广东省佛山市南海区2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一上·南海开学考）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·南海开学考）如图，已知矩形中，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·南海开学考）化简，结果是（ ）
A．6x―6 B．―6x+6 C．―4 D．4
4．（2024高一上·南海开学考）已知，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024高一上·南海开学考）因式分解（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·南海开学考）若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·南海开学考）在中，，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
8．（2024高一上·南海开学考）一种产品今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该产品销售额平均每月的增长率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·南海开学考）开口方向向上的二次函数的图象与轴相交于两点，则以下结论：①；②对称轴为；③；④.其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2024高一上·南海开学考）如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
11．（2024高一上·南海开学考）已知，则 ．
12．（2024高一上·南海开学考）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是 ．
13．（2024高一上·南海开学考）方程的两根为，且，则 .
14．（2024高一上·南海开学考）不等式：的解为 ．
15．（2024高一上·南海开学考）在平面直角坐标系中，圆的圆心为点，半径为2，圆的圆心为点，半径为.若圆和圆有三条公切线，则半径的值为 .
16．（2024高一上·南海开学考）已知，则 .
17．（2024高一上·南海开学考）把抛物线向左平移 个单位，得到抛物线的解析式为.
18．（2024高一上·南海开学考）已知正整数n满足：则n＝
19．（2024高一上·南海开学考）因式分解： .
20．（2024高一上·南海开学考）已知实数x，y满足方程组，则 ．
三、解答题：本题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
21．（2024高一上·南海开学考）已知关于的一元二次方程有实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为，且，求的值.
22．（2024高一上·南海开学考）已知函数，当时，；当时，.
（1）求这个函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象，观察函数图象，写出该函数的一条性质；
（3）若关于的方程有4个不同实数根，请直接写出的取值范围.
23．（2024高一上·南海开学考）如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分，交于点.
（1）证明：平分；
（2）证明：.
24．（2024高一上·南海开学考）一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号表示，，第个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号表示.定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个数列，满足①②③：①都是正整数；②；③.
（1）写出最小的“漂亮数”；
（2）当时，求出所有的“漂亮数”.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：对于A：因为原式，所以选项A错误；
对于B：因为原式，所以选项B错误；
对于C：因为原式，所以选项C错误；
对于D：显然，则原式，所以选项D正确.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和指数幂的运算法则，从而化简找出正确的式子.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：在矩形中，可得，
所以，
因为，且，
所以，
可得，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意结合两三角形相似的判断方法，从而证出，再利用两三角形相似的性质，从而得到，进而得出的值.
3．【答案】D
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴
.
故答案为：D.
【分析】由根式的性质可得的取值范围，再由根式的化简得出答案.
4．【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
则，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】利用指数幂的运算，将已知等式进行变形，再根据等式的性质得出，从而求出的值．
5．【答案】B
【知识点】大数分解
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】将已知式分成两组，分别提取公因式，再提取新的公因式，从而对进行因式分解.
6．【答案】D
【知识点】大数分解
【解析】【解答】解：，，
.
故答案为：D.
【分析】依题意，可得，再代入已知条件计算得出的值.
7．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：根据三角形内角和为，可知，
则，
根据正弦定理，可知，
在中，，
可得.
故答案为：C.
【分析】根据题意结合三角形内角和定理，从而可得的值，再根据两角和的正弦公式可得的值，再结合正弦定理得出的长.
8．【答案】A
【知识点】幂函数模型
【解析】【解答】解：设销售额平均每月的增长率为，
根据题意，可得：，
解得：.
故答案为：A.
【分析】设每月增长率为，根据题意可得3月份的销售额为，再根据等量关系列式得出x的值，从而得出从1月份到3月份，该产品销售额平均每月的增长率.
9．【答案】C
【知识点】函数的图象；图形的对称性
【解析】【解答】解：由题意，可知，
所以，
则，，，，即①③正确.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和二次函数的图象与性质，从而逐项判断找出正确的序号，进而找出正确的个数.
10．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图1，过⊙F圆心F作于E，于G，
则四边形为正方形，
设小圆半径为r，扇形半径为R，
则，小圆周长为，扇形弧长为，
∵剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，
，
解得，即，
，
∵正方形铁皮边长为，
，
，
∴，
在图2中，，
由勾股定理，得圆锥的高为.
