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平面向量的数量积及其应用
知识点一 平面向量的数量积
（一）向量数量积的定义
①向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
②向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
③向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（二）向量的投影
①定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.
注：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
（三）平面向量数量积的几何意义
的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
知识点二 数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
（1）；
（2）；
（3）．
知识点三 数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
（1）．
（2）．
（3）当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
．
．
知识点四、数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与 的关系 (当且仅当时等号成立)
知识点五、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但.
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且
【题型一】平面向量的数量积运算
【例1】在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为______________．
【答案】或
【详解】由，得，即，
，
在中，已知，，，
所以
，
即，解得或
所以实数的值为或.
【例2】已知是斜边上的高，，点M在线段上，满足，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【详解】因为是斜边上的高，
所以,,
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以
,故选：A
【例3】已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】∵，
又∵
∴9，
∴
【例4】已知向量，，若，则__________
【答案】或##或.
【详解】，，解得：或；
当时，，；当时，，；
或.
【例5】在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为 ．
【答案】C
【分析】设点，点，,可得，利用二次函数求最值即可.
【详解】设点，点，，则，，
∴；
当时，的最小值为-3，故选：C
变式1如图，正六边形ABCDEF中，，点P是正六边形ABCDEF的中心，则______．
【答案】2
【详解】在正六边形中，点P是正六边形ABCDEF的中心，
，且,
.
变式2已知在平行四边形中，，则值为__________．
【答案】
【详解】由题设可得如下图：，而，
所以，
又，
所以，则，
故，可得，即.
变式3已知向量与不共线，且，，若，则___________.
【答案】
【详解】由得
由得，所以
则
变式4设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【详解】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
变式5 已知向量满足，则_________．
【答案】3
【详解】由，得，两边平方，得，
因为，所以，得.
【题型二】平面向量的夹角
【例6】已知向量，向量，且，则向量的夹角为___________.
【答案】##
【详解】因为，所以
因为，
所以，又，
所以，所以，
向量的夹角为,则
所以，则.
【例7】已知非零向量，满足，，则与夹角为______．
【答案】##
【详解】因为，所以.
因为，所以，
所以.
设与夹角为，所以.
因为，所以.
【例8】已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，又与的夹角为钝角，
当与共线时， ，
所以且与的不共线，即且，
所以，故选：D．
变式6已知向量，为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，两边平方可得：
，
因为向量，为单位向量，
所以，即.
因为，所以，即与的夹角为，故选：C
变式7非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由得：，即，解得，
因此，，而，解得，
所以与的夹角为，故选：B
变式8（多选题）已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】ABC
【详解】对于A，因为，，，所以，解得，所以A正确.
对于B，由，得，
则解得，故，所以B正确.
对于C，因为，
所以，
则当时，取得最小值，为，所以C正确.
对于D，因为，，向量与向量的夹角为锐角，
所以，解得；
当向量与向量共线时，，解得，
所以的取值范围是，所以D不正确.
故选：ABC.
【题型三】平面向量的模长
【例9】已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【详解】因为，，且与的夹角为，
所以，故选：C
【例10】若向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知得，
则.故选：A.
【例11】已知三个非零平面向量，，两两夹角相等，且，，，求．
【答案】或9
【详解】因为三个非零平面向量，，两两夹角相等，所以或 ．当时，．
当，即，，共线时．
．故答案为：或9
变式9 已知向量满足，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
故.
故选：B
变式10已知向量、、满足，，，则______．
【答案】
【详解】由已知可得，则，
即，
因为，则，所以，，，
因此，，故，故答案为：.
变式11已知平面向量满足，则_______．
【答案】
【详解】由可得，两边同时平方得，
，，解得，故答案为：.
【题型四】平面向量的投影、投影向量
【例12】非零向量，，满足，与的夹角为，，则在上的正射影的数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】非零向量，，满足，则，即，又与的夹角为，，
所以在上的正射影的数量.
故选：D
【例13】已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，因为，所以，
所以在方向上的投影向量为.
故选：A
变式12 已知，在上的投影为1，则在上的投影为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【详解】因为，在上的投影为1，所以，即；
所以在上的投影为；
故选：C.
变式13 已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为平面向量，的夹角为，且，，
所以在方向上的投影向量为 ，
故选：C
【题型五】投影法求数量积（数量积的几何意义）
（其中OC为OB在OA方向上的投影，若投影和OA同方向，则为+，反之为-）
【例14】如图，在圆中，已知弦，弦，那么的值为（ ）
【答案】A
【详解】由已知得．
如图：作于，则就是在上的射影，且．
根据数量积的几何性质可知．
同理可得，
故．故选：A．
【例15】如图，在中，，，是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，则的最大值是 .
【答案】6
【详解】取的中点，连接交半圆与点，则，
又，
即，
当且仅当与重合时取等号，故的最大值是6.
故答案为：6.
变式14在中，，为的外心，，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】如图，设的中点为D,E，连接OD,OE,则 ,
故，即 ,
即，故,
，即 ,
即，故,
故，故选：B
变式15在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（ ）
. B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正六边形的几何性质和向量数量积的几何意义即可求得的取值范围.
【详解】由，
可得为与在方向上的投影之积.
正六边形ABCDEF中，以D为圆心的圆与DE交于M，
过M作于，设以C为圆心的圆与垂直的
切线与圆切于点N与延长线交点为，
则在方向上的投影最小值为，最大值为,
又，，
则，
则的取值范围是，故选：A
【题型六】极化恒等式（积化平方差）
主要用于求解动点有关的取值范围问题
极化恒等式：
在中，若AM是的BC边中线，有以下两个重要的向量关系：
定理1 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
以此类推到三角形，若AM是的中线，则.
