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解三角形讲义
知识点一 基本定理公式
1.正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径,则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ；
常见 变形 (1)，，； (2)，，； （1）； （2）（包含周长与面积之间的关系）
一般适用情景 角多用正弦，对角对边用正弦 边多用余弦
面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
知识点二 相关应用
1. 正弦定理的应用
①边化角，角化边，注意不成立
②大边对大角,大角对大边
③合分比：
2. 射影定理，同理有：，.
角平分线之斯库顿定理
如图，是的角平分线，
（1）（邻边之比等于对边之比）
（2）就其位置关系而言，可记忆：中方=邻边之积 - 对边之积.
角平分线之倍角定理
，这样的三角形称为“倍角三角形”.
证明方法（一）正余弦定理化简；（二）利用相似证明
5.中线长定理，D为BC中点，则
【题型一】边角互化
步骤一：优先边化角，但要求是齐次，非齐次则想办法变成齐次。
，则 。
，则 。
步骤二：再使用射影定理拆开或合并。
，则 。
。
步骤三：当出现三者中的任意一个的时候，即边角互化之后有平方的形式出现。则直接考虑角化边！则把所有的正，余弦角度都转化为边。
。
【题型一】边角互化
【例1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
【答案】D
【详解】因为，则，
又因为射影定理：，所以原式等价于
则，则或，
的形状为直角三角形或等腰三角形.
故选：D
变式1 在中，若，则该三角形为 三角形．
【答案】直角
【详解】在中，因为，
由正弦定理，可得，
又因为，可得，
且，
所以，
所以，
因为，，可得，所以，
又因为，所以，所以为直角三角形.
故答案为：直角.
变式2在中，已知，且，则该三角形的形状是 ．
【答案】等边三角形
【详解】因为，
由余弦定理可得：，
又角为三角形内角，所以.
再由.
即，又为三角形内角，所以即.
所以为等边三角形.
故答案为：等边三角形
【例2】中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解法一：由正弦定理及得，，．
又∵，由余弦定理得：，即，
由余弦定理得，
又∵，∴．故选：C．
解法二：由正弦定理及得，，．
又∵，∴，由射影定理得；
∴，又∵，∴．
【例3】已知 。
【详解】由正弦定理和余弦定理可得：，
，又，，解得：；
【例4】 ，且，求 。
【详解】由及正弦定理得：，
因为，，所以，，所以，又，所以；
由正弦定理，，，
由得：，
即①，由余弦定理得，解得，
变式3 。
【详解】由，则，
又，有，即，
所以，整理得，故.
变式4 若，，则___________.
【详解】由正弦定理可得，故，
故，整理得到，
而，故，所以，故，解得或，
若，则，故同为钝角，这与矛盾，
故.
【题型二】三角形面积和周长
【例5】设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若的面积为S，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【详解】∵，
代入，即，
∵，∴，即，
故选：B.
【例6】在锐角三角形中，，，分别为角，，所对的边，且，，且的面积为，的值为（ ）
A．4 B．6 C．5 D．3
【详解】由，结合正弦定理可得.
在锐角三角形中，得；所以的面积，解得.
由余弦定理可得，解得.故选：C.
变式5 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意，根据正弦定理
又，由，可得；由正弦定理：
，故的周长为，故选：B
变式6 的内角，，所对边分别为，，，若，，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，，的面积为，所以，
所以，由余弦定理即，解得；故选：D
【题型三】 实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
【例7】如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝（ ）
A．150 m B．150 m C．150 m D．50 m
【答案】A
【详解】在直角中，，BC＝100，可得，
在中，，，则，
由正弦定理有：，即，故，
在直角△中，，可得().故选：A.
【例8】为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】在中，，
所以，有，所以，
在中，，由正弦定理，得，
在中，由余弦定理，得
，
所以，即两个基站A、B之间的距离为.
变式7 东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一.东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称.如图，从东到西的公路上有相距80（单位：）的两个观测点，在点测得塔在北偏东60°的点处，在点测得塔在北偏西30°，塔顶的仰角为45°，则塔的高度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，依题意，，，，
于是得，，在中，，
所以塔的高度约为.;故选：A
变式8 如图，小宇为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为：12m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（取）（ ）
A．42.5m B．45m C．51m D．56.4m
【答案】
【详解】由题意知：，，所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，所以，
由于，
在中，(m)．
【题型四】正余弦定理的综合应用
【例9】在中，D为BC的中点，且.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由，可得，如图所示：
在中，由正弦定理得，所以
在中，由正弦定理得，所以，故
因为为的中点，所以，即，
（2）由（1）不妨设
在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得.
所以.解得.
故
变式9 如图，△ABC中，角所对的边分别为为边上一点，，记，，求的值.
