4.3.2 角的度量与计算
第2课时 余角和补角
一.学习目标
1.在具体情境中认识余角和补角,会利用互余、互补关系求出角的度数.
2.探索并掌握余角和补角的性质.
3.通过互余与互补关系的应用,进一步提高学生的抽象概括能力和逻辑推理能力.
二.自主预习
1．已知∠1与∠2互余，若∠1＝25°，则∠2＝（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
2．在△ABC中，∠A和∠B互余，那么∠C＝ °．
3．若∠α＝36°，则∠α的补角为 度．
4.图中给出的各角,哪些互为余角
【自主归纳】
(1)如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为______ (简称为两个角______ ).
如图，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.
(2)如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为______ (简称为两个角______).
如图，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补.
三.探究新知
探究一：余角和补角的概念
1.如图所示,将一张长方形纸片,沿一个角折叠后,折痕与长方形的边形成了4个角.
问题1 ∠1与∠2有什么数量关系
问题2 ∠3与∠4有什么数量关系
小结：
(1)如果两个角的和等于一个直角(90°),那么就说这两个角互为
(简称 )，也说其中一个角是另一个角的余角.
(2)如果两个角的和等于一个平角(180°),那么就说这两个角互为
(简 )，也说其中一个角是另一个角的补角.
【练习】
(1)图中给出的各角,哪些互为余角
(2)图中给出的各角，哪些互为补角
探究二 ：余角和补角的性质
问题1 ∠1与∠2互补,∠1与∠3互补,那么∠2与∠3的大小有什么关系 请说明理由.
问题2 ∠4与∠5互余,∠4与∠6互余,那么∠5与∠6的大小有什么关系 请说明理由.
小结：
同角(等角)的补角相等.
类似地,可以得到同角(等角)的余角相等.
探究三 ：例题讲解
例1.如图所示,点A,O,B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和
∠BOC,图中哪些角互为余角
例2 如图，∠AOB与∠BOD互为余角，OC是 ∠BOD的平分线，∠AOB=29.66°，求∠COD的度数.
例3.若一个角的补角等于它的余角的4倍,求这个角的度数.
四.运用新知
1.判断:
①∠1+∠2=90°,则∠1是余角.( )
②∠1+∠2+∠3=90°,则∠1,∠2,∠3互为余角.( )
③如果一个角有补角,那么这个角一定是钝角.( )
④钝角没有余角,但一定有补角.( )
2.①70°的余角是 ,补角是 .
②∠α(∠α<90°)的它的余角是 ,它的补角是 .
3..一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度
4.如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°.
(1)求出∠AOB及其补角的度数；
(2)请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
五.达标测试
1.若∠A=23°,则∠A的余角的大小是(B)
A.57° B.67° C.77° D.157°
2.下列说法错误的是(D)
A.两个互余的角都是锐角
B.锐角的补角大于这个角本身
C.互为补角的两个角不可能都是锐角
D.锐角大于它的余角
3.如图，∠1和∠2都是∠α的余角，则下列关系不一定正确的是( D )
A．∠1＋∠α＝90° B．∠2＋∠α＝90°
C．∠1＝∠2 D．∠1＋∠2＝90°
4.已知一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数为 .
5.如图所示,已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1)图中有哪几对互余的角
(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)
6.如图点O是直线AB上一点,∠BOC=∠DOE=90°，请说明：
（1）∠1=∠2；
（2）∠COF=∠AOE.
参考答案
1.B 2.D 3.D 4.45°
5.解:(1)∠A+∠B=90°,∠A+∠2=90°,
∠1+∠B=90°,∠1+∠2=90°.
所以互余的角为∠A和∠B,∠A和∠2,∠1和∠B,∠1和∠2.
(2)∠B=∠2(同角的余角相等),
∠A=∠1(同角的余角相等).
6.解：（1）因为∠BOC=∠DOE=90°
所以∠COE+∠1=90°,∠COE+∠2=90°,
所以∠1=∠2.
（2）因为∠1+∠COF=180°,∠2+∠AOE=180°,∠1=∠2，
所以∠COF=∠AOE.
