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八年级上册数学《第1章 勾股定理》
探索勾股定理
一、勾股定理
●●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
★1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；
★2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.
★3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、
b2 = c2 - a2；、、.
【拓展】
◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＞c2.
◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＜c2.
【注意】
1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形.
2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解.
二、勾股定理的证明
●通过拼图证明勾股定理的思路：
（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.
（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.
（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.
●下面列举几种证明方法：
◆1、“赵爽弦图”
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即c2ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．
◆2、我国数学家邹元治的证明方法
证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即（a+b）2＝c2ab×4，化简得：a2+b2＝c2．
◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即（a+b）（a+b）ab×2c2，化简得：a2+b2＝c2．
考点1、利用勾股定理求直角三角形的边长
【解题思路】利用勾股定理求直角三角形的边长的步骤：一分，即分清哪条边是斜边，哪条边是直角边；二代，即将已知边长代入a2 + b2 = c2（c为斜边）；三化简求值，若已知的两边可能都是直角边，也可能是直角边与斜边，则应利用分类讨论思想分两种情况讨论.
例1．（2024春 龙湖区期末）在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或
变式1．（2024春 洪山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，AB＝2，则BC的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
变式2．（2024秋 青原区期中）在△ABC中AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC中点，DE⊥AC，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024秋 桐城市校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）若AC＝2，求AD的长．
考点2、利用图形面积之间的关系求图形的面积
【解题思路】与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上的图形之和等于斜边上的图形的面积.
例2．（2024秋 阳信县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．225 B．200 C．150 D．无法计算
变式1．（2024 惠阳区一模）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．8 B．10 C．13 D．15
变式2．（2024 广东模拟）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为Rt△ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分（两个白色弓形部分）记为Ⅲ．设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为S1，S2，S3，则下列结论一定正确的是（ ）
A．S1＝S2+S3 B．S1＝S3 C．S2＝S3 D．S1＝S2
变式3．（2024 古冶区三模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为5、13、30，则正方形C的面积为（ ）
A．12 B．18 C．10 D．20
考点3、构造直角三角形求线段的长
【解题思路】利用勾股定理求非直角三角形中线段长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的方法解决问题.
例3．（2023秋 沂源县期末）如图．在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E两点，若BE＝5，CE＝3，则AC的长为 ．
变式2．（2024秋 门头沟区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．求BC边上的高的长．
变式3．（2024春 武威期中）如图，在△ABC中，过点A作AD⊥AB于点D．
（1）若∠B＝30°，，求BD的长；
（2）在（1）的条件下，∠C＝45°，求△ABC的面积．
考点4、利用勾股定理求图形的周长
【解题思路】利用勾股定理求三角形的边长，最后根据三角形的周长列式计算即可得解，同时要利用角平分线的性质定理等知识．
例4．（2024春 徐闻县校级月考）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则以AB为边的正方形的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．25
变式1．（2024春 禹州市月考）已知一个直角三角形的两条直角边的长分别是和，则这个直角三角形的周长为 ．
变式2．（2024秋 雨花区期末）已知直角三角形面积为24，斜边长为10，则其周长为 ．
变式3．如图，三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于E，已知CD=3，BD=5，求三角形ABC的周长．
考点5、利用勾股定理直接求图形的面积
【解题思路】求不规则图形的面积的方法：首先通过添加辅助线，将不规则图形转化为规则图形（如直角三角形，长方形等），然后利用规则图形的特殊性质，求出相应线段的长，最后求出面积.
例5．（2024春 南岗区校级月考）直角三角形斜边的长是17，一直角边的长是15，则此直角三角形的面积为 ．
变式1．（2024春 范县期中）如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．19
变式2．（2024春 岳麓区期中）如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一点，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则四边形ACBP的面积等于 ．
变式3．（2023秋 伊川县期末）在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
考点6、利用勾股定理解决折叠问题
【解题思路】利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤:(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角:(2)在图形中找到一个直角三角形然后设图形中某一线段的长为x将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来:(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题.
例6．（2024春 南昌期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式1．（2024春 武汉期中）如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将矩形的一角沿CE向上折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上．若△AEF的周长为6，△CDF的周长为12，则AF的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
变式2．（2024春 东城区校级期中）如图，在矩形ABCD中，将△BAD沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F．若BC＝9，DC＝3，则DF的长为 ．
变式3．（2024春 惠阳区月考）如图，折叠长方形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝12，AB＝5，求：
（1）求线段CE的长；
（2）求△CEF的面积．
考点7、勾股定理在格点中的应用
【解题思路】正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算.
