广东省雷州市第八中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题的4个选项中，只有1个选择是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1．（2024高一上·雷州开学考）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．3和 B．3和 C．和 D．和
2．（2024高一上·雷州开学考）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“数”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A．一 B．定 C．满 D．意
3．（2024高一上·雷州开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一上·雷州开学考）体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
分数 43 44 45 46 47 48 49 50
人数 1 2 1 3 4 30
A．中位数，众数 B．中位数，方差
C．平均数，方差 D．平均数，众数
5．（2024高一上·雷州开学考）若用列举法表示集合 ，则下列表示正确的是（ ）
A．{x=3，y=0} B．{（3，0）}
C．{3，0} D．{0，3}
6．（2024高一上·雷州开学考）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·雷州开学考）按一定规律得到的单项式；，按照上述规律，第n个单项式为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·雷州开学考）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9．（2024高一上·雷州开学考）下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有( )
A．， B．有的矩形不是平行四边形
C．， D．，
10．（2024高一上·雷州开学考）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高一上·雷州开学考）且，则的可能取值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高一上·雷州开学考）在深圳中考体育科目中，分为必考项目和选考项目，其中男生的必考项目为在200米和1000米项目中二选一：女生的必考项目为在200米、800米项目中二选一，小明（男生）、小花（女生）（两人选择每个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率是
13．（2024高一上·雷州开学考）设是方程的两个实数根，则的值为 .
14．（2024高一上·雷州开学考）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（2024高一上·雷州开学考）（1）计算：；
（2）解方程：．
16．（2024高一上·雷州开学考）春节是我国的传统佳节，深圳是一个很年轻包容的城市，市民来自全国各地．春节期间，小深调查了本年级学生的去向．其中A表示留在深圳市，B表示北方省市，C表示其他南方省市，D表示广东省内深圳市外．并将调查情况绘制成如下两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的学生有_____________人；
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）求扇形统图中C所对圆心角的度数________；
（4）若有来自A、B、C、D的四位同学，从中抽取两位同学在开学典礼中分享春节见闻，请用树状图或列表法求恰好抽到的同学都来自广东省的概率．
17．（2024高一上·雷州开学考）已知，集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求的取值范围.
18．（2024高一上·雷州开学考）某学校为给贫困山区对口帮扶的学生送一批学习用品，需在某超市购买10个书包及10个以上的文具盒．已知一个书包和六个文具盒总价120元，两个书包和一个文具盒总价108元．
（1）求书包与文具盒的售价分别是多少？
（2）为迎接开学，该超市制定了两种优惠方案：
方案一：买一个书包送一个文具盒；
方案二：按总价的九折付款．
购买时，顾客只能选用其中的一种方案．
设购买文具盒的个数为x（个），付款金额为y（元）．分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
（3）根据以上信息，说明学校选择哪种优惠方案更实惠？
19．（2024高一上·雷州开学考）（1）探究问题1：若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．
（2）变式：若二次函数（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是________．
等价转化：若二次函数____（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是_________
（3）探究问题2：若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反向量
【解析】【解答】解：对于A，和互为倒数，所以A错；
对于B，和互为相反数，所以B对；
对于C，因为，所以和相等，所以C错；
对于D，因为，所以和相等，所以D错.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和相反数的定义，从而逐项判断找出互为相反数的选项.
2．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：如图所示：
由图可知，原正方体中与“数”字所在的面相对的面上的字是“意”.
故答案为：D．
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，从而得出“数”字两端是对面，进而得出原正方体中与“数”字所在的面相对的面上的字．
3．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A错误；
对于B：因为，故B错误；
对于C：因为，故C错误；
对于D：因为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】借助乘法公式与指数幂的运算法则，从而逐项计算得出运算正确的选项.
4．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：因为这组数据中成绩为46、47的人数和为，
所以这组数据中出现次数最多的数50，则众数50，
因为第25、26个数据都是50，则中位数为50，
则中位数，众数不变，平均数，方差均与具体数据有关，
所以，平均数，方差与被遮盖的数据有关.
故答案为：A．
【分析】根据众数的定义、中位数的定义、平均数的定义和方差的定义，从而得出与被遮盖的数据无关的选项．
5．【答案】B
【知识点】集合的表示方法；交集及其运算
【解析】【解答】由 ，解得 ，所以A={（3，0）}
故答案为：B
【分析】先解出不等式组的解 ，再利用列举法表示集合的概念即可判断得结果.
