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三角函数图象与性质
知识点一 正弦函数和余弦函数的图像
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
知识点二 与的图像与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
假设.
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心.
假设.
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
（5）单调性.
假设.
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.
方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换.
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
【方法技巧与总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为.
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
【题型一】三角函数的图像的变换
【例1】将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：将图象上各点横坐标变为原来的，得，再向左平移个单位长度后得，
故选：D.
【例2】 要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
【答案】C
【详解】对于AC，先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到的图像，
再将图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图像，故A错误，C正确；
对于BD，先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像，后续平移变换必得不到的图像，故BD错误.
故选：C.
变式1先将函数的周期扩大为原来的倍，再将新函数的图像向右平移，则所得图像的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】周期扩大为原来的倍即是横坐标扩大为原来的倍,可得,
再将新函数的图像向右平移可得,所得图像的解析式为.
故选:A
变式2要得到函数的图像，只而将函数的图像上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
【答案】B
【详解】可化为，
把曲线的上的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
则可得到的图象，再将该图象向右平移个单位，
则可得的图象，故B正确.
故选：B.
【题型二】三角函数的奇偶性与对称性
【例3】若，为偶函数，则___________.
【答案】
【详解】
，只要，就为偶函数，，
Z，故答案为：
【例4】已知函数（、为常数，R）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数，且图象关于点对称 B．偶函数，且图象关于点对称
C．奇函数，且图象关于点对称 D．奇函数，且图象关于点对称
【答案】D
【详解】，若在处取得最小值，
则，，，
，
可得函数是奇函数，且图象关于点对称．故选：D
【例5】将函数的图像向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则正数的最小值为__________．
【答案】
【详解】将函数的图像向右平移个单位变为，
要使其为偶函数，则Z，则，
∵，∴当时，为其最小值.
故答案为：.
变式3 已知函数的图象的一条对称轴是，则
A．1 B． C． D．
【解答】解：函数的图象的一条对称轴是，
故，整理得：，所以，即，故选：．
变式4 已知函数，的对称轴是，则
变式5 已知，的最大值为，x＝m是的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵的最大值为，
∴，又，∴，
∴，又x＝m是的一条对称轴，
∴，即，∴的最小值为.
故选：B.
【题型三】三角函数的解析式
【例6】已知函数图像的一部分如图所示.求函数的解析式；
【详解】由图象易求.
将点代入中，得.因为，所以.
又因为对应五点法作图中的第五个点，所以.
故.
变式6 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，且，则 .
【答案】
【详解】不妨设，
可得，，
由图可知在一个周期内，则，，，
又因为，即，可得，解得，
则，解得，所以，
可知的最小正周期，所以.
故答案为：.
【例7】如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点分别是图象的一个对称中心，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】将函数的图象向右平移个单位得的图象，
由于分别是图象的一个对称中心，结合图象可知：,
,故，
由于所以，进而可得,故，解得，，
故，
故选：D
【例8】如图，函数的部分图象如图所示，已知点为的图象与轴的交点，点分别为图象的最高点和最低点，且，则函数的初相 ．
【答案】
【详解】由题图可得，又，
所以，
所以．
所以，化简得．
又，所以，
所以，解得．
因为，所以．
故答案为：.
变式7 （多选题）设M，N，P为函数图象上三点，其中，，，已知M，N是函数的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若，的面积是，M点的坐标是，则（ ）
A． B．
C． D．函数在M，N间的图象上存在点Q，使得
【答案】BCD
【详解】，
而，故，，，A错误、B正确；
，（），而，故，C正确；
显然，函数的图象有一部分位于以为直径的圆内，当位于以为直径的圆内时，，D正确，
故选:BCD.
变式8（多选题）如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为12 B．
C．的最大值为 D．在区间上单调递增
【答案】ACD
【详解】由题意可得：，，，
，，，，，
，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不对，，，解得，函数，可知正确.
时，，可得：函数在单调递增.
综上可得：ACD正确.
故选：ACD
【例9】已知函数满足.若在上恰好有一个最小值和一个最大值，则 ；若在上恰好有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】 4
【详解】因为，设的最小值正周期为，
若在上恰好有一个最小值和一个最大值，且，
则，所以；
若在上恰好有两个零点，则，解得，
即，且，可得，
因为，则，
且，
且，
可得或或，
解得或或，
所以的取值范围是.
故答案为：4；.
变式9已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称，
故，则，
即，
由函数在上单调，
得，即，即，
解得，而，故或1，或2，
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上单调递增，
故在上单调递增，满足题意；
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上不单调，
故在上不单调，此时不合题意；
当时，，则，结合，得，
则，此时，
当时，，由于在上单调递增，
故在上单调递增，满足题意；
综上，或.
