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平面向量的概念、线性运算及坐标表示
知识点一 向量的有关概念
名称 定义 说明
向量 在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量 平面向量是自由向量
有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，…表示 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度
向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作|| 向量的模是数量
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0 其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 a是非零向量，则±是单位向量
平行向 量(共线 向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量 规定：零向量与任意向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小
相反向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 0的相反向量仍是0
【注意】：
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．
(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．
(6)a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形；
(7)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b；
(8)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；
(9)对于任意非零向量a，是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；
(10)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；
(11)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，而向量的共线与向量的平行是一致的.
（一）向量的表示
1．向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用黑体a，书写用.
注：1.理解向量概念应关注三点
(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素．
(3)向量与向量之间不能比较大小．
3．相等向量的理解
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．
4．向量与有向线段的关系
如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
5．向量与数量的区别
(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；
(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小．即使有||>||也不能说>，特殊地，若向量与是相等向量，记作＝；
(3)0与0不同，虽然|0|＝0，但0是向量，而0是数量．
（二）向量的夹角
已知两个非零向量和，如图，在平面内选一点，作，，则（其中角），称为向量与的夹角（一定要同一起点）。
①当时，与同向；
②当时，与反向；
③当时，与垂直；记作.
规定零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量，都。
注：两向量夹角概念的正确理解
(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角．
知识点二、向量的线性运算
运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律(性质)
加法 求两个向量和的运算 三角形法则： 平行四边形法则： 交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立
减法 求与的相反向量的和的运叫做与的差 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 λa是一个向量，其长度：|λa|＝|λ||a|； 其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方向相反；λ＝0时，λa＝0 设λ，μ∈R，则 λ(μa)＝μ(λa)； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
【注意】
（1）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（2）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
（3）加法、减法运算：①同起点的向量和等于2倍的中点向量；②同起点的向量差后指向前。
（4）向量三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形).
（5），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立．
（6）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
（7）进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用向量的减法转化为同起点的向量的运算．
（8）找出图形中的相等向量、共线向量，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
知识点三、向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. （口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
注：a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据，注意待定系数法和方程思想的应用；若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. 对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线 存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：①当a＝0时，a与任一向量b都是共线的；②当a＝0且b≠0时，b＝λa是不成立的，但a与b共线. 因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a≠0. 换句话说，如果不加条件“a≠0”，“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件.
（一）三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握
注：A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；存在，使得．
注：、、三点共线，这是直线的向量式方程．
（二）线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
（三）线性运算重要结论
(1)中线向量定理:若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
(2)若G为△ABC的重心，则＋＋＝0.
(3)若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(4)如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则＝＋，特别地，D为BC的中点时(m＝n)，＝＋.
知识点四 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
（一）平面向量基本定理的推论
(1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4.
(2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(3)平面向量基本定理的推论
①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t. 特别地，当t＝时，点P是线段AB的中点.
②对于平面内任意一点O，P，A，B三点共线 存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
（二）平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘.
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(3)特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
知识点五 平面向量的坐标公式
已知，
一、平行和垂直判定（向量公式和坐标公式）
1. 若向量和非零向量平行，即有唯一的实数，使
2. 若非零向量和非零向量垂直，即
二、两个非零向量与的数量积及投影
1.
2. 投影：叫做向量在方向上的投影，即=
3.投影向量：在方向上的投影向量为
三、坐标基本运算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
四、三点共线坐标之间的关系（母子定理）
已知，，
若，则，
若，则，
平面向量坐标公式默写
已知，
一、平行和垂直判定（向量公式和坐标公式）
1.若向量和非零向量平行，即有唯一的实数，使
2.若非零向量和非零向量垂直，即
二、两个非零向量与的数量积及投影
1.=
2.投影：叫做向量在方向上的投影，即==
3.投影向量：在方向上的投影向量为
三、坐标基本运算
（1）
（2）
（3）
（4）=
（5）
（6）
（7）
四、三点共线坐标之间的关系（母子定理）
已知，，
1.若，则 ，
2.若，则 ，
【题型一】平面向量的基本概念
【例1】给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
【例2】下列说法：
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足，且与同向，则；
③若两个非零向量与满足，则，为相反向量；
④的充要条件是A与C重合，B与D重合.
其中错误的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.
②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
③正确. ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量.
④错误. 由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.