例7．（2024 山阳县三模）如图是边长为1的3×3的正方形网格，△ABC的三个顶点都在格点上，则BC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024春 绥阳县校级月考）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都是1，则△ABC中BC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024 新城区校级模拟）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024春 滑县月考）如图1，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在正方形网格的格点上，AB＝5，AC＝2，BC．
（1）请在网格中画出△ABC．
（2）如图2，直接写出：
①AC＝ ，BC＝ ．
②△ABC的面积为 ．
③AB边上的高为 ．
考点8、勾股树问题
【解题思路】从一个直角三角形出发，分别以其三边为边长向外作正方形;斜边上正方形的面积，等于两直角边上正方形面积之和，此称为勾股图，继续进行下去，就可以形成勾股树，然后根据数值的变化找出变化规律是解题的关键．
例8．（2024春·全国·八年级阶段练习）正方形的边长为，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024春·八年级统考期中）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中 ，现把图2中的直角三角形继续作下去如图3所示，若 的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2024春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为______．
例3．（2024春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．
考点9、勾股定理的证明
【解题思路】勾股定理的证明主要是通过拼图，利用面积的关系完成的，拼图常用补拼法和叠合法两种方法，补拼时要无重叠，叠合时要无空隙；而用面积关系验证勾股定理时的关键是要找到一些特殊图形（如直角三角形，正方形等）的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的.
例9．（2024春 虞城县月考）下面图形中可以用来验证勾股定理的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
变式1．（2024春 涧西区期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，则EF的值是（ ）
A．7 B．2 C． D．7
变式2．（2024春 德城区月考）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长（x＞y），下列四个说法：①x+y＝9；②y﹣x＝2；③2xy+4＝49；④x2+y2＝49．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
变式3．（2024春 巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
考点10、勾股定理的证明
【解题思路】证明线段的平方关系的方法：对于带有平方运算的问题，主要思路是找出或构造直角三角形，利用勾股定理并结合等量代换和代数中的恒等变形进行转化.
例10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．
变式1．已知，如图，△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高，M是AD边上任意一点．求证：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．
变式2．（2024秋 高阳县期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE＝15cm，OE＝8cm．
（1）试说明：OE＝BD；
（2）求DE的长．
变式3．如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．
（1）若设BE＝a，CF＝b，满足|b﹣5|，求BE及CF的长．
（2）求证：BE2+CF2＝EF2．
（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．
1．（2024 昆都仑区二模）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，AO＝2，则OC2的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2024秋 兴平市期末）如图、在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．5 D．
3．（2024春 汝南县期中）将一副直角三角板和一把宽度为3cm的直尺按如图方式摆放；先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（ ）
A． B． C．3 D．
4．（2024春 河东区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ ）
A．5 B． C． D．2
5．（2024春 任泽区校级月考）如图，在Rt△ABC中，P为BC边上一点，已知△ABC的周长为30，PC＝5，AC＝10，则斜边AB的长为（ ）
A．13.5 B．12 C．13 D．12.5
6．（2024 大荔县三模）如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，AE＝AD＝2，则AC的长是（ ）
A．4 B．2 C． D．
7．（2024秋 洋县期末）已知某直角三角形的两条直角边长的比为5：12，若该直角三角形的周长为60，则该直角三角形的斜边长为 ．
8．（2024春 香坊区校级期中）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、2、3、4，则最大的正方形E的面积是 ．
9．（2024 衡水三模）如图，在4×4的正方形网格中，O为格点，点A、B都在网格线上，已知线段OA、线段OB的长都是整数，则 ．
10．（2024春 兴宁区校级期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝6，BD＝10，AC长为 ．
11．（2024春 九龙坡区校级期中）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道需要 元．
12．（2024秋 文登区期中）如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A，B两点．若花瓶高16cm，底面圆的周长为24cm，则需要金色铁丝的长度最少为 cm．
13．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5．
（1）求CD的长；
（2）求DE的长．
14．（2024春 拱墅区校级月考）如图在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，求该四边形的面积．
15．（2024春 江汉区期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，E恰好是BC的中点，若，DC＝1，．
（1）直接写出四边形ABCD的周长；
（2）求四边形ABCD的面积．
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八年级上册数学《第1章 勾股定理》
探索勾股定理
一、勾股定理
●●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
★1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；
★2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.
★3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、
b2 = c2 - a2；、、.
【拓展】
◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＞c2.
◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＜c2.
【注意】
1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形.
2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解.
二、勾股定理的证明
●通过拼图证明勾股定理的思路：
（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.
（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.
（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.
●下面列举几种证明方法：
◆1、“赵爽弦图”
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即c2ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．
◆2、我国数学家邹元治的证明方法
证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即（a+b）2＝c2ab×4，化简得：a2+b2＝c2．
◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即（a+b）（a+b）ab×2c2，化简得：a2+b2＝c2．
考点1、利用勾股定理求直角三角形的边长
【解题思路】利用勾股定理求直角三角形的边长的步骤：一分，即分清哪条边是斜边，哪条边是直角边；二代，即将已知边长代入a2 + b2 = c2（c为斜边）；三化简求值，若已知的两边可能都是直角边，也可能是直角边与斜边，则应利用分类讨论思想分两种情况讨论.
