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第二十五章 锐角的三角比 单元培优测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米
A． B． C． D．
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形 中，对角线 、 相交成的锐角 ，若 ， ，则平行四边形 的面积是
A．6 B．8 C．10 D．12
4．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度，如图，将长度与旗杆高度相同的拉绳拉到如图的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sin θ=（ ）
A． B． C．4 D．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点和都在轴上，点在双曲线上．连结，若，则正方形的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
7．已知在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正三角形ABC的边长为3， 将△ABC绕它的外心Ｏ逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
9．如图，A、B分别为反比例函数（x＜0），y＝（x＞0）图象上的点，且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，点E、分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号有（ ）．
A．①②③ B．①② C．①②③④ D．③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．图①所示为一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图②（忽略跑步机的厚度），该跑步机由支杆（点A 固定），底座和滑动杆组成． 支杆可绕点A转动，点E在滑槽上滑动，已知，收纳时，滑动端点 E 向右滑至点C，点F与点A重合；打开时，点E从点C向左滑动，若滑动杆与夹角的正切值为2，则察看点F 处的仪表盘的视角最佳．
（1） cm．
（2）当滑动端点E与点A 的距离 cm时，察看仪表盘的视角最佳．
12．一棵珍贵的百年老树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，做法如下：在地面上选取一点C，测得∠BCA＝37°，AC＝28米，∠BAC＝45°，则这棵树的高AB约为 米．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，≈1.41）
13．如图， 内接于 ， ，直径AD交BC于点E，若 ， ，则弦BC的长为 ．
14．如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为 m．（精确到，参考数据：，，）
15．在如图所示的正方形网格中，A、B、C都是小正方形的顶点，经过点A作射线CD，则cos∠DAB的值等于 ．
16．如图，点在一直线上，，在直线同侧，，，，当时，外接圆的半径为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．乌鲁木齐市丝绸之路度假区里，建有多条高速滑雪观光缆车，可以将游客从山下送达到海拔2500米的山顶，这也是中国滑雪度假区里距离最长、海拔落差最大的滑雪观光缆车．如图，当观光缆车的吊箱从点到点的行程为200米，从点到点的行程为240米，已知缆车行驶路线与水平面的夹角，路线与水平面的夹角，那么缆车从点到点垂直上升的距离是多少米？（结果精确到1米；参考数据：，，，）
18．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 和教学楼 的高，先在 处用高1.5米的测角仪测得古树顶端 的仰角 为 ，此时教学楼顶端 恰好在视线 上，再向前走9米到达 处，又测得教学楼顶端 的仰角 为 ，点 、 、 三点在同一水平线上.
（1）计算古树 的高；
（2）计算教学楼 的高.（结果精确到0.1米，参考数据： ， ， ， ）.
19． 如图，点在第一象限，轴，垂足为，，，反比例函数的图象经过的中点.
（1）求值；
（2）若直线与反比例函数图象在第一象限有交点，求的取值范围.
20．某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为28米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点6米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长．（结果保留根号）
21．如图，矩形中，，是边上的一点，，是边的中点，动点从点出发，沿边以的速度向终点运动，过点作于点，连接，设动点的运动时间是.
（1）求为何值时，；
（2）设的面积为，写出与之间的函数关系式；
（3）当平分四边形的面积时，求的值.
22．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西150的方向．求点C与点B之间的距离．
（上述2小题的结果都保留根号）
23．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到）．
24．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高1米的影子CE，而当光线与地面的夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有35米的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请求出A，E之间的距离.
（参考数据： ， ， ）
25．如图①，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在AB边上，过点D作DE⊥AC于点E，取BC边的中点F，连接DF并延长到点G，使FG＝DF，连接CG.（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答.）
（1）问题发现：
填空：CE与CG的数量关系是 ，直线CE与CG所夹的锐角的度数为 .
（2）探究证明：
将△ADE绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图②所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）问题解决：
若AB＝4，AD＝3，将△ADE由图①位置绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），当△ACE是直角三角形时，请直接写出CG的值.
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第二十五章 锐角的三角比 单元培优测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米
A． B． C． D．
【答案】A
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3．如图，在平行四边形 中，对角线 、 相交成的锐角 ，若 ， ，则平行四边形 的面积是
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，
∵在 ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴OD＝ ，
∵∠α＝30°，
∴DE＝OD sin∠α＝3× ＝1.5，
∴S△ACD＝ AC DE＝ ×8×1.5＝6，
∴S ABCD＝2S△ACD＝12.
