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第1~4章综合能力评价
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A D D C D B A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列是具有相反意义的量的是（ ）
A．向东走5米和向北走5米
B．收入50元和支出40元
C．胜1局和亏本70元
D．身高增加2厘米和体重减少2千克
【思路点拔】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：A．向东走5米和向西走5米是具有相反意义，故错误；
B．收入50元和支出40元，具有相反意义的量，故正确；
C．胜1局和亏本70元不具有相反意义，故错误．
D．身高增加2厘米和体重减少2千克不具有相反意义，故错误．
故选：B．
【点评】此题考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．（3分）2023年中秋国庆假期期间，河南开封市清明上河园景区接待游客45.07万人，全省景点排名第一．数据45.07万用科学记数法表示正确的是（ ）
A．4.57×105 B．4.507×105 C．4.57×106 D．4.507×106
【思路点拔】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是比原整数位数少1的数．
【解答】解：45.07万＝450700＝4.507×105．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】利用平方根、立方根，以及算术平方根的性质判断即可．
【解答】解：A、原式＝2，不符合题意；
B、原式＝±3，不符合题意；
C、原式＝±3，符合题意；
D、原式＝|﹣6|＝6，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
4．（3分）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．﹣2与 B．﹣2和
C．与2 D．|2|和2
【思路点拔】首先分别求出、、|2|的值，然后根据相反数的含义和求法，逐项判断即可．
【解答】解：∵2，
∴﹣2与互为相反数，
∴选项A符合题意；
∵2，
∴﹣2和相等，不互为相反数，
∴选项B不符合题意；
∵与互为相反数，与2不互为相反数，
∴选项C不符合题意；
∵|2|＝2，
∴|2|与2相等，不互为相反数，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根、立方根、绝对值的含义和求法，以及相反数的含义以及求法，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
5．（3分）单项式的系数和次数分别是（ ）
A．﹣3，2 B．，3 C．，2 D．，3
【思路点拔】根据单项式的系数和次数的概念解答．
【解答】解：单项式的系数是，次数是3，
故选：D．
【点评】本题考查的是单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．﹣7﹣2×5＝﹣9×5＝﹣45
C． D．﹣|﹣3|＝﹣3
【思路点拔】分别利用有理数的加法法则，混合运算法则，乘除法则，求一个数的绝对值计算即可判定．
【解答】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、﹣7﹣2×5＝﹣7﹣10＝﹣17，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、﹣|﹣3|＝﹣3，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算法则：有括号首先计算括号，然后计算乘除，接着计算加减即可求解．
7．（3分）有理数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下面结论：①a＜0；②|a|＞|b|；③a+b＞0；④b﹣a＞0；其中正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】根据a＜|a|判断①；根据|a|＞0，b＞0判断②；根据有理数的加法法则判断③；根据有理数的减法法则判断④．
【解答】解：∵a＜|a|，
∴a＜0，故①符合题意；
由题意可知：|a|＞0，b＞0，
∴|a|＜|b|，故②不符合题意；
∵a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴a+b＞0，故③符合题意；
∵a＜0，b＞0，
∴b﹣a＞0，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减法，掌握绝对值不等的异号两数相减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题的关键．
8．（3分）已知2x3+3x的值是﹣2，则4x3+6x+5的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
【思路点拔】根据2x3+3x的值是﹣2求出4x3+6x的值，然后整体代入即可．
【解答】解：∵2x3+3x＝﹣2，
∴4x3+6x＝﹣4，
∴4x3+6x+5
＝﹣4+5
＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了列代数式以及代数式求值，代数式求值题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简．
9．（3分）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【思路点拔】根据得到a、b的值，即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴a+b＝1．
故答案为：B．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
10．（3分）等边三角形ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若三角形ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2024次后，点B所对应的数是（ ）
A．2023 B．2023.5 C．2024.5 D．2024
【思路点拔】三角形为等边变形，可以先翻折几次，发现规律，根据规律求解翻折2024次后，点B对应的数．
【解答】解：由题意可知，翻折一次后，点B对应的数为1，翻折两次后，点B对应的数为1，翻折三次后，点B对应的数为2.5，
翻折4次后，点B对应的数为4，以此类推，不难发现，在翻折一次后，每经过翻折3次，点B对应的数增加3，
且（2024﹣1）÷3＝674 1，即在翻折2023次，点B对应的数为1+674×3＝2023，此时再翻折一次，点B对应的数仍为2023．
故选：A．
【点评】此题主要需要学生先将此三角形翻折几次并发现其规律．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）﹣1的相反数是 1 ，﹣2的倒数是 ，﹣3的绝对值是 3 ．
【思路点拔】直接利用相反数以及倒数、绝对值的定义分别计算得出答案．
【解答】解：﹣1的相反数是：1，﹣2的倒数是：，﹣3的绝对值是：3．
故答案为：1，，3．
【点评】此题主要考查了相反数以及倒数、绝对值的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
12．（3分）用代数式表示“a与b的2倍的差的平方”： （a﹣2b）2 ．
【思路点拔】根据a、b的关系进行列式即可．
【解答】解：根据题意得：（a﹣2b）2，
故答案为：（a﹣2b）2．
【点评】本题考查了列代数式，准确把文字语言转化为数学语言是解题的关键．
13．（3分）已知2x6y2和x3myn是同类项，则m﹣n的值是 0 ．
【思路点拔】根据同类项的概念列出方程，解方程分别求出m、n，计算即可．
【解答】解：由题意得：3m＝6，n＝2，
则m＝2，n＝2，
∴m﹣n＝2﹣2＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查的是同类项，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
14．（3分）若|x|＝5，|y|＝3，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y的值为 ﹣8或﹣2 ．
【思路点拔】先根据绝对值的定义得到x＝±5，y＝±3，再由绝对值的非负性推出y＞x，则x＝﹣5，y＝±3，据此代值计算即可．
【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝3，
∴x＝±5，y＝±3，
∵|x﹣y|＝y﹣x，
∴y﹣x≥0，
∴y＞x，
∴x＝﹣5，y＝±3，
∴x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8或x﹣y＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2．
故答案为：﹣8或﹣2．
【点评】本题主要考查了有理数的减法，绝对值，掌握绝对值的非负性，有理数的额减法是关键．
15．（3分）若m，n互为相反数，x，y互为倒数，且a的绝对值是1．则a2xy+b2（m+n）+a的值是 2或0 ．
【思路点拔】由题意得m+n＝0，xy＝1，a＝±1，把相应的值代入所求的式子运算即可．
【解答】解：∵m、n互为相反数，x、y互为倒数，且|a|＝1，
∴m+n＝0，xy＝1，a＝±1，
∴当a＝1时，a2xy+b2（m+n）+a＝1×1+0+1＝2；
当a＝﹣1时，a2xy+b2（m+n）+a＝1×1+0+（﹣1）＝0．
故答案为：2或0．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是由题意得出m+n＝0，xy＝1，a＝±1．
16．（3分）定义一种运算，设[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.25]＝2，[﹣1.5]＝﹣2，
（1）[﹣3.7]+[﹣2.3]＝ ﹣7 ．
（2） ﹣6072 ．
【思路点拔】（1）根据新运算法则，求出[﹣3.7]和[﹣2.3]，然后进行计算即可；
（2）得出，再根据乘法分配律进行解答即可．
【解答】解：（1）∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴[﹣3.7]+[﹣2.3]
＝﹣4﹣3
＝﹣7；
故答案为：﹣7；
（2）∵，
∴原式＝﹣184×3+（﹣184）×4+ +（﹣184）×8