定理2 在中，若M是BC的中点，则有(三角形两邻边的数量积等于中线的平方减去对边一半的平方 )。
【例16】设点P是边长为2的三边上的一动点，则的取值范围是 ．
【详解】如图，则，设的中点为，则，
显然，当在点时，的值最大，此时；
当时，的值最小，此时，
所以的取值范围为
【例17】如图，在中，，，，是的中点，、分别是边、上的动点，且EF=1，则的最小值等 ．
【答案】#.
【分析】取的中点，化简得到，结合直角三角形的性质，求得，即可求解.
【详解】如图所示，取的中点，可得，
因为，则，
可得
，
又因为，且，，，是的中点，
所以，
所以，即则的最小值为.
故答案为：#.
变式16 如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由线段EF的中点为点B，得出.
.当点P位于点A或点C时，取最大值8.
当点P位于的中点时，取最小值，即，
∴的取值范围为，∴的取值范围为.故答案为：.
变式17 如图，在中，，，是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，则的最大值是 ；
【答案】 2
【详解】因为，，
所以，即,
所以,
当且仅当与重合时取等号，故的最大值是2.
故答案为：2；
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平面向量的数量积及其应用
知识点一 平面向量的数量积
（一）向量数量积的定义
①向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
②向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
③向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（二）向量的投影
①定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.
注：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
（三）平面向量数量积的几何意义
的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
知识点二 数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
（1）；
（2）；
（3）．
知识点三 数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
（1）．
（2）．
（3）当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
．
．
知识点四、数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与 的关系 (当且仅当时等号成立)
知识点五、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但.
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且
【题型一】平面向量的数量积运算
【例1】在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为______________．
【答案】或
【详解】由，得，即，
，
在中，已知，，，
所以
，即，解得或
所以实数的值为或.
【例2】已知是斜边上的高，，点M在线段上，满足，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【详解】因为是斜边上的高，
所以,,
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
所以
,故选：A
【例3】已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】∵，
又∵
∴9，∴
【例4】已知向量，，若，则__________
【答案】或##或.
【详解】，，解得：或；
当时，，；当时，，；或.
【例5】在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为 ．
【答案】C
【分析】设点，点，,可得，利用二次函数求最值即可.
【详解】设点，点，，则，，
∴；
当时，的最小值为-3，故选：C
变式1如图，正六边形ABCDEF中，，点P是正六边形ABCDEF的中心，则______．
变式2已知在平行四边形中，，则值为__________．
变式3已知向量与不共线，且，，若，则___________.
变式4设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
变式5已知向量满足，则_________．
【题型二】平面向量的夹角
【例6】已知向量，向量，且，则向量的夹角为___________.
【答案】##
【详解】因为，所以
因为，
所以，又，
所以，所以，
向量的夹角为,则
所以，则.
【例7】已知非零向量，满足，，则与夹角为______．
【答案】##
【详解】因为，所以.
因为，所以，
所以.
设与夹角为，所以.
因为，所以.
【例8】已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，又与的夹角为钝角，
当与共线时， ，
所以且与的不共线，即且，
所以，故选：D．
变式6已知向量，为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
变式7非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
变式8（多选题）已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
【题型三】平面向量的模长
【例9】已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【详解】因为，，且与的夹角为，
所以，故选：C
【例10】若向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知得，
则.故选：A.
【例11】已知三个非零平面向量，，两两夹角相等，且，，，求．
【答案】或9
【详解】因为三个非零平面向量，，两两夹角相等，所以或 ．当时，．
当，即，，共线时．
．故答案为：或9
变式9 已知向量满足，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
变式10已知向量、、满足，，，则______．
变式11已知平面向量满足，则_______．
【题型四】平面向量的投影、投影向量
【例12】非零向量，，满足，与的夹角为，，则在上的正射影的数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】非零向量，，满足，则，即，又与的夹角为，，
所以在上的正射影的数量.
故选：D
【例13】已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，因为，所以，
所以在方向上的投影向量为.
故选：A
变式12 已知，在上的投影为1，则在上的投影为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
变式13 已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【题型五】投影法求数量积（数量积的几何意义）
（其中OC为OB在OA方向上的投影，若投影和OA同方向，则为+，反之为-）
【例14】如图，在圆中，已知弦，弦，那么的值为（ ）
【答案】A
【详解】由已知得．
如图：作于，则就是在上的射影，且．
根据数量积的几何性质可知．
同理可得，
故．故选：A．
【例15】如图，在中，，，是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，则的最大值是 .
【答案】6
【详解】取的中点，连接交半圆与点，则，
又，
即，
当且仅当与重合时取等号，故的最大值是6.
故答案为：6.
变式14在中，，为的外心，，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
变式15在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（ ）
. B． C． D．
【题型六】极化恒等式（积化平方差）
主要用于求解动点有关的取值范围问题
极化恒等式：
在中，若AM是的BC边中线，有以下两个重要的向量关系：
定理1 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
以此类推到三角形，若AM是的中线，则.
定理2 在中，若M是BC的中点，则有(三角形两邻边的数量积等于中线的平方减去对边一半的平方 )。
【例16】设点P是边长为2的三边上的一动点，则的取值范围是 ．
【详解】如图，则，设的中点为，则，
显然，当在点时，的值最大，此时；
当时，的值最小，此时，
所以的取值范围为
【例17】如图，在中，，，，是的中点，、分别是边、上的动点，且EF=1，则的最小值等 ．
【答案】#.
【详解】如图所示，取的中点，可得，
因为，则，
可得
，
又因为，且，，，是的中点，
所以，
所以，即则的最小值为.故答案为：#.
变式16 如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是___________.
变式17 如图，在中，，，是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，则的最大值是 .
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