浙江省严州中学梅城校区2024-2025学年新高一新生入学调研数学试题
一、选择题（每小题5分，共5小题，共25分）
1．（2025高一下·浙江开学考）设集合，集合，则等于
A． B． C． D．
2．（2025高一下·浙江开学考）已知关于的方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A． B．3 C． D．2
3．（2025高一下·浙江开学考）已知R，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高一下·浙江开学考）若不等式的解集为，则值是（ ）
A．-10 B．-14 C．10 D．14
5．（2025高一下·浙江开学考）已知集合，则必有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共3小题，共12分）
6．（2025高一下·浙江开学考）不等式 的解集是 ．
7．（2025高一下·浙江开学考）把式子因式分解的结果是 .
8．（2025高一下·浙江开学考）解关于x 的不等式 .
三、解答题（共23分）
9．（2025高一下·浙江开学考）设全集，集合，，求，，
10．（2025高一下·浙江开学考）若是方程的两个根，试求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
11．（2025高一下·浙江开学考）已知二次函数
（1）当时，当时，求的最大值和最小值；
（2）若为任意实数，当时，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，集合，又集合与集合中的公共元素为，.
故答案为：A.
【分析】先明确交集的定义，即由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合.然后依次对比集合A和集合B中的元素，找出共同拥有的元素这些元素构成的集合就是.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：，故方程必有两个不同的根，
设另一个根为，则由韦达定理可知，故，
故答案为：C.
【分析】运用韦达定理（也叫根与系数的关系），对于一元二次方程，两根、有 ，已知一个根，通过这个定理就能求出另一个根，同时要先判断方程有两个不同根，确保韦达定理适用.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的解集
【解析】【解答】解：由，得，
由，得，即或；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】看“的解集”与“的解集”之间的包含关系，依据充分条件（若成立能推出成立，则是的充分条件 ）和必要条件（若成立能推出成立，则是的必要条件 ）的定义来判断.
4．【答案】A
【知识点】一元二次不等式；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由题意可知方程的根为
由根与系数的关系可知，
解得
即.
故答案为：A.
【分析】本题关键在于理解一元二次不等式解集与对应方程根的关系，以及根与系数的联系（韦达定理），先由不等式的解集确定方程的根，再用韦达定理列方程求a、b，最后算a - b.
5．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法；子集与真子集
【解析】【解答】解： 由集合，可得，
A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由题意，先求集合，再根据元素与集合的关系逐项判断即可.
6．【答案】{x｜x＜-2}
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】 。
【分析】利用分式不等式求解集的方法再结合同号为正、异号为负，从而求出不等式 的解集。
7．【答案】
【知识点】多项式
【解析】【解答】解：由十字相乘法得 .
故答案为：.
【分析】对于二次三项式（把看作常数 ），可类比二次三项式（）的因式分解.这里，要找到两个数，它们的乘积等于常数项（把当作常数部分 ），且它们的和等于一次项系数（的一次项系数，因式子含，可理解为关于的一次项系数是 ）.通过分析的因数分解，找到合适的两个数来拆分一次项，从而用十字相乘法完成因式分解.
8．【答案】或
【知识点】一元二次不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由有理数的乘法法则，得不等式化为以下4个不等式组：
或或或，
解得或或无解或无解，
所以关于x 的不等式解为或.
故答案为：或
【分析】对于高次不等式，可利用“穿根法”（数轴标根法 ）来求解。先找到对应方程的根，这些根将数轴划分为不同区间，然后根据函数（由因式相乘构成）在各区间的符号规律，确定不等式成立的区间.
9．【答案】解：集合，，
所以，
，
，
则.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】本题考查集合的并集、交集、补集运算；解题思路是先明确并集（把两个集合所有元素合并，重复只算一次 ）、交集（取两个集合共同元素 ）、补集（在全集中除去原集合元素 ）的定义，再依据集合、的范围，逐步计算、、.
10．【答案】（1）解：方程，，，
.
（2）解：.
（3）解：.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】本题围绕一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）展开，先利用韦达定理得出方程两根之和与两根之积，再将所求代数式通过变形，转化为用和表示的形式，最后代入计算.
（1）方程，，，
.
（2）.
（3）.
11．【答案】（1）解：当时，，，
当时，取得最小值，当时，取得最大值8，
所以的最大值为8，最小值为.
（2）解：为任意实数，，，
当时，的值随值的增大而增大，当时，取得最小值8；
当时，的值随值的增大而减小，当时，取得最小值；
当时，，取得最小值.
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】（1）通过配方法将函数化为顶点式，结合二次函数单调性（开口向上时，顶点是最小值点，区间端点可能是最大值点 ）求解.
（2）先配方，再根据对称轴与给定区间的位置关系，利用二次函数单调性确定最小值.
（1）当时，，，
当时，取得最小值，当时，取得最大值8，
所以的最大值为8，最小值为.
（2）为任意实数，，，
当时，的值随值的增大而增大，当时，取得最小值8；
当时，的值随值的增大而减小，当时，取得最小值；
当时，，取得最小值.