＝（﹣184）×（3+4+5+ +8）
＝﹣184×33
＝﹣6072，
故答案为：﹣6072．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，理解并掌握定义新运算的法则是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【思路点拔】（1）先根据有理数的乘方、有理数的乘法、立方根的定义计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）先利用乘法分配律计算乘法，再根据有理数的加减运算法则计算即可；
（3）先根据有理数的乘方、有理数的乘除、绝对值的运算法则计算，再根据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：（1）
＝﹣9+602
＝﹣9+15+2
＝8；
（2）
＝1
＝1﹣[（﹣6）﹣（﹣20）+（﹣8）]
＝1﹣（﹣6+20﹣8）
＝1﹣6
＝﹣5；
（3）
＝﹣8×16|﹣3|
＝﹣96+3
＝﹣93．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（8分）化简：
（1）a2﹣2a3+（﹣2a2）﹣（﹣2a3）+3a2；
（2）5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b）．
【思路点拔】（1）先去括号，然后合并同类项即可；
（2）先去括号，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣2a3﹣2a2+2a3+3a2＝2a2；
（2）原式＝15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b＝3a2b﹣ab2．
【点评】本题主要考查了整式的加减，掌握整式的加减的运算法则是关键．
19．（8分）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy．
（1）化简2A﹣3B；
（2）当，xy＝﹣1，求2A﹣3B的值；
（3）若2A﹣3B的值与y的取值无关，求2A﹣3B的值．
【思路点拔】（1）根据整式的加减计算法则求解即可；
（2）把，xy＝﹣1整体代入（1）中的计算结果中求解即可；
（3）根据与y的取值无关即含y的项的系数为0求出x的值即可得到答案．
【解答】解：（1）∵A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy，
∴2A﹣3B
＝2（3x2﹣x+2y﹣4xy）﹣3（2x2﹣3x﹣y+xy）
＝7x+7y﹣11xy；
（2）∵，xy＝﹣1，
∴；
（3）∵2A﹣3B＝7x+7y﹣11xy＝7x+（7﹣11x）y的值与y的取值无关，
∴7﹣11x＝0，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．
20．（8分）已知2a﹣1的算术平方根是3，b是﹣8的立方根，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a﹣b+3c的平方根．
【思路点拔】（1）根据算术平方根的定义求出a的值，根据立方根的定义求出b的值，根据夹逼法估算的整数部分；
（2）把a、b、c的值代入a﹣b+3c中，然后求其平方根即可．
【解答】解：（1）∵2a﹣1的算术平方根是3，
∴2a﹣1＝9，
∴a＝5，
∵b是﹣8的立方根，
∴b＝﹣2，
∵，
∴，
∴的整数部分为3，
∵c是的整数部分，
∴c＝3；
（2）当a＝5，b＝﹣2，c＝3时，
a﹣b+3c＝5﹣（﹣2）+3×3＝16，
∵16的平方根是±4，
∴a﹣b+3c的平方根是±4．
【点评】本题考查了算术平方根、立方根、平方根，熟知这几个定义是解题的关键．
21．（10分）对于任意有理数m，n定义一种新运算：m n＝（n﹣m）﹣|m+n|．
（1）若a＝﹣6，b＝7，求a b的值；
（2）已知点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7，y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，求[x y] （﹣1）的值．
【思路点拔】（1）根据新定义，把a，b的值代入，进行计算，即可得到结果；
（2）根据题意，先得到x的值为﹣8或6，再得到y的值为5，代入进行计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵m n＝（n﹣m）﹣|m+n|，
∴a b＝（﹣6） 7＝[7﹣（﹣6]﹣|﹣6+7|＝13﹣1＝12，
即：a b＝12；
（2）∵点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7，
∴点B表示的数为﹣8或6，
∴x＝﹣8或6，
∵y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，
∴y＝5，
当x＝﹣8时，x y＝（﹣8） 5＝（5+8）﹣|﹣8+5|＝13﹣3＝10，
∴[x y] （﹣1）＝10 （﹣1）＝（﹣1﹣10）﹣|10+（﹣1）|＝﹣11﹣9＝﹣20，
当x＝6时，x y＝6 5＝（5﹣6）﹣|6+5|＝﹣1﹣11＝﹣12，
∴[x y] （﹣1）＝（﹣12） （﹣1）＝（﹣1+12）﹣|﹣12+（﹣1）|＝11﹣13＝﹣2，
