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第二十六章 二次函数 单元达标测评卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．关于x的函数y＝ax2是二次函数，则a应满足的条件是（ ）
A．a≠1 B．a＝1 C．a≠0 D．a＝0
2．下列函数中属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．二次函数的对称轴可能在（ ）
A．y轴右侧 B．y轴左侧
C．y轴右侧或y轴左侧 D．y轴上
4．如图是二次函数 （ ）图象的一部分，经过点 .一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数的图象只经过三个象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在同一坐标系内，一次函数 与二次函数 y=ax2+8x+b 的图象可能是 （ ）
A． B．
C． D．
7．若函数是二次函数，则有（ ）
A． B． C． D．
8．方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
9．对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是
C．对称轴是直线 D．与x轴有两个交点
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若△AOB为等边三角形，则b的值为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数的顶点坐标是 ．
12．已知函数是二次函数，则m的值为 。
13．二次函数 图象的开口向 ．
14．如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是 ．
15．写出一个函数使其图像与反比例函数的图象有3个不同的交点 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴：
（1）y=-x2+2x-3
（2）y=x2-2x+
18．如果抛物线C1： 与抛物线C2： 的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线.
（1）求抛物线 的“对顶”抛物线的表达式；
（2）将抛物线 的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线 形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积.
（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系.
19．一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？
20．
（1）计算： .
（2）求二次函数 图象的顶点坐标.
21．已知二次函数 .
（1）若函数图象经过点 ， ，求 的值；
（2）当 ， 时，求证：函数图象与x轴有两个交点.
22．已知抛物线 ： 和点 ， .
（1）直接写出抛物线 的顶点坐标（用含 的式子表示）；
（2）试分析抛物线 与线段 有公共点的个数情况，并写出相应的 的取值范围.
23．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连接OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连接PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．
（1）求AB的长；
（2）当∠APQ＝∠B时，求点P的坐标；
24．已知二次函数，（，为常数，）.
（1）若，求二次函数的顶点坐标.
（2）若，设函数的对称轴为直线，求的值.
（3）点在函数图象上，点在函数图象上.若函数图象的对称轴在轴右侧，当，时，试比较，的大小.
25．如图
（1）【特例感知】如图23-1，对于抛物线，下列结论正确的序号是
①抛物线都经过点；
②抛物线的对称轴由拋物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等.
（2）
【形成概念】把满足(为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
【知识应用】在(2)中，如图.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移拔物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：，，其横坐标分别为：为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，请求出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.
③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，连接，判断直线是否平行 请直接写出判断结果.
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第二十六章 二次函数 单元达标测评卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．关于x的函数y＝ax2是二次函数，则a应满足的条件是（ ）
A．a≠1 B．a＝1 C．a≠0 D．a＝0
【答案】C
【解析】【解答】解：由二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0）可知，二次项系数a≠0，故选C.
【分析】根据二次函数的定义即可得出答案.
2．下列函数中属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】 解：A、是二次函数，A符合题意；
B：分母含有自变量，不是二次函数，B不符合题意；
C：自变量的次数是3次，不是二次函数，C不符合题意；
D：化简后自变量最高次数是1，不是二次函数，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的定义对选项逐一进行判断即可求解.
3．二次函数的对称轴可能在（ ）
A．y轴右侧 B．y轴左侧
C．y轴右侧或y轴左侧 D．y轴上
【答案】B
【解析】【解答】解：二次函数，
∴对称轴为：，
∵，
∴，
∴对称轴在ｙ轴的左侧.
故答案为：B.
【分析】首先根据对称轴直线方程求出抛物线的对称轴，然后根据a>0判断出对称轴的正负，据此解答.
4．如图是二次函数 （ ）图象的一部分，经过点 .一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A选项：由图象可知：二次函数开口向下
∴ ，对称轴 ，
∴ ，交于y轴正半轴，
∴ ，
∴ ，故A错误；
B选项：由A得 ， ，且函数过 ，
∴ ，
并不能判断 的大小，故B错误；
C选项：函数与x轴有2个交点，
∴ 由两个解，
∴ ，故C错误；
D选项：∵函数过 ，
∴ ，
故D正确.
故答案为：D.
【分析】先根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置分别求出a、b、c的符号，即可判断abc的正负性；根据抛物线与轴的交点不能判断 的大小；根据抛物线与x轴的交点个数判断；把（2，0）点代入函数式即可判断D.