故选：C
【点睛】
易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点.
【例3】（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若向量是非零向量，则与方向相同
D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使
【答案】CD
【详解】向量不等比较大小，故A选项错误.
向量加法、减法的结果仍为向量，故B选项错误.
与方向相同，C选项正确.
根据向量共线的知识可知D选项正确.
故选：CD
变式1（多选题）下列说法错误的是（ ）
A．若，则或
B．若，，则
C．若， ，则
D．若，，则或
变式2 设，都是非零向量，成立的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．且
变式3 如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型二】平面向量的线性表示
【例4】已知为所在平面内一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如图，
因为，所以是线段的四等分点，且,
所以,
故A,B错误；
由，可得，故C正确，D错误，故选:C.
【例5】在正六边形中，，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【详解】，
所以，所以.故选：D.
【例6】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，故选：C.
变式 4已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
变式 5在平行四边形中，分别是的中点，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式 6如图，中，，，点E是的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【题型三】向量共线的运用
【例7】已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
【答案】D
【详解】平面向量，不共线，，，，
对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，因，，则与不共线，B不正确；
对于C，因，，则与不共线，C不正确；
对于D，，即，
又线段与有公共点，则，，三点共线，D正确.
故选：D
【例8】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【详解】对于①，，，故两向量共线；
对于②，，，故两向量共线；
对于③，，
假设存在
，因为，是不共线向量，故得到无解.
故选：A.
【例9】已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为O，A，B三点共线，则，所以，，即
整理得：
又∵向量，不共线，则，则，故选：A．
变式7已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
变式8已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2 B． C． D．
变式9已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【题型四】平面向量基本定理及应用
【例10】在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理用表示，又因为三点共线，利用系数和为1求解结果.
【详解】由，得出，
由得
，
因为三点共线，所以，解得.
故选：D.
【例11】已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________．
【答案】3.
【详解】根据条件：，
如图设D为BC的中点，则
因为G是的重心，，
，
又M，G，N三点共线，
，即.
故答案为：3.
【例12】 如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】，，又，
∴，
∴，
又、、三点共线，
∴，
∴，
当且仅当，即时取等，
∴的最小值为．
故答案为：
变式10如图，在中，，，若点D是斜边AB的中点，点P是中线CD上一点，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
变式11 如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（ ）
A．1 B． C． D．2
变式12在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．4 D．2
【题型五】平面向量的直角坐标运算
【例13】已知点，，则与方向相反的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意有，所以，
所以与方向相反的单位向量是.
故选：C
【例14】已知向量，则与向量垂直的单位向量的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【详解】易知是与垂直的向量，，
所以与平行的单位向量为或，
故选：D．
【例15】已知两点、，点满足，则的坐标为___________.
【答案】
【详解】设点，由可得，
所以，，解得，故点.
故答案为：.
【例16】已知平面向量，，若，则实数的值为______．
【答案】
【详解】因为，，所以，
又，所以，解得．故答案为：
变式13 已知向量，且与共线，则_________．
变式14已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（ ）
A． B．或
C．或 D．
变式15（多选题）已知向量，，则（ ）
A．当时，∥ B．的最小值为
C．当时， D．当时，
课后练习
1．下列说法错误的是（ ）
A．零向量与任一向量都平行 B．方向相反的两个向量一定共线
C．单位向量长度都相等 D．，，均为非零向量，若，则
2．已知下列结论：①；②；③；④⑤若 ，则对任一非零向量有；⑥若，则与中至少有一个为 ；⑦若与是两个单位向量，则.则以上结论正确的是（ ）
A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤
3．在边长为1的正方形ABCD中，若，，，则等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2
4．下面四个命题哪些是平面向量，共线的充要条件（ ）
A．存在一个实数， B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，方向相同或相反 D．存在不全为零的实数，，
5．已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（ ）
A． B． C． D．
6.在中，E，F分别为的中点，点D是线段（不含端点）内的任意一点，，则（ ）
A． B． C． D．
7.已知D，E为所在平面内的点，且，，若，则（ ）
A．-3 B．3 C． D．
8．在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．
在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），，则的最小值为______．
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§1 平面向量的概念、线性运算及坐标表示
知识点一 向量的有关概念
名称 定义 说明
向量 在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量 平面向量是自由向量
有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，…表示 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度
向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作|| 向量的模是数量
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0 其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 a是非零向量，则±是单位向量
平行向 量(共线 向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量 规定：零向量与任意向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小
相反向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 0的相反向量仍是0
【注意】：
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．
(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．
(6)a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形；
(7)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b；
(8)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；
(9)对于任意非零向量a，是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；
(10)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；
(11)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，而向量的共线与向量的平行是一致的.