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，根据平行四边形的对角线互相平分得出OD＝ ，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由DE＝OD sin∠α算出ED，进而根据三角形的面积计算方法及平行四边形的性质，由S ABCD＝2S△ACD即可算出答案。
4．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度，如图，将长度与旗杆高度相同的拉绳拉到如图的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
5．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sin θ=（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，较长直角边为a，较短直角边为b，则c2=25，且a-b==1，
∴a2+b2=25
∴c=5，a=4，b=3，
∴sin θ=.
故答案为：A.
【分析】设大正方形的边长为c，较长直角边为a，较短直角边为b，根据已知条件大正方形的面积为25，可得c=5，又小正方形的面积为1，可得a-b=1，又根据勾股定理a2+b2=25，即可得出a=4，b=3，进而得出sin θ=.
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点和都在轴上，点在双曲线上．连结，若，则正方形的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
【答案】C
7．已知在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据特殊角的三角函数值可得，再利用三角形的内角和求出即可。
8．如图，正三角形ABC的边长为3， 将△ABC绕它的外心Ｏ逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AO并延长，交BC于点D，A＇C＇交AB于点E，AC交A＇C＇于点G，
∵等边△ABC绕它的外心Ｏ逆时针旋转60°得到△A'B'C'，
∴A，O，D在同一直线上，AD⊥BC，
∴△AEG是等边三角形，A＇C＇=AC=3EG=3，
∴EG=1，
在Rt△AEF中，
∴
∴
∴它们重叠部分的面积为.
故答案为：C
【分析】连接AO并延长，交BC于点D，A＇C＇交AB于点E，AC交A＇C＇于点G，利用旋转的性质和等边三角形的性质，可知A，O，D在同一直线上，AD⊥BC，△AEG是等边三角形，AE=EG=1，利用解直角三角形求出AF，AD的长，进而可求出△AEG和△ABC的面积，再根据 重叠部分的面积 =△ABC的面积减去3倍△AEG的面积，代入计算可求解。
9．如图，A、B分别为反比例函数（x＜0），y＝（x＞0）图象上的点，且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D
则∠BDO＝∠ACO＝90°
∵A、B分别为反比例函数（x＜0），（x＞0）图象上的点
∴S△AOC＝4，S△BDO＝9
∵∠AOB＝90°
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°
∴∠DBO＝∠AOC
∴△BDO∽△OCA
∴
∴
∴
故答案为：A．
【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，先证明△BDO∽△OCA，再利用相似三角形的性质可得，再利用正切的定义可得。
10．如图，在正方形中，点E、分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号有（ ）．
A．①②③ B．①② C．①②③④ D．③④
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
而点E、F分别为BC，CD的中点，
∴DF=CE，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE，
∴AF=DE，所以②符合题意，
∠DAF=∠CDE，
而∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠CDE+∠DFA=90°，
∴∠DGF=90°，
∴AF⊥DE，所以①符合题意；
在△ADF中， ，
在△ADG中，
∴，所以③符合题意；
在△ADF中，，
在△GDF中，，
∵∠DAF=∠GDF，
∴，所以④不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质得出AD=CD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，点E、F分别为BC，CD的中点，得出DF=CE，即可证出△ADF≌△DCE，判断②；根据三角形内角和等于180度和全等三角形的性质即可判断①；根据三角函数的性质判断③；根据锐角三角函数性质判断④。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．图①所示为一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图②（忽略跑步机的厚度），该跑步机由支杆（点A 固定），底座和滑动杆组成． 支杆可绕点A转动，点E在滑槽上滑动，已知，收纳时，滑动端点 E 向右滑至点C，点F与点A重合；打开时，点E从点C向左滑动，若滑动杆与夹角的正切值为2，则察看点F 处的仪表盘的视角最佳．
（1） cm．
（2）当滑动端点E与点A 的距离 cm时，察看仪表盘的视角最佳．
【答案】65；
12．一棵珍贵的百年老树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，做法如下：在地面上选取一点C，测得∠BCA＝37°，AC＝28米，∠BAC＝45°，则这棵树的高AB约为 米．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，≈1.41）
【答案】16.9
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥AC于点H，
设 米，
∵，∠BHC=90°，
∴ ，
∵，
∴AH=BH=x，
∵米，
∴ ，解得： ，
根据勾股定理得： （米）．
故答案为： ．
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，设 米，利用锐角三角函数可得，AH=BH=x，从而得到，解得 ，然后根据勾股定理可得答案．
13．如图， 内接于 ， ，直径AD交BC于点E，若 ， ，则弦BC的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图所示：
∵ 内接于 ， ，AD过圆心O，
∴AE⊥BC，
∴BE=EC， ，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
∵ ，
∴ ，
∵DE=1，
∴设OB=3r，OE=2r，则有：
，解得： ，
∴ ，
∴在Rt△BEO中， ，
∴ ；
故答案为 ．
【分析】连接OB、OC，由题意易得AE⊥BC，则有BE=EC，∠BOD=∠BAC，设OB=3r，OE=2r，然后根据勾股定理可求解．
14．如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为 m．（精确到，参考数据：，，）
【答案】17
15．在如图所示的正方形网格中，A、B、C都是小正方形的顶点，经过点A作射线CD，则cos∠DAB的值等于 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接BH、HD
∵点A是矩形ECGH的中心
∴射线CD过点H
∴ ， ， ，
∴△ABH是等腰直角三角形
∴
故答案为： ．
【分析】先根据矩形的性质得出射线CD过点H，再根据勾股定理可得△ABH是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可得出结论．
16．如图，点在一直线上，，在直线同侧，，，，当时，外接圆的半径为 ．
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．乌鲁木齐市丝绸之路度假区里，建有多条高速滑雪观光缆车，可以将游客从山下送达到海拔2500米的山顶，这也是中国滑雪度假区里距离最长、海拔落差最大的滑雪观光缆车．如图，当观光缆车的吊箱从点到点的行程为200米，从点到点的行程为240米，已知缆车行驶路线与水平面的夹角，路线与水平面的夹角，那么缆车从点到点垂直上升的距离是多少米？（结果精确到1米；参考数据：，，，）
【答案】缆车从点到点垂直上升的距离是217米
18．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 和教学楼 的高，先在 处用高1.5米的测角仪测得古树顶端 的仰角 为 ，此时教学楼顶端 恰好在视线 上，再向前走9米到达 处，又测得教学楼顶端 的仰角 为 ，点 、 、 三点在同一水平线上.
（1）计算古树 的高；
（2）计算教学楼 的高.（结果精确到0.1米，参考数据： ， ， ， ）.
【答案】（1）解：由题意，四边形ABED是矩形，可得DE＝AB＝9米，AD＝BE＝1.5米，
在Rt△DEH中，∵∠EDH＝45°，
∴HE＝DE＝9米.
∴BH＝EH+BE＝10.5米.
（2）解：在Rt△EFG中，∵ ，∴ ，
在Rt△GDF中，∵∠EDH＝45°，∴GF＝DF，
∴ ，解得：GF=15.
由题意，四边形ACFD是矩形，∴CF＝AD＝1.5米，
∴教学楼CG=GF+CF=16.5米.
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）在Rt△EFG中可求 ，在Rt△GDF中，可得GF＝DF，从而 ，解得：GF=15，故可得解.
19． 如图，点在第一象限，轴，垂足为，，，反比例函数的图象经过的中点.
（1）求值；
（2）若直线与反比例函数图象在第一象限有交点，求的取值范围.
【答案】（1）解：，，
，
，
由勾股定理得：，
，，
，
是的中点，
，
；
（2）解：令，整理得，
直线与反比例函数图象在第一象限有交点，
，
或舍，
故的取值范围为：.
【解析】【分析】（1）根据三角函数的概念可得AC=2OC，结合勾股定理可得OC、AC的值，表示出点A的坐标，根据中点坐标公式可得点B的坐标，然后代入y=中可得k的值；
（2）联立反比例函数与一次函数的解析式并结合判别式≥0可得b的范围.
20．某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为28米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点6米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长．（结果保留根号）
【答案】的长为米
21．如图，矩形中，，是边上的一点，，是边的中点，动点从点出发，沿边以的速度向终点运动，过点作于点，连接，设动点的运动时间是.
（1）求为何值时，；
（2）设的面积为，写出与之间的函数关系式；
（3）当平分四边形的面积时，求的值.
【答案】（1）解：是边的中点，
，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
（2）解：是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：∵平分四边形的面积，
，
解得：，
，
.
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等得∠BPM=∠EMC，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△CEM∽△BMP，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出t的值；
（2）首先由勾股定理算出AE的长，由平行线性质得∠DEA=∠EAB，根据等角的同名三角函数值相等得 ，从而结合正弦函数的定义得，据此建立方程可用含t的式子表示出HP，再用勾股定理表示出AH，进而即可由线段的和差表示出HE，从而根据三角形的面积计算公式建立出函数关系式；
（3）当EP平分四边形PMEH的面积时， S△EHP=S△EMP，据此建立方程，求解可得t的值.
