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分课时教学设计
第一课时《3.2 二次根式的乘法和除法》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《二次根式的乘法》是湘教版八年级上册第3章《二次根式》的第二节第一课时的内容。本节内容是二次根式运算体系的起点，为后续学习除法、加减法及混合运算奠定基础。教材通过“观察—猜想—验证—归纳”的探究路径，引导学生从特殊实例中抽象出二次根式乘法法则，并强调其与积的算术平方根性质的互逆关系。
学习者分析 八年级学生已掌握二次根式的定义与基本性质，能进行简单化简，但对“被开方数非负性”的理解多停留在表面，易忽略运算条件（如a≥0，b≥0）。其认知处于从形象思维向抽象思维过渡阶段，对“从特殊到一般”的归纳方法有一定体验，但需教师引导完成从具体计算到符号化表达的转化。此外，学生在运算中常出现符号错误或化简不彻底，需通过针对性练习强化规范。
教学目标 1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。 3.通过观察、计算、猜想、验证等活动，经历从特殊到一般的归纳过程，培养逻辑推理能力。 4.感受数学知识的内在联系，体会数学的严谨性与实用性。
教学重点 二次根式乘法法则的推导与应用。
教学难点 理解法则中“”的必要性，避免符号错误，和灵活处理含系数的乘法。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 化简下列二次根式：（1）；（2）；（3）. 解：（1） = = ×=2. （2）= = ×=4. （3）= = ×=3. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. = 学生活动1： 独立计算，举手回答问题 回顾积的算术平方根的性质活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：二次根式的乘法法则 【思考】(1)填空： ①=__________，=__________； ②=__________，=__________； ③=__________，=__________. (2)当a≥0，b≥ 0时，猜想和的关系，并说明理由. 教师讲授：当a≥0，b≥0时， 因为， 又因为 因此=. 【归纳】 二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘，根指数不变. =学生活动2： 认真计算 认真观察，猜想和的关系 认真思考，进行证明 认真听讲 认真听讲，了解二次根式的乘法法则活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精讲教师活动3： 例1计算：（1）×；（2）×. 解：（1）×= = = 3. （2） = 2. 注意：计算的结果必须化成最简二次根式或整式. 【动脑筋】计算： . 解：= 【归纳】二次根式的乘法法则的推广： 例2计算：（1）2×5；（2）×. 解：（1） （2） . 【归纳】二次根式的乘法法则的推广： 【议一议】小玲和小婷两名同学在计算×时，做法分别如下： （1）×= == 6； （2）×=×= 6. 你更喜欢哪种做法？学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 合作交流活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 二次根式的乘法法则： 二次根式的乘法法则的推广： 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.计算的结果为（ ） A． B． C． D． 2.如果成立，那么x的取值范围是（ ） A．x≥1 B．x≥0 C．0≤x≤1 D．x为任意实数 3.已知，用含的代数式表示，这个代数式是（ ） A． B． C． D． 选做题： 4.计算： ． 5.已知矩形的长为 ，宽为 ，则面积为 ． 6.能使成立的所有整数a的和是 ． 【综合拓展类作业】 7.计算:（1）× （2）× （3）× （4）×
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 2.已知，若为两个连续的整数，且，则 （ ） A．13 B．14 C．12 D．11 3. 的值是一个整数，则正整数的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 【综合拓展类作业】 4.阅读下列解题过程： 根据上述解法简化下列各式： （1）; （2）.
教学反思 本节课通过探究式学习与分层练习，有效突破了重难点。学生在自主计算实例后，能主动归纳出乘法法则，并通过变式训练逐步掌握运算技巧。课堂检测显示，85%的学生能正确应用法则化简二次根式。然而，部分学生在综合问题中仍忽略被开方数的非负性，或化简不彻底。后续教学需加强反例辨析（如讨论无意义运算的后果）和规范步骤训练（如“分解因数—开方—移出根号外”三步法），同时结合几何问题（如计算直角三角形边长）提升应用能力。
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第3章 二次根式
3.2 二次根式的乘法和除法（1）
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。
2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。
3.通过观察、计算、猜想、验证等活动，经历从特殊到一般的归纳过程，培养逻辑推理能力。
4.感受数学知识的内在联系，体会数学的严谨性与实用性。
学习重点：
二次根式乘法法则的推导与应用。
学习难点：
理解法则中“”的必要性，避免符号错误，和灵活处理含系数的乘法。
学习过程
一、复习回顾
化简下列二次根式：（1）；（2）；（3）.
积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
=
二、新知探究
探究：二次根式的乘法法则
教材第70页
【思考】(1)填空：
①=__________，=__________；
②=__________，=__________；
③=__________，=__________.
(2)当a≥0，b≥ 0时，猜想和的关系，并说明理由.
【归纳】
二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘，根指数不变.
=
三、例题精讲
例1计算：（1）×；（2）×.
注意：计算的结果必须化成最简二次根式或整式.
【动脑筋】计算： .
【归纳】二次根式的乘法法则的推广：
例2计算：（1）2×5；（2）×.