故选：B
【题型四】三角函数的单调性
【例10】函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，令解得：Z，故f（x）的单调递减区间为
故选：C
【例11】设函数，其中，，若，，则在上的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】据题意可以得出直线和点分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心，
所以，
即（），
所以；又由得，
即（），
，所以，所以；
由得的单调减区间为（），
所以在上的单调减区间是.
故选：C
变式10 已知函数.求函数的单调递增区间；
【答案】 ，
【详解】因为
，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，；
变式11 已知函数，，，若的最小值为，且，则的单调递减区间为
A． B．
C． D．
【答案】
【详解】函数，，，的最小值为，．
，，，故．
令，求得，则的单调递减区间为，，，
故选：．
【题型五】三角函数的值域
【例12】函数在上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故选：C
【例13】函数的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【详解】根据题意，设，则，
则原函数可化为，，
所以当时，函数取最大值，故选：C.
【例14】函数的值域 .
【答案】
【详解】因为==，
当时取得最大值，当时取得最小值，又因为， 所以的值域为.
★【例15】求函数的最大值及最小值．
【解答】解：解析式表示过，的直线的斜率，由几何意义，即过定点与单位圆相切时的切线斜率为最值，所以设切线得斜率为，则直线方程为，即，，解得或，所以函数的最大值为，最小值为0．
【例16】设是一个三角形的三个内角，则的最小值为 .
【答案】
【详解】
，
令，
所以，
要想有最小值，显然为钝角，即，
于是有，
设，
因为，
所以
令，即，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因此当时，函数有最大值，
所以的最小值为，
此时，，
即存在，显然存在，使得，
即的最小值为，
故答案为：
变式12 函数在上的最小值是______.
【答案】
【详解】函数，其中锐角由确定，
而，即有，显然在上单调递增，
所以当时，.
故答案为：
变式13 已知，当时，的取值范围是__________．
【答案】
【详解】，
当时，，所以，
即，
故答案为：
变式14 已知函数，则的最大值为
A． B． C．0 D．1
【解答】解：，
令，，，则，
由对勾函数的性质可知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，时，，
所以函数的最大值为1．
故选：．
变式15 设函数．
①的最小正周期为；
②的最大值为；
③在区间上单调递减；
④的一个对称中心为．
其中真命题有 （请填写真命题的编号）．
【解答】解：，，的最小正周期不是，即①错；
，
当，即，时，单调递增；
当，即，时，单调递减；
在区间上单调递减，故③对，
，故②错；
由单调性知，不可能是函数的对称中心，故④错；
故答案为：③
【方法技巧与总结】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理.
（1），设，化为一次函数在上的最值求解.
（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）
（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型.
（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解.
（5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围.
【题型六】w的取值范围
【例17】已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】分析：函数在区间上恰有三个零点，转化为和函数在区间上恰有三个交点，利用余弦函数的图象即可求解.
详解：由题意函数在区间上恰有三个零点，
转化为和函数在区间上恰有三个交点，
当时，，
当时，，
根据余弦函数的图象，要使的图象有三个交点，则，解得，
【例18】已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以，所以．
令，当时，，
于是在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数．
由知，，，
因为在上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以解得．
答案：B.
变式16 已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，所以．
因为在区间内没有零点，所以，，
解得，．因为，所以．
因为，所以或．当时，；当时，．
故选B
【例19】设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】令，则，令，则，
则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，求得取值范围，作出与的图象，如图所示，
由图可知，满足条件可最短区间长度为，最长区间长度为，
∴，解得．
故答案为：．
变式17 设函数，若存在实数，使得在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由可得，.
令，则，由正弦函数图象可知，区间上存在两个零点，区间宽度最大为，
相邻两个零点间的最小距离为.
因为，所以，所以，所以.
因为在区间上有2个零点，所以，，所以，
【例20】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数解析式知：在上单调递增，
∴，单调递增，
又∵在区间上单调递增，
∴，解得，所以当时，有，
故选：B
变式18 已知函数在区间上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】的图象的对称轴为直线，，
因为在区间上不单调，所以对称轴，在直线与直线之间，
即，，化简得，，
因为，所以令，得，又当时，，
综上.