（一）向量的表示
1．向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用黑体a，书写用.
注：1.理解向量概念应关注三点
(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素．
(3)向量与向量之间不能比较大小．
3．相等向量的理解
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．
4．向量与有向线段的关系
如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
5．向量与数量的区别
(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；
(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小．即使有||>||也不能说>，特殊地，若向量与是相等向量，记作＝；
(3)0与0不同，虽然|0|＝0，但0是向量，而0是数量．
（二）向量的夹角
已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，(如图)．
则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角．
当θ＝0°时，a与b同向；
当θ＝180°时，a与b反向；
当θ＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b．
规定：零向量可与任一向量垂直．
注：两向量夹角概念的正确理解
(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角．
知识点二 向量的线性运算
运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律(性质)
加法 求两个向量和的运算 三角形法则： 平行四边形法则： 交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立
减法 求与的相反向量的和的运叫做与的差 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 λa是一个向量，其长度：|λa|＝|λ||a|； 其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方向相反；λ＝0时，λa＝0 设λ，μ∈R，则 λ(μa)＝μ(λa)； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
【注意】
（1）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（2）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
（3）加法、减法运算：①同起点的向量和等于2倍的中点向量；②同起点的向量差后指向前。
（4）向量三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形).
（5），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立．
（6）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
（7）进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用向量的减法转化为同起点的向量的运算．
（8）找出图形中的相等向量、共线向量，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
知识点三 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. （口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
注：a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据，注意待定系数法和方程思想的应用；若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. 对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线 存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：①当a＝0时，a与任一向量b都是共线的；②当a＝0且b≠0时，b＝λa是不成立的，但a与b共线. 因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a≠0. 换句话说，如果不加条件“a≠0”，“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件.
（一）三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握
注：A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；存在，使得．
注：、、三点共线，这是直线的向量式方程．
（二）线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
（三）线性运算重要结论
(1)中线向量定理:若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
(2)若G为△ABC的重心，则＋＋＝0.
(3)若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(4)如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则＝＋，特别地，D为BC的中点时(m＝n)，＝＋.
知识点四 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
（一）平面向量基本定理的推论
(1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4.
(2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(3)平面向量基本定理的推论
①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t. 特别地，当t＝时，点P是线段AB的中点.
②对于平面内任意一点O，P，A，B三点共线 存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
（二）平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(3)特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
知识点五 平面向量的坐标表示
文字叙述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2).
两点构 成的向 量坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy).
（1）已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为，△ABC的重心坐标为.
（2）已知点，，则，
（3）已知，，则，，
（4），．
（5），
【题型一】平面向量的基本概念
【例1】给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
【例2】下列说法：
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足，且与同向，则；
③若两个非零向量与满足，则，为相反向量；
④的充要条件是A与C重合，B与D重合.
其中错误的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.
②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
③正确. ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量.
④错误. 由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.
故选：C
【点睛】
易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点.
【例3】（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若向量是非零向量，则与方向相同
D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使
【答案】CD
【详解】向量不等比较大小，故A选项错误.
向量加法、减法的结果仍为向量，故B选项错误.
与方向相同，C选项正确.
根据向量共线的知识可知D选项正确.
故选：CD
变式1（多选题）下列说法错误的是（ ）
A．若，则或
B．若，，则
C．若， ，则
D．若，，则或
【答案】ABC
【详解】对于A，若，则两个向量的方向可以是任意的，不一定是平行的，故A不正确；
对于B，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当时，满足，
和的方向可以是任意的，且两者的模长也不一定相同，故B不正确；
对于C，若， ，当时，满足， ，但是不满足，故C错误；
对于D，或者，即或，故D正确；
故选：ABC .
变式2 已知下列结论：①；②；③；④⑤若 ，则对任一非零向量有；⑥若，则与中至少有一个为 ；⑦若与是两个单位向量，则.则以上结论正确的是（ ）
A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤
【答案】C
【详解】（1） ，故错误；
（2） 根据数乘的定义，正确；
（3） 是表达式错误，0是数量， 是向量，这样的表达式没有意义，故错误；
（4） ，故错误；
（5）当向量 与 的夹角是 时， ，故错误；
（6）同（5），错误；
（7） ，故正确；
故选：C.