【答案】
【详解】，
又
在中，由正弦定理，得，即即
，，解得，
【例10】如图，在平面四边形中，平分．若，求．
【答案】
【详解】平分．设，则．
设，则，
在中，由余弦定理得，
，解得
则，即
变式10 如图，在平面四边形中，，，平分.若，求.
【答案】
【详解】设，则.
设，则，，
在中，由余弦定理得，
∵，∴，
∴，，
∴.
【题型六】取值范围问题
（一）三角形面积最值
（1）对边对角型
【例11】已知锐角三角形中，，，求三角形面积的取值范围。
画图法：
根据同弦所对的圆周角相等，为定弦，则点的轨迹为三角形的外接圆的一段圆弧上；
①当点位于圆弧的中点时，即圆弧的最高点，此时面积最大，且同时为等边三角形，；
②当时，此时面积最小，且同时为直角三角形，；
故。
（二）不等式法：
，
又，所以，当且仅当取等号．
，当为正三角形时，．
（三）三角函数法：
因为，所以，；
所以的面积为，
，
因为三角形是锐角三角形，所以，由可得，
所以，所以，
所以.
变式11 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，求面积的最大．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由余弦定理可得，整理得．
于是，又，所以，．
(2)由题意可得，整理得，
又，所以．
由余弦定理可得，整理得，．
由余弦定理可得，即，当且仅当时取等号．
所以，的面积，当且仅当时取等号．
因此，面积的最大值为．
（2）对边异角型（画图法，三角函数法求取值范围）
【例12】已知锐角三角形中，，，求三角形面积的取值范围。
画图法：
如右图，由于边是固定的，且角，则点在射线上，
①当时，点在射线的最高点，此时面积最大，；
②当时，点在射线的最低点，此时面积最小，；
故。
不等式法：
由余弦定理，得，将代入，整理，得，
因为为锐角三角形，，即，解得：，
.
（三）三角函数法：
，，
因为为锐角三角形，，，，
，.
（二）三角形周长取值范围
（1）对边对角型——（基本不等式求最大值）
【例13】已知在△ABC中，，∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．
【答案】4+2．
【详解】∵△ABC的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，＝＝2×2＝4，∴AB＝，
∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝，
∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，
∴∠ABI+∠BAI＝，∴∠AIB＝，
设∠ABI＝θ，则∠BAI＝﹣θ，且0＜θ＜，
在△ABI中，由正弦定理得，＝＝＝＝4，
∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，
∴△ABI的周长为2+4sin（﹣θ）+4sinθ＝2+4（cosθ﹣sinθ）+4sinθ
＝2+2cosθ+2sinθ＝4sin（θ+）+2，
∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，
∴当θ+＝，即时，△ABI的周长取得最大值，最大值为4+2，
故△ABI的周长的最大值为4+2．
变式14 的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）由已知，得.
由正弦定理，得，即，
∵，∴.，∵，∴
∵，∴.
（2），且，，∴，
∴.
因为为锐角三角形，所以得，得.∴
即周长的取值范围为.
（2）对边异角型
【例14】 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
（1）求角的大小；
（2）求周长的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）∵，∴，
∴，即解得
∵为锐角三角形，所以.
（2）正弦定理可得：可得，
，
∴.
又∵为锐角三角形， ∴，∴，
∵，∴，∴，
∴周长的取值范围
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解三角形讲义
知识点一 基本定理公式
1.正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径,则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ；
常见 变形 (1)，，； (2)，，； （1）； （2）（包含周长与面积之间的关系）
一般适用情景 角多用正弦，对角对边用正弦 边多用余弦
面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
知识点二 相关应用
1. 正弦定理的应用
①边化角，角化边，注意不成立
②大边对大角,大角对大边
③合分比：
2. 射影定理，同理有：，.
角平分线之斯库顿定理
如图，是的角平分线，
（1）（邻边之比等于对边之比）
（2）就其位置关系而言，可记忆：中方=邻边之积 - 对边之积.
角平分线之倍角定理
，这样的三角形称为“倍角三角形”.
证明方法（一）正余弦定理化简；（二）利用相似证明
5.中线长定理，D为BC中点，则
【题型一】边角互化
步骤一：优先边化角，但要求是齐次，非齐次则想办法变成齐次。
，则 。
，则 。
步骤二：再使用射影定理拆开或合并。
，则 。
。
步骤三：当出现三者中的任意一个的时候，即边角互化之后有平方的形式出现。则直接考虑角化边！则把所有的正，余弦角度都转化为边。
。
【题型一】边角互化
【例1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
【答案】D
【详解】因为，则，
又因为射影定理：，所以原式等价于
则，则或，
的形状为直角三角形或等腰三角形.