例1．（2024春 龙湖区期末）在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
变式1．（2024春 洪山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，AB＝2，则BC的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】直接根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，
∴BC，
即BC的长是，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
变式2．（2024秋 青原区期中）在△ABC中AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC中点，DE⊥AC，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AD，由等腰三角形的性质知，BD＝DCBC＝3，由勾股定理求得AD的值，再由三角形的面积公式求得DE的值．
【解答】解：连接AD，则AD⊥BC，BD＝DCBC＝3，
在Rt△ABD中，AD4，
∵DE⊥AC，
∴S△ADCAD CDAC DE，
∴DE＝AD×CD÷AC＝4×3÷5．
故选：C．
【点评】本题利用了等腰三角形的性质：底边上的高平分底边，及勾股定理和面积法求高．
变式3．（2024秋 桐城市校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）若AC＝2，求AD的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理计算；
（2）根据勾股定理计算．
【解答】解：（1）∵∠B＝60°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝75°；
（2）在Rt△ADC中，∠C＝45°，
∴AD＝DC，
由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，
∴AD＝DCAC．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
考点2、利用图形面积之间的关系求图形的面积
【解题思路】与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上的图形之和等于斜边上的图形的面积.
例2．（2024秋 阳信县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．225 B．200 C．150 D．无法计算
【分析】根据勾股定理得AC2+BC2＝AB2＝152＝225，从而得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2＝152＝225，
∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
变式1．（2024 惠阳区一模）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．8 B．10 C．13 D．15
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2＝8，y2＝5，z2＝x2+y2，即最大正方形的面积为z2．
【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2＝3+5＝8，y2＝2+3＝5，z2＝x2+y2＝13；
即最大正方形E的面积为：z2＝13．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
变式2．（2024 广东模拟）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为Rt△ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分（两个白色弓形部分）记为Ⅲ．设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为S1，S2，S3，则下列结论一定正确的是（ ）
A．S1＝S2+S3 B．S1＝S3 C．S2＝S3 D．S1＝S2
【分析】根据图形可知：整个图形的面积减去以BC为直径的半圆的面积就是阴影部分的面积，然后计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB2+AC2＝BC2
∴
＝S1．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式3．（2024 古冶区三模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为5、13、30，则正方形C的面积为（ ）
A．12 B．18 C．10 D．20
【分析】根据勾股定理和正方形的性质得SA+SB＝SE＝SD﹣SC，即可解决问题．
【解答】解：如图，
由题意可知，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，
根据勾股定理和正方形的性质得：SA+SB＝SE＝SD﹣SC，
∵正方形A、B、D的面积依次为5、13、30，
∴5+13＝30﹣SC，
∴SC＝12，
即正方形C的面积为12．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及正方形的性质，解题的关键是勾股定理的正确应用．
考点3、构造直角三角形求线段的长
【解题思路】利用勾股定理求非直角三角形中线段长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的方法解决问题.
例3．（2023秋 沂源县期末）如图．在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BDBC＝5，
∴AD12，
又∵DE⊥AB，
∴BD ADAB ED，
∴ED，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
变式1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E两点，若BE＝5，CE＝3，则AC的长为 ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解答】解：连接AE，
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE＝5，
∵∠C＝90°，CE＝3，
∴AC4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
变式2．（2024秋 门头沟区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．求BC边上的高的长．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质求出BDBC＝4，根据勾股定理求出AD的长即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC，
∴BD＝CDBC＝4，
∴AD3，
即BC边上的高的长为3．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
变式3．（2024春 武威期中）如图，在△ABC中，过点A作AD⊥AB于点D．
（1）若∠B＝30°，，求BD的长；
（2）在（1）的条件下，∠C＝45°，求△ABC的面积．
【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质得ADBD，再由勾股定理求出BD的长即可；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，由含30°角的直角三角形的性质得AE，再由勾股定理得BE＝3，然后证△AEC是等腰直角三角形，得CE＝AE，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝30°，
∴ADBD，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2，
即（2）2+（BD）2＝BD2，
解得：BD＝4（负值已舍去）；
（2）如图，过点A作AE⊥BC于点E，
则∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵∠B＝30°，
∴AEAB2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：BE3，
∵∠C＝45°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
∴BC＝BE+CE＝3，
∴S△ABCAE BC（3）．
【点评】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
考点4、利用勾股定理求图形的周长
【解题思路】利用勾股定理求三角形的边长，最后根据三角形的周长列式计算即可得解，同时要利用角平分线的性质定理等知识．
例4．（2024春 徐闻县校级月考）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则以AB为边的正方形的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．25
【分析】根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∴以AB为边的正方形的周长是4×5＝20，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，能运用勾股定理求边长是解题的关键．
变式1．（2024春 禹州市月考）已知一个直角三角形的两条直角边的长分别是和，则这个直角三角形的周长为 ．
【分析】根据题意求出斜边长即可．
【解答】解：斜边长为：，
∴这个直角三角形的周长为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据题意求出斜边长即可．
变式2．（2024秋 雨花区期末）已知直角三角形面积为24，斜边长为10，则其周长为 ．
【分析】设直角三角形的两直角边分别是a、b（a＜b，且a、b均为正数）．利用勾股定理和三角形的面积公式求得两直角边是6和8．然后由三角形的周长公式求得该直角三角形的周长．
【解答】解：设直角三角形的两直角边分别是a、b（a＜b，且a、b均为正数），
则，
解得．
所以该直角三角形的周长是：6+8+10＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了勾股定理的应用．关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方（如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2）．
变式3．如图，三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于E，已知CD=3，BD=5，求三角形ABC的周长．
【分析】根据角平分线的性质得到DE=CD=3，根据勾股定理求出BE的长，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，AC=AE，
∵DE⊥AB，DE=3，BD=5，
根据勾股定理得，BE=4，
∴AC2+82=（AE+4）2，
解得AE=6，
则AC=6，
∴三角形ABC的周长=AC+AB+BC=24．
【点评】本题考查的是角平分线的性质和勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
考点5、利用勾股定理直接求图形的面积
【解题思路】求不规则图形的面积的方法：首先通过添加辅助线，将不规则图形转化为规则图形（如直角三角形，长方形等），然后利用规则图形的特殊性质，求出相应线段的长，最后求出面积.
