4.2 线段、射线、直线
第2课时 线段的长短比较和线段的基本事实
一.学习目标
1.掌握用测量法与叠合法来比较线段的长短.
2.借助具体情境,了解“两点之间,线段最短”的性质.
3、会用直尺和圆规作一条线段，使它等于已知线段.
4、理解线段的和、差以及线段中点的意义，能用直尺和圆规作出线段的和、差，并能用符号语言表示出来，感受符号语言在描述图形中的重要作用.
二.自主预习
1．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
2．用圆规比较两条线段A′B′和AB的长短（如图），下列结论正确的是（ ）
A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．不确定
3．如果点C是线段AB的中点，且AC＝2.5cm，则AB＝ cm．
4.为了节省航行时间，把弯曲的河道改直，这里体现的数学道理是 ．
【自主归纳】
1.线段基本事实： .
2.尺规作图：仅用 和 的直尺作图的方法.
3.线段的中点：如图所示,点B把线段AC分成 的两条线段AB与BC,点B叫做线段AC的中点.其中AC= 2 = 2 .
三.探究新知
探究一：线段长短的比较
问题1 做手工时,在没有刻度尺的条件下,如何从较长的木棒上截下一段,使截下的木棒等于另一根短木棒的长
思考:画在黑板上的线段是无法移动的,在只有圆规和无刻度的直尺的情况下,请大家想想办法,如何再画一条与它相等的线段
问题2:你们平时是如何比较两个同学的身高的 你能从比身高的方法中得到启
问题3 比较线段AB,CD的长短.
探究二 ：线段的基本事实
问题1 杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道.大桥北起嘉兴市，跨越宽阔的杭州湾海域后止于宁波市，全长36 km.大桥建成后宁波至上海间的陆路距离缩短了约120 km.你知道这是根据什么原理吗？
问题2 如图所示,从A地到B地有四条道路,除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路 如果能,请你联系以前所学的知识,在图上画出最短路线.
小结：
(1)经过比较,我们可以得到一个关于线段的基本事实:
两点之间的所有连线中,线段最短.简单说成:两点之间,线段最短;
(2)连接两点的线段的长度,叫作两点间的距离.
探究三 ：线段的和、差、倍、分
问题1：作一条线段等于已知线段.
已知:线段a,作一条线段AB,使AB=a.
问题2 如图，已知线段a，借助圆规和直尺作一条线段使它等于2a.
问题3 在直线上画出线段AB=a,再在AB的延长线上画线段BC=b,线段AC就是
与 的和,记作AC= .如果在AB上画线段BD=b,那么线段AD就是 与
的差,记作AD= .
问题4 如图所示：点B,C在线段AD上,完成填空.
则AB+BC= ；AD-CD= ；BC= - = - .
问题5 在一张纸上画一条线段,折叠纸片,使线段的端点重合,折痕与线段的交点位于线段的什么位置
小结:
如图(1)所示,点B把线段AC分成相等的两条线段AB与BC,点B叫做线段AC的中点.类似地,还有线段的三等分点(如图(2)所示)、四等分点(如图(3)所示)等.
图(1)
线段的三等分点
图(2)
线段的四等分点
图(3)
几何语言:因为点B是线段AC的中点,
所以AB=CB=AC(或AC=2AB=2CB).
反之也成立:因为AB=CB=AC(或AC=2AB=2CB),
所以点B是线段AC的中点.
探究四 ：例题讲解
1.在一条笔直的公路l两侧，分别有A，B两个村庄，如图，现在要在公路上建一个汽车站C，使汽车站到两村的距离和最小，请在图中画出汽车站C的位置，并说明理由.
2.若AB=6cm,点C是线段AB的中点,点D是线段CB的中点,求线段AD的长.
3.如图所示,B,C是线段AD上两点,且AB∶BC∶CD=3∶2∶5,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=24,求线段AB,BC,CD的长.
