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三角函数公式汇总
一、任意角的三角函数定义
在角的终边上任取一点，记：，
正弦： 余弦： 正切：
三角函数值在各象限的符号
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
+ + - -
+ - - +
+ - + -
二、同角三角函数的基本关系式
平方关系：
商数关系：。
三、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
（1）、、、、的三角函数值，等于的同名函数值。
（2）、、、的三角函数值，等于的异名函数值。
（3）符号与把看成锐角时原（左边）函数值的符号一致。
补充四句话：
1.互余的两个角的正弦等于余弦，余弦等于正弦。
2.互补的两个角正弦值相等，余弦值互为相反数。
3.为奇函数，为偶函数。
4.的正余弦值均为其相反数
四、和角公式和差角公式
五、二倍角公式
…………
二倍角的余弦公式有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
降幂公式：降幂扩角，二次幂降为一次幂，角度升为2倍
，，
正切变换：
万能公式（可以理解为二倍角公式的正切形式）
，，。
万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示（可以用来转化为单一变量求最值）。
六、辅助角公式
其中：角的终边所在的象限与点所在的象限相同，
且，，。
口诀:大大（），小小（）
拓展：
三角函数公式汇总默写
一、任意角的三角函数
在角的终边上任取一点，记：，
正弦： 余弦：
正切：
二、同角三角函数的基本关系式
平方关系：
= 2
商数关系：
诱导公式
四、和角公式和差角公式
五、二倍角公式
= =
二倍角的余弦公式有以下常用变形：（规律：降幂 角，升幂 角）
降幂公式：
，
万能公式（可以理解为二倍角公式的正切形式）
六、辅助角公式
其中： ， ， 。
口诀:大 大（ ），小 小（ ）
三角函数公式的运用
三角函数的公式比较多，其中比较常见的一个题型就是：已知一个三角函数值，求另一个三角函数值，根据使用的公式的不同（诱导公式，两角和与差，二倍角，辅助角），该题型一般分为四种形式。其处理方法通常是不能把已知条件中的角度用两角和与差进行展开，而是应该对括号内的角度进行整体换元，用新的角度去替换旧的角度（同时一定要去判断新元所在的象限，这个很重要）。注意：只有题型四需要对已知条件拆括号，重新用辅助角公式合并，之后再去换元。
【题型一】正切函数的齐次化
【例1】已知．
（1）求的值．
（2）求的值；
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）原式；
（2）原式．
变式1 已知，则 ．
【题型二】给值求值之诱导公式
【例2】若，则__________．
【详解】.
故答案为：.
变式2 若是第一象限角，且，则______.
【例3】已知，为第一象限（注意判断换元之后的象限），则
【答案】
变式3 已知，为第一象限，则
【题型二】给值求值之两角和与差公式
【例4】已知是第三象限角，，则___________.
【详解】因为是第三象限角，所以，
所以.
变式4 若，，则_____．
【例5】已知，，，求的值.
【详解】解：∵，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴.
变式5 已知，为锐角，且，，（注意判断的象限）则___________.
【例6】已知，求的值。
【答案】；
【详解】将条件同时平方再相加，得：
；
。
变式6 已知，均为锐角，，，则 .
【题型三】给值求值之二倍角公式
【例7】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，所以，
所以，故选：D
变式7 已知，则的值为__.
【例8】已知，则等于
【答案】
【详解】
平方得
变式8 若为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例9】求；
【答案】
【详解】原式
变式9 求
【题型四】给值求值之辅助角公式
【例10】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：因为，
即，即
即，即，所以，
所以
. 故选：B
变式10 已知，则（ ）
A． B． C． D．
【题型五】非特殊角求值
【例11】 化简求值：
；
【详解】（1）.
；
【详解】（2）
.
变式11 计算下列各式的值：
；
；
【题型六】正切变换
【例12】已知，则=
【答案】
【详解】
化简得：
【例13】 已知，，，则
【答案】
【详解】因为，所以，
因为，所以，
从而，
注意到，而在上单调递减，
从而，即，所以.
变式12化简： .
两角和差公式
1．已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若，则 ．
3．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知为三角形的两个内角，，则＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，且，，则 .
8．已知，，且，，求：的值.
9．已知，其中
(1)求；
(2)求．
10．若α和β都为锐角，，则 ．
二倍角公式
11．已知，满足，，则 ．
12．若，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知，则 .
14．已知，则 ．
15．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
17．已知，则的值为 ．
18．已知，则（ ）
A． B． C． D．
19．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
20．已知
(1)求的值；
(2)求的值.