例5．（2024春 南岗区校级月考）直角三角形斜边的长是17，一直角边的长是15，则此直角三角形的面积为 ．
【分析】根据勾股定理求出另一直角边长，再根据直角三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵直角三角形斜边长是17，一直角边的长是15，
∴另一直角边长8，
∴此直角三角形的面积60，
故答案为：60．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
变式1．（2024春 范县期中）如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．19
【分析】利用正方形的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴S正＝5×5＝25，
∴S阴影＝S正﹣S△ABE＝25﹣6＝19．
故选：D．
【点评】本题主要考查正方形的性质与勾股定理，解题的关键是用割补法求阴影部分的面积．
变式2．（2024春 岳麓区期中）如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一点，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则四边形ACBP的面积等于 ．
【分析】根据正方形的面积公式可得：AC＝4，AB＝AH＝5，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC的长，最后根据四边形ACBP的面积＝△ABC的面积+△ABP的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，S1＝16，S2＝25，
∴AC＝4，AB＝AH＝5，
∵∠ACB＝90°，
∴BC3，
∴四边形ACBP的面积＝△ABC的面积+△ABP的面积
AC BCAB AH
4×35×5
＝6+12.5
＝18.5，
故答案为：18.5．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
变式3．（2023秋 伊川县期末）在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
【分析】设BD＝x，由CD＝BC﹣BD表示出CD，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出关于x的方程，求出方程的解得到AD的长，即可求出三角形ABC面积．
【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则有CD＝14﹣x，
由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解之得：x＝9，
∴AD＝12，
∴S△ABCBC AD14×12＝84．
【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
考点6、利用勾股定理解决折叠问题
【解题思路】利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤:(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角:(2)在图形中找到一个直角三角形然后设图形中某一线段的长为x将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来:(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题.
例6．（2024春 南昌期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】设BN＝x，则AN＝9﹣x＝DN，依据Rt△NBD中，BD2+BN2＝DN2，列方程求解即可．
【解答】解：设BN＝x，则AN＝9﹣x＝DN，
∵D是BC的中点，
∴BDBC＝3，
∵∠B＝90°，
∴Rt△NBD中，BD2+BN2＝DN2，
即32+x2＝（9﹣x）2，
解得x＝4，
∴BN＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了折叠问题，解题的方法是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
变式1．（2024春 武汉期中）如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将矩形的一角沿CE向上折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上．若△AEF的周长为6，△CDF的周长为12，则AF的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
【分析】Rt△CDF中，利用勾股定理可得DF2+CD2＝CF2，进而得出32+（9﹣CF）2＝CF2，求得CF的长，即可得出AF的长．
【解答】解：由折叠可知，BE＝FE，BC＝FC，
又∵△AEF的周长＝6，△CDF的周长＝12，
∴矩形ABCD的周长＝6+12＝18，
∴BC+CD＝189，即CF+CD＝9，
∴DF＝12﹣9＝3，
Rt△CDF中，DF2+CD2＝CF2，
即32+（9﹣CF）2＝CF2，
解得CF＝5，
∴BC＝AD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣3＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换，解题的方法是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
变式2．（2024春 东城区校级期中）如图，在矩形ABCD中，将△BAD沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F．若BC＝9，DC＝3，则DF的长为 ．
【分析】设DF＝x，易得CF＝BC﹣BF＝9﹣x，再根据∠C＝90°，利用勾股定理可得△CDF中，CD2+CF2＝DF2，进而得到方程32+（9﹣x）2＝x2，解方程即可．
【解答】解：设DF＝x，
由折叠可得∠ADB＝∠FDB，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠FBD，
∴∠FDB＝∠FBD，
∴DF＝BF＝x，
∴CF＝BC﹣BF＝9﹣x，
∵∠C＝90°，
∴△CDF中，CD2+CF2＝DF2，
即32+（9﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴DF＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解题的方法设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
变式3．（2024春 惠阳区月考）如图，折叠长方形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝12，AB＝5，求：
（1）求线段CE的长；
（2）求△CEF的面积．
【分析】（1）设CE＝x，则BE＝12﹣x＝EF，依据勾股定理可得AC的长；再利用Rt△CEF，根据勾股定理列方程求解即可得到CE的长；
（2）直接利用三角形面积计算公式进行计算，即可得出结论．
【解答】解：（1）设CE＝x，则BE＝12﹣x＝EF，
Rt△ABC中，AC13，
由折叠可得，AF＝AB＝5，
∴CF＝AC﹣AF＝13﹣5＝8，
由折叠可得∠CFE＝90°，
∴EF2+CF2＝CE2，
即（12﹣x）2+82＝x2，
解得x，
∴线段CE的长为；
（2）△CEF的面积EF×CF（12）×8．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及折叠问题，解题的方法是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
考点7、勾股定理在格点中的应用
【解题思路】正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算.