5．已知二次函数的图象只经过三个象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：二次函数的图象开口方向向下，其对称轴为直线，
又∵函数图象只经过三个象限，
∴，
解得，故D正确．
故答案为：D．
【分析】可求对称轴为直线，由于抛物线的开口向下及函数图象只经过三个象限，可得函数只能不过第一象限，顶点在第二象限且与y轴的交点不经过正半轴，据此列出不等式组并解答即可.
6．在同一坐标系内，一次函数 与二次函数 y=ax2+8x+b 的图象可能是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项不符合题意；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项不符合题意，C选项符合题意．
故答案为：C．
【分析】x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
7．若函数是二次函数，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义可得，再求出m的取值范围即可。
8．方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意推断方程 的实根是函数 与函数 的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限.
当 时， ， ，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当 时， ， ，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当 时， ， ，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当 时， ， ，此时抛物线的图象在反比例函数上方.
∴方程 的实根 所在的范围是： .
故答案为：B.
【分析】方程x3+2x-1=0的实根是函数y=x2+2与函数y=的图象交点的横坐标，画出两个函数的图象，分别令x=、、、1，求出两函数的值，进而进行判断.
9．对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是
C．对称轴是直线 D．与x轴有两个交点
【答案】B
【解析】【解答】解：A.a=3， 开口向上，选项A不符合题意
B. 顶点坐标是 ，B符合题意
C. 对称轴是直线 ，选项C不符合题意
D. 与x轴有没有交点，选项D不符合题意
故答案为：B
【分析】根据二次函数基本性质逐个分析即可.
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若△AOB为等边三角形，则b的值为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，
∴c＝0，
B（﹣ ），
∵△AOB为等边三角形，
∴ ＝tan60°×（﹣ ），
∴b＝﹣2 ；
故答案为：B．
【分析】根据已知求出B（﹣ ），由△AOB为等边三角形，得到 ＝tan60°×（﹣ ），即可求解；
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数的顶点坐标是 ．
【答案】（1，4）
【解析】【解答】解： 二次函数 ，
∴，
∴顶点坐标为（1，4）.
故答案为：（1，4）.
【分析】利用配方法将二次函数转变成的形式，即可求出顶点坐标.
12．已知函数是二次函数，则m的值为 。
【答案】-3
【解析】【解答】∵ 函数是二次函数，
∴，
解得：m=-3，
故答案为：-3.
【分析】利用二次函数的定义可得，再求出m的值即可.
13．二次函数 图象的开口向 ．
【答案】下
【解析】【解答】解：∵ ，二次项系数a=-6，
∴抛物线开口向下，
故答案为：下．
【分析】根据二次函数的二次项系数即可判断抛物线的开口方向．
14．如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】a＞2或
【解析】【解答】解：点M在抛物线上时，将代入得，
时，抛物线开口变小，符合题意，
点N在抛物线上时，将代入得，
解得，
时，抛物线开口变大，符合题意．
结合，可知a的取值范围是或
故答案为：a＞2或．
【分析】先将点M、N的坐标代入求出a的值，再求出a的取值范围即可。
15．写出一个函数使其图像与反比例函数的图象有3个不同的交点 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】解：若要与反比例函数的图象有3个不同的交点，
这样的函数可以为二次函数，设，
如图，二次函数与反比例函数有3个交点，
可得开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
这样的函数可以是，
其中，，，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】先求出函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，再求解即可。
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 .
【答案】8
【解析】【解答】解：如图，设抛物线的对称轴交x轴于点A，交抛物线于点B，过点B作轴于点C，则四边形为矩形，
∵，
∴平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
∴平移后阴影部分的面积等于如图矩形的面积，即.
故答案为：8.
【分析】设抛物线y=-x2-4x的对称轴交x轴于点A，交抛物线y=-x2于点B，过点B作BC⊥y轴于点C，则四边形OABC为矩形，由抛物线的解析式可得顶点坐标为（-2，4），对称轴为直线x=-2，将x=-2代入y=-x2中求出y的值，进而不难求出阴影部分的面积.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴：
（1）y=-x2+2x-3
（2）y=x2-2x+
【答案】（1）解：∵y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2，
∴a=-1＜0，开口向下，顶点坐标为（1，-2），对称轴x=1，
（2）解：∵y=x2-2x+=（x-2）2-，
∴a=＞0，开口向上，顶点坐标为（2，-），对称轴x=2.
【解析】【分析】y=a（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴x=h，a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下，依此即可得出答案.
18．如果抛物线C1： 与抛物线C2： 的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线.
（1）求抛物线 的“对顶”抛物线的表达式；
（2）将抛物线 的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线 形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积.