综上所述，[x y] （﹣1）＝﹣20或﹣2．
【点评】本题考查了新定义的应用，涉及到有理数的混合运算，熟练掌握新定义并正确应用是解题的关键．
22．（8分）如图两个4×4网格都是由16个边长为1的小正方形组成．
（1）图①中的阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影正方形的面积为 10 ，若这个正方形的边长为a，则a＝ ．
（2）观察图②，请先写出阴影部分的面积为 2 ，并在阴影部分的基础上将其补全为面积是5的正方形（顶点都在网格的格点上），若这个正方形的边长为b，则b＝ ．
（3）请你利用以上结论，在图③的数轴上表示实数a和﹣b的大概位置．
【思路点拔】（1）利用正方形和三角形面积公式，根据“大正方形的面积﹣4个空白三角形的面积”列式计算阴影正方形的面积，其算术平方根就是这个正方形的边长；
（2）利用正方形和三角形面积公式，根据“阴影正方形的面积+阴影三角形的面积”列式计算阴影部分的面积，在阴影部分的基础上将其补全为面积是5的正方形（顶点都在网格的格点上），阴影部分面积的算术平方根就是这个正方形的边长；
（3）确定实数a和﹣b的范围并在数轴上标出其大概位置即可．
【解答】解：（1）这个阴影正方形的面积为423×1×4＝10，
∵这个阴影正方形的面积为10，
∴这个正方形的边长a．
故答案为：10，．
（2）阴影部分的面积为122×1＝2；
在阴影部分的基础上将其补全为面积是5的正方形（顶点都在网格的格点上）如图所示：
∵阴影部分的面积为5，
∴这个正方形的边长b．
故答案为：2，．
（3）∵34，23，
∴3＜a＜4，﹣3＜﹣b＜﹣2，
∴实数a和﹣b的在数轴上的大概位置如图所示：
【点评】本题考查三角形的面积、算术平方根、实数与数轴，掌握正方形和三角形面积公式是解题的关键．
23．（10分）阅读下列材料：
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：，而，，所以，即．
小明：，，这就说明与都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以．
回答以下问题：
（1）结合材料猜想，当a≥0，b≥0时，和之间存在怎样的关系？请直接写出；
（2）运用以上结论，计算：①；②；
（3）解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积．
【思路点拔】（1）由题意可得当a≥0，b≥0时，；
（2）根据法则计算；
；
（3）由长方形的面积可知，进而求解即可．
【解答】解：（1）当a≥0，b≥0时，；
（2）；
，
（3）根据题意得：长方形的面积为．
【点评】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．
24．（12分）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
（1）如果关于x的多项式2m2+（3x﹣2）m﹣x的值与x的取值无关，那么m的值为 ．
（2）已知A＝3x2+nx+2n，B＝x2﹣2nx+x，且A﹣3B的值与x的取值无关，求n的值．
（3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，设AB＝x，当x变化时，5S1﹣3S2的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系．
【思路点拔】（1）将关于x的多项式2m2+（3x﹣2）m﹣x化为（3m﹣1）x+2m2﹣2m，再令3m﹣1＝0即可；
（2）计算A﹣3B＝（7n﹣3）x+2n，令7n﹣3＝0即可；
（3）用含有a、b、x的代数式表示5S1﹣3S2的值，再令x项的系数为0即可．
【解答】解：（1）关于x的多项式2m2+（3x﹣2）m﹣x＝（3m﹣1）x+2m2﹣2m，
∵关于x的多项式2m2+（3x﹣2）m﹣x的值与x的取值无关，
∴3m﹣1＝0，
即m，
故答案为：；
（2）∵A＝3x2+nx+2n，B＝x2﹣2nx+x，
∴A﹣3B＝（3x2+nx+2n）﹣3（x2﹣2nx+x）
＝3x2+nx+2n﹣3x2+6nx﹣3x
＝（7n﹣3）x+2n，
又∵A﹣3B的值与x的取值无关，
∴7n﹣3＝0，
即n；
（3）由题意得，阴影部分的面积S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a）
∴5S1﹣3S2＝5×a（x﹣3b）﹣3×2b（x﹣2a）
＝5ax﹣15ab﹣6bx+12ab
＝（5a﹣6b）x﹣3ab，
∵当x变化时，5S1﹣3S2的值始终保持不变，
∴5a﹣6b＝0，
即5a＝6b．
【点评】本题考查整式的加减，掌握整式的混合运算的法则是正确解答的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第1~4章综合能力评价
（满分：120分 时间：120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列是具有相反意义的量的是（ ）
A．向东走5米和向北走5米
B．收入50元和支出40元
C．胜1局和亏本70元
D．身高增加2厘米和体重减少2千克
2．（3分）2023年中秋国庆假期期间，河南开封市清明上河园景区接待游客45.07万人，全省景点排名第一．数据45.07万用科学记数法表示正确的是（ ）
A．4.57×105 B．4.507×105 C．4.57×106 D．4.507×106