例7．（2024 山阳县三模）如图是边长为1的3×3的正方形网格，△ABC的三个顶点都在格点上，则BC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设BC边上的高为h，由勾股定理求出BC的长，再由割补法求出△ABC的面积，即可解决问题．
【解答】解：设BC边上的高为h，
由勾股定理得：BA，
∵S△ABCBC h＝3×2﹣22×13×1，
∴ h，
∴h，
即BC边上的高为，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理，求由割补法求出△ABC的面积是解题的关键．
变式1．（2024春 绥阳县校级月考）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都是1，则△ABC中BC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出△ABC的面积，由勾股定理求出BC，最后根据等面积法即可求出BC边上的高的长度．
【解答】解：∵，，
设△ABC中BC边上的高为h，
∴，
∴．
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理，间接法求三角形的面积和等面积法，二次根式的化简，理解两种方法及灵活运用是解题的关键．
变式2．（2024 新城区校级模拟）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由勾股定理求出BC的长，再由三角形面积求出△ABC中边BC上的高即可．
【解答】解：设△ABC中边BC上的高为h，
由勾股定理得：AB，
∵S△ABCBC h＝2×32×21×13×1＝2，
∴h＝2，
∴h，
即△ABC中边BC上的高为，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理、面积法以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和面积法是解题的关键．
变式3．（2024春 滑县月考）如图1，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在正方形网格的格点上，AB＝5，AC＝2，BC．
（1）请在网格中画出△ABC．
（2）如图2，直接写出：
①AC＝ ，BC＝ ．
②△ABC的面积为 ．
③AB边上的高为 ．
【分析】（1）根据点A、B、C在正方形网格的格点上，AB＝5，AC＝2，BC，即可在网格中画出△ABC；
（2）①根据勾股定理即可求出AC、BC的长；
②根据割补法即可求出三角形ABC的面积；
③根据等面积法即可求出AB边上的高．
【解答】解：（1）△ABC即为所求；
（2）①AC，
BC；
②S△ABC＝2×211×21×2，
③如图2，
AB边上的高为CD，垂足为D，
∵S△ABCAB CD，
∵AB，
∴CD，
∴CD．
故答案为：、、、．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图、勾股定理，解决本题的关键是准确利用网格．
考点8、勾股树问题
【解题思路】从一个直角三角形出发，分别以其三边为边长向外作正方形;斜边上正方形的面积，等于两直角边上正方形面积之和，此称为勾股图，继续进行下去，就可以形成勾股树，然后根据数值的变化找出变化规律是解题的关键．
例8．（2024春·全国·八年级阶段练习）正方形的边长为，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2＝S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律Sn＝（）n﹣1，依此规律即可得出结论．
【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，
∴S2+S2＝S1．
观察，发现规律：
S1＝12＝1，
S2＝S1＝，
S3＝S2＝，
S4＝S3＝ ，
…，
∴Sn＝（）n﹣1．
当n＝2022时，S2022＝（）2022﹣1＝（）2021，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律Sn＝（）n-1．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．
变式1．（2024春·八年级统考期中）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中 ，现把图2中的直角三角形继续作下去如图3所示，若 的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用勾股定理可求出OA2，OA3，OA4，即可得到OA3·OAn=，再根据OA3·OAn是整数及1≤n≤30，由此可求出n的值的个数．
【解答】由题意得
；
；
；
∵ 1≤n≤30，
∴OA3·OAn的值是整数，
∴·OAn的值可以是，，
是整数的有3个．
故答案为：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键．
变式2．（2024春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为______．
【答案】2024
【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有三角形的面积，总结出一般规律，即可进行解答．
【解答】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，
根据勾股定理可得：，
∵,
∴第一代勾股树中所有正方形的面积为；
同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为；
第三代勾股树中所有正方形的面积为；
第n代勾股树中所有正方形的面积为；
∴第2023代勾股树中所有正方形的面积为2024．
故答案为：2024．
【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是仔细观察图形，根据勾股定理总结出变化的一般规律．
例3．（2024春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．
【分析】（1）设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解之间的关系，进而可得结果；②根据，，，可得；
（2）由题意知，，，，，，代入求解即可．
【解答】（1）①解：设两直角边分别为，，斜边为，
则图2中，，
∵，
∴，故图2符合题意；
图3中，，，，
∵，
∴，故图3符合题意；
图4中，，，，
∵，
∴，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足的有3个，
故答案为：3；
②解：满足，证明如下：
由题意知，，，
∴；
（2）解：由题意知，，，，，，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．
考点9、勾股定理的证明
【解题思路】勾股定理的证明主要是通过拼图，利用面积的关系完成的，拼图常用补拼法和叠合法两种方法，补拼时要无重叠，叠合时要无空隙；而用面积关系验证勾股定理时的关键是要找到一些特殊图形（如直角三角形，正方形等）的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的.
