第三章 一元一次方程（组）
3.1 等量关系和方程
一.学习目标
1.通过现实生活中的例子，理解方程的意义.
2.初步学会找实际问题中的等量关系，设出未知数，列出方程．
3.从具体问题中更深入地认识一元一次方程与现实生活的联系,体会方程是刻画现实世界的数学模型.
二.自主预习
1.根据要求列出式子.
（1）x的2倍与3的差是6；
正方形的周长为24cm，请写出它的边长a与周长的关系式.
2.观察上面所列的两个式子，议一议它们有什么共同特征.
【自主归纳】先设出字母表示未知数，然后根据问题中的 关系，列出一个含有未知数的 ，这样的等式叫作方程.
(1)一般地，使方程左、右两边的值 的未知数的值，叫作方程的解.
(2)求方程的 的过程，叫作解方程.
(3)如果方程中只含有 个未知数(元),未知数的次数都是 ,等号两边都是 式,这样的方程叫作一元一次方程.
三.探究新知
探究一：方程的概念
1.甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发，甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后，甲队在途中追上乙队
在这个问题中，甲、乙两队的行进速度是已知的，行进的时间和路程是未知的.
问题1 如果设两队行进的时间为xh，根据“路程=速度×时间"，甲队和乙队的行进路程可以分别表示为 km和 km.
问题2 甲、乙两队距大本营的路程可以分别表示为 km,和 km.
问题3 想一想，甲队追上乙队时，他们距大本营的路程有什么关系？如何根据等量美系，列出相应等式？
2.为进步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛，比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分，若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分.
问题1 设该队胜了x场，则该队输了 场；
问题2 该队胜的场数得分 分 ；输的场数得分 分 ；
问题3 其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量美系，列出相应等式？
3.图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2m，高为1m，表面积为6.8.
问题1 设包装盒底面的宽是ym，则长方体底面的面积是 ，左侧面的面积 ， 前面的面积是 ；
问题2 长方体前后两个面的面积 ；左右两个面的面积 ；上下两个面的面积 .
问题3 其中蕴含怎样的等量关系？如诃根据等量关系，列出相应等式？
小结：
先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程.
探究二 ：一元一次方程的概念
1. 观察下列方程,它们有什么共同点
①1.2x+1=0.8x+3；
②2x＋（14－x）＝26；
③（1.2×y＋y×1＋1.2×1）×2＝6.8.
问题1 每个方程中,各含有几个未知数
问题2 说一说每个方程中未知数的次数.
问题3 等号两边的式子有什么共同点
小结：
一般地，只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程.
探究三： 方程的解
《孙子算经》是我国古心重要的数学著作，成书于公元400年前后，本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第31题就是有趣的“鸡免同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有多少只鸡和兔？
问题1 上述趣题中存哪几个等量关系？
问题2 设兔子有x只，根据“兔的只数十鸡的只数=35”可得鸡有 只；
问题3 根据“兔的脚数+鸡的脚数=94”可得方程 。
问题4 方程左边去括号，合并同类项可得 .
问题5 把方程的左边和右边分别看成多项式，能否找到一个数，将这个数代入方程,使左、右两边的多项式的值相等呢？
估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94比较
第1次估算 10 90 小了
第2次估算 15 100 大了
第3次估算 13 96 大了
第4次估算 12 94 相等
第5次估算 11 92 小了
由表格，我们知道当x= 时,2x+70的值与94的值相等,所以方程2x+70=94中的未知数的值应是 .
小结：
（1）方程的解：对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解，习惯上记作x＝c.
(2)解方程：求方程的解的过程叫作解方程.
任务四 例题讲解
例1.根据下列问题， 设未知数并列出方程:
(1)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生
(2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m'，求正方形绿地的边长.
追问 用方程的方法来解决实际问题，一般要经历哪几个步骤？
小结：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法：步骤如下
例2.判断下列方程是不是一元一次方程,并说明理由.
(1)-x+3=x3;(2)2x-9=5y;(3)x-=2;(4)=x-3;(5)6-y=1.
例3分别检验x的下列值是否是方程2.5x+318=1068的解.
(1) x=300；（2）x=300.
四.运用新知
1.已知长方形的周长为20 cm,长比宽长3 cm,若设宽为x cm,可列方程为 .
2.校园足球联赛规则规定：赢一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队比赛8场保持不败，得18分，求该队共胜几场？若设该队胜了x场，则可列方程： ．
3.七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观,共589人,到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人.设到雷锋纪念馆的人数为x人,可列方程为 .
