫作多项式.
(3) 多项式中不含字母的项次数为0.
(4)单项式和多项式统称整式.
(2)多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号
方法归纳
问题1 多项式中不含分母的项怎么定义？
答：不含分母的项叫作常数项.
问题2 多项式的次数怎么定义？
答：次数最高项的次数叫作多项式的次数.
问题3 一个多项式的最高次项一定只有一项吗？
答：一个多项式的最高次项可以不只一项.
问题
例题讲解
解：由题意得m＋2=6，所以m=4.
归纳总结：解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数.然后根据题意，列出方程，求出m的值.
分析：该多项式最高次项为－4xmy2，其次数为m＋2，故m＋2=6.
所以该多项式为－5x4＋104x5－4x4y2.
若关于x的多项式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次项和一次项，求m、n的值.
分析：多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.
解：由题意得m=0，n－1=0，所以n=1.
当堂达标
1．下列式子中，是单项式的是（ ）
A． B． C．a2＋3b3 D．
B
当堂达标
叁
2．下列各式中是整式的有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
B
4．有一块长为x m、宽为y m的长方形草坪，在草坪中间有一条宽为2 m的人行道，形状如图所示，则这块草坪的实际绿化面积
是 m2．
（xy－2y）
当堂达标
叁
3.若单项式-a2bm与-x3y4是次数相同的单项式,则m的值为 .
5．已知（a-1）x2ya+1是关于x，y的五次单项式，求这个单项式的系数．
解：由题意得：a+1+2=5，
解得：a=2，
则这个单项式的系数是a-1=1．
5
6．已知多项式a3＋ ab4－am+1b－6是六次四项式，单项式2xy3n与该多项式的次数相同，求m2＋n2的值．
解：依题意得m＋1＋1＝6，1＋3n＝6，
则m＝4，n＝ ．
所以m2＋n2＝42＋ = .
课堂小结
1.单项式相关概念
(1)由数与字母及其幂的乘积组成的代数式，单独的一个数也看作单项式.
(2)单项式中的数叫作单项式系数，所有字母的指数的和叫作单项式的次数.
2.多项式相关概念
（1）几个单项式的和叫作多项式.
（2）多项式中的每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项.次数最高的项的次数叫作多项式的次数.
肆
课后作业
基础题：1.课后练习 第 1,2题。
提高题：2.若-mx2y|n-3|是关于x，y的十次单项式，且系数是8，求m+n的值