6．【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】解一元二次不等式得出集合B，再利用已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
7．【答案】B
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：观察各个单项式，
可得系数是连续的奇数：1，3，5，7，9，…，
故第n个单项式的系数是，
因为字母部分是的乘方，a的指数是1，2，3，4，5，…，
所以，第n个单项式的字母部分是，
所以，第n个单项式是．
故答案为：B.
【分析】根据题意，从系数和指数两个角度结合归纳推理的方法，从而分析得出第n个单项式.
8．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为函数与轴交于正半轴，排除选项D；
若，则函数的图象在第一、三象限，函数的图象呈上升趋势，
排除选项B；
若，则函数的图象在第二、四象限，函数的图象呈下降趋势，
排除选项C，所以选项A正确.
故答案为：A.
【分析】根据一次函数图象特征和反比例函数的图象特征，从而逐项判断找出在同一直角坐标系中，函数与可能的图象.
9．【答案】A,B
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：对于选项D：因为选项A、选项B和选项C均为存在量词命题，
而选项D不是存在量词命题，故D错误；
对于选项A：因为，所以命题为假命题，故A正确；
对于选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题，故B正确；
对于选项C：因为，所以命题为真命题，故C错误.
故答案为：AB．
【分析】利用存在量词命题的概念和命题的真假判断方法，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于选项A：因为，又因为，
所以，
可得，
所以，故A错误；
对于选项B：因为，又因为，
则，
可得，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，又因为，
则，
可得，
所以，故C错误；
对于选项D：因为，
所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用作差法判断出选项A、选项B和选项C；根据不等式的基本性质判断出选项D，从而找出不等式成立的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】，
当且仅当即时等号成立，取得最小值，
所以的不可能为，可能取值为，
故答案为：BCD.
【分析】化简，结合基本不等式，即可求解.
12．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：记事件“小明选择200米项目”为，
事件“小明选择1000米项目”为，
事件“小花选择200米项目”为，
事件“小花选择800米项目”为，
所以，所有基本事件有，，，，共有4种情况，
则小明、小花所选的必考项目不同的基本事件有，，，共有3种情况，
所以小明、小花所选的必考项目不同的概率为.
故答案为：.
【分析】先列表求出所有等可能结果数和两个人选择每个项目一样的结果数，再利用古典概率公式得出小明（男生）、小花（女生）（两人选择每个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为是方程的两个实数根，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和韦达定理，从而代入计算得出的值.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为关于x的方程有实数根，
当时，一元一次方程的根为，符合题意；
当时，则，
解得且，
综上所述：.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，分和两种情况，再结合求根公式和判别式法结合并集的运算法则，从而求出实数的取值范围.
15．【答案】解：（1）原式.
（2）展开移项，可得，
则，
解得或x=.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；一元二次方程的解集
【解析】【分析】（1）由根式求解方法、特殊角的三角函数值，负整数指数次幂求解方法，从而计算求值.（2）由一元二次方程因式分解求出方程的根.
16．【答案】（1）解：本次参加抽样调查的学生有(人).
（2）解：类的人数为(人)，
在扇形统计图中，的百分比为
的百分比为，
补全条形统计图和扇形统计图，如图所示：
（3）解：扇形统计图中所对圆心角的度数为.
（4）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，
其中恰好抽到的同学都来自广东省的结果有，共2种，
恰好抽到的同学都来自广东省的概率为.
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由图可知D类型有240人，占比，从而得出本次参加抽样调查的学生人数.
（2）先求出C类的人数，从而知道C类的占比和A类的占比，由此补充完整图形.
（3）用C类的占比乘以360°得出扇形统图中C所对圆心角的度数.
（4）列出树状图，从而写出满足条件的所有等可能结果，再根据古典概率公式得出恰好抽到的同学都来自广东省的概率.
（1）本次参加抽样调查的学生有(人).
（2）类的人数为(人).
扇形统计图中的百分比为
的百分比为.
补全条形统计图和扇形统计图如图所示.
（3）扇形统计图中所对圆心角的度数为.
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的同学都来自广东省的结果有，共2种，
恰好抽到的同学都来自广东省的概率为.
17．【答案】（1）解：当时，，，.