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情境导入
情境导入
如图坝底是由石块堆积而成，要测出∠1的度数，聪明的你有什么简单的方法吗？
壹
情境导入
要解决这问题，我们先来学习余角和补角.
壹
如图（2）∠1和∠2是直角吗？它们之间有什么关系？如图（3）∠1与∠2有什么关系？
新知初探
新知初探
探究一 余角和补角的概念
将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
1
2
3
4
问题
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
∠1+∠2 = 90°
2. ∠3与∠4有什么数量关系？
∠3+∠4 = 180°
贰
问题
1
2
如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ).
如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，
或 ∠2 是∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互余.
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ).
如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.
4
3
练习
1.图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
66o
75o
46.2o
43.8o
2.图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
探究2 余角和补角的性质
∠1 与∠2互补，∠1 与∠3都互为补角，
∠2 与∠3 的大小有什么关系？
问题1
1
2
3
∠2=180°－∠1
∠3=180°－∠1
=
你能将这个结论用数学语言进行叙述吗？
同角 (等角) 的补角相等.
结论：
你能说明为什么“同角 (等角) 的余角相等”吗？
理由：因为∠1与∠2,∠1与∠3都互为补角，
所以∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,
所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1，
所以∠2=∠3.
问题2 ∠4与∠5互余,∠4与∠6互余,那么∠5与∠6的大小有什么关系 请说明理由.
同角 (等角) 的余角相等.
类似地，可以得到：
解:∠5=∠6.
因为∠4与∠5互余,∠4与∠6互余，
所以∠4+∠5=90°,∠4+∠5=90°,
所以∠5=90°-∠1，∠6=90°-∠1，
所以∠5=∠6.
例1.如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为点A，O，B在同一直线
上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角.
O
A
B
C
D
E
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC
= (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
探究三 例题讲解
O
A
B
C
D
E
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
例2 如图，∠AOB与∠BOD互为余角，OC是 ∠BOD的平分线，∠AOB=29.66°，求∠COD的度数.
解：因为∠AOB与∠BOD互为余角，
所以∠BOD＝90°－∠AOB＝90°－29.66°＝60.34°.
因为OC是 ∠BOD的平分线，
所以∠COD＝∠BOD ＝×60.34°＝30.17°，
因此，求∠COD的度数为30.17°.
例3.若一个角的补角等于它的余角的4倍,求这个角的度数.
解:设这个角为x°,则它的补角是(180-x)°,余角是(90-x)°.
根据题意,得180-x=4(90-x).
解得x=60.
答:这个角的度数是60°.
当堂达标
当堂达标
1.若∠A=23°,则∠A的余角的大小是( )
A.57° B.67° C.77° D.157°
2.下列说法错误的是( )
A.两个互余的角都是锐角
B.锐角的补角大于这个角本身
C.互为补角的两个角不可能都是锐角
D.锐角大于它的余角
B
D
叁
3． 如图，∠1和∠2都是∠α的余角，则下列关系不一定正确的是( )
A．∠1＋∠α＝90° B．∠2＋∠α＝90°
C．∠1＝∠2 D．∠1＋∠2＝90°
D
4.已知一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数为 .
45°
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1) 图中有哪几对互余的角？
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
答案：∠A+∠B=90°
∠A+∠2=90°
∠1+∠B=90°
∠1+∠2=90°
答案：∠B=∠2
∠A=∠1
( 同角的余角相等 )
( 同角的余角相等 )
A
C
D
1
2
B
6.如图点O是直线AB上一点,∠BOC=∠DOE=90°，请说明：
（1）∠1=∠2；
（2）∠COF=∠AOE.
解：（1）因为∠BOC=∠DOE=90°
所以∠COE+∠1=90°,∠COE+∠2=90°,
所以∠1=∠2.
（2）因为∠1+∠COF=180°,∠2+∠AOE=180°,∠1=∠2，
所以∠COF=∠AOE.
课堂小结
课堂小结
1.角的关系
(1)互为余角；
(2)互为补角.
2.角的性质：
(1)同角(等角)的余角相等；
(2)同角(等角)的补角相等.
肆
课后作业
基础题：1.课后练习第1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第10题