4.下列等式:①x-2=;②3x=11;③=5x-1;④y2-4y=3;⑤x+2y=1.
其中是方程的是 ,是一元一次方程的是 (填序号).
5.检验下列各题括号内的值是否为相应方程的解：
(1)2x－3＝5(x－3){x＝6，x＝4}；
(2)4x＋5＝8x－3{x＝3，x＝2}．
五.达标测试
1.下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．x2﹣4x＜3 B．3x﹣1＝x
C．5﹣4＝1 D．xy﹣3
2.下列方程中,以x=2为解的方程是( )
(A)4x-1=3x+2 (B)4x+8=3(x+1)+1
(C)5(x+1)=4(x+2)-1 (D)x+4=3(2x-1)
3.x=1是关于x的方程2x-a=0的解,则a的值是( )
(A)-2 (B)2 (C)-1 (D)1
4.若方程(|m|-2)x2-(m+2)x-6=0是关于x的一元一次方程.
(1)求m的值;
(2)判断x=3,x=-,x=是不是方程的解.
5.根据下列问题，设未知数并列出方程：
(1)小丽从出版社邮购3本一样的书，包括邮费的总价为37.5元，如果每本书的邮费是2元，那么每本书的价格是多少元？
(2)春运期间，汽车票价上浮20%，小明从南京去上海的票价是84元，求原来的票价;
(3)A,B两袋大米，A袋有50千克，它的比B袋的70%少8千克，B袋有多少千克大米？
参考答案
1.B 2.C 3.B
4.解:(1)因为方程(|m|-2)x2-(m+2)x-6=0是关于x的一元一次方程,
所以|m|-2=0,则m=±2.
又因为m+2≠0,即m≠-2,
所以m=2.
(2)由(1),知原方程为-4x-6=0.
当x=-时,-4x-6=0;
当x=3或x=时,-4x-6≠0,故x=-是方程的解,x=3,x=不是方程的解.
5.解：(1)设每本书的价格是x元，根据题意，得3x+3×2=37.5.
(2)设原来的票价为x元，根据题意,得x(1+20%)=84.
(3)设B袋有x千克大米，根据题意,得×50+8=70%x.
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情境导入
情境导入
老师有这样一个问题，请同学们帮我解答一下：一个妇女在河边洗碗，河官问：“洗多少只碗？有多少客人用餐？”妇女答：“洗65只碗，客人二人共用一只饭碗，三人共用一只汤碗，四人共用一只肉碗.你说有多少客人用餐？”
壹
新知初探
新知初探
探究一 方程的概念
1.甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发，甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后，甲队在途中追上乙队
大本营
二号
营地
一号
营地
甲的路程
乙的路程
1km
3km
贰
设两队行进的时间为xh，则
大本营
二号
营地
一号
营地
甲的路程
乙的路程
1km
3km
问题1 甲队的行进路程为 km,乙队的行进路程为 km
1.2x
0.8x
问题2 甲队距大本营的路程为 km,
乙队距大本营的路程为 km
(1.2x+1)
(0.8x+3)
问题3 想一想，甲队追上乙队时，他们距大本营的路程有什么关系？
甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程
问题4 根据这个关系，你能列出怎样的式子？
1.2x+1=0.8x+3
2.为进步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛，比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分，若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分.
问题1 设该队胜了x场，则该队输了场； .
（14一x）
问题2 该队胜的场数得分 分 ；输的场数得分 分 ；
2x
（14一x）
问题3 其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量美系，列出相应等式？
①胜的场数得分＋输的场数得分＝总得分.
② .
2x＋（14－x）＝26
问题2 长方体前后两个面的面积 ；左右两个面的面积 ；上下两个面的面积 .
问题1 设包装盒底面的宽是ym，则长方体底面的面积是 ，左侧面的面积 ， 前面的面积是 ；
1.2×y
1×y
1.2×1
相等
相等
相等
问题3 其中蕴含怎样的等量关系？如诃根据等量关系，列出相应等式？
①（长×宽十宽X高十长×高）×2=表面积.
②
（1.2×y＋y×1＋1.2×1）×2＝6.8
先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程.
归纳总结
探究二 一元一次方程的概念
观察下列方程，它们有什么共同点？
1.2x+1=0.8x+3 12x=16(x-5) 0.52x-(1-0.52x)=80,
问题1 每个方程中，各含有几个未知数？
问题2 说一说每个方程中未知数的次数.