【归纳】二次根式的乘法法则的推广：
【议一议】小玲和小婷两名同学在计算×时，做法分别如下：
（1）×= == 6；
（2）×=×= 6.
你更喜欢哪种做法？
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2.如果成立，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0 C．0≤x≤1 D．x为任意实数
3.已知，用含的代数式表示，这个代数式是（ ）
A． B． C． D．
选做题
4.计算： ．
5.已知矩形的长为 ，宽为 ，则面积为 ．
6.能使成立的所有整数a的和是 ．
【综合拓展类作业】
7.计算:（1）× （2）× （3）× （4）×
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么
六、作业布置
1.下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知，若为两个连续的整数，且，则（ ）
A．13 B．14 C．12 D．11
3. 的值是一个整数，则正整数的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4.阅读下列解题过程：
根据上述解法简化下列各式：
（1）； （2）.
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】解： ；
故答案为：B．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
解得：x≥1，故A正确.
故答案为：A.
3.【答案】D
【解析】解： ，
，
故答案为：D.
4.【答案】
【解析】解：∵，，
∴b>0，a≠0.
∴
故答案为：.
5.【答案】．
【解析】解：矩形的面积为：cm2.
故答案为：.
6.【答案】．
【解析】∵成立，
∴a≥0，3－a≥0.
解得0≤a≤3.
所以满足条件的整数a有：0，1，2，3，和为1+2+3=6.
故答案为：6.
7.【答案】（1）解：×=
（2）解： ×==
（3）解：×==9
（4）解：×==
作业布置：
1.【答案】C
【解析】解：A、，故A选项不正确.
B、，故B选项不正确.
C、，故C选项正确.
D、，故D选项不正确.
故答案为：C.
2.【答案】A
【解析】解：，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：A.
3.【答案】B
【解析】解： ==5，
∵ 的值是一个整数，
∴正整数a的最小值是2，
故选B．
4．【答案】（1）解：；
（2）解：依题意可得：＜0，
x.
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第3章 二次根式
3.2 二次根式的乘法和除法（1）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。
01
能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。
02
通过观察、计算、猜想、验证等活动，经历从特殊到一般的归纳过程，培养逻辑推理能力。
03
02
新知导入
积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
=
化简下列二次根式：（1）；（2）；（3）.
解：（1） = = ×=2.
（2）= = ×=4.
（3）= = ×=3.
03
新知探究
思考
(1)填空：
①=__________，=__________；
②=__________，=__________；
③=__________，=__________.
(2)当a≥0，b≥ 0时，猜想和的关系，并说明理由.
6
6
12
12
20
20
猜想： =
03
新知探究
理由：当a≥0，b≥0时,
因为，
又因为
因此=.
二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘，根指数不变.
=
03
新知探究
计算：（1）×；（2）×.
例1
解：（1）×= = = 3.
（2） = 2.
计算的结果必须化成最简二次根式或整式.
注意
03
新知探究
动脑筋
计算： .
解：=
二次根式的乘法法则的推广：
03
新知探究
例2
解： （1）
（2）
计算：（1）2×5；（2）×.
.
二次根式的乘法法则的推广：
03
新知探究
计算：（1）×；（2）×.
例1
解：（1）×= = = 3.
（2） = 2.
计算的结果必须化成最简二次根式或整式.
注意
03
新知探究
议一议
小玲和小婷两名同学在计算×时，做法分别如下：
（1）×= == 6；
（2）×=×= 6.
你更喜欢哪种做法？
更喜欢小玲的做法.因为小玲的做法直接套用二次根式的乘法法则，计算直接,不易出错.（答案不唯一）
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2.如果成立，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0 C．0≤x≤1 D．x为任意实数
3.已知，用含的代数式表示，这个代数式是（ ）
A． B． C． D．
B
A
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.计算： ．
5.已知矩形的长为 ，宽为 ，则面积为 ．
6.能使成立的所有整数a的和是 ．
10
6
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.计算:（1）× （2）×
（3）× （4）×
（1）解：×=
（2）解： ×==
（3）解：×==9
（4）解：×==
05
课堂小结
二次根式的乘法法则：
二次根式的乘法法则的推广：
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知=，若为两个连续的整数，且
，则（ ）
A．13 B．14 C．12 D．11
3. 的值是一个整数，则正整数的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
A
C
B
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.阅读下列解题过程：
根据上述解法简化下列各式：（1）; （2）.
（1）解：；
（2）解：依题意可得：＜0，x.
07
板书设计
二次根式的乘法法则：
二次根式的乘法法则的推广：
3.2 二次根式的乘法和除法（1）
习题讲解书写部分
Thanks!