（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系.
【答案】（1）解：∵y＝x2 4x＋7＝（x 2）2＋3，
∴顶点为（2，3），
∴其“对顶”抛物线的解析式为y＝ （x 2）2＋3，
即y＝ x2＋4x 1；
（2）解：如图，
由（1）知，A（2，3），
设正方形AMBN的对角线长为2k，
则点B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2 k，3＋k），
∵M（2＋k，3＋k）在抛物线y＝（x 2）2＋3上，
∴3＋k＝（2＋k 2）2＋3，
解得k＝1或k＝0（舍）；
∴正方形AMBN的面积为 ×(2k)2＝2；
（3）解：根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c的顶点为（ ， ），
抛物线C2：y＝ ax2＋dx＋e的顶点为（ ， ），
∵抛物线C2是C1的“对顶”抛物线，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，
∴ ，
∴ ，
即 .
【解析】【分析】(1)先配方求出抛物线C1的顶点坐标，根据 “对顶”抛物线的定义即可求出抛物线C2的解析式；
(2)设正方形AMBN的对角线长为2k，分别把B、M、N点的坐标用含k的代数式表示出来，根据点M(2 + k，3 + k)在抛物线y= (x- 2)2 +3上，构建方程求出k的值，最后求正方形面积即可；
(3)先根据抛物线C1，C2的顶点相同，求出b，d的关系，再由两抛物线的顶点在x轴，列式求出c，e的关系，从而得出结论.
19．一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？
【答案】（1）解：由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，
解得：k=2；
（2）解：把k=2代入y=（k﹣1）+2x﹣1得：y=x2+2x﹣1，
当x=0.5时，y=．
【解析】【分析】（1）由二次函数的定义可得 k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0， 据此即可求解；
（2）由（1）可得y=x2+2x﹣1， 将x=0.5代入求出y值即可.
20．
（1）计算： .
（2）求二次函数 图象的顶点坐标.
【答案】（1）解：原式＝ =1
（2）解：
当x=2时，y=1
∴顶点坐标为（－2，－1）
【解析】【分析】(1)先代入特殊角的三角函数值，然后进行实数的混合运算，即可解答；
(2)先根据抛物线对称轴公式求出对称轴，再将对称轴方程代入函数式计算，即可得出结果.
21．已知二次函数 .
（1）若函数图象经过点 ， ，求 的值；
（2）当 ， 时，求证：函数图象与x轴有两个交点.
【答案】（1）解：∵二次函数 y=a（x 1）2+h图象经过点A（0，4）， B（2，m）
将A（0，4）代入y=a（x 1）2+h得，
4=a+h
将 B（2，m） 代入 y=a（x 1）2+h得，
m=a+h
∴m=4
（2）证明：∵
∴图象开口向下
∵当 时，
∴顶点在 轴上方，
∴函数图象与 轴有2个交点.
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数式，得出a+h=4，再把B点坐标代入函数式，整理得出m=a+h，则m的值可求.
（2）根据函数的开口方向和函数的最大值，判断顶点在x轴上方，从而判断函数图象与x轴有两个交点.
22．已知抛物线 ： 和点 ， .
（1）直接写出抛物线 的顶点坐标（用含 的式子表示）；
（2）试分析抛物线 与线段 有公共点的个数情况，并写出相应的 的取值范围.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴抛物线 的顶点坐标为：
（2）解：把 代入 得：
把 代入 得： 或7；
由图象可知：当 时，抛物线 与线段 无交点；
当 时，抛物线 与线段 有1个交点；
当 时，抛物线 与线段 有2个交点；
当 时，抛物线 与线段 有1个交点；
当 时，抛物线 与线段 无交点
综上：当 或 ，抛物线 与线段 无交点；
当 或 时，抛物线 与线段 有1个交点；
当 时，抛物线 与线段 有2个交点.
【解析】【分析】（1）直接根据顶点坐标公式进行解答；
（2）将点A、B的坐标代入可得n的值，然后利用数形结合思想进行解答.
23．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连接OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连接PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．
（1）求AB的长；
（2）当∠APQ＝∠B时，求点P的坐标；
【答案】（1）解：对于y＝﹣x2+6x+3，令x＝0，则y＝3，故点A（0，3），
令y＝﹣x2+6x+3＝3，解得x＝0或6，故点B（6，3），
故AB＝6
（2）解：设P（m，﹣m2+6m+3），
∵∠P＝∠B，∠AHP＝∠OAB＝90°，
∴△ABO∽△HPA，故 ，
∴ ＝ ，
解得m＝4．
∴P（4，11）
【解析】【分析】(1)令x=0，先求出抛物线与y轴交点A的坐标，再A、B两点纵坐标相同，建立关于x的方程求解，求出B点坐标，则可求出AB长；
(2) 设P（m，﹣m2+6m+3）， 证明 △ABO∽△HPA， 再根据相似的性质列比例式，建立关于m的方程求解，即可得出P点坐标.