四．运用新知
1．A，B，C，D四个村庄之间的道路如图，从A去D有四条路线：①A→B→C→D，②A→B→D，③A→C→D，④A→E→D，这四条路线中路程最短的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．下列四个生活现象中，可用“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）
A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B．植树时只要沿着公路走，就能确定同一行树所在的直线
C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程
D．利用圆规可以比较两条线段的大小关系
3.下列四种说法:①因为AM=MB,所以M是AB中点;②在线段AM的延长线上取一点B,如果AB=2AM,那么M是AB的中点;③因为M是AB的中点,所以AM=MB=AB;④因为A,M,B在同一条直线上,且AM=BM,所以M是AB的中点.其中正确的是( )
A.①③④ B.④ C.②③④ D.③④
4.已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，且BC＝6cm，AC的长为 ．
5.如图所示，点C在线段AB上，AB＝15，AC＝6，点M、N分别是AB、BC
的中点．
（1）求CN的长度；
（2）求MN的长度．
五．达标检测
1.如图所示,小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小,能正确解释这一现象的数学知识是( )
A.两点之间,线段最短
B.两点确定一条直线
C.过一点,有无数条直线
D.连接两点之间的线段叫做两点间的距离
2.点C在线段AB上,下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是( )
A.AC=BC B.AC+BC=AB C.AB=2AC D.BC=AB
3.如图所示,点C在线段AB上,AB=10cm,AC=4cm,点D是BC的中点,则BD等于( )
A.2cm B.3cm C.5cm D.6cm
4.已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段BC的中点,则AM的长是 cm.
5.如图所示,AB=4cm,BC=3cm,如果点O是线段AC的中点.求线段OB的长度.
参考答案：
1.A 2.B 3.B 4.8或12
5.解:因为AC=AB+BC=4+3=7(cm),
点O为线段AC的中点,
所以OC=AC=×7=3.5(cm).
所以OB=OC-BC=3.5-3=0.5(cm).
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情境导入
情境导入
比较两名同学的身高，可以有几种比较方法？向大家说说你的想法．
壹
新知初探
探究一 线段长短的比较
做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的长，我们常采用以上办法.
新知初探
贰
画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，请大家想想办法，如何再画一条与它相等的线段？
思考：
小提示：在可打开角度的最大范围内，圆规可截取任意长度，相当于可以移动的“小木棍”.
你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？
问题2
比较两个同学高矮的方法：
——叠合法.
②让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看
两人的头顶，直接比出高矮.
①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的
数值进行比较.
——度量法.
问题3 黑板上有两条线段，你能判断一下它们的长短吗？你用的什么方法？
a
度量法：即用刻度尺分别量出它们的长度，然后比较它们的长度的大小.
a
b
A B
C D
（A）
B
b
叠合法
记作 AB＜CD
线段AB小于线段CD
C
D
1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落
在C，D之间，那么 AB CD.
(A)
B
＜
叠合法结论：
C
D
A
B
B
(A)
2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与
点 D ，那么 AB = CD.
3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落
在 CD 的延长线上，那么 AB
CD.
重合
＞
B
A
B
A
C
D
(A)
(B)
1
2
两条线段要放在同一条直线上.
一个端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧.
用叠合法比较线段的长短时，有什么需要注意的吗？
思考
探究二 线段的基本事实
议一议
如图，从A地到B地有四条道路.
思考1 除它们之外能否再修一条从A地到B地的最短道路？
探究二 线段的基本事实
问题1
杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道.大桥北起嘉兴市，跨越宽阔的杭州湾海域后止于宁波市，全长36 km.大桥建成后宁波至上海间的陆路距离缩短了约120 km.你知道这是根据什么原理吗？
答：连接两点之间的线段长度比折线长度短.
经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：
两点的所有连线中，线段最短.
连接两点的线段的长度，叫做
两点间的距离.
你能举出这条性质在生活中的应用吗？
简单说成：两点之间，线段最短.
问题2 如果能，在图上画出最短路线.