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第3章
课标要求 1.了解二次根式、最简二次根式的概念. 2.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第2章《分式》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“数与式”。本章内容在学生学习了有理数的运算、平方根、立方根、实数以及整式运算等知识的基础上，进一步深化对数的认识，并引入代数式运算的新内容。教材通过实际问题引入二次根式的概念，使学生感受到数学与生活的紧密联系，再带领学生探究二次根式的性质与四则运算法则。本章内容不仅为后续学习一元二次方程、二次函数等知识奠定基础，还在培养学生逻辑推理能力、运算能力和数学建模能力方面具有重要作用。
学情分析 知识基础 学生已经掌握了有理数的四则运算、平方根与立方根的概念、实数的分类与运算、整式的加减乘除等基础知识，为学习二次根式提供了必要的认知基础。 能力水平 学生具备了一定的观察、分析、归纳和推理能力，能够通过具体问题抽象出数学模型，并运用所学知识解决实际问题。然而，对于二次根式的运算规则和性质，学生可能初次接触，需要逐步引导和强化训练。 学习特点 学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，对新鲜事物充满好奇，但注意力容易分散。因此，在教学过程中应注重情境创设，激发学生的学习兴趣，同时采用多样化的教学方法和手段，保持学生的注意力集中。 学习困难 学生在理解二次根式的双重非负性、掌握二次根式的运算规则以及进行复杂运算时可能会遇到困难。此外，将二次根式与实际问题相结合，建立数学模型并求解，也是学生需要克服的挑战。
单元目标 （一）教学目标 1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件。 2.掌握二次根式的性质，包括双重非负性、平方与算术平方根的关系等。 3.熟练进行二次根式的化简和四则运算（加、减、乘、除），包括分母有理化等技巧。 4.能够利用二次根式解决实际问题，建立数学模型并求解。 5.通过观察、分析、归纳和推理等数学活动，发展学生的逻辑思维能力和数学表达能力。 6.经历从特殊到一般、从具体到抽象的数学思考过程，培养学生的归纳概括能力和类比迁移能力。 7.在解决实际问题的过程中，体会数学的应用价值，提高数学建模能力。 8.激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生勇于探索、敢于质疑的科学精神。 9.引导学生感受数学的严谨性和逻辑性，培养认真细致、一丝不苟的学习态度。 （二）教学重点、难点 重点 1.二次根式的概念与最简二次根式的判定。 2.二次根式乘除、加减运算的算理与算法。 3.二次根式在几何情境中的表达与化简。 难点 1.最简二次根式化简的彻底性（尤其含字母参数时）。 2.乘除运算中的“目的性有理化”——为什么有理化、怎样选择有理化因式。 3.复杂混合运算中的符号处理与运算顺序。 4.从实际问题抽象出二次根式模型并解释结果的意义。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1二次根式的概念及性质23.2二次根式的乘法和除法23.3二次根式的加法和减法2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1 二次根式的概念及性质（1）1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式。 2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.掌握二次根式的两条核心性质。1.能够判断一个式子是否为二次根式。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能利用二次根式的两条核心性质进行计算。任务一：情境导入，初步接触二次根式。 任务二：探究新知，理解二次根式的概念。 任务三：例题精讲，探究二次根式有意义的条件。 任务四：独立思考，探究二次根式的性质。 任务五：巩固练习，课堂小结。3.1 二次根式的概念及性质（2）1.理解积的算术平方根的性质，掌握其适用条件。 2.理解最简二次根式的定义，能将二次根式化为最简形式。 能运用性质化简二次根式或判断其正误。任务一：填空，进行猜想。 任务二：探究新知，利用二次根式的性质进行证明。 任务三：例题精讲，化简二次根式。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.2 二次根式的乘法和除法（1）1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结3.2 二次根式的乘法和除法（2）1.掌握商的算术平方根的性质：。 2.理解二次根式除法法则，能准确计算含系数及字母的除法。 3.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式或整式。1.能准确计算含系数及字母的除法。 2.能够将结果化为最简二次根式或整式。任务一：认真思考，探索商的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，探究二次根式除法法则. 任务三：例题精讲，进行通分。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 二次根式的加法和减法（1）1.理解同类二次根式的定义，能准确判断并合并同类二次根式。 2.掌握二次根式加减的运算步骤（化简→合并），能规范书写运算过程。 3.经历“类比整式→迁移根式”的探究，体会“数式通性”。会正确计算二次根式的加法和减法。 任务一：复习巩固，回顾整式的加减法。 任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的加法和减法。 任务三：例题精讲，进行加减运算。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 二次根式的加法和减法（2）1.理解二次根式混合运算顺序，能正确运用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）和分配律进行化简。 2.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式。能熟练进行二次根式的混合运算任务一：复习巩固，回顾整式的混合运算。 任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的混合运算。 任务三：例题精讲，进行混合运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。第3章 小结与评价1.能够系统、全面地理解二次根式的概念，深入掌握二次根式有意义的条件。 2.熟练运用二次根式的性质，运用它们进行复杂的化简和计算，理解性质的本质和适用范围。 3.全面掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，能够灵活、准确地进行二次根式的四则混合运算，包括运算顺序的正确把握、符号的准确处理，并将运算结果熟练化为最简二次根式。1.能准确无误地确定各种形式下被开方数中字母的取值范围。 2.能够灵活、准确地进行二次根式的四则混合运算。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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