故答案为：B.
【分析】根据扇形的弧长和圆锥底面周长的关系，从而可得小圆半径和扇形半径之间的关系式，再结合正方形的对角线长结合勾股定理求出圆锥的高.
11．【答案】2或1
【知识点】一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：将左右两边同时除以，
可得，
则，
所以或.
故答案为：2或1.
【分析】将已知条件左右两边同时除以，从而可得，进而解方程得出的值.
12．【答案】
【知识点】圆內接多边形的性质与判定
【解析】【解答】解：，
，
四边形为的内接四边形，
，
.
故答案为：．
【分析】根据已知条件和圆周角与圆心角的关系，从而求出的值，再利用圆内接四边形性质，从而得出互补，进而求出的度数．
13．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程的两根为，
∴，
由题意得：；，
∵，
∴，
则，
所以.
故答案为：-3.
【分析】根据已知条件和根与系数的关系，从而得出实数m的值.
14．【答案】或
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，
得或，
解得或，
所以，不等式的解为或.
故答案为：或.
【分析】根据题意结合分式不等式求解方法，从而得出不等式的解集.
15．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：因为圆和圆有三条公切线，
所以两圆外切，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】根据圆和圆有三条公切线，即两圆外切，再利用两圆外切判断方法，从而得出实数r的值.
16．【答案】
【知识点】方程的解集
【解析】【解答】解：由，
配方得，，
因为，，
则必须满足，此时，.
故答案为：.
【分析】将已知等式按照分别配方，再利用等式性质求出的值，从而得出的值.
17．【答案】
【知识点】反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】解：因为，
与相比较，
可得向左平移 个单位满足题意.
故答案为：.
【分析】利用结合题意和图象平移变换，从而得出向左平移的单位.
18．【答案】6
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：依题意，
则
，
解得.
故答案为：6.
【分析】利用已知条件和裂项相消法以及n的取值范围，从而得出n的值.
19．【答案】
【知识点】大数分解
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据提公因式，从而将因式分解.
20．【答案】13
【知识点】方程组的解集
【解析】【解答】解：，
把代入，可得，
，
．
故答案为：13.
【分析】根据立方和公式、完全平方和公式，从而得出的值．
21．【答案】（1）解：根据题意，，
则，
解得，
所以，实数的取值范围是.
（2）解：由题意，可得，，，
则，
化简得，，
解得或m=3（舍去），
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）依题意结合判别式法，从而得出实数m的取值范围.
（2）由已知条件和根与系数的关系以及配方法，从而得出实数m的值.
（1）根据题意，，即，解得，
所以的取值范围是.
（2）由题，，，，
，
化简得，，解得或3（舍去），
.
22．【答案】（1）解：由题意，可得，
解得，，
.
（2）解：因为，
如图所示：
由图可知，当时，随着的增大而增大（答案不唯一）.
（3）解：因为方程有4个不同实数根，
所以函数与函数有4个不同的交点，
由图象得.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）当，则；当，则，从而得出方程组，再解方程组得出b，c的值，进而得出这个函数的解析式.
（2）根据绝对值的定义，将函数转化为分段函数，再利用分段函数解析式画出分段函数的图象，最后观察图象得出函数的一条性质.
（3）利用方程的根与两函数交点横坐标的等价关系，从而将问题等价于函数与的图象有4个交点，再结合两函数的图象得出实数t的取值范围.
（1）由题意可得，解得，，
.
（2），
当时，随着的增大而增大（答案不唯一）.
（3）方程有4个不同实数根，
即函数与函数有4个不同的交点，
由图象得.
23．【答案】（1）证明：由与过点的切线垂直，垂足为点，
知：，且，
则，
因为为等腰三角形，
所以，
所以，
则平分.
（2）证明：连接，由弦平分，
则，
所以，
根据已知条件和圆的性质，知，
因为为等腰三角形，
所以，
结合（1）知，
所以，
则.
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用直线与圆的位置关系判断方法，先得出，再利用平行线的性质和等腰三角形的性质，从而证出平分.
（2）连接，利用等弧对等角得出，再根据等腰三角形的性质和对顶角的定义，从而证出，进而证出成立.
