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因式分解 单元同步检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x-2）＝x2-2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x+2＝x（1+） D．x2-4＝（x+2）（x-2）
2．以下是分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若4x3y2- 6x2y3+M可分解为2x2y2（2x-3y+1），则M等于（ ）
A．2xy B．2x2y2 C．-2x2y2 D．4xy2
4．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝﹣4 B．+4x+4＝x（x+4）+4
C．a﹣4a＝a（﹣4） D．+3﹣4x＝（x﹣1）（x﹣3）
5．计算-22021+(-2)2020所得的结果是（ ）
A．-22020 B．-2 2021 C．22020 D．-2
6．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列因式分解正确的是（ )
A． B．
C． D．
9．因式分解，其中m、p、q都是整数，则这样的的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
10．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．因式分解2x2- 12x +18的结果是
12．如图，长方形的长、宽分别为a、，且a比大3，面积为7，则的值为 ．
13．分解因式： .
14．把多项式分解因式的结果为 ．
15．分解因式： = .
16．分解因式 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列各题：
（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．
18．因式分解：
（1）3a2﹣27；
（2）m3﹣2m2+m．
19．因式分解：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
20．因式分解：
（1）a2﹣1+b2﹣2ab；
（2）（p4+q4）2﹣（2p2q2）2．
21．解下列各题：
（1）分解因式： ；
（2）甲，乙两同学分解因式 ，甲看错了n，分解结果为 ；乙看错了m，分解结果为 ，请分析一下m，n的值及正确的分解过程.
22．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2-2xy+y2-16＝（x-y）2一16＝（x-y+4）（x-y-4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
23．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b），B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形.
（1）已知大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，求长方形B的面积；
（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝ .
（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？请你直接写出答案.
范例：拼法一：拼出一个长方形，长为 ，宽为 ；
拼法二：拼出一个正方形，边长为 ；
（注：以上范例中的拼法次数仅供参考，请写出全部答案）
24．观察下面的等式：
（1）写出的结果．
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
25．阅读与思考
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解
x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？
我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）.
利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式.这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子.所以x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）.
上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示.
这样我们也可以得到x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）.这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”.
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2﹣2y﹣24.
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值.
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因式分解 单元同步检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x-2）＝x2-2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x+2＝x（1+） D．x2-4＝（x+2）（x-2）
【答案】D
【解析】【解答】解：A、B属于整式乘法，故不符合题意；
C、中分解的式子分母中含有未知数x，故不满足题意；
D、属于因式分解，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.
2．以下是分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A.等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
C.从左到右的变形错误，应改为：故本选项不符合题意；
D.等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.
3．若4x3y2- 6x2y3+M可分解为2x2y2（2x-3y+1），则M等于（ ）
A．2xy B．2x2y2 C．-2x2y2 D．4xy2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵2x2y2（2x-3y+1）=4x3y2-6x2y3+2x2y2，2x2y2（2x-3y+1)=4x3y2-6x2y3+M，
∴M=2x2y2
故答案为：B.
【分析】根据题意，此题倒过来算。先根据乘法运算，计算出2x2y2（2x-3y+1）的结果为4x3y2-6x2y3+2x2y2。再结合已知：，2x2y2（2x-3y+1)=4x3y2-6x2y3+M，进而就可以求出M.
4．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝﹣4 B．+4x+4＝x（x+4）+4
C．a﹣4a＝a（﹣4） D．+3﹣4x＝（x﹣1）（x﹣3）
【答案】D
【解析】【解答】A：是多项式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意；
B：右边不是积的形式，不符合题意；
C：还需对括号内的多项式继续分解因式，分解不彻底，不符合题意；
D：是因式分解，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可。
5．计算-22021+(-2)2020所得的结果是（ ）
A．-22020 B．-2 2021 C．22020 D．-2
【答案】A
【解析】【解答】解：-22021+（-2）2020=-2×22020+22020=22020×（-2+1）=-22020.
故答案为：A.
【分析】根据乘方的运算法则把原式变形为-2×22020+22020，再提公因式得出原式=22020×（-2+1），即可得出答案.
6．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
不能分解因式，故D错误.
故答案为：B.
