3.4 一元一次方程的应用
第2课时 工程问题与行程问题
一.学习目标
1.掌握工程问题和行程问题中有关量的基本关系式,并会寻求相等关系列方程求解.
2.通过列方程解决实际问题的过程,体会一元一次方程与实际生活的密切联系,加强数学建模思想的应用意识.
二.自主预习
1．已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度是（ ）
A．20米/秒 B．18米/秒 C．16米/秒 D．15米/秒
2．制造一批零件，按计划18天可以完成它的．如果工作4天后，工作效率提高了，那么完成这批零件的一半，一共需要 天．
【自主归纳】
1.行程问题中的常用关系式：
（1）速度×时间=路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度;
（2）速度和×时间=路程和；
（3）速度差×时间=路程差.
2.工程问题中的常用关系式：
（1）工作总量÷工作效率=工作时间
（2）工作总量÷工作效率和=合作时间
三.探究新知
探究一：行程问题
为进一步感悟雷锋胸怀祖国，服务人民的爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆，已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠每小时骑10km，他在上午10时到达，小华每小时骑15km，他在上午9时30分到达，他俩的家到雷锋纯念馆的路程是多少？
问题1 这个问题中涉及哪些量？它们有什么数量关系？
问题2 本题的等量关系是什么？
问题3 这个题可以如何列方程？
探究二：工程问题
一份工作,甲单独做需要m天完成,乙单独做需要 n天完成.求甲乙合作完成这份工作需要多少天
问题1 若把工作总量设为1,则甲、乙的工作效率(一天完成的工作量)分别是多少？
问题2 若甲、乙合作x天，则甲、乙的工作量各是多少？甲乙合作的工作量是多少？
问题3 题目中的等量关系是什么？
问题4 你将如何得出问题的答案？
小结：解决工程问题的基本思路：
1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和.
(1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和；
(2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.
3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
探究三:例题讲解
例1 甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分．
(1)两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？
(2)两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？
例2、刺绣是我国民间传统手工艺之一.我国刺锈主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类.若刺绣一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙单独绣需要12天才能完成，现在甲先单独绣1天,接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣，试问：再合绣多少天可以完成这件作品？
四.运用新知
1.一项工程甲单独做20天可以完成,乙单独做 30天可以完成.现在两个人合作,但是乙中途因事离开几天,从开工后14天把这项工作做完,则乙中途离开了( )
A.10天 B.9天 C.7天 D.5天
2.甲乙两人跑步，从同一地点出发，沿直线同向而行，甲的速度为10km/h，乙的速度为8km/h，乙先出发小时，问甲出发 小时，两人相距2km．
3.一辆卡车从A地出发匀速开往B地，速度为40千米/时，卡车出发两小时后，一辆出租车从B地出发匀速开往A地，卡车出发6小时，两车同时到达各自的目的地（到达目的地后两车都停止行驶）．
解答下列问题：
（1）出租车的速度为 千米/时；
（2）用含x（行驶的时间）的代数式表示两车行驶的路程之和；
（3）当两车相距180千米时，求卡车行驶的时间．
五.达标测试
1．一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需多少天？若设完成这项工程共需x天，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
2．一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以40km/h的速度前进，突然，6号队员以50km/h的速度独自行进，行进20km后掉转车头，仍以50km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合，设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了x h，则x的值是（ ）
A． B． C． D．
3．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，良马数日追及之”．其大意是：跑得快的马每天走240里，跑的慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马
天可以追上慢马．
4．甲、乙两列火车从相距60千米的两站同时出发，同向而行，甲车在后，每小时行驶70千米，乙车在前，每小时行驶50千米，则经过 小时后两车相距20千米．
5．制造一批零件，按计划18天可以完成它的．如果工作4天后，工作效率提高了，那么完成这批零件的一半，一共需要 天．
6．某市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要10天完成；若乙队单独做需要15天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？
参考答案
1.D 2.D 3.20 4.2或4 5.
6.解：设甲乙两队同时施工4天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务，
根据题意得：1，
解得：x＝5．
答：乙队还需要5天能够完成任务．
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情境导入
情境导入
亲爱的同学们，你们读过名著《西游记》吗？关于孙悟空的故事你一定知道很多吧．有这样一首描述孙悟空捉妖的诗：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，风速多少才算准．请你帮孙悟空算算当时的风速每分钟是多少里？本节课我们将来完成解答这个问题.
壹
新知初探
新知初探
探究一 行程问题
为进一步感悟雷锋胸怀祖国，服务人民的爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆，已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠每小时骑10km，他在上午10时到达，小华每小时骑15km，他在上午9时30分到达，他俩的家到雷锋纯念馆的路程是多少？
贰
问题1 这个问题中涉及哪些量？它们有什么数量关系？
答：行程问题中的量：路程、速度、时间，它们的数量关系：路程=速度×时间.
问题2 本题的等量关系是什么？
答：本题中的等量关系：
小斌用的时间－小强用的时间＝他们到达的时间差.
一份工作,甲单独做需要m天完成,乙单独做需要 n天完成.
求甲乙合作完成这份工作需要多少天
问题1 若把工作总量设为1,则甲、乙的工作效率(一天完成的工作量)分别是多少？
答：甲的工作效率是 ,乙的工作效率是 ;
探究二 工程问题
问题2 若甲、乙合作x天，则甲、乙的工作量各是多少？甲乙合作的工作量是多少？
答：甲做x天完成的工作量是 ,乙做x天完成的工作量是 ,甲、乙合作x天完成的工作量是 .
问题3 题目中的等量关系是什么？
答：等量关系是:甲工作总量+乙工作总量=总工作量1.
解决工程问题的基本思路：
1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和.
(1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和；
(2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.
3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
小结
例1 甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分．
(1)两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？
(2)两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？
探究三:例题讲解
例2、刺绣是我国民间传统手工艺之一.我国刺锈主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类.若刺绣一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙单独绣需要12天才能完成，现在甲先单独绣1天,接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣，试问：再合绣多少天可以完成这件作品？
解：设甲加工x天，两人如期完成任务，则在甲加入之前，乙先工作了(8-x)天.
依题意，得
解得x=4,则8-x=4.
答：乙需加工4天后,甲加入合作加工才可正好按期完成任务.
当堂达标
当堂达标
1．一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需多少天？若设完成这项工程共需x天，依题意可列方程（ ）
C
D
叁
2．一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以40km/h的速度前进，突然，6号队员以50km/h的速度独自行进，行进20km后掉转车头，仍以50km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合，设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了x h，则x的值是（ ）
D
3．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，良马数日追及之”．其大意是：跑得快的马每天走240里，跑的慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马 天可以追上慢马．
20
4．甲、乙两列火车从相距60千米的两站同时出发，同向而行，甲车在后，每小时行驶70千米，乙车在前，每小时行驶50千米，则经过 小时后两车相距20千米．
5．制造一批零件，按计划18天可以完成它的．如果工作4天后，工作效率提高了，那么完成这批零件的一半，一共需要 天．
2或4
6．某市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要10天完成；若乙队单独做需要15天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？
课堂小结
课堂小结
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
实际问题
设未知数，列方程
一元一次方程
实际问题的答案
解方程
一元一次方程的解
(x=a)
检验
肆
课后作业
基础题：1.课后练习 第1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第4题