1 / 1浙江省严州中学梅城校区2024-2025学年新高一新生入学调研数学试题
一、选择题（每小题5分，共5小题，共25分）
1．（2025高一下·浙江开学考）设集合，集合，则等于
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，集合，又集合与集合中的公共元素为，.
故答案为：A.
【分析】先明确交集的定义，即由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合.然后依次对比集合A和集合B中的元素，找出共同拥有的元素这些元素构成的集合就是.
2．（2025高一下·浙江开学考）已知关于的方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：，故方程必有两个不同的根，
设另一个根为，则由韦达定理可知，故，
故答案为：C.
【分析】运用韦达定理（也叫根与系数的关系），对于一元二次方程，两根、有 ，已知一个根，通过这个定理就能求出另一个根，同时要先判断方程有两个不同根，确保韦达定理适用.
3．（2025高一下·浙江开学考）已知R，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的解集
【解析】【解答】解：由，得，
由，得，即或；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】看“的解集”与“的解集”之间的包含关系，依据充分条件（若成立能推出成立，则是的充分条件 ）和必要条件（若成立能推出成立，则是的必要条件 ）的定义来判断.
4．（2025高一下·浙江开学考）若不等式的解集为，则值是（ ）
A．-10 B．-14 C．10 D．14
【答案】A
【知识点】一元二次不等式；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由题意可知方程的根为
由根与系数的关系可知，
解得
即.
故答案为：A.
【分析】本题关键在于理解一元二次不等式解集与对应方程根的关系，以及根与系数的联系（韦达定理），先由不等式的解集确定方程的根，再用韦达定理列方程求a、b，最后算a - b.
5．（2025高一下·浙江开学考）已知集合，则必有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法；子集与真子集
【解析】【解答】解： 由集合，可得，
A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由题意，先求集合，再根据元素与集合的关系逐项判断即可.
二、填空题（每小题4分，共3小题，共12分）
6．（2025高一下·浙江开学考）不等式 的解集是 ．
【答案】{x｜x＜-2}
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】 。
【分析】利用分式不等式求解集的方法再结合同号为正、异号为负，从而求出不等式 的解集。
7．（2025高一下·浙江开学考）把式子因式分解的结果是 .
【答案】
【知识点】多项式
【解析】【解答】解：由十字相乘法得 .
故答案为：.
【分析】对于二次三项式（把看作常数 ），可类比二次三项式（）的因式分解.这里，要找到两个数，它们的乘积等于常数项（把当作常数部分 ），且它们的和等于一次项系数（的一次项系数，因式子含，可理解为关于的一次项系数是 ）.通过分析的因数分解，找到合适的两个数来拆分一次项，从而用十字相乘法完成因式分解.
8．（2025高一下·浙江开学考）解关于x 的不等式 .
【答案】或
【知识点】一元二次不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由有理数的乘法法则，得不等式化为以下4个不等式组：
或或或，
解得或或无解或无解，
所以关于x 的不等式解为或.
故答案为：或
【分析】对于高次不等式，可利用“穿根法”（数轴标根法 ）来求解。先找到对应方程的根，这些根将数轴划分为不同区间，然后根据函数（由因式相乘构成）在各区间的符号规律，确定不等式成立的区间.
三、解答题（共23分）
9．（2025高一下·浙江开学考）设全集，集合，，求，，
【答案】解：集合，，
所以，
，
，
则.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】本题考查集合的并集、交集、补集运算；解题思路是先明确并集（把两个集合所有元素合并，重复只算一次 ）、交集（取两个集合共同元素 ）、补集（在全集中除去原集合元素 ）的定义，再依据集合、的范围，逐步计算、、.
10．（2025高一下·浙江开学考）若是方程的两个根，试求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）解：方程，，，
.
（2）解：.
（3）解：.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】本题围绕一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）展开，先利用韦达定理得出方程两根之和与两根之积，再将所求代数式通过变形，转化为用和表示的形式，最后代入计算.
（1）方程，，，
.
（2）.
（3）.
11．（2025高一下·浙江开学考）已知二次函数
（1）当时，当时，求的最大值和最小值；
（2）若为任意实数，当时，求的最小值.
【答案】（1）解：当时，，，
当时，取得最小值，当时，取得最大值8，
所以的最大值为8，最小值为.
（2）解：为任意实数，，，
当时，的值随值的增大而增大，当时，取得最小值8；
当时，的值随值的增大而减小，当时，取得最小值；
当时，，取得最小值.
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】（1）通过配方法将函数化为顶点式，结合二次函数单调性（开口向上时，顶点是最小值点，区间端点可能是最大值点 ）求解.
（2）先配方，再根据对称轴与给定区间的位置关系，利用二次函数单调性确定最小值.
（1）当时，，，
当时，取得最小值，当时，取得最大值8，
所以的最大值为8，最小值为.
（2）为任意实数，，，
当时，的值随值的增大而增大，当时，取得最小值8；
当时，的值随值的增大而减小，当时，取得最小值；
当时，，取得最小值.
1 / 1