22．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西150的方向．求点C与点B之间的距离．
（上述2小题的结果都保留根号）
【答案】（1）解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，
设PD=x，
由题意可知 ，PBD=45°，∠PAD=30°，
∴在Rt△BDP中，BD=PD=x
在Rt△PDA中，AD= PD= x
∵AB=2，∴
解得
∴点P到海岸线l的距离为
（2）解：如图，过点B作BF⊥CA于点F，
在Rt△ABF中， ，
在Rt△ABC中，∠C=180°－∠BAC－∠ABC=45°，
∴在Rt△BFC中，
∴点C与点B之间的距离为
【解析】【分析】（1）过P作PD⊥AB于D，设PD=xkm，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解△OAD，用含x的代数式表示AD，再根据BD+AD=AB，列出x的方程，解答即可；
（2）过B作BF⊥AC于F，先解Rt△ABF，得出BF=，再解△BCF，得出BC=。
23．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到）．
【答案】（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴，
答：
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠CAB的余弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AB的长；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理算BC的长，在Rt△BCD，由∠CDB的正弦函数算BD的长，由绳子长度不变得BC+AB=BE+BD，从而代值计算可算出BE的长，最后根据CE=BC-BE可算出答案.
（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴，
答：；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为．
24．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高1米的影子CE，而当光线与地面的夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有35米的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请求出A，E之间的距离.
（参考数据： ， ， ）
【答案】（1）解：如图，过点E作EH⊥AB于点H．而
四边形 是矩形，
设AB＝x米，则BF＝AB＝x米，
∵FC＝35米，
∴BC＝HE＝（35+x）米，
∵EC＝1米，
∴BH＝EC＝1米，
∴AH＝（x﹣1）米．
在Rt△AHE中，tan22°
即 ，解得：
经检验： 是原方程的根且符合题意，
答：办公楼AB的高度约为25米．
（2）解：由（1）得AH＝x﹣1＝24米，
在Rt△AHE中，sin22° ，
∴ （米）．
答：A，E之间的距离约为64米．
【解析】【分析】（1）过点E作EH⊥AB于点H，可得出 设AB＝x米，则BF＝AB＝x米， 可得 BC＝HE＝（35+x）米，AH＝（x﹣1）米．在Rt△AHE中，由tan22° 建立方程，求解即可；
（2） 由（1）得AH＝x﹣1＝24米，在Rt△AHE中，由sin22° 求出AE即可.
25．如图①，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在AB边上，过点D作DE⊥AC于点E，取BC边的中点F，连接DF并延长到点G，使FG＝DF，连接CG.（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答.）
（1）问题发现：
填空：CE与CG的数量关系是 ，直线CE与CG所夹的锐角的度数为 .
（2）探究证明：
将△ADE绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图②所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）问题解决：
若AB＝4，AD＝3，将△ADE由图①位置绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），当△ACE是直角三角形时，请直接写出CG的值.
【答案】（1）EC＝ CG；30°
（2）解：成立.理由如下：
如图②，连接CD，BG，延长BD交CE的延长线于H，设BH交AC于点O.
在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝30°，
∴cos∠BAC＝ ＝ ，cos∠EAD＝ ＝ ，∠EAC＝∠DAB，
∴ ＝ ，
∴△ACE∽△ABD，
∴ ＝ ＝ ，∠ACE＝∠ABD，
∵∠HOC＝∠AOB，
∴∠H＝∠OAB＝30°，
∵CF＝FB，DF＝FG，
∴四边形DCGB是平行四边形，
∴CG＝BD，CG∥BH，
∴∠1＝∠H＝30°，
∴EC＝ CG，直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°.
（3）解：如图③﹣1中，当∠AEC＝90°时，由题意AC＝ AB＝2 ，AE＝ AD＝ ，
∴EC＝ ，
∴CG＝ EC＝ ，
如图③﹣2中，当∠EAC＝90°时，可得EC＝ ＝ ，
∴CG＝ EC＝5.
综上所述，CG的值为 或5.
【解析】【解答】解：（1）如图①中，过点D作DT⊥BC于T.
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝∠ECT＝∠DTC＝90°，
∴四边形ECTD是矩形，
∴DT＝EC，DT∥AC，
∴∠TDB＝∠A＝30°，
∴DT＝ BD，
∵FC＝FB，∠CFG＝∠BFD，FG＝FD，
∴△CFG≌△BFD（SAS），
∴CG＝BD，∠FCG＝∠B＝60°，
∴EC＝ CG，
∴∠ACG＝90°+60°＝150°，
∴直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°，
故答案为：EC＝ CG，30°.
【分析】（1）如图①中，过点D作DT⊥BC于T，证明EC＝CT＝ BD，CG＝BD，CG∥BD，可得结论；
（2）成立.理由如下：连接CD，BG，延长BD交CE的延长线于H，设BH交AC于点O.利用相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质即可解决问题；
（3）分两种情形：如图③﹣1中，当∠AEC＝90°时，如图③﹣2中，当∠EAC＝90°时，分别求解即可.
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