（2）解：因为，，，
所以.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）根据已知条件和集合的交集、并集运算法则，从而得出集合，.
（2）利用已知条件和补集的运算法则，从而求出集合，再根据借助数轴和分类讨论的方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）当时，，，；
（2），，，
∴.
18．【答案】（1）解：设书包与文具盒的售价分别是元、元，
由题意，可得，解得，
故书包与文具盒的售价分别是元、元.
（2）解：由题意，可得，
若选择方案一：则，
若选择方案二：则.
（3）解：令，解得，
令，解得，
令，解得，
故购买的文具盒超过个时，选择方案二，
购买的文具盒等于个时，选择方案一或方案二都可以，
购买的文具盒超过10个，少于个时，选择方案一.
【知识点】幂函数模型
【解析】【分析】（1）利用已知条件，设出二元一次方程组，解方程组得出书包与文具盒的售价.
（2）利用已知条件分别计算出两种方案中y与x之间的关系式.
（3）结合（2）中所得关系式，比较大小选择出更实惠的方案.
（1）设书包与文具盒的售价分别是元、元，
则由题意可得，解得，
故书包与文具盒的售价分别是元、元；
（2）由题意可得，
若选择方案一：则，
若选择方案二：则，
（3）令，解得，
令，解得，
令，解得，
故购买的文具盒超过个时，选择方案二，
购买的文具盒等于个时，选择方案一或方案二都可以，
购买的文具盒超过10个，少于个时，选择方案一.
19．【答案】解：（1）由题意知，，解得.
（2）由题意知，有两个不相等的实数根，
所以有两个不相等的实数根，
所以，解得，
等价于有两个不相等的实数根，
则等价于二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，
则m的取值范围是.
（3）将问题转化为有两个小于或等于4且不相等的实数根，
令两根为，则，
所以，
由韦达定理，得，
解得，
所以的取值范围是.
【知识点】函数的图象；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合判别式法，从而得出实数m的取值范围.
（2）根据有两个不相等的实数根，再利用判别式法得出实数m的取值范围；分离参数，转化为两个函数图象交点问题得出实数m的取值范围.
（3）利用韦达定理列不等式组，从而求解得出实数m的取值范围.
1 / 1广东省雷州市第八中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题的4个选项中，只有1个选择是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1．（2024高一上·雷州开学考）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．3和 B．3和 C．和 D．和
【答案】B
【知识点】相反向量
【解析】【解答】解：对于A，和互为倒数，所以A错；
对于B，和互为相反数，所以B对；
对于C，因为，所以和相等，所以C错；
对于D，因为，所以和相等，所以D错.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和相反数的定义，从而逐项判断找出互为相反数的选项.
2．（2024高一上·雷州开学考）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“数”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A．一 B．定 C．满 D．意
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：如图所示：
由图可知，原正方体中与“数”字所在的面相对的面上的字是“意”.
故答案为：D．
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，从而得出“数”字两端是对面，进而得出原正方体中与“数”字所在的面相对的面上的字．
3．（2024高一上·雷州开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A错误；
对于B：因为，故B错误；
对于C：因为，故C错误；
对于D：因为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】借助乘法公式与指数幂的运算法则，从而逐项计算得出运算正确的选项.
4．（2024高一上·雷州开学考）体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
分数 43 44 45 46 47 48 49 50
人数 1 2 1 3 4 30
A．中位数，众数 B．中位数，方差
C．平均数，方差 D．平均数，众数
【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：因为这组数据中成绩为46、47的人数和为，
所以这组数据中出现次数最多的数50，则众数50，
因为第25、26个数据都是50，则中位数为50，
则中位数，众数不变，平均数，方差均与具体数据有关，
所以，平均数，方差与被遮盖的数据有关.
故答案为：A．
【分析】根据众数的定义、中位数的定义、平均数的定义和方差的定义，从而得出与被遮盖的数据无关的选项．
5．（2024高一上·雷州开学考）若用列举法表示集合 ，则下列表示正确的是（ ）
A．{x=3，y=0} B．{（3，0）}
C．{3，0} D．{0，3}
【答案】B
【知识点】集合的表示方法；交集及其运算
【解析】【解答】由 ，解得 ，所以A={（3，0）}
故答案为：B
【分析】先解出不等式组的解 ，再利用列举法表示集合的概念即可判断得结果.
