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等和线定理的运用
如图设，是平面内两个不共线向量，若=，且，且，则有.
证明：设，根据相似三角形关系可知 ：，
所以 所以.
【例1】如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为，与的夹角为,且，，若,则的值为 .
【详解】
，故答案为：6
变式1已知平面内的两个单位向量，，它们的夹角是，与、向量的夹角都为，且，若，则值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【例2】扇形中，，为上的一个动点，且，其中.
（1）的取值范围为 ；
（2）的取值范围为 .
【答案】
【详解】（1）解法一：（等和线）设与相交于点，，，
.
解法二：（坐标法），，
，，，，
.
解法三：设，
，即
∴.
（2）解法一：（等和线）
解法二：，其中先增后减.
变式2在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为
【例3】如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
如图，，
点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且.，
由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，
该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，
当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，，
的取值范围为.
故选：B
变式3 如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则 ，的最小值为 .
【例4】 已知正的边长为2，D是边BC的中点，动点P满足，有，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】ABD
【详解】以点为原点、边为x轴建立平面直角坐标系（如图所示），
则，，，；
因为，所以点在以为圆心、1为半径的圆上，
设，则，，，
又因为， 所以，
即，即，
又因为，所以，即；
对于A：因为，所以，则，即的最小值为，即选项A正确；
对于B：因为，所以，则，即的最大值为，
即选项B正确；
对于C、D：因为且，所以，
因为，所以所以，所以，
即的最小值为，最大值为，即选项C错误，选项D正确.
故选：ABD.
变式4已知中，是边的中点，动点满足，则（ ）
A．的值可以等于2
B．的值可以等于2
C．的值可以等于
D．的值可以等于3
等和线专题训练
1．已知是的重心，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
2．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点为扇形的弧上任意一点，且，若
，则的取值范围为（ ）
， B．， C．， D．，
4．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，，则的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．6
5．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
6．已知的一内角，为所在平面上一点，满足，设，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
第5题图 第7题图
7．如图，已知，，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
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等和线定理的运用
【例1】如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为，与的夹角为,且，，若,则的值为 .
【答案】6
【详解】
，故答案为：6
变式1已知平面内的两个单位向量，，它们的夹角是，与、向量的夹角都为，且，若，则值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】利用在的角平分线上可得，再根据可求的值，故可得正确的选项.
【详解】由题意，可得在的角平分线上，所以，
再由可得，即，
再由，
得，
解得，故，所以，故选D．
【例2】扇形中，，为上的一个动点，且，其中.
（1）的取值范围为 ；
（2）的取值范围为 .
【答案】
【详解】（1）解法一：（等和线）设与相交于点，，，
.
解法二：（坐标法），，
，，，，
.
解法三：设，
，即
∴.
（2）解法一：（等和线）
解法二：，其中先增后减.
变式2在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为
【答案】
【详解】分析：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．
详解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD==
∴BC CD=BD r，
∴r=，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，
设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），
∵=λ+μ，
∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，
∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故答案为：3．
【例3】如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到的取值范围.
【详解】
如图，，
点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动，
且.，
由向量加法的平行四边形法则，
为平行四边形的对角线，
该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，
当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，
，
的取值范围为.
故选：B
变式3 如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则 ，的最小值为 .
【答案】 2
【分析】先得出，设出得出，则，两问分别代入计算即可.
【详解】因为在中，，
所以,
即.
因为点在线段上移动（不含端点），所以设.
所以，对比可得.
代入，得；
代入可得，根据二次函数性质知当时，.
故答案为：
【例4】 已知正的边长为2，D是边BC的中点，动点P满足，有，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】以点为原点、边为x轴建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设出，利用平面向量的坐标运算得到，再结合角的范围逐一验证各选项.
【详解】以点为原点、边为x轴建立平面直角坐标系（如图所示），
则，，，；
因为，所以点在以为圆心、1为半径的圆上，
设，则，
，，
又因为， 所以，
即，即，
又因为，所以，即；
对于A：因为，所以，
则，即的最小值为，
即选项A正确；
对于B：因为，所以，
则，即的最大值为，
即选项B正确；
对于C、D：因为且，
所以，
因为，所以
所以，所以，
即的最小值为，最大值为，
即选项C错误，选项D正确.
故选：ABD.
变式4已知中，是边的中点，动点满足，则（ ）
A．的值可以等于2
B．的值可以等于2
C．的值可以等于
D．的值可以等于3
【答案】AD
【分析】确定在以为直径的圆上，分别以为轴建立平面直角坐标系，得出圆的方程，由求出点坐标代入圆方程得出满足的关系式，用三角换元法把用表示，然后根据两角和与差的正弦公式及辅助角公式，结合正弦函数性质判断各选项．
【详解】因为，所以，，
，则在以为直径的圆上，如图也是该圆上的点．
分别以为轴建立平面直角坐标系，则圆方程是，
，，
，即，
所以，
．
可设，，
所以，
时，，A正确；
同理，B错误；
，
易知，所以，C错；
，
易知，所以，，，D正确；
故选：AD．
等和线专题训练
1．已知是的重心，若，则（ C ）
A． B．1 C． D．
2．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
3．已知点为扇形的弧上任意一点，且，若
，则的取值范围为（ D ）
， B．， C．， D．，
4．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，，则的最大值为（ A ）
A． B．5 C． D．6
5．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（ C ）
A． B． C．2 D．
6．已知的一内角，为所在平面上一点，满足，设，则的最大值为（ C ）
A． B．1 C． D．2
7．如图，已知，，，，，则等于（ A ）
A． B． C． D．
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