（1）由与过点的切线垂直，垂足为点知：，且，则，
又为等腰三角形，则，
所以，即平分；
（2）连接，由弦平分，则，
所以，根据已知及圆的性质知，
又为等腰三角形，则，
结合（1）知，
所以，则.
24．【答案】（1）解：若是“漂亮数”，
设，
满足，
则，
所以，
则，
所以，
则，
所以，
则，此时，假设，
则，
因为，
所以的全部可能取值为：
经验证，上述的取值都不等于1，不符合题意，
所以，
又因为，
所以6为“漂亮数”，
所以，最小的“漂亮数”是6.
（2）解：若，
设，满足，
则，
所以，
则，
因为
所以，
则，
所以，
所以，
则，
又因为，所以，
又因为，
所以，
则，
若，则，
所以，
假设，
则，矛盾，
所以，
所以，
则.
所以，
则，
得，
又因为，所以，
又因为，矛盾，
所以，或，
当时，则，得，
则，
得，
所以，
由，得，
分别代入，使得为正整数的，
则，对应的分别为；
当时，则，得，
则，
得，
则，
由，得，
分别代入，使得为正整数的，
则，对应的分别为，
综上所述，满足条件的全部为.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）直接根据“漂亮数”的定义和已知条件，从而写出最小的“漂亮数”.
（2）先证出或，再利用分类讨论的思想可得和，再根据“漂亮数”的定义求出的值，从而得出当时的所有的“漂亮数”的值.
（1）若是“漂亮数”，
设，满足，
则，所以，即，
故，得，则，所以，
此时，假设，则，又，
所以的全部可能取值为，
经验证，上述的取值都不等于1，不符合题意.
所以，又，故6为“漂亮数”，
所以最小的“漂亮数”是6；
（2）若，设，满足，
则，所以，即，
而，
所以，即，故，
得，即，
又，所以，
而，故，即.
若，则，所以.
假设，则，矛盾.
故，所以，得.
故，则，得，又，所以.
又，矛盾，
故或.
当时，有，得，
则，得，即.
由，得，分别代入，
使得为正整数的有，对应的分别为.
当时，有，得，
则，得，即.
由，得，分别代入，
使得为正整数的有，对应的分别为.
综上，满足条件的全部为.
1 / 1广东省佛山市南海区2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一上·南海开学考）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：对于A：因为原式，所以选项A错误；
对于B：因为原式，所以选项B错误；
对于C：因为原式，所以选项C错误；
对于D：显然，则原式，所以选项D正确.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和指数幂的运算法则，从而化简找出正确的式子.
2．（2024高一上·南海开学考）如图，已知矩形中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：在矩形中，可得，
所以，
因为，且，
所以，
可得，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意结合两三角形相似的判断方法，从而证出，再利用两三角形相似的性质，从而得到，进而得出的值.
3．（2024高一上·南海开学考）化简，结果是（ ）
A．6x―6 B．―6x+6 C．―4 D．4
【答案】D
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴
.
故答案为：D.
【分析】由根式的性质可得的取值范围，再由根式的化简得出答案.
4．（2024高一上·南海开学考）已知，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
则，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】利用指数幂的运算，将已知等式进行变形，再根据等式的性质得出，从而求出的值．
5．（2024高一上·南海开学考）因式分解（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】大数分解
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】将已知式分成两组，分别提取公因式，再提取新的公因式，从而对进行因式分解.
6．（2024高一上·南海开学考）若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】大数分解
【解析】【解答】解：，，
.
故答案为：D.
【分析】依题意，可得，再代入已知条件计算得出的值.
7．（2024高一上·南海开学考）在中，，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：根据三角形内角和为，可知，
则，
根据正弦定理，可知，
在中，，
可得.
故答案为：C.
【分析】根据题意结合三角形内角和定理，从而可得的值，再根据两角和的正弦公式可得的值，再结合正弦定理得出的长.
8．（2024高一上·南海开学考）一种产品今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该产品销售额平均每月的增长率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】幂函数模型
【解析】【解答】解：设销售额平均每月的增长率为，
根据题意，可得：，
解得：.
故答案为：A.
【分析】设每月增长率为，根据题意可得3月份的销售额为，再根据等量关系列式得出x的值，从而得出从1月份到3月份，该产品销售额平均每月的增长率.