6．（2024高一上·雷州开学考）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】解一元二次不等式得出集合B，再利用已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
7．（2024高一上·雷州开学考）按一定规律得到的单项式；，按照上述规律，第n个单项式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：观察各个单项式，
可得系数是连续的奇数：1，3，5，7，9，…，
故第n个单项式的系数是，
因为字母部分是的乘方，a的指数是1，2，3，4，5，…，
所以，第n个单项式的字母部分是，
所以，第n个单项式是．
故答案为：B.
【分析】根据题意，从系数和指数两个角度结合归纳推理的方法，从而分析得出第n个单项式.
8．（2024高一上·雷州开学考）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为函数与轴交于正半轴，排除选项D；
若，则函数的图象在第一、三象限，函数的图象呈上升趋势，
排除选项B；
若，则函数的图象在第二、四象限，函数的图象呈下降趋势，
排除选项C，所以选项A正确.
故答案为：A.
【分析】根据一次函数图象特征和反比例函数的图象特征，从而逐项判断找出在同一直角坐标系中，函数与可能的图象.
二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9．（2024高一上·雷州开学考）下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有( )
A．， B．有的矩形不是平行四边形
C．， D．，
【答案】A,B
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：对于选项D：因为选项A、选项B和选项C均为存在量词命题，
而选项D不是存在量词命题，故D错误；
对于选项A：因为，所以命题为假命题，故A正确；
对于选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题，故B正确；
对于选项C：因为，所以命题为真命题，故C错误.
故答案为：AB．
【分析】利用存在量词命题的概念和命题的真假判断方法，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2024高一上·雷州开学考）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于选项A：因为，又因为，
所以，
可得，
所以，故A错误；
对于选项B：因为，又因为，
则，
可得，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，又因为，
则，
可得，
所以，故C错误；
对于选项D：因为，
所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用作差法判断出选项A、选项B和选项C；根据不等式的基本性质判断出选项D，从而找出不等式成立的选项.
11．（2024高一上·雷州开学考）且，则的可能取值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】，
当且仅当即时等号成立，取得最小值，
所以的不可能为，可能取值为，
故答案为：BCD.
【分析】化简，结合基本不等式，即可求解.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高一上·雷州开学考）在深圳中考体育科目中，分为必考项目和选考项目，其中男生的必考项目为在200米和1000米项目中二选一：女生的必考项目为在200米、800米项目中二选一，小明（男生）、小花（女生）（两人选择每个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率是
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：记事件“小明选择200米项目”为，
事件“小明选择1000米项目”为，
事件“小花选择200米项目”为，
事件“小花选择800米项目”为，
所以，所有基本事件有，，，，共有4种情况，
则小明、小花所选的必考项目不同的基本事件有，，，共有3种情况，
所以小明、小花所选的必考项目不同的概率为.
故答案为：.
【分析】先列表求出所有等可能结果数和两个人选择每个项目一样的结果数，再利用古典概率公式得出小明（男生）、小花（女生）（两人选择每个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率.
13．（2024高一上·雷州开学考）设是方程的两个实数根，则的值为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为是方程的两个实数根，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和韦达定理，从而代入计算得出的值.
14．（2024高一上·雷州开学考）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为关于x的方程有实数根，
当时，一元一次方程的根为，符合题意；
当时，则，
解得且，
综上所述：.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，分和两种情况，再结合求根公式和判别式法结合并集的运算法则，从而求出实数的取值范围.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（2024高一上·雷州开学考）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】解：（1）原式.
（2）展开移项，可得，
则，
解得或x=.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；一元二次方程的解集
【解析】【分析】（1）由根式求解方法、特殊角的三角函数值，负整数指数次幂求解方法，从而计算求值.（2）由一元二次方程因式分解求出方程的根.
16．（2024高一上·雷州开学考）春节是我国的传统佳节，深圳是一个很年轻包容的城市，市民来自全国各地．春节期间，小深调查了本年级学生的去向．其中A表示留在深圳市，B表示北方省市，C表示其他南方省市，D表示广东省内深圳市外．并将调查情况绘制成如下两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的学生有_____________人；
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）求扇形统图中C所对圆心角的度数________；
（4）若有来自A、B、C、D的四位同学，从中抽取两位同学在开学典礼中分享春节见闻，请用树状图或列表法求恰好抽到的同学都来自广东省的概率．
【答案】（1）解：本次参加抽样调查的学生有(人).
