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三角函数图象与性质
知识点一 正弦函数和余弦函数的图像
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
知识点二 与的图像与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
假设.
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心.
假设.
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
（5）单调性.
假设.
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.
方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换.
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
【题型一】三角函数的图像的变换
【例1】将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：将图象上各点横坐标变为原来的，得，再向左平移个单位长度后得，
故选：D.
【例2】 要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
【答案】C
【详解】对于AC，先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到的图像，
再将图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图像，故A错误，C正确；
对于BD，先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像，后续平移变换必得不到的图像，故BD错误.
故选：C.
变式1先将函数的周期扩大为原来的倍，再将新函数的图像向右平移，则所得图像的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
变式2要得到函数的图像，只而将函数的图像上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
【题型二】三角函数的奇偶性与对称性
【例3】将函数的图像向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则正数的最小值为__________．
【答案】
【详解】将函数的图像向右平移个单位变为，
要使其为偶函数，则Z，则，
∵，∴当时，为其最小值.
故答案为：.
【例4】已知函数且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】由已知可得，即，所以关于对称，
故，，所以，又，所以时，取最小值为．
故选：A．
变式3 将函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式4 已知函数，的对称轴是，则
【题型三】三角函数的解析式
【例5】已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】根据图象可得，则，解得.
将点的坐标代入的解析式，得，
则.
因为，所以，所以.
故选：D
变式5 函数的部分图象如图所示．求函数的解析式；
【例6】已知函数图像的一部分如图所示.求函数的解析式；
【详解】由图象易求.
将点代入中，得.因为，所以.
又因为对应五点法作图中的第五个点，所以.
故.
【例7】 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，且，则 .
【答案】
【详解】不妨设，
可得，，
由图可知在一个周期内，则，，，
又因为，即，可得，解得，
则，解得，所以，
可知的最小正周期，所以.
故答案为：.
变式6 已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若， .
【例8】如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点分别是图象的一个对称中心，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】将函数的图象向右平移个单位得的图象，
由于分别是图象的一个对称中心，结合图象可知：,
,故，
由于所以，进而可得,故，解得，，
故，
故选：D
变式7（多选题）如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，为中点，，.则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为12 B．
C．的最大值为 D．在区间上单调递增
【题型四】三角函数的单调性
【例9】若函数的部分图象如图所示， 且，， 则函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：因为点在函数的图像上，所以，
即，结合图像可得①，
又，则直线为函数图像的一条对称轴，结合图像可得②，
由①、②解得，，所以．
令，得，
所以的单调递减区间为.
故选：C．
【例10】设函数，其中，，若，，则在上的单调减区间是（ ）
B． C． D．
【答案】C
【详解】据题意可以得出直线和点分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心，
所以，即（），
所以；又由得，即（），
，所以，所以；
由得的单调减区间为（），
所以在上的单调减区间是，故选：C
变式8 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递增
D．函数的图象向右平移个单位可得函数的图象
变式9 已知函数，，，若的最小值为，且，则的单调递减区间为
A． B．
C． D．
【题型五】三角函数的值域
【例11】函数在上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故选：C
【例12】 已知函数，则的最大值为
A． B． C．0 D．1
【解答】解：，
令，，，则，
由对勾函数的性质可知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，时，，所以函数的最大值为1．
故选：．
变式10 函数，先将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数，求在区间上的值域．
【例13】已知函数将的图象向右平移个单位，然后再将横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若当时，的值域为，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】根据题意得，，当时，
因为的值域为，则，解得：，故实数的取值范围是.
变式11 已知，是函数（，）相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，求的取值范围
【题型六】函数的零点
【例14】函数在上零点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】由题设，令，则，
对于函数在上与的交点个数，
即为原函数零点个数，
如下图示：由上图，共有5个交点，即原函数共有5个零点.
故选：C
【例15】已知函数，若函数在区间有5个零点,求的取值范围.
【详解】,因为所以,
由函数在区间上有5个零点，即在区间有5个零点,
由的图象知,只需即可，解得,故.
变式12 已知函数，若存在，，，且，使，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式13 函数的所有零点之和为______．
【例16】已知函数，设，已知函数在上存在零点，求实数最小值和最大值.
【详解】，则.
由函数在上存在零点，
则，在上有解，
令，由，则，即，
则，所以，即，
故a最小值为，最大值为.
变式14 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【例17】已知函数，有三个不同的零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，令，得，
令，，则，可得或，解得或，
令，可得，解得，
画出函数在区间内的图像以及函数的图像如下图所示，
由图可知，关于直线对称，关于直线对称，
所以.
故选：B.
【例18】已知函数在上有两个不同的零点，则 .
【答案】
【详解】由，得，
则在上有两个不同的解.
当时，，
令，则，有两个不同的解.易得关于对称，
所以，即，
所以，即，所以，
所以.
故答案为：.
变式15 若函数在区间上恰有个零点，求的值.
【题型七】恒成立求参数
【例19】已知函数，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．
【详解】
∵对任意恒成立，
∴，
即对任意恒成立，
令，即在上恒成立．
设，对称轴，
当时，即时，，解得（舍）；
当时，即时，，解得，∴；
当时，即时，，解得．
综上，实数m的取值范围为．
变式16 设函数，令函数对任意实数， 恒有，求实数的取值范围.