9．（2024高一上·南海开学考）开口方向向上的二次函数的图象与轴相交于两点，则以下结论：①；②对称轴为；③；④.其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】函数的图象；图形的对称性
【解析】【解答】解：由题意，可知，
所以，
则，，，，即①③正确.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和二次函数的图象与性质，从而逐项判断找出正确的序号，进而找出正确的个数.
10．（2024高一上·南海开学考）如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图1，过⊙F圆心F作于E，于G，
则四边形为正方形，
设小圆半径为r，扇形半径为R，
则，小圆周长为，扇形弧长为，
∵剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，
，
解得，即，
，
∵正方形铁皮边长为，
，
，
∴，
在图2中，，
由勾股定理，得圆锥的高为.
故答案为：B.
【分析】根据扇形的弧长和圆锥底面周长的关系，从而可得小圆半径和扇形半径之间的关系式，再结合正方形的对角线长结合勾股定理求出圆锥的高.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
11．（2024高一上·南海开学考）已知，则 ．
【答案】2或1
【知识点】一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：将左右两边同时除以，
可得，
则，
所以或.
故答案为：2或1.
【分析】将已知条件左右两边同时除以，从而可得，进而解方程得出的值.
12．（2024高一上·南海开学考）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】圆內接多边形的性质与判定
【解析】【解答】解：，
，
四边形为的内接四边形，
，
.
故答案为：．
【分析】根据已知条件和圆周角与圆心角的关系，从而求出的值，再利用圆内接四边形性质，从而得出互补，进而求出的度数．
13．（2024高一上·南海开学考）方程的两根为，且，则 .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程的两根为，
∴，
由题意得：；，
∵，
∴，
则，
所以.
故答案为：-3.
【分析】根据已知条件和根与系数的关系，从而得出实数m的值.
14．（2024高一上·南海开学考）不等式：的解为 ．
【答案】或
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，
得或，
解得或，
所以，不等式的解为或.
故答案为：或.
【分析】根据题意结合分式不等式求解方法，从而得出不等式的解集.
15．（2024高一上·南海开学考）在平面直角坐标系中，圆的圆心为点，半径为2，圆的圆心为点，半径为.若圆和圆有三条公切线，则半径的值为 .
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：因为圆和圆有三条公切线，
所以两圆外切，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】根据圆和圆有三条公切线，即两圆外切，再利用两圆外切判断方法，从而得出实数r的值.
16．（2024高一上·南海开学考）已知，则 .
【答案】
【知识点】方程的解集
【解析】【解答】解：由，
配方得，，
因为，，
则必须满足，此时，.
故答案为：.
【分析】将已知等式按照分别配方，再利用等式性质求出的值，从而得出的值.
17．（2024高一上·南海开学考）把抛物线向左平移 个单位，得到抛物线的解析式为.
【答案】
【知识点】反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】解：因为，
与相比较，
可得向左平移 个单位满足题意.
故答案为：.
【分析】利用结合题意和图象平移变换，从而得出向左平移的单位.
18．（2024高一上·南海开学考）已知正整数n满足：则n＝
【答案】6
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：依题意，
则
，
解得.
故答案为：6.
【分析】利用已知条件和裂项相消法以及n的取值范围，从而得出n的值.
19．（2024高一上·南海开学考）因式分解： .
【答案】
【知识点】大数分解
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据提公因式，从而将因式分解.
20．（2024高一上·南海开学考）已知实数x，y满足方程组，则 ．
【答案】13
【知识点】方程组的解集
【解析】【解答】解：，
把代入，可得，
，
．
故答案为：13.
【分析】根据立方和公式、完全平方和公式，从而得出的值．
三、解答题：本题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
21．（2024高一上·南海开学考）已知关于的一元二次方程有实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为，且，求的值.
【答案】（1）解：根据题意，，
则，
解得，
所以，实数的取值范围是.
（2）解：由题意，可得，，，
则，
化简得，，
解得或m=3（舍去），
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）依题意结合判别式法，从而得出实数m的取值范围.
（2）由已知条件和根与系数的关系以及配方法，从而得出实数m的值.
（1）根据题意，，即，解得，
所以的取值范围是.
（2）由题，，，，
，
化简得，，解得或3（舍去），
.