辅助角公式
21．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
22．已知，则（ ）
A． B． C． D．
23．已知，则（ ）
A． B． C． D．
24．已知，则（ ）
A． B． C． D．
25．已知，，则的值为 ．
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三角函数公式的运用
三角函数的公式比较多，其中比较常见的一个题型就是：已知一个三角函数值，求另一个三角函数值，根据使用的公式的不同（诱导公式，两角和与差，二倍角，辅助角），该题型一般分为四种形式。其处理方法通常是不能把已知条件中的角度用两角和与差进行展开，而是应该对括号内的角度进行整体换元，用新的角度去替换旧的角度（同时一定要去判断新元所在的象限，这个很重要）。注意：只有题型四需要对已知条件拆括号，重新用辅助角公式合并，之后再去换元。
【题型一】正切函数的齐次化
【例1】已知．
（1）求的值．
（2）求的值；
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）原式；
（2）原式．
变式1 已知，则 ．
【答案】
【详解】由可得，即；
所以
将代入计算可得；
即.故答案为：
【题型二】给值求值之诱导公式
【例2】若，则__________．
【详解】.故答案为：.
变式2 若是第一象限角，且，则______.
【答案】
【详解】因为，所以，所以，
又是第一象限角，所以，
所以，又，故在第一象限，
所以，故答案为：
【例3】已知，为第一象限（注意判断换元之后的象限），则
【答案】
变式3 已知，为第一象限，则
【答案】
【题型二】给值求值之两角和与差公式
【例4】已知是第三象限角，，则___________.
【详解】因为是第三象限角，所以，
所以.
变式4 若，，则_____．
【答案】
【详解】， ，，，
又，即在第三象限，，
则
故答案为：
【例5】已知，，，求的值.
【详解】解：∵，，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，
∵，
∴.
变式5 已知，为锐角，且，，（注意判断的象限）则___________.
【答案】
【详解】为锐角，，则，
，且，，解得
故答案为：
【例6】已知，求的值。
【答案】；
【详解】将条件同时平方再相加，得：
；
。
变式6 已知，均为锐角，，，则 .
【答案】
【详解】因为，均为锐角，所以，
由，得，所以，
由，得，所以，
所以，解得，
所以，故，故答案为：
【题型三】给值求值之二倍角公式
【例7】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，
所以，
所以，故选：D
变式7 已知，则的值为__.
【答案】1
【详解】由，得，
再由，得，可得，
．故答案为：1.
【例8】已知，则等于
【答案】
【详解】
平方得
变式8 若为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，
所以，因为为锐角，故.
故选：B
【例9】求；
【答案】
【详解】原式
变式9 求
【答案】
【详解】原式
【题型四】给值求值之辅助角公式
【例10】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：因为，
即，即
即，即，所以，
所以
. 故选：B
变式10 已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，
∴.故选：B．
【题型五】非特殊角求值
【例11】 化简求值：
；
【详解】（1）.
；
【详解】（2）
.
变式11 计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
【答案】(1)；(2)；
【详解】（1）．
（2）．
【题型六】正切变换
【例12】已知，则=
【答案】
【详解】
化简得：
【例13】 已知，，，则
【答案】
【详解】因为，所以，
因为，所以，
从而，
注意到，而在上单调递减，
从而，即，所以.
变式12化简： .
【答案】
【详解】解：
故答案为：
.
两角和差公式
1．已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，则，且，可得，
所以.
故选：A.
2．已知，若，则 ．
【答案】
【详解】若，则，且，则，
，
可得，
所以.故答案为：
3．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，
所以.
故选：C
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，，
又，，，，
，，，，
则，
故选：C．
5．已知为三角形的两个内角，，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为三角形的两个内角，且，则，，
因，，得，则，
故，
因，，则．
故选：B．
6．已知，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
又因为，均为锐角，则，所以，，
所以，
故选：C
7．已知，，且，，则 .
【答案】-7
【详解】，
因为，所以，且，所以为第一象限角，
所以，所以，
所以，
所以.
故答案为：-7.
8．已知，，且，，求：的值.
【答案】
【详解】 ，，，，
，,
又，，且，
.
9．已知，其中
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由题意得：，，
，
（2），，
.
10．若α和β都为锐角，，则 ．
【答案】
【详解】因为α和β都为锐角，则，又，所以，即，
所以，而，则，
所以.
故答案为：
二倍角公式
11．已知，满足，，则 ．
【答案】/
【详解】由，，有．
故答案为：
12．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因，则.
故选：A.
13．已知，则 .
【答案】/0.125
【详解】
故答案：.
14．已知，则 ．
【答案】/
【详解】因为，所以，又，
所以，所以所以，
所以.
故答案为：
15．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】.
故选：C
16．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，则，且，
可得，则，
，
所以，
故选：A.
17．已知，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：因为，即，解得，
所以
.
故答案为：
18．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以
.
故选：D
19．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，且，则，
则 ， 则 ，
则，
两边平方可得：，解得：，
则.
故答案为：.
20．已知
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为，
所以，，故.
（2）.
辅助角公式
21．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得，
所以．
故选：A．
22．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由得，
所以．
又，故．
故选：B
23．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于，可得：，即，
又由于，.
故选：B.
24．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，整理可得，
所以.
故选：A.
25．已知，，则的值为 ．
【答案】/0.96
【详解】由，得，则，即，
由于，故，结合，
可知，故，
故答案为：
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