问题3 等号两边的式子有什么共同点？
一个
1次
都是整式
知识要点
这样的方程叫作一元一次方程.
等号两边都是整式，
（一次）
只含有一个未知数,
（一元）
未知数的次数都是1,
一元一次方程
探究三 方程的解
《孙子算经》是我国古心重要的数学著作，成书于公元400年前后，本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第31题就是有趣的“鸡免同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有多少只鸡和兔？
问题1 上述趣题中存哪几个等量关系？
（1）兔的只数十鸡的只数=35；
（2）兔的脚数+鸡的脚数=94.
问题2 设兔子有x只，根据“兔的只数十鸡的只数=35”可得鸡有 只；
问题3 根据“兔的脚数+鸡的脚数=94”可得方程 。
问题4 方程左边去括号，合并同类项可得
.
（35一x）
4x＋2(35-x)=94
2x＋70＝94
问题5 把方程的左边和右边分别看成多项式，能否找到一个数，将这个数代入方程,使左、右两边的多项式的值相等呢？
估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94比较
第1次估算 10
第2次估算 15
第3次估算 13
第4次估算 12
第5次估算 11
由表格，我们知道当x=12时,2x+70的值与94的值相等,所以方程2x+70=94中的未知数的值应是x=12.
90
100
96
94
92
小了
大了
大了
相等
小了
(1)对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解，习惯上记作x＝c.
归纳总结
(2)求方程的解的过程，叫作解方程.
例如x=5就是方程1.2x+1=0.8x+3的解
(3)设某数为x,依题意得5x-4=6x+1.
探究四 例题讲解
解:(1)5x-2x=12.
1.根据下列条件列出方程:
(1)x的5倍比x的2倍大12;
(2)某数的 比它的倒数小5;
(3)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上1;
(4)x的20%与15的差的一半等于-2.
(2)设某数为x,根据题意得 x+5= .
(4) (20%x-15)=-2.
(2)设正方形绿地的边长为x m,那么扩大后的绿地面积为(x2+5x) m2.
根据“扩大后的绿地面积是500 m2”.列得方程x2+5x =500.
例1.根据下列问题， 设未知数并列出方程:
(1)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生
(2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿 地面积是500m'，求正方形绿地的边长.
解: (1)设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x.
根据“女生比男生多80人”，列得方程0.52x-(1-0.52)x=80.
思考 用方程的方法来解决实际问题，一般要经历哪几个步骤？
实际问题
方程
设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系
(5)6-y=1是一元一次方程.
例2.判断下列方程是不是一元一次方程,并说明理由.
(1)-x+3=x3;(2)2x-9=5y;(3)x- =2;(4) =x-3;(5)6-y=1.
解:(1)-x+3=x3,不是,因为不是一次方程.
(2)2x-9=5y,不是,因为有两个未知数.
(3)x- =2,不是,因为不是整式方程.
(4) =x-3是一元一次方程.
例3 分别检验x的下列值是否是方程2.5x+318=1068的解.
(1) x=300；（2）x=300.
解（1）把x用300代入原方程得,
左边＝2.5×300＋318＝1068，
左边＝右边，
所以x=300是方程2.5x+318=1068的解；
（2）把x用330代人原方程得，
左边=2.5×330＋318=1143,
左边≠右边，
所以x＝330不是方程2.5x+318=1068的解。
当堂达标
当堂达标
C
B
叁
B
(2)设原来的票价为x元，根据题意,得x(1+20%)=84.
5.根据下列问题，设未知数并列出方程：
(1)小丽从出版社邮购3本一样的书，包括邮费的总价为37.5元，如果每本书的邮费是2元，那么每本书的价格是多少元？
(2)春运期间，汽车票价上浮20%，小明从南京去上海的票价是84元，求原来的票价;
解：(1)设每本书的价格是x元，根据题意，得3x+3×2=37.5.
(3)A,B两袋大米，A袋有50千克，它的 比B袋的70%少8千克，B袋有多少千克大米？
解：(3)设B袋有x千克大米，根据题意,得 ×50+8=70%x.
课堂小结
课堂小结
1.方程的概念:含有未知数的等式.
2.一元一次方程的概念：只含一个未知数，并且未知数的次数是1，两边都是整式.
3.方程的解：能使左右两边的多项式的值相等.
肆
课后作业
基础题：1.课后练习 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第5,6题