3．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．﹣2与 B．﹣2和
C．与2 D．|2|和2
5．（3分）单项式的系数和次数分别是（ ）
A．﹣3，2 B．，3 C．，2 D．，3
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．﹣7﹣2×5＝﹣9×5＝﹣45
C． D．﹣|﹣3|＝﹣3
7．（3分）有理数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下面结论：①a＜0；②|a|＞|b|；③a+b＞0；④b﹣a＞0；其中正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）已知2x3+3x的值是﹣2，则4x3+6x+5的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
9．（3分）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
10．（3分）等边三角形ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若三角形ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2024次后，点B所对应的数是（ ）
A．2023 B．2023.5 C．2024.5 D．2024
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）﹣1的相反数是 ，﹣2的倒数是 ，﹣3的绝对值是 ．
12．（3分）用代数式表示“a与b的2倍的差的平方”： ．
13．（3分）已知2x6y2和x3myn是同类项，则m﹣n的值是 ．
14．（3分）若|x|＝5，|y|＝3，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y的值为 ．
15．（3分）若m，n互为相反数，x，y互为倒数，且a的绝对值是1．则a2xy+b2（m+n）+a的值是 ．
16．（3分）定义一种运算，设[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.25]＝2，[﹣1.5]＝﹣2，
（1）[﹣3.7]+[﹣2.3]＝ ．
（2） ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
18．（8分）化简：
（1）a2﹣2a3+（﹣2a2）﹣（﹣2a3）+3a2；
（2）5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b）．
19．（8分）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy．
（1）化简2A﹣3B；
（2）当，xy＝﹣1，求2A﹣3B的值；
（3）若2A﹣3B的值与y的取值无关，求2A﹣3B的值．
20．（8分）已知2a﹣1的算术平方根是3，b是﹣8的立方根，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a﹣b+3c的平方根．
21．（10分）对于任意有理数m，n定义一种新运算：m n＝（n﹣m）﹣|m+n|．
（1）若a＝﹣6，b＝7，求a b的值；
（2）已知点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7，y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，求[x y] （﹣1）的值．
22．（8分）如图两个4×4网格都是由16个边长为1的小正方形组成．
（1）图①中的阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影正方形的面积为 ，若这个正方形的边长为a，则a＝ ．
（2）观察图②，请先写出阴影部分的面积为 ，并在阴影部分的基础上将其补全为面积是5的正方形（顶点都在网格的格点上），若这个正方形的边长为b，则b＝ ．
（3）请你利用以上结论，在图③的数轴上表示实数a和﹣b的大概位置．
23．（10分）阅读下列材料：
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：，而，，所以，即．
小明：，，这就说明与都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以．
回答以下问题：
（1）结合材料猜想，当a≥0，b≥0时，和之间存在怎样的关系？请直接写出；
（2）运用以上结论，计算：①；②；
（3）解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积．
24．（12分）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
（1）如果关于x的多项式2m2+（3x﹣2）m﹣x的值与x的取值无关，那么m的值为 ．
（2）已知A＝3x2+nx+2n，B＝x2﹣2nx+x，且A﹣3B的值与x的取值无关，求n的值．
（3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，设AB＝x，当x变化时，5S1﹣3S2的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系．