例9．（2024春 虞城县月考）下面图形中可以用来验证勾股定理的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图1可以验证勾股定理；根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理可以判断2可以验证勾股定理．
【解答】解：图1∵，，
∴，
∴a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故图1可以验证勾股定理；
图2：图形的总面积可以表示为：，
也可以表示为：，
∴c2+ab＝a2+b2+ab，
∴a2+b2＝c2，故图2可以验证勾股定理；
图3的条件不充足，不可以验证勾股定理，
综上，图1、图2可以验证勾股定理，共2个，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，关键是梯形面积公式的应用．
变式1．（2024春 涧西区期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，则EF的值是（ ）
A．7 B．2 C． D．7
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知EF2的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决．
【解答】解：∵AE＝5，AB＝13，
∴BE12，
∴小正方形的面积为：132﹣45×12＝49，
由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，
∴EF2的值是49×2＝98，
∴EF的值是7，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确EF2的值等于小正方形的面积的2倍．
变式2．（2024春 德城区月考）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长（x＞y），下列四个说法：①x+y＝9；②y﹣x＝2；③2xy+4＝49；④x2+y2＝49．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
【分析】根据勾股定理和正方形的性质即可得到x2+y2＝AB2＝49，即可判定④；根据图形可知x﹣y＝CE＝2，即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得2xy+4＝49，即可判断③；进而得到（x+y）2＝94，即可判断①．
【解答】解：如图所示，
∵正方形ABGF的面积为49，
∴AB2＝49，
∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理得：x2+y2＝AB2＝49，故④正确；
∵正方形CDHE的面积为4，
∴CE＝CD＝EH＝DH＝2，
∴x﹣y＝CE＝2，故②错误；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即2xy+4＝49，故③正确；
由2xy+4＝49可得2xy＝45，
又∵x2+y2＝49，
两式相加得：x2+2xy+y2＝49+45，
整理得：（x+y）2＝94，
，故①错误；
故正确的是③④．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．
变式3．（2024春 巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．
【解答】证明：如图，连接BF，
∵AC＝b，
∴正方形ACDE的面积为b2，
∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，
∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，
∵∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠EAF+∠BAE＝90°，
∴△BAE为等腰直角三角形，
∴四边形ABDF的面积为：c2（b﹣a）（a+b）c2（b2﹣a2），
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，
∴b2c2（b2﹣a2），
∴b2c2b2a2，
∴a2b2c2，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用拼图的方法，再利用面积相等证明．
考点10、勾股定理的证明
【解题思路】证明线段的平方关系的方法：对于带有平方运算的问题，主要思路是找出或构造直角三角形，利用勾股定理并结合等量代换和代数中的恒等变形进行转化.
例10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．
【分析】（1）根据勾股定理AB2+BC2＝AC2，得出AB2+BC2＝2AB2，进而得出AB＝BC；
（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE＝BF，进而证明结论．
【解答】证明：（1）连接AC．
∵∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2．
∵CD⊥AD，
∴AD2+CD2＝AC2．
∵AD2+CD2＝2AB2，
∴AB2+BC2＝2AB2，
∴BC2＝AB2，
∵AB＞0，BC＞0，
∴AB＝BC．
（2）过C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CD＝EF．
∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴在△BAE与△CBF中
∴，
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE＝BF．
∴BE＝BF+EF＝AE+CD．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解决问题的关键．
变式1．已知，如图，△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高，M是AD边上任意一点．求证：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．
【分析】利用勾股定理列式表示出AD2、MD2，然后整理即可得证．
【解答】证明：在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，
在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，
所以，AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
所以，AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2，
在Rt△MBD中，MB2﹣BD2＝MD2，
在Rt△MCD中，MC2﹣CD2＝MD2，
所以MB2﹣BD2＝MC2﹣CD2，
所以MB2﹣MC2＝BD2﹣CD2，
所以AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．
【点评】本题考查了勾股定理，熟记定理并列出表示出AD2、MD2是解题的关键．
变式2．（2024秋 高阳县期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE＝15cm，OE＝8cm．
（1）试说明：OE＝BD；
（2）求DE的长．
【分析】（1）由直角三角形的性质证出∠COE＝∠B，利用AAS证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD＝15cm，DE＝OD﹣OE＝7cm．
【解答】解：（1）∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
又∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE＝BD；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD＝15cm，
∴DE＝OD﹣OE＝7cm．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．
变式3．如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．
（1）若设BE＝a，CF＝b，满足|b﹣5|，求BE及CF的长．
（2）求证：BE2+CF2＝EF2．
（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．
【分析】（1）先根据二次根式的非负性求出m＝2，再由非负数的性质求出a、b的值，进而得到BE及CF的长；
（2）延长ED到P，使DP＝DE，连接FP，CP，利用SAS得到三角形BED与三角形CPD全等，利用全等三角形对应边相等得到BE＝CP，再利用SAS得到△EDF和△PDF全等，利用全等三角形对应边相等得到EF＝FP，利用等角的余角相等得到∠FCP为直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证；
（3）连接AD，由AB＝AC，且D为BC的中点，利用三线合一得到AD垂直于BC，AD为角平分线，再由三角形ABC为等腰直角三角形，得到一对角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AD＝CD，利用ASA得到三角形AED与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等得到AE＝CF＝5，DE＝DF，由AE+EB求出AB的长，即为AC的长，再由AC﹣CF求出AF的长，在直角三角形AEF中，利用勾股定理求出EF的长，再根据三角形DEF为等腰直角三角形求出DE与DF的长，即可确定出三角形DEF的面积．
【解答】（1）解：由题意得，
解得m＝2，
则|b﹣5|＝0，
所以a﹣12＝0，b﹣5＝0，
a＝12，b＝5，
即BE＝12，CF＝5；
（2）证明：延长ED到P，使DP＝DE，连接FP，CP，
在△BED和△CPD中，
，
∴△BED≌△CPD（SAS），
∴BE＝CP，∠B＝∠DCP，
在△EDF和△PDF中，
，
∴△EDF≌△PDF（SAS），
∴EF＝FP，
∵∠B＝∠DCP，∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCP＝90°，即∠FCP＝90°，
在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF2+CP2＝PF2，
∵BE＝CP，PF＝EF，
∴BE2+CF2＝EF2；
（3）解：连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠FCD＝45°，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
∵ED⊥FD，
∴∠EDA+∠ADF＝90°，∠ADF+∠FDC＝90°，
∴∠EDA＝∠FDC，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE＝CF＝5，DE＝DF，即△EDF为等腰直角三角形，
∴AB＝AE+EB＝5+12＝17，
∴AF＝AC﹣FC＝AB﹣CF＝17﹣5＝12，
在Rt△EAF中，根据勾股定理得：EF13，
设DE＝DF＝x，
根据勾股定理得：x2+x2＝132，
解得：x，即DE＝DF，
则S△DEFDE DF．
【点评】此题考查了非负数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
1．（2024 昆都仑区二模）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，AO＝2，则OC2的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据勾股定理先求出BO的长，再计算CO2的长即可．
【解答】解：由题意得，在Rt△AOB中，
BO，
在Rt△BOC中，
CO2＝OB+BC2＝（）2+12＝6，
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理，正确记忆计算公式是解题关键．
2．（2024秋 兴平市期末）如图、在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．5 D．
【分析】由勾股定理得S1+S2＝S3，再由S3+S2﹣S1＝18求出S2＝9，即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
即S1+S2＝S3，
∵S3+S2﹣S1＝18，
∴S2＝9，
由图形可知，阴影部分的面积S2，
∴阴影部分的面积，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由勾股定理得出S1+S2＝S3是解题的关键．
3．（2024春 汝南县期中）将一副直角三角板和一把宽度为3cm的直尺按如图方式摆放；先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴∠CAD＝45°＝∠ACD，
∴AD＝CD＝3cm，
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴BC＝2CD＝6cm，
∴BD3（cm），
∴AB＝BD﹣AD＝（33）（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2024春 河东区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ ）
A．5 B． C． D．2
【分析】在RT△ABC中，利用勾股定理求出AB，然后根据AB×CDAC×BC，可求出CD．
【解答】解：在RT△ABC中，AB5，
∵S△ABCAC×BCAB×CD，AC＝3，BC＝4，
∴CD．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的知识，属于基础题，解答本题的关键有两点：①利用勾股定理求出AB，②利用面积表达式求解CD．
5．（2024春 任泽区校级月考）如图，在Rt△ABC中，P为BC边上一点，已知△ABC的周长为30，PC＝5，AC＝10，则斜边AB的长为（ ）
A．13.5 B．12 C．13 D．12.5
【分析】设PB＝x，则BC＝x+5，AB＝15﹣x，再根据勾股定理列方程解方程即可．
【解答】解：设PB＝x，则BC＝PC+PB＝x+5，
∵△ABC的周长为30，
∵AB＝30﹣AC﹣BC＝30﹣10﹣（x+5）＝15﹣x，
在Rt△ABC中AC2+BC2＝AB2，
102+（x+5）2＝（15﹣x）2，
解得：x＝2.5，
∴AB＝15﹣x＝12.5，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，完全平方式，正确记忆相关知识点是解题关键．
6．（2024 大荔县三模）如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，AE＝AD＝2，则AC的长是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【分析】由在矩形ABCD中，AE＝AD＝2，可得BC＝2，又由E是BC的中点，求得BE的长，然后由勾股定理求得AB与AC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，BC＝AD＝2，
∵E是BC的中点，
∴BEBC＝1，
∵AE＝2，
∴AB，
∴AC．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的应用以及矩形的性质．注意如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
