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w的取值范围
【例1】已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解由题意函数在区间上恰有三个零点，
转化为和函数在区间上恰有三个交点，
当时，，
当时，，
根据余弦函数的图象，要使的图象有三个交点，则，解得，
【例2】已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，所以．
因为在区间内没有零点，所以，，解得，．
因为，所以．因为，所以或．
当时，；当时，．故选B
变式1 已知函数在区间上有且仅有3个零点，下述四个结论：
①在区间上存在，，满足；
②在区间上有且仅有2个极大值点；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增.
其中所有正确结论的编号是 .
变式2 已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】当时，，则，解得，
又，故.故答案为：.
【例4】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数解析式知：在上单调递增，
∴，单调递增，
又∵在区间上单调递增，
∴，解得，所以当时，有，故选：B
变式3 已知函数在区间上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式4 已知，对都有，且在上单调，则的取值范围
【例5】已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称，
故，则，
即，
由函数在上单调，
得，即，即，
解得，而，故或1，或2，
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上单调递增，
故在上单调递增，满足题意；
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上不单调，
故在上不单调，此时不合题意；
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上单调递增，
故在上单调递增，满足题意；
综上，或.
故选：B
【例6】已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若是的一个单调区间，则的最大值为
A．18 B．17 C．15 D．13
【答案】D
【详解】由题意，得，∴，
又，∴（）．
∵是的一个单调区间，∴T，即，
∵，∴，即．
①当，即时，，，∴，，
∵，∴，此时在上不单调，
∴不符合题意；
②当，即时，，，∴，，
∵，∴，此时在上不单调，
∴不符合题意；
③当，即时，，，∴，．
∵，∴，此时在上单调递增，
∴符合题意，故选D．
变式5 已知函数，其中，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是
【例7】设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由可得，.
令，则，
由正弦函数图象可知，区间上存在两个零点，
区间宽度最大为，
相邻四个零点间的最小距离为.
因为，所以，所以，所以.
因为在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，
所以，，所以，.
故答案为：.
变式6 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是 ．
变式7 设函数，若存在实数，使得在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围是 .
课后测
已知函数，现有如下说法：
①若，函数在上有最小值，无最大值，且，则；
②若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为；
③若在上至少有2个解，至多有3个解，则；
则正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
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w的取值范围
【例1】已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】：由题意函数在区间上恰有三个零点，
转化为和函数在区间上恰有三个交点，
当时，，
当时，，
根据余弦函数的图象，要使的图象有三个交点，则，解得，
【例2】已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，所以．
因为在区间内没有零点，所以，，解得，．
因为，所以．因为，所以或．
当时，；当时，．故选B
变式1 已知函数在区间上有且仅有3个零点，下述四个结论：
①在区间上存在，，满足；
②在区间上有且仅有2个极大值点；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增.
其中所有正确结论的编号是 .
【答案】①④
【详解】，，，
令，则，
由题意，在上有且仅有3个解，
所以，和
，因为在上必有，
故在上存在，满足；所以①成立；
对应的（显然在，上）一定是最大值点，因对应的值有可能不在，上，故②结论错误；
解得，所以③不成立；
当时，，由于，故，
此时是增函数，从而在上单调递增．所以④成立.
故答案为：①④
变式2 已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以，所以．
令，当时，，
于是在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数．
由知，，，
因为在上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以解得．
答案：B.
【例3】已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】当时，，则，解得，
又，故.故答案为：.
【例4】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数解析式知：在上单调递增，
∴，单调递增，
又∵在区间上单调递增，
∴，解得，所以当时，有，
故选：B
变式3 已知函数在区间上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】的图象的对称轴为直线，，
因为在区间上不单调，
所以对称轴，在直线与直线之间，
即，，化简得，，
因为，所以令，得，又当时，，
综上.
故选：B．
变式4 已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为
【答案】
【详解】因为对都有，所以，可得，
，，
又在上单调，，，
即，由可得，或，
当时，，，都有，
且当时，，即函数在上单调递增，因此符合题意；
当时，，，都有，
且当时，，即函数在上单调递减，因此符合题意，
所以的取值集合为.
故答案为：.
【例5】已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若是的一个单调区间，则的最大值为
A．18 B．17 C．15 D．13
【答案】D
【详解】由题意，得，∴，
又，∴（）．
∵是的一个单调区间，∴T，即，
∵，∴，即．
①当，即时，，，∴，，
∵，∴，此时在上不单调，
∴不符合题意；
②当，即时，，，∴，，
∵，∴，此时在上不单调，
∴不符合题意；
③当，即时，，，∴，．
∵，∴，此时在上单调递增，
∴符合题意，故选D．
变式5 已知函数，其中，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是
【答案】15
【详解】由题意知函数为y＝f（x）图象的对称轴，
为f（x）的零点，∴ ，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在区间上有最小值无最大值，
∴周期T≥（），即，∴ω≤16．
∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x），
在区间上，15x∈[，），此时f（x）在时取得最小值，
∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.
故答案为：15.
【例6】设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由可得，.
令，则，
由正弦函数图象可知，区间上存在两个零点，
区间宽度最大为，
相邻四个零点间的最小距离为.
因为，所以，所以，所以.
因为在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，所以，，
所以，.故答案为：.
变式6 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】令，则，令，则，
则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，求得取值范围，作出与的图象，如图所示，
由图可知，满足条件可最短区间长度为，最长区间长度为，
∴，解得．
故答案为：．
变式7 设函数，若存在实数，使得在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由可得，.
令，则，
由正弦函数图象可知，区间上存在两个零点，
区间宽度最大为，
相邻两个零点间的最小距离为.
因为，所以，所以，
所以.
因为在区间上有2个零点，所以，，所以，
课后测
已知函数，现有如下说法：
①若，函数在上有最小值，无最大值，且，则；
②若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为；
③若在上至少有2个解，至多有3个解，则；
则正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】对于①，因为时，有最小值，所以，
所以，得到，
因为在区间上有最小值，无最大值，所以，即，令，得，故①错误；
对于②，根据题意，有，
得出，即，得到或，故②正确；
对于③，令或，
则或，
故需要上述相邻三个根的距离不超过，相邻四个根（距离较小的四个）的距离超过，即，解得，故③正确，
故选：C．
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