（2）解：类的人数为(人)，
在扇形统计图中，的百分比为
的百分比为，
补全条形统计图和扇形统计图，如图所示：
（3）解：扇形统计图中所对圆心角的度数为.
（4）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，
其中恰好抽到的同学都来自广东省的结果有，共2种，
恰好抽到的同学都来自广东省的概率为.
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由图可知D类型有240人，占比，从而得出本次参加抽样调查的学生人数.
（2）先求出C类的人数，从而知道C类的占比和A类的占比，由此补充完整图形.
（3）用C类的占比乘以360°得出扇形统图中C所对圆心角的度数.
（4）列出树状图，从而写出满足条件的所有等可能结果，再根据古典概率公式得出恰好抽到的同学都来自广东省的概率.
（1）本次参加抽样调查的学生有(人).
（2）类的人数为(人).
扇形统计图中的百分比为
的百分比为.
补全条形统计图和扇形统计图如图所示.
（3）扇形统计图中所对圆心角的度数为.
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的同学都来自广东省的结果有，共2种，
恰好抽到的同学都来自广东省的概率为.
17．（2024高一上·雷州开学考）已知，集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，，.
（2）解：因为，，，
所以.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）根据已知条件和集合的交集、并集运算法则，从而得出集合，.
（2）利用已知条件和补集的运算法则，从而求出集合，再根据借助数轴和分类讨论的方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）当时，，，；
（2），，，
∴.
18．（2024高一上·雷州开学考）某学校为给贫困山区对口帮扶的学生送一批学习用品，需在某超市购买10个书包及10个以上的文具盒．已知一个书包和六个文具盒总价120元，两个书包和一个文具盒总价108元．
（1）求书包与文具盒的售价分别是多少？
（2）为迎接开学，该超市制定了两种优惠方案：
方案一：买一个书包送一个文具盒；
方案二：按总价的九折付款．
购买时，顾客只能选用其中的一种方案．
设购买文具盒的个数为x（个），付款金额为y（元）．分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
（3）根据以上信息，说明学校选择哪种优惠方案更实惠？
【答案】（1）解：设书包与文具盒的售价分别是元、元，
由题意，可得，解得，
故书包与文具盒的售价分别是元、元.
（2）解：由题意，可得，
若选择方案一：则，
若选择方案二：则.
（3）解：令，解得，
令，解得，
令，解得，
故购买的文具盒超过个时，选择方案二，
购买的文具盒等于个时，选择方案一或方案二都可以，
购买的文具盒超过10个，少于个时，选择方案一.
【知识点】幂函数模型
【解析】【分析】（1）利用已知条件，设出二元一次方程组，解方程组得出书包与文具盒的售价.
（2）利用已知条件分别计算出两种方案中y与x之间的关系式.
（3）结合（2）中所得关系式，比较大小选择出更实惠的方案.
（1）设书包与文具盒的售价分别是元、元，
则由题意可得，解得，
故书包与文具盒的售价分别是元、元；
（2）由题意可得，
若选择方案一：则，
若选择方案二：则，
（3）令，解得，
令，解得，
令，解得，
故购买的文具盒超过个时，选择方案二，
购买的文具盒等于个时，选择方案一或方案二都可以，
购买的文具盒超过10个，少于个时，选择方案一.
19．（2024高一上·雷州开学考）（1）探究问题1：若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．
（2）变式：若二次函数（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是________．
等价转化：若二次函数____（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是_________
（3）探究问题2：若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，求m的取值范围．
【答案】解：（1）由题意知，，解得.
（2）由题意知，有两个不相等的实数根，
所以有两个不相等的实数根，
所以，解得，
等价于有两个不相等的实数根，
则等价于二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，
则m的取值范围是.
（3）将问题转化为有两个小于或等于4且不相等的实数根，
令两根为，则，
所以，
由韦达定理，得，
解得，
所以的取值范围是.
【知识点】函数的图象；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合判别式法，从而得出实数m的取值范围.
（2）根据有两个不相等的实数根，再利用判别式法得出实数m的取值范围；分离参数，转化为两个函数图象交点问题得出实数m的取值范围.
（3）利用韦达定理列不等式组，从而求解得出实数m的取值范围.
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