7．（2024秋 洋县期末）已知某直角三角形的两条直角边长的比为5：12，若该直角三角形的周长为60，则该直角三角形的斜边长为 ．
【分析】根据在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2＝c2即可得答案．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边分别为5x、12x，则斜边长为：
，
∵直角三角形的周长为60，
∴5x+12x+13x＝60，
解得：x＝2，
∴斜边长为13×2＝26．
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了勾股定理，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
8．（2024春 香坊区校级期中）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、2、3、4，则最大的正方形E的面积是 ．
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2＝32+52，y2＝22+32，z2＝x2+y2，即最大正方形的面积为z2．
【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2＝32+52＝34；
y2＝22+32＝13；
z2＝x2+y2＝47；
即最大正方形E的面积为：z2＝47．
故答案为：47．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
9．（2024 衡水三模）如图，在4×4的正方形网格中，O为格点，点A、B都在网格线上，已知线段OA、线段OB的长都是整数，则 ．
【分析】把OA，OB放在相应的直角三角形中，由图可得2＜AD＜3，3＜BE＜4，再结合OA，OB是整数，勾股定理，从而可求解．
【解答】解：如图，
由题意可得OD＝2，OE＝2，2＜AD＜3，3＜BE＜4，
∴OA2＝OD2+AD2＝4+AD2，
OB2＝OE2+BE2＝4+BE2，
∵线段OA、线段OB的长都是整数，
∴OA2＝9，OB2＝16，
∴．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查勾股定理，解答的关键是把OA，OB放到直角三角形的中．
10．（2024春 兴宁区校级期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝6，BD＝10，AC长为 ．
【分析】过点D作DE⊥AB交AB于点E，先证明AE＝AC，然后求出BE，接着设AC＝AE＝x，在Rt△ACB中利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝6，∠DEB＝∠DEA＝90°，
∵AE2＝AD2﹣DE2，AC2＝AD2﹣CD2，
∴AE＝AC，
在Rt△BED中，
，
在Rt△ACB中，
AB2＝AC2+BC2，
设AC＝AE＝x，则（8+x）2＝x2+（10+6）2，
解得：x＝12，
即AC＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了角平分线的性质和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．（2024春 九龙坡区校级期中）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道需要 元．
【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【解答】解：由勾股定理得AB12（m），
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×30＝1020（元）．
故答案为：1020．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
12．（2024秋 文登区期中）如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A，B两点．若花瓶高16cm，底面圆的周长为24cm，则需要金色铁丝的长度最少为 cm．
【分析】解析要求铁丝的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，这条铁丝的最小长度是长方形的对角线AB的长的2倍圆柱的底面周长是24cm，高是16cm，
∴AC＝16cm，BC＝12cm，
∴AB20cm．
∴需要金色铁丝的长度最少为40cm，
故答案为：40．
【点评】本题考查了平面展开一最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
13．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5．
（1）求CD的长；
（2）求DE的长．
【分析】（1）先证明三角形ABC是直角三角形，再根据等面积法即可求解；
（2）根据勾股定理求出BD的长即可求解．
【解答】解：（1）∵CE是AB边上的中线，
∴AE＝BE＝5，
∴AB＝10，
又∵AC＝8，BC＝6，
∴AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
又∵CD是△ABC的高，
∴S，
∴CD；
（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，
BD3.6，
∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3.6＝1.4．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．（2024春 拱墅区校级月考）如图在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，求该四边形的面积．
【分析】延长DA和CB交于O，求出∠O＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出OB和OD，根据勾股定理求出OA和OC，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：延长DA和CB交于O，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠DAB＝∠C＝∠OAB＝90°，
∵∠D＝60°，
∴∠O＝30°，
∵AB＝4，DC＝5，
∴OB＝2AB＝8，OD＝2DC＝10，
由勾股定理得：OA4，OC5，
∴四边形ABCD的面积是:
S△OCD﹣S△OABOC×CDOA×AB554×4．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
15．（2024春 江汉区期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，E恰好是BC的中点，若，DC＝1，．
（1）直接写出四边形ABCD的周长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质得出AB的长，再根据勾股定理求出BE即可推出结果；
（2）连接AC，根据勾股定理的逆定理证明三角形ACD是直角三角形即可推出结果．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴AB＝2AE＝2，
∴BE，
∵E恰好是BC的中点，
∴BC＝2BE＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝26+1；
（2）解：连接AC．
∵AE⊥BC，E为BC的中点，
∴AB＝AC．
又∠B＝30°，，
∴，BE＝CE＝3．
在△ACD中，
∵，DC＝1，，
∴AC2+DC2＝AD2，
∴∠ACD＝90°．
∴，，
∴．
【点评】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．
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