故选：D
变式1 在中，若，则该三角形为 三角形．
变式2在中，已知，且，则该三角形的形状是 ．
【例2】中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解法一：由正弦定理及得，，．
又∵，由余弦定理得：，即，
由余弦定理得，
又∵，∴．故选：C．
解法二：由正弦定理及得，，．
又∵，∴，由射影定理得；
∴，又∵，∴．
【例3】已知 。
【详解】由正弦定理和余弦定理可得：，
，又，，解得：；
【例4】 ，且，求 。
【详解】由及正弦定理得：，
因为，，所以，，所以，又，所以；
由正弦定理，，，
由得：，
即①，由余弦定理得，解得，
变式3 。
变式4 若，，则___________.
【题型二】三角形面积和周长
【例5】设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若的面积为S，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【详解】∵，
代入，即，
∵，∴，即，
故选：B.
【例6】在锐角三角形中，，，分别为角，，所对的边，且，，且的面积为，的值为（ ）
A．4 B．6 C．5 D．3
【详解】由，结合正弦定理可得.
在锐角三角形中，得；所以的面积，解得.
由余弦定理可得，解得.故选：C.
变式5 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
变式6 的内角，，所对边分别为，，，若，，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型三】 实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
【例7】如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝（ ）
A．150 m B．150 m C．150 m D．50 m
【答案】A
【详解】在直角中，，BC＝100，可得，
在中，，，则，
由正弦定理有：，即，故，
在直角△中，，可得().故选：A.
【例8】为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】在中，，
所以，有，所以，
在中，，由正弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
所以，即两个基站A、B之间的距离为.
变式7 如图，小宇为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为：12m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（取）（ ）
A．42.5m B．45m C．51m D．56.4m
变式8 东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一.东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称.如图，从东到西的公路上有相距80（单位：）的两个观测点，在点测得塔在北偏东60°的点处，在点测得塔在北偏西30°，塔顶的仰角为45°，则塔的高度约为（ ）
A． B． C． D．
【题型四】正余弦定理的综合应用
【例9】在中，D为BC的中点，且.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由，可得，如图所示：
在中，由正弦定理得，所以
在中，由正弦定理得，所以，故
因为为的中点，所以，即，
（2）由（1）不妨设
在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得.
所以.解得.
故
变式9 如图，△ABC中，角所对的边分别为为边上一点，，记，，求的值.
【例10】如图，在平面四边形中，平分．若，求．
【答案】
【详解】平分．设，则．
设，则，
在中，由余弦定理得，
，解得
则，即
变式10 如图，在平面四边形中，，，平分.若，求.
【题型六】取值范围问题
（一）三角形面积最值
（1）对边对角型
【例11】已知锐角三角形中，，，求三角形面积的取值范围。
画图法：
根据同弦所对的圆周角相等，为定弦，则点的轨迹为三角形的外接圆的一段圆弧上；
①当点位于圆弧的中点时，即圆弧的最高点，此时面积最大，且同时为等边三角形，；
②当时，此时面积最小，且同时为直角三角形，；
故。
（二）不等式法：
，
又，所以，当且仅当取等号．
，当为正三角形时，．
（三）三角函数法：
因为，所以，；
所以的面积为，
，
因为三角形是锐角三角形，所以，由可得，
所以，所以，
所以.
变式11 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，求面积的最大．
（2）对边异角型（画图法，三角函数法求取值范围）
【例12】已知锐角三角形中，，，求三角形面积的取值范围。
画图法：
如右图，由于边是固定的，且角，则点在射线上，
①当时，点在射线的最高点，此时面积最大，；
②当时，点在射线的最低点，此时面积最小，；
故。
不等式法：
由余弦定理，得，将代入，整理，得，
因为为锐角三角形，，即，解得：，
.
（三）三角函数法：
，，
因为为锐角三角形，，，，
，.
（二）三角形周长取值范围
（1）对边对角型——（基本不等式求最大值）
【例13】已知在△ABC中，，∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．
【答案】4+2．
【详解】∵△ABC的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，＝＝2×2＝4，∴AB＝，
∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝，
∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，
∴∠ABI+∠BAI＝，∴∠AIB＝，
设∠ABI＝θ，则∠BAI＝﹣θ，且0＜θ＜，
在△ABI中，由正弦定理得，＝＝＝＝4，
∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，
∴△ABI的周长为2+4sin（﹣θ）+4sinθ＝2+4（cosθ﹣sinθ）+4sinθ
＝2+2cosθ+2sinθ＝4sin（θ+）+2，
∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，
∴当θ+＝，即时，△ABI的周长取得最大值，最大值为4+2，
故△ABI的周长的最大值为4+2．
变式14 的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
（2）对边异角型
【例14】 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
（1）求角的大小；
（2）求周长的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）∵，∴，
∴，即解得
∵为锐角三角形，所以.
（2）正弦定理可得：可得，
，
∴.
又∵为锐角三角形， ∴，∴，
∵，∴，∴，
∴周长的取值范围
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