【题型八】三角函数实际应用
【例20】长春市新地标——“长春眼”在摩天活力城Mall购物中心落成，其楼顶平台上的空中摩天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约为60m，摩天轮逆时针匀速转动，每15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时P距离地面的高度，当距离地面的高度在以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个城市全貌的时间约为（ ）
A．2.0min B．2.5min C．2.8min D．3.0min
【答案】B
【详解】由题意可知摩天轮运动一周距离底面的最高点为(60+40)米与最低点(60-40)米，相差80米，
∴；运动一周15分钟，即；
由，可得，故.
要看到全景需，解之得：，故时间长为min.
故选：B
变式17 （多选题）如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．离水面的距离不小于3.7m的时长为20s
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三角函数图象与性质
知识点一 正弦函数和余弦函数的图像
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
知识点二 与的图像与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
假设.
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心.
假设.
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
（5）单调性.
假设.
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.
方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换.
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
【题型一】三角函数的图像的变换
【例1】将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：将图象上各点横坐标变为原来的，得，再向左平移个单位长度后得，
故选：D.
【例2】 要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
【答案】C
【详解】对于AC，先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到的图像，
再将图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图像，故A错误，C正确；
对于BD，先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像，后续平移变换必得不到的图像，故BD错误.
故选：C.
变式1先将函数的周期扩大为原来的倍，再将新函数的图像向右平移，则所得图像的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】周期扩大为原来的倍即是横坐标扩大为原来的倍,可得,
再将新函数的图像向右平移可得,所得图像的解析式为.
故选:A
变式2要得到函数的图像，只而将函数的图像上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
【答案】B
【详解】可化为，
把曲线的上的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
则可得到的图象，再将该图象向右平移个单位，
则可得的图象，故B正确.
故选：B.
【题型二】三角函数的奇偶性与对称性
【例3】将函数的图像向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则正数的最小值为__________．
【答案】
【详解】将函数的图像向右平移个单位变为，
要使其为偶函数，则Z，则，
∵，∴当时，为其最小值.
故答案为：.
【例4】已知函数且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】由已知可得，即，所以关于对称，
故，，所以，又，所以时，取最小值为．
故选：A．
变式3 将函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】将函数的图象向右平移个单位后，
可得，
因为的图象关于直线对称，，
即，可得，解得，
又因为，所以的最小值为.
故选：A.
变式4 已知函数，的对称轴是，则
【题型三】三角函数的解析式
【例5】已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】根据图象可得，则，解得.
将点的坐标代入的解析式，得，
则.
因为，所以，所以.
故选：D
变式5 函数的部分图象如图所示．求函数的解析式；
【详解】由图可知，，函数的最小正周期为，，
，可得，
，则，，则，
所以，.
【例6】已知函数图像的一部分如图所示.求函数的解析式；
【详解】由图象易求.
将点代入中，得.因为，所以.
又因为对应五点法作图中的第五个点，所以.
故.
【例7】 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，且，则 .
【答案】
【详解】不妨设，
可得，，
由图可知在一个周期内，则，，，
又因为，即，可得，解得，
则，解得，所以，
可知的最小正周期，所以.
故答案为：.
变式6 已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若， .
【答案】/
【详解】设，由可得，
由可知，或，，
由图可知，，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，
．故答案为：．
【例8】如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点分别是图象的一个对称中心，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】将函数的图象向右平移个单位得的图象，
由于分别是图象的一个对称中心，结合图象可知：,
,故，
由于所以，进而可得,故，解得，，
故，
故选：D
变式7（多选题）如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，为中点，，.则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为12 B．
C．的最大值为 D．在区间上单调递增
【答案】ACD
【详解】由题意可得：，，，
，，，，，
，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不对，，，解得，函数，可知正确.
时，，可得：函数在单调递增.
综上可得：ACD正确.
故选：ACD
【题型四】三角函数的单调性
【例9】若函数的部分图象如图所示， 且，， 则函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：因为点在函数的图像上，所以，
即，结合图像可得①，
又，则直线为函数图像的一条对称轴，结合图像可得②，
由①、②解得，，所以．
令，得，
所以的单调递减区间为.
故选：C．
【例10】设函数，其中，，若，，则在上的单调减区间是（ ）
B． C． D．
【答案】C
【详解】据题意可以得出直线和点分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心，
所以，即（），
所以；又由得，即（），
，所以，所以；
由得的单调减区间为（），
所以在上的单调减区间是.
故选：C
变式8 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递增
D．函数的图象向右平移个单位可得函数的图象
【详解】，，即，，故，
函数周期T，有，即，解得，而，
则，即，因此，
故.
对于A选项，令，，解得，，对称中心为，，当时，对称中心为，故A正确；
对于B选项，根据，，解得，，当时，，故B正确；
对于C选项，由，得的单调递增区间为，，又，，故C正确；
对于D选项，函数图象上所有的点向右平移个单位，得到函数，故D错误.
故选：D.