①
②
③
④
⑤
已知：线段 a，作一条线段 AB，使 AB=a.
第一步：用直尺画射线 AF；
第二步：用圆规在射线 AF 上截取
AB = a.
所以 线段 AB 为所求.
a
A F
a
B
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
探究三 ：线段的和、差、倍、分
A B C
问题3 （1）如图，已知线段 a 和 b，且 a＞b.
a
b
AB=a，BC=b，则线段AC就是a与b的 .
记作 .
和
AC=a+b
（2）如图，已知线段 a 和 b，且 a＞b.
a
b
AB=a，BD=b，则线段AD就是a与b的 .
记作 .
A B
差
AD=a-b
D
问题 如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的和、a与b的差呢？
b
a
B
C
a
b
A
P
B
C
a
b
A
P
AC=a＋b
CB=a－b
如图，点B，C在线段 AD 上则AB+BC=____； AD－CD=___；BC＝ ___ －___= ___ － ___.
A
B
C
D
AC
AC
AC
AB
BD
CD
问题4
在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？
A
B
M
问题5
解:位于线段的中点.
A
B
M
如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. 类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.
线段的三等分点
线段的四等分点
A
a
a
M
B
M 是线段 AB 的中点
几何语言：因为 M 是线段 AB 的中点
所以 AM = MB = AB
( 或 AB = 2 AM = 2 MB )
反之也成立：因为AM = MB = AB
( 或 AB = 2 AM = 2 AB )
所以M 是线段 AB 的中点
点 M , N 是线段 AB 的三等分点：
AM = MN = NB = ___ AB
(或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB)
3
3
3
N
M
B
A
1.在一条笔直的公路l两侧，分别有A，B两个村庄，如图，现在要在公路上建一个汽车站C，使汽车站到两村的距离和最小，请在图中画出汽车站C的位置，并说明理由.
如图，连接AB，交直线l于点C，点C 就是建汽车站的位置.
理由：两点之间线段最短.
探究四 例题讲解
2.若 AB = 6cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D是线段 CB 的中点，求：线段 AD 的长是多少
解：因为 C 是线段 AB 的中点，
因为 D 是线段 CB 的中点，
所以 AC = CB = AB = ×6= 3 (cm).
所以 CD = CB = ×3=1.5 (cm).
所以 AD =AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm).
A C B
D
3.如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB、BC、CD的长．
F
E
C
B
D
A
解析：根据已知条件AB：BC：CD=3：2：5，不妨设AB=3x,BC =2x,CD=5x,然后运用线段的和差倍分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长.
F
E
C
B
D
A
解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x，
因为E、F分别是AB、CD的中点，
所以
所以EF=BE+BC+CF=
因为EF=24，所以6x=24,解得x=4.
所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.
【方法归纳】求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解．
当堂达标
当堂达标
1．如图，小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线
D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离
A
叁
2．点C在线段AB上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是( )
A．AC＝BC B．AC＋BC＝ AB
C．AB＝2AC D．BC＝AB
3．如图，点C在线段AB上，AB＝10 cm，AC＝4 cm，点D是BC的中点，则BD＝( )
A．2 cm B．3 cm C．5 cm D．6 cm
B
B
4．已知线段AB＝10 cm，直线AB上有一点C，且BC＝4 cm，M是线段BC的中点，则AM的长是 cm．
5．如图：AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果点O 是线段 AC 的中点．求线段 OB 的长度．
8或12
解：因为 AC=AB+BC=4+3=7(cm)，
点O 为线段AC的中点，
所以 OC= AC= ×7=3.5(cm)，
所以 OB=OC－BC=3.5－3= 0.5 (cm)．
课堂小结
课堂小结
1.线段的比较与性质
(1)比较线段:度量法和叠合法;
(2)两点之间,线段最短.
2.线段长度的计算
(1)中点:把线段AB分成两条相等线段的点;
(2)两点间的距离:连接两点间的线段的长度.
肆
课后作业
基础题：1.课后练习 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第5题