22．（2024高一上·南海开学考）已知函数，当时，；当时，.
（1）求这个函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象，观察函数图象，写出该函数的一条性质；
（3）若关于的方程有4个不同实数根，请直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，可得，
解得，，
.
（2）解：因为，
如图所示：
由图可知，当时，随着的增大而增大（答案不唯一）.
（3）解：因为方程有4个不同实数根，
所以函数与函数有4个不同的交点，
由图象得.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）当，则；当，则，从而得出方程组，再解方程组得出b，c的值，进而得出这个函数的解析式.
（2）根据绝对值的定义，将函数转化为分段函数，再利用分段函数解析式画出分段函数的图象，最后观察图象得出函数的一条性质.
（3）利用方程的根与两函数交点横坐标的等价关系，从而将问题等价于函数与的图象有4个交点，再结合两函数的图象得出实数t的取值范围.
（1）由题意可得，解得，，
.
（2），
当时，随着的增大而增大（答案不唯一）.
（3）方程有4个不同实数根，
即函数与函数有4个不同的交点，
由图象得.
23．（2024高一上·南海开学考）如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分，交于点.
（1）证明：平分；
（2）证明：.
【答案】（1）证明：由与过点的切线垂直，垂足为点，
知：，且，
则，
因为为等腰三角形，
所以，
所以，
则平分.
（2）证明：连接，由弦平分，
则，
所以，
根据已知条件和圆的性质，知，
因为为等腰三角形，
所以，
结合（1）知，
所以，
则.
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用直线与圆的位置关系判断方法，先得出，再利用平行线的性质和等腰三角形的性质，从而证出平分.
（2）连接，利用等弧对等角得出，再根据等腰三角形的性质和对顶角的定义，从而证出，进而证出成立.
（1）由与过点的切线垂直，垂足为点知：，且，则，
又为等腰三角形，则，
所以，即平分；
（2）连接，由弦平分，则，
所以，根据已知及圆的性质知，
又为等腰三角形，则，
结合（1）知，
所以，则.
24．（2024高一上·南海开学考）一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号表示，，第个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号表示.定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个数列，满足①②③：①都是正整数；②；③.
（1）写出最小的“漂亮数”；
（2）当时，求出所有的“漂亮数”.
【答案】（1）解：若是“漂亮数”，
设，
满足，
则，
所以，
则，
所以，
则，
所以，
则，此时，假设，
则，
因为，
所以的全部可能取值为：
经验证，上述的取值都不等于1，不符合题意，
所以，
又因为，
所以6为“漂亮数”，
所以，最小的“漂亮数”是6.
（2）解：若，
设，满足，
则，
所以，
则，
因为
所以，
则，
所以，
所以，
则，
又因为，所以，
又因为，
所以，
则，
若，则，
所以，
假设，
则，矛盾，
所以，
所以，
则.
所以，
则，
得，
又因为，所以，
又因为，矛盾，
所以，或，
当时，则，得，
则，
得，
所以，
由，得，
分别代入，使得为正整数的，
则，对应的分别为；
当时，则，得，
则，
得，
则，
由，得，
分别代入，使得为正整数的，
则，对应的分别为，
综上所述，满足条件的全部为.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）直接根据“漂亮数”的定义和已知条件，从而写出最小的“漂亮数”.
（2）先证出或，再利用分类讨论的思想可得和，再根据“漂亮数”的定义求出的值，从而得出当时的所有的“漂亮数”的值.
（1）若是“漂亮数”，
设，满足，
则，所以，即，
故，得，则，所以，
此时，假设，则，又，
所以的全部可能取值为，
经验证，上述的取值都不等于1，不符合题意.
所以，又，故6为“漂亮数”，
所以最小的“漂亮数”是6；
（2）若，设，满足，
则，所以，即，
而，
所以，即，故，
得，即，
又，所以，
而，故，即.
若，则，所以.
假设，则，矛盾.
故，所以，得.
故，则，得，又，所以.
又，矛盾，
故或.
当时，有，得，
则，得，即.
由，得，分别代入，
使得为正整数的有，对应的分别为.
当时，有，得，
则，得，即.
由，得，分别代入，
使得为正整数的有，对应的分别为.
综上，满足条件的全部为.
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