【分析】，利用提取公因式法分解因式；，先提取公因式，再用完全平方公式分解因式；，利用提取公因式法分解因式；不能分解因式.
7．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、x（a+b）=ax+bx，是整式乘法，故A不符合题意；
B、a2+4a+4=（a+2）2，故B不符合题意；
C、10a2+5a=5a（2a+1），属于因式分解，故C符合题意；
D、a2-16+3a=（a+4）（a-4）+3a，不是因式分解，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用因式分解是将一个多项式分解成几个整式的乘积的形式，再对各选项逐一判断.
8．下列因式分解正确的是（ )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、16x2-8x+1=（4x-1）2，故A符合题意；
B、4x2-4=4（x+1）（x+1），故B不符合题意；
C、-x2+2x-1=-（x-1）2，故C不符合题意；
D、2x（x-1）-（x-1）=（x-1）（2x-1），故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用完全平方公式，可对A、C作出判断；若多项式含有公因式，先提取公因式，再利用公式法分解因式，分解到不能再分解为止可对B，D作出判断.
9．因式分解，其中m、p、q都是整数，则这样的的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：∵(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq=x2+mx-12
∴p+q=m，pq=-12.
∴pq=1x(-12)=(-1)x12=(-2)x6=2x(-6)=(-3)x4=3x(-4)=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1
∴m的最大值为11.
故答案为：C.
【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可.
10．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12.
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m的最大值为11.
故答案为：C.
【分析】先将（x+p）（x+q） 展开，让两边对应的部分相等，得到p+q=m，pq=-12，接着分情况讨论，得到m=-11或11或4或-4或1或-1，得到m的最大值为11.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．因式分解2x2- 12x +18的结果是
【答案】2 (x- 3)2
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】利用提公因式法和完全平方公式因式分解，即可得解．
12．如图，长方形的长、宽分别为a、，且a比大3，面积为7，则的值为 ．
【答案】21
【解析】【解答】解：由题意可知，a-b=3，ab=7，
∴a2b-ab2=ab(a-b)=7×3=21，
故答案为：21.
【分析】由题意可知，a-b=3，ab=7，再利用提取公因式法分解因式，进而把已知式子代入即可.
13．分解因式： .
【答案】a（2a-1）
【解析】【解答】解：原式.
故答案为：a（2a-1）.
【分析】对原式直接提取公因式a即可.
14．把多项式分解因式的结果为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：解：x2-2x=x（x-2）.
故答案为：x（x-2）.
【分析】观察此多项式的特点：各项含有公因式x，因此利用提公因式法分解因式.
15．分解因式： = .
【答案】（x+4y）（x-4y）
【解析】【解答】x2-16y2
=x2-（4y）2
=（x+4y）（x-4y）．
故答案为：（x+4y）（x-4y）．
【分析】先把x2和16y2分别写成平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
16．分解因式 .
【答案】3（x-1）（x+1）
【解析】【解答】解：3x2-3
=3（x2-1）
=3（x-1）（x+1）
故答案为：3（x-1）（x+1）.
【分析】首先提取3，然后利用平方差公式进行分解.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列各题：
（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．
【答案】（1）解：原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）
（2）解：∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，甲看错了n，
∴m＝6．
∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，乙看错了m，
∴n＝9，
∴x2+mx+n＝x2+6x+9＝（x+3）2．
【解析】【分析】（1）用提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答；（2）根据已知条件分别求出m和n的值，然后进行因式分解即可解答.
18．因式分解：
（1）3a2﹣27；
（2）m3﹣2m2+m．
【答案】（1）解：原式=3（a2-9）
=3（a+3）（a-3）；
（2）解：原式=m（m2-2m+1）
=m（m-1）2．
【解析】【分析】（1）先提取公因式3，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式m，再利用完全平方公式因式分解即可。
19．因式分解：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）（y+x）（y-x）
（2）（x-y）2
（3）a（a-4）
（4）（m-1）（m-5）
【解析】【解答】解：（1） ；
故答案为：
（2） ；
故答案为：；
（3） ；
故答案为：；
（4）
故答案为 ： .
【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）利用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）利用提取公因式进行因式分解即可；
（4）利用十字交叉法进行因式分解即可.