变式3 设，都是非零向量，成立的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】B
【分析】由题意，利用、上的单位向量相等的条件，得出结论．
【详解】解：因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
所以要使成立，即、方向上的单位向量相等，则必需保证、的方向相同，
故成立的充分条件可以是；
故选：B．
【题型二】向量共线的运用
【例4】已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
【答案】D
【详解】平面向量，不共线，，，，
对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，因，，则与不共线，B不正确；
对于C，因，，则与不共线，C不正确；
对于D，，即，
又线段与有公共点，则，，三点共线，D正确.
故选：D
变式4已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【详解】对于①，，，故两向量共线；
对于②，，，故两向量共线；
对于③，，
假设存在
，因为，是不共线向量，
故得到无解.
故选：A.
【题型三】平面向量的线性表示
【例5】已知为所在平面内一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如图，因为，所以是线段的四等分点，且,
所以，故A,B错误；
由，可得，故C正确，D错误，
故选:C.
【例6】在正六边形中，，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【详解】，
所以，所以，故选：D.
【例7】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，故选：C.
变式5在平行四边形中，分别是的中点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，设，且，
则，
又因为，
所以，解得，所以，故选：B.
变式6如图，中，，，点E是的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，故选：B.
变式7已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】D
【详解】因为，边的中点为，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
因为，所以，，故.故选：D．
【题型四】平面向量基本定理及应用
【例8】在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得出，
由得，
因为三点共线，所以，解得.
故选：D.
【例9】 如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】，，又，
∴，
∴，
又、、三点共线，
∴，
∴，
当且仅当，即时取等，
∴的最小值为．故答案为：
变式8如图，在中，，，若点D是斜边AB的中点，点P是中线CD上一点，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，点P在线段CD上，如图所示
则，即，于是有，
因为点D是斜边AB的中点，所以.
所以，所以，解得，故选：D.
变式9已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的最小值为________．
【答案】
【详解】根据条件：，
如图设D为BC的中点，则
因为G是的重心，，，
又M，G，N三点共线，，即.
，故答案为：.
【题型五】平面向量的直角坐标运算
【例10】已知向量，则与向量垂直的单位向量的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【详解】易知是与垂直的向量，，
所以与平行的单位向量为或，
故选：D．
【例11】已知平面向量，，若，则实数的值为______．
【答案】
【详解】因为，，所以，
又，所以，解得．
故答案为：
变式10 已知向量，且与共线，则_________．
【答案】
【详解】因向量，且与共线，则，解得，
所以.
故答案为：
变式11已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【详解】由得，即，，
，
，
，
与同向的单位向量为，反向的单位向量为．
故选：C．
课后练习
1．下列说法错误的是（ ）
A．零向量与任一向量都平行 B．方向相反的两个向量一定共线
C．单位向量长度都相等 D．，，均为非零向量，若，则
【答案】D
【详解】规定：零向量与任一向量都平行，故A正确；
方向相反的两个向量一定共线，故B正确；
单位向量长度都为1，故C正确；
当时，且成立，但不一定成立，故D错误；
故选：D.
2．下面四个命题哪些是平面向量，共线的充要条件（ ）
A．存在一个实数， B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，方向相同或相反 D．存在不全为零的实数，，
【答案】D
【详解】当为零向量，为非零向量时，，则AC选项错误.
当为非零向量且同向时，，则B选项错误.
根据共线向量基本定理的推论可知，D选项正确.
故选： D
3．已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】与平行，，向量不共线，
∴存在实数k，使得，
，解得，
故选：B．
4.在中，E，F分别为的中点，点D是线段（不含端点）内的任意一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为点D是线段（不含端点）内的任意一点，
所以可设，
因为E，F分别为的中点，
所以，
所以，又，
所以，，，，
所以A，B，D错误，C正确，
故选：C.
5．在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．
【答案】
【详解】
由已知，得，
所以，
因为，所以，，
所以．故答案为：
6.在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），，则的最小值为______．
【答案】
【详解】如图，结合题意绘出图象，
因为，为边的中点，
所以，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当，即、时取等号，
故的最小值为，
故答案为：.