变式9 已知函数，，，若的最小值为，且，则的单调递减区间为
A． B．
C． D．
【答案】
【详解】函数，，，的最小值为，．
，，，故．
令，求得，则的单调递减区间为，，，
故选：．
【题型五】三角函数的值域
【例11】函数在上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故选：C
【例12】 已知函数，则的最大值为
A． B． C．0 D．1
【解答】解：，
令，，，则，
由对勾函数的性质可知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，时，，
所以函数的最大值为1．
故选：．
变式10 函数，先将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数，求在区间上的值域．
【详解】将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象，
再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数的图象，
则，
当时，，则，所以，，
因此，在区间上的值域为.
【例13】已知函数将的图象向右平移个单位，然后再将横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若当时，的值域为，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】根据题意得，，当时，
因为的值域为，则，解得：，故实数的取值范围是.
变式11 已知，是函数（，）相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，求的取值范围
【答案】
【详解】设函数的最小正周期为，由题意可得，则，所以，
所以，则．令，则，，即，
又，所以，所以．
因为函数在上的最大值为1，且，如图.
当时，，所以，
所以．
【题型六】函数的零点
【例14】函数在上零点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】由题设，令，则，
对于函数在上与的交点个数，即为原函数零点个数，
如下图示：
由上图，共有5个交点，即原函数共有5个零点.
故选：C
【例15】已知函数，若函数在区间有5个零点,求的取值范围.
【详解】,因为所以,
由函数在区间上有5个零点，即在区间有5个零点,
由的图象知,只需即可，解得,故.
变式12 已知函数，若存在，，，且，使，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
令，因为，， ，所以，， ，，
因为，结合的图象（如图所示），
得到，或，,
因为，所以，，
则解得，此时，，，满足题意，
或解得，不符合题意舍去.
故选：.
变式13 函数的所有零点之和为______．
【答案】6
【详解】解：令，得，解得或，即为零点，
令，，
可知的周期，对称轴，且的对称轴，
做出和的图象如图所示：
显然，在和上各存在一个零点，
在处的切线为x轴，在上存在零点，
同理在上存在零点，所以在上存在6个零点，
因为和的函数图象关于对称，则零点关于对称，
所以的所有零点之和为.
故答案为：6.
【例16】已知函数，设，已知函数在上存在零点，求实数最小值和最大值.
【详解】，则.
由函数在上存在零点，
则，在上有解，
令，由，则，即，
则，所以，即，
故a最小值为，最大值为.
变式14 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【详解】（1）由图示得：，解得，
又函数的周期T有：，所以，所以，
所以.
又因为过点，所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以.
（2）图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，
当时，，
令，则，
令，则在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
且
所以时，当时，方程恰有三个不相等的实数根.
【例17】已知函数，有三个不同的零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，令，得，
令，，则，可得或，解得或，
令，可得，解得，
画出函数在区间内的图像以及函数的图像如下图所示，
由图可知，关于直线对称，关于直线对称，
所以.
故选：B.
【例18】已知函数在上有两个不同的零点，则 .
【答案】
【详解】由，得，
则在上有两个不同的解.
当时，，
令，则，有两个不同的解.易得关于对称，
所以，即，
所以，即，所以，
所以.
故答案为：.
变式15 若函数在区间上恰有个零点，求的值.
【答案】.
【详解】，
当时，，
设，则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点；
作出在上的图像如下图所示，
设与的个不同的交点分别为，
则，，，
即，整理可得：，，
.
【题型七】恒成立求参数
【例19】已知函数，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．
【详解】
∵对任意恒成立，
∴，
即对任意恒成立，
令，即在上恒成立．
设，对称轴，
当时，即时，，解得（舍）；
当时，即时，，解得，∴；
当时，即时，，解得．
综上，实数m的取值范围为．
变式16 设函数，令函数对任意实数， 恒有，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】得，所以，
根据恒成立，可得对任意实数恒成立；
令，
因为，所以，根据正弦函数单调性可得，即，
再根据二次函数单调性可得,因此．
即实数的取值范围为
【题型八】三角函数实际应用
【例20】长春市新地标——“长春眼”在摩天活力城Mall购物中心落成，其楼顶平台上的空中摩天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约为60m，摩天轮逆时针匀速转动，每15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时P距离地面的高度，当距离地面的高度在以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个城市全貌的时间约为（ ）
A．2.0min B．2.5min C．2.8min D．3.0min
【答案】B
【详解】由题意可知摩天轮运动一周距离底面的最高点为(60+40)米与最低点(60-40)米，相差80米，
∴；运动一周15分钟，即；
由，可得，故.
要看到全景需，解之得：，故时间长为min.
故选：B
变式17（多选题）如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．离水面的距离不小于3.7m的时长为20s
【答案】ABD
【详解】由题意，的最大值为，最小值为，则，
所以，故A正确；
由旋转一周需要60s，得函数的周期，所以，故B正确；
故，
当时，，则，所以，故C错误；
由，得，
因为，所以，
由，得，
令，得，
所以，故，
所以离水面的距离不小于3.7m的时长为，故D正确.
故选：ABD.
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