24．已知二次函数，（，为常数，）.
（1）若，求二次函数的顶点坐标.
（2）若，设函数的对称轴为直线，求的值.
（3）点在函数图象上，点在函数图象上.若函数图象的对称轴在轴右侧，当，时，试比较，的大小.
【答案】（1）解：若a=-2，则y1=x2-2x+1，
∵y1=x2-2x+1=（x-1）2，
∴二次函数y1的顶点坐标为（1，0）；
（2）解：若b=4a，则y2=ax2+4ax+1，
∴对称轴为直线x= =-2，
设函数y2的对称轴为直线x=k，则k=-2；
（3）解：∵函数y1图象的对称轴在y轴右侧，
∴＞0，
∴a＜0，
∴函数y2=ax2+bx+1图象开口向下，
∵b=1，
∴y2=ax2+x+1，
令x2+ax+1=ax2+x+1，整理得（a-1）x2-（a-1）x=0，
解得x=0或x=1，
∴两抛物线的交点的横坐标为0和1，
如图，
由图象可知，当0＜x0＜1，m＜n.
【解析】【分析】（1）令a=-2，则y1=x2-2x+1，将其化为顶点式，据此可得顶点坐标；
（2）若b=4a，则y2=ax2+4ax+1，利用对称轴直线公式表示出对称轴，进而可得k的值；
（3）根据函数y1图象的对称轴在y轴右侧可得a＜0，由b=1可得y2=ax2+x+1，令y1=y2可得x的值，然后结合图象可得m、n的大小.
25．如图
（1）【特例感知】如图23-1，对于抛物线，下列结论正确的序号是
①抛物线都经过点；
②抛物线的对称轴由拋物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等.
（2）
【形成概念】把满足(为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
【知识应用】在(2)中，如图.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移拔物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：，，其横坐标分别为：为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，请求出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.
③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，连接，判断直线是否平行 请直接写出判断结果.
【答案】（1）①②③
（2）解：①，所以顶点
令顶点横坐标，纵坐标
即：Pn顶点满足关系式：y=x2+1
②令，
则，
∴
∵
结果与n无关，∴相邻两点之间距离为定值，定值为
③两线段不平行
【解析】【解答】解：（1）令x=0，可得y1=y2=y3=1，故①正确；
抛物线y1、y2、y3的对称轴分别为x=、x=-1、x=，故②正确；
抛物线y1、y2、y3与y=1的交点的横坐标分别为-1、-2，-3，则相邻两点之间的距离相等，均为1，故③正确.
故答案为：①②③.
（2）③根据题意可得Cn（-k-n，-k2-nk+1），Cn-1（-k-n+1，-k2-nk+k+1），An（-n，1），An-1（-n+1，1），
在Rt△DAnCn中，tan∠DAnCn==k+n，
在Rt△EAn-1Cn-1中，tan∠EAn-1Cn-1==k+n-1，
∴∠DAnCn≠∠EAn-1Cn-1，
∴CnAn与Cn-1An-1不平行.
【分析】（1）令x=0，求出y的值，据此判断①；分别求出y1、y2、y3的对称轴，进而判断②；抛物线y1、y2、y3与y=1的交点的横坐标分别为-1、-2，-3，据此判断③；
（2）①将yn解析式化为顶点式，可得Pn（，），令x=，则y==()2+1=x2+1，据此解答；
②令xn-1=-k-(n-1)=-k-n+1，yn-1=-xn-12-(n-1)xn-1+1，xn=-k-n，yn=-xn2-nxn+1，则Cn（xn，yn），Cn-1（xn-1，yn-1），xn-1-xn=1，yn-1-yn=-xn-12-(n-1)xn-1+1+xn2+nxn-1=k，然后根据进行解答；
③根据题意可得Cn（-k-n，-k2-nk+1），Cn-1（-k-n+1，-k2-nk+k+1），An（-n，1），An-1（-n+1，1），根据三角函数的概念可得tan∠DAnCn，tan∠EAn-1Cn-1 ，然后根据平行线的判定定理进行解答.
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