20．因式分解：
（1）a2﹣1+b2﹣2ab；
（2）（p4+q4）2﹣（2p2q2）2．
【答案】（1）解：a2﹣1+b2﹣2ab
=a2+b2﹣2ab-1
=（a-b）2-1
=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
（2）解：（p4+q4）2﹣（2p2q2）2
=（p4）2+2p4q4+（q4）2-4p4q4
=（p4）2-2p4q4+（q4）2
=（p4-q4）2
=[（p2+q2）（p2-q2）]2
=（p2+q2）2[（p+q）（p﹣q）]2
=（p2+q2）2（p+q）2（p﹣q）2．
【解析】【分析】（1）原式因式分解即可得出答案；
（2）根据原式利用分组分解法因式分解即可得出答案。
21．解下列各题：
（1）分解因式： ；
（2）甲，乙两同学分解因式 ，甲看错了n，分解结果为 ；乙看错了m，分解结果为 ，请分析一下m，n的值及正确的分解过程.
【答案】（1）解：原式
；
（2）解： ，甲看错了n，
.
，乙看错了m，
，
.
【解析】【分析】（1）先变形，再提公因式，利用平方差公式进行因式分解即可；（2）根据题意可得出m，n的值，代入再进行因式分解即可.
22．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2-2xy+y2-16＝（x-y）2一16＝（x-y+4）（x-y-4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn
=（9a2+12ab+4b2）-（25m2-10mn+n2）
=（3a+2b）2-（5m-n）2
=（3a+2b+5m-n）（3a+2b-5m+n）
（2）解：由2a2+b2+c2-2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2-2ab-2ac=0
∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）=0，∴（a-b）2+（a-c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，
于是：a-b=0，a-c=0，
所以，a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
【解析】【分析】(1)通过观察将 9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn 进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）将 2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0 的左侧进行因式分解得出 （a-b）2+（a-c）2=0 ，根据平方数的非负性，得到 a-b=0，a-c=0 ，从而得出 a=b=c ，判断出△ABC的形状.
23．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b），B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形.
（1）已知大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，求长方形B的面积；
（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝ .
（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？请你直接写出答案.
范例：拼法一：拼出一个长方形，长为 ，宽为 ；
拼法二：拼出一个正方形，边长为 ；
（注：以上范例中的拼法次数仅供参考，请写出全部答案）
【答案】（1）解：∵ 大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，
∴a2+b2=169，2（a+b）=34，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=289，
∴ab=60，
∴ 长方形B的面积为60；
（2）9
（3）3a+5b；2b；a+3b
【解析】【解答】解：（2）由题意得（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，
∵A的面积为a2，B的面积为ab，C的面积为b2，
∴x+y+z＝9，
故答案为：9.
（3）①当拿掉一张A、一张B，则面积为5ab+11b2=b（5a+11b），故拼成的长方形的长为5a+11b，宽为b；
②当拿掉一张A、一张C，则面积为6ab+10b2=2b（3a+5b），故拼成的长方形的长为3a+5b，宽为2b；
③当拿掉两张C，则面积为a2+6ab+9b2=（a+3b）2，故拼成的正方形边长为a+3b；
【分析】（1）依据题目中的等量关系，用代数式表示面积，再分解带值即可求解；
（2）先用代数式表示新长方形的面积，再对照A、B、C的面积求解即可；
（3）分类讨论，运用因式分解即可求解.
24．观察下面的等式：
（1）写出的结果．
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】（1）
（2）
（3）
。
∴结论正确．
【解析】【解答】解：（1）；
（2）
【分析】（1）观察可得192-172的结果；
（2）观察可得等号右边的底数可表示为2n+1、2n-1，右边的式子可表示为8n，据此解答；
（3）根据平方差公式进行证明.
25．阅读与思考
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解
x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？
我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）.
利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式.这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子.所以x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）.
上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示.
这样我们也可以得到x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）.这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”.
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2﹣2y﹣24.
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值.
【答案】（1）解：y2﹣2y﹣24＝（y+4）（y﹣6）；
（2）解：若 ，此时
若 ，此时
若 ，此时
若 ，此时
若 ，此时
，此时
综上所述，若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，
m的值可能是﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11.
【解析】【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；
（2）利用十字相乘法分解因式得出所有的可能.
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