故选：B．
【例21】已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若是的一个单调区间，则的最大值为
A．18 B．17 C．15 D．13
【答案】D
【详解】由题意，得，∴，
又，∴（）．
∵是的一个单调区间，∴T，即，
∵，∴，即．
①当，即时，，，∴，，
∵，∴，此时在上不单调，
∴不符合题意；
②当，即时，，，∴，，
∵，∴，此时在上不单调，
∴不符合题意；
③当，即时，，，∴，．
∵，∴，此时在上单调递增，
∴符合题意，故选D．
变式19 已知函数，其中，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是
【答案】15
【详解】由题意知函数为y＝f（x）图象的对称轴，
为f（x）的零点，∴ ，n∈Z，∴ω＝2n+1．∵f（x）在区间上有最小值无最大值，
∴周期T≥（），即，∴ω≤16．∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x），
在区间上，15x∈[，），此时f（x）在时取得最小值，
∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.
故答案为：15.
变式20 已知，是函数（，）相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，求的取值范围
【答案】
【详解】设函数的最小正周期为，由题意可得，则，所以，
所以，则．令，则，，即，
又，所以，所以．
因为函数在上的最大值为1，且，如图.
当时，，所以，
所以．
【例22】（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增
B．若，且，则函数的最小正周期为
C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的最小值为3
D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于A，当时，若，则，
所以由复合函数单调性可知在上单调递增；
对于B，若，且，则当且仅当，故B正确；
对于C，若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象所对应的函数表达式为：，
若的图象关于y轴对称，则，
注意到，所以当且仅当时，的最小值为4，故C错误；
对于D，，若在上恰有4个零点，
则当且仅当，即的取值范围为.
故选：ABD.
变式21 （多选题）已知函数，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B．若，且的最小值为，则
C．若在上单调，则的取值范围为
D．若在上有且仅有2个零点，则的取值范围是
【答案】ABC
【详解】函数．
选项A：若，，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，所以A正确；
选项B：若，则，分别是函数的最大值点，最小值点(或者最小值点和最大值点)，若的最小值为，则最小正周期是，所以，B正确；
选项C：设，当时，，若在上单调，
则，所以，C正确；
选项D：当时，，若在仅有2个零点，
则在仅有2个零点，则，所以，D错误，
故选：ABC．
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三角函数图象与性质
知识点一 正弦函数和余弦函数的图像
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
知识点二 与的图像与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
假设.
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心.
假设.
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
（5）单调性.
假设.
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.
方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换.
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
【方法技巧与总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为.
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
【题型一】三角函数的图像的变换
【例1】将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：将图象上各点横坐标变为原来的，得，再向左平移个单位长度后得，故选：D.
【例2】 要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
【答案】C
【详解】对于AC，先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到的图像，再将图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图像，故A错误，C正确；
对于BD，先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像，后续平移变换必得不到的图像，故BD错误.
故选：C.
变式1先将函数的周期扩大为原来的倍，再将新函数的图像向右平移，则所得图像的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
变式2要得到函数的图像，只而将函数的图像上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
【题型二】三角函数的奇偶性与对称性
【例3】若，为偶函数，则___________.
【答案】
【详解】
，只要，就为偶函数，，
Z，故答案为：
【例4】已知函数（、为常数，R）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数，且图象关于点对称 B．偶函数，且图象关于点对称
C．奇函数，且图象关于点对称 D．奇函数，且图象关于点对称
【答案】D
【详解】，若在处取得最小值，
则，，，
，
可得函数是奇函数，且图象关于点对称．故选：D
【例5】将函数的图像向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则正数的最小值为__________．
【答案】
【详解】将函数的图像向右平移个单位变为，
要使其为偶函数，则Z，则，
∵，∴当时，为其最小值，故答案为：.
变式3 已知函数的图象的一条对称轴是，则
A．1 B． C． D．
变式4 已知函数，的对称轴是，则
变式5 已知，的最大值为，x＝m是的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型三】三角函数的解析式
【例6】已知函数图像的一部分如图所示.求函数的解析式；
【详解】由图象易求.将点代入中，得.
因为，所以.又因为对应五点法作图中的第五个点，所以，
故.
变式6 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，且，则 .
【例7】如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点分别是图象的一个对称中心，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】将函数的图象向右平移个单位得的图象，
由于分别是图象的一个对称中心，结合图象可知：,
,故，
由于所以，进而可得,故，解得，，
故，
故选：D
【例8】如图，函数的部分图象如图所示，已知点为的图象与轴的交点，点分别为图象的最高点和最低点，且，则函数的初相 ．
【答案】
【详解】由题图可得，又，所以，
所以．所以，化简得．
又，所以，所以，解得．因为，所以．
故答案为：.