§2 平面向量的数量积
知识点一 平面向量的数量积
（一）向量数量积的定义
①向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
②向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
③向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（二）向量的投影
①定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.
注：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
（三）平面向量数量积的几何意义
的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
知识点二 数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
（1）；
（2）；
（3）．
知识点三 数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
（1）．
（2）．
（3）当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
．
．
知识点四、数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与 的关系 (当且仅当时等号成立)
知识点五、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但.
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且
【题型一】平面向量的数量积运算
【例1】在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为______________．
【答案】或
【详解】由，得，即，
，
在中，已知，，，
所以，
即，解得或，所以实数的值为或.
【例2】已知是斜边上的高，，点M在线段上，满足，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【详解】因为是斜边上的高，
所以,,
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以
,故选：A
【例3】已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】∵，
又∵
∴9，
∴
【例4】已知向量满足，则_________．
【答案】3
【详解】由，得，两边平方，得，
因为，所以，得.
【例5】已知向量，，若，则__________
【答案】或
【详解】，，解得：或；
当时，，；当时，，；
或.
变式1如图，正六边形ABCDEF中，，点P是正六边形ABCDEF的中心，则______．
【答案】2
【详解】，且,.
变式2已知在平行四边形中，，则值为__________．
【答案】
【详解】由题设可得如下图：，而，
所以，
又，
所以，则，
故，可得，即.
变式3已知向量与不共线，且，，若，则___________.
【答案】
【详解】由得
由得，所以
则
变式4设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【详解】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
变式5在中，，为的外心，，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】如图，设的中点为D,E，连接OD,OE,则 ,
故，即 ,
即，故,
，即 ,
即，故,
故，故选：B
【题型二】平面向量的夹角
【例6】已知向量，向量，且，则向量的夹角为___________.
【答案】##
【详解】因为，所以
因为，所以，又，
所以，所以，
向量的夹角为,则，所以，则.
【例7】已知非零向量，满足，，则与夹角为______．
【答案】##
【详解】因为，所以.
因为，所以，
所以.
设与夹角为，所以.
因为，所以.
【例8】已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，又与的夹角为钝角，
当与共线时， ，
所以且与的不共线，即且，
所以，故选：D．
变式6已知向量，为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，两边平方可得：
，
因为向量，为单位向量，
所以，即.
因为，所以，即与的夹角为，故选：C
变式7非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由得：，即，解得，
因此，，而，解得，
所以与的夹角为，故选：B
变式8（多选题）已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】ABC
【详解】对于A，因为，，，所以，解得，所以A正确.
对于B，由，得，
则解得，故，所以B正确.
对于C，因为，
所以，
则当时，取得最小值，为，所以C正确.
对于D，因为，，向量与向量的夹角为锐角，
所以，解得；
当向量与向量共线时，，解得，
所以的取值范围是，所以D不正确.
故选：ABC.
【题型三】平面向量的模长
【例9】已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【详解】因为，，且与的夹角为，
所以，
，故选：C
【例10】已知非零向量，的夹角为，，则___________.
【答案】2
【详解】由得，
解得.故答案为：2
【例11】已知三个非零平面向量，，两两夹角相等，且，，，求．
【答案】或9
【详解】因为三个非零平面向量，，两两夹角相等，所以或 ．当时，．
当，即，，共线时．
．故答案为：或9
变式9已知，，与的夹角为，求及的值．
【答案】，.
【详解】，
，，
，.
变式10已知向量、、满足，，，则______．
【答案】
【详解】由已知可得，则，
即，
因为，则，所以，，，
因此，，故，故答案为：.
变式11已知平面向量满足，则_______．
【答案】
【详解】由可得，两边同时平方得，
，，解得，故答案为：.
【题型四】平面向量的投影、投影向量
【例12】非零向量，，满足，与的夹角为，，则在上的正射影的数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】非零向量，，满足，则，即，又与的夹角为，，
所以在上的正射影的数量.
故选：D
【例13】已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，因为，所以，
所以在方向上的投影向量为.
故选：A
变式12 已知，在上的投影为1，则在上的投影为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【详解】因为，在上的投影为1，所以，即；
所以在上的投影为；
故选：C.
变式13 已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为平面向量，的夹角为，且，，
所以在方向上的投影向量为 ，
故选：C
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