变式7 （多选题）设M，N，P为函数图象上三点，其中，，，已知M，N是函数的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若，的面积是，M点的坐标是，则（ ）
A． B．
C． D．函数在M，N间的图象上存在点Q，使得
变式8（多选题）如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为12 B．
C．的最大值为 D．在区间上单调递增
【例9】已知函数满足.若在上恰好有一个最小值和一个最大值，则 ；若在上恰好有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】 4
【详解】因为，设的最小值正周期为，
若在上恰好有一个最小值和一个最大值，且，则，所以；
若在上恰好有两个零点，则，解得，
即，且，可得，
因为，则，
且，且，
可得或或，
解得或或，所以的取值范围是.
故答案为：4；.
变式9 已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型四】三角函数的单调性
【例10】函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，令解得：Z，故f（x）的单调递减区间为，故选：C
【例11】设函数，其中，，若，，则在上的单调减区间是（ ）
B． C． D．
【答案】C
【详解】据题意可以得出直线和点分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心，
所以，即（），
所以；又由得，即（），
，所以，所以；
由得的单调减区间为（），
所以在上的单调减区间是，故选：C
变式10 已知函数.求函数的单调递增区间；
变式11 已知函数，，，若的最小值为，且，则的单调递减区间为
A． B．
C． D．
【题型五】三角函数的值域
【例12】函数在上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为，故选：C
【例13】函数的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【详解】根据题意，设，则，
则原函数可化为，，
所以当时，函数取最大值，故选：C.
【例14】函数的值域 .
【答案】
【详解】因为==，
当时取得最大值，当时取得最小值，又因为，
所以的值域为.
★【例15】求函数的最大值及最小值．
【解答】解：解析式表示过，的直线的斜率，由几何意义，即过定点与单位圆相切时的切线斜率为最值，所以设切线得斜率为，则直线方程为，即，，解得或，所以函数的最大值为，最小值为0．
【例16】设是一个三角形的三个内角，则的最小值为 .
【答案】
【详解】
，
令，
所以，
要想有最小值，显然为钝角，即，
于是有，
设，
因为，所以
令，即，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因此当时，函数有最大值，
所以的最小值为，
此时，，
即存在，显然存在，使得，
即的最小值为，故答案为：
变式12 函数在上的最小值是______.
变式13 已知，当时，的取值范围是__________．
变式14 已知函数，则的最大值为
A． B． C．0 D．1
变式15 设函数．
①的最小正周期为；
②的最大值为；
③在区间上单调递减；
④的一个对称中心为．
其中真命题有 （请填写真命题的编号）．
【方法技巧与总结】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理.
（1），设，化为一次函数在上的最值求解.
（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）
（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型.
（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解.
（5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法（圆）求最值.这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围.
【题型六】w的取值范围
【例17】已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意函数在区间上恰有三个零点，
转化为和函数在区间上恰有三个交点，
①当时，，②当时，，
根据余弦函数的图象，要使的图象有三个交点，则，解得，
【例18】已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以，所以．
令，当时，，
于是在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数．
由知，，，
因为在上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以解得．答案：B.
变式16已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【例19】设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】令，则，令，则，
则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，求得取值范围，作出与的图象，如图所示，
由图可知，满足条件可最短区间长度为，最长区间长度为，
∴，解得．
故答案为：．
变式17 设函数，若存在实数，使得在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围是 .
【例20】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数解析式知：在上单调递增，∴，单调递增，又∵在区间上单调递增，∴，解得，
所以当时，有，故选：B
变式18 已知函数在区间上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【例21】已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若是的一个单调区间，则的最大值为
A．18 B．17 C．15 D．13
【答案】D
【详解】由题意，得，∴，
又，∴（）．∵是的一个单调区间，∴T，即，
∵，∴，即．
①当，即时，，，∴，，
∵，∴，此时在上不单调，∴不符合题意；
②当，即时，，，∴，，
∵，∴，此时在上不单调，∴不符合题意；
③当，即时，，，∴，．
∵，∴，此时在上单调递增，∴符合题意，故选D．
变式19 已知函数，其中，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是
变式20 已知，是函数（，）相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，求的取值范围
【例22】（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增
B．若，且，则函数的最小正周期为
C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的最小值为3
D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于A，当时，若，则，
所以由复合函数单调性可知在上单调递增；
对于B，若，且，则当且仅当，故B正确；
对于C，若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象所对应的函数表达式为：，
若的图象关于y轴对称，则，
注意到，所以当且仅当时，的最小值为4，故C错误；
对于D，，若在上恰有4个零点，
则当且仅当，即的取值范围为.
故选：ABD.
变式21 （多选题）已知函数，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B．若，且的最小值为，则
C．若在上单调，则的取值范围为
D．若在上有且仅有2个零点，则的取值范围是
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