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模长的几何意义与隐圆
【例1】已知平面向量满足，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【详解】设，如图，
由题意，即在平行四边形中，，，求的最大值.
延长至，使，则，
由正弦定理，三点所在外接圆的直径，
所以，设圆心为，如右图，
所以可知，又，所以由余弦定理可得，
则由图象可知，故选：C
【例2】已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，
若向量满足，则的最大值是 。
若向量满足，则的最大值是 。
若向量满足，则的最大值是 。
若向量满足，则的最大值是 。
若向量满足，则的最大值是 。
【例3】已知平面向量满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】建立如图所示直角坐标系，由题意可设，，
则，，
由得，故C在以为圆心，半径为1的圆上，
取，则在AD上，则，又，∴，∴，即，
∴.
故选：D
【例4】已知平面向量满足，，则的最小值是 .
【答案】
【详解】 令，，，中点为，中点为，为中点，
由，得，
即，即，
所以，即有，
即、,
故，
由，即，
即有，故点的轨迹为以为直径的圆，
由，
,故，
则，
故当、、三点共线，且点在点、之间时，最小，此时，
故.
故答案为：.
【例5】已知平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令其中为的中点，以为相邻两边构造平行四边形，则，，
则，
所以，
以为圆心，2为半径作圆，为原点，为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示，
又因为①，
②，
①-②得，所以，
这样点也在圆上，所以，
又因为，所以，
所以.故选：C.
变式1 已知平面向量满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
变式2 已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
变式3 设平面向量满足，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
变式4 已知向量满足，若对任意，恒成立，则的取值范围是 .
【例6】 已知平面向量，，满足对任意都有，成立，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
变式5已知平面向量，，满足||=2，||=1，若，，则向量，的夹角不等于 。
课后练习
1．已知向量，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知非零向量，，满足且，则的取值范围是______.
3．设向量满足.与的夹角为60°，则的取值范围是____.
4．已知平面向量满足：，.设向量的夹角为，若存在，使得，则的取值范围______．
5．平面向量，满足，，，对于任意实数k，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
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模长的几何意义与隐圆
【例1】已知平面向量满足，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【详解】设，如图，
由题意，即在平行四边形中，，，
求的最大值.
延长至，使，则，
由正弦定理，三点所在外接圆的直径，
所以，设圆心为，如图，
所以可知，又，
所以由余弦定理可得，
则由图象可知，
故选：C
【例2】已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，
若向量满足，则的最大值是 。
若向量满足，则的最大值是 。
若向量满足，则的最大值是 。
若向量满足，则的最大值是 。
若向量满足，则的最大值是 。
【例3】已知平面向量满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】建立如图所示直角坐标系，由题意可设，，
则，，
由得，故C在以为圆心，半径为1的圆上，
取，则在AD上，则，又，∴，∴，即，
∴.
故选：D
【例4】已知平面向量满足，，则的最小值是 .
【答案】
【详解】
令，，，中点为，中点为，为中点，
由，得，
即，即，
所以，即有，
即、,
故，
由，即，
即有，故点的轨迹为以为直径的圆，
由，
，
故，
则，
故当、、三点共线，且点在点、之间时，最小，
此时，
故.
故答案为：.
【例5】已知平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令其中为的中点，以为相邻两边构造平行四边形，则，，
则，
所以，
以为圆心，2为半径作圆，为原点，为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示，
又因为①，
②，
①-②得，所以，
这样点也在圆上，所以，
又因为，所以，
所以.故选：C.
变式1 已知平面向量满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【详解】在平面直角坐标系中，设，，，
因为，，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
变式2已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】如图，设，，，，由题设条件可得在以为直径的圆上，从而可求的最大值.
【详解】如图，设，，，，
则，，
因为，故，故，
所以在以为直径的圆上，故的最大值为圆的直径，故选：C.
变式3设平面向量满足，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】 ，，，
即夹角，
故可设，，
，，，
即表示以为圆心，以为半径的圆,
则最大值的几何意义是在圆上任取一点，到的距离的最大值，
根据圆的性质可知，所求的值为圆心到的距离.
故选．
变式4已知向量满足，若对任意，恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】解析：因为，
则， 因为，
由，
由，即，由，则恒成立.
由,即
则
，
解得，又
所以.
故答案为：
【例6】已知平面向量，，满足对任意都有，成立，，，则的值为（ C ）
A．1 B． C．2 D．
变式5已知平面向量，，满足||=2，||=1，若，，则向量，的夹角不等于 。
课后练习
1．已知向量，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不妨设设，，，则由题设条件可得的关系为即，结合圆的知识，
故可求的最大值.
【详解】因为，是平面内两个互相垂直的单位向量，
故可设，，，
则，，
因为，所以，
整理得到，即，
故的最大值为，
故选：B.
2．已知非零向量，，满足且，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据已知可推得，的夹角为，进而得出，则 ，结合向量模长的三角不等式，即得解.
【详解】由已知，所以，以为三边的三角形为等边三角形，
所以，的夹角为.
所以有，，故.
由向量模长的三角不等式，，
即.
显然恒成立，所以，
所以有，所以，
所以，的取值范围是.
故答案为：.
3．设向量满足.与的夹角为60°，则的取值范围是____.
【答案】
【分析】根据数量积的定义与运算律整理可得，再结合二次函数分析运算.
【详解】由题意可得：，
则，
当时，等号成立，
所以的取值范围是.
故答案为：.
4．已知平面向量满足：，.设向量的夹角为，若存在，使得，则的取值范围______．
【答案】
【分析】条件转化为，则有，解出不等式即可.
【详解】若，则，又因为，，所以即，所以，解得或，所以.故.
故答案为：.
5．平面向量，满足，，，对于任意实数k，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】，，，
则，得，
又对于任意实数，不等式恒成立，
即对于任意实数，不等式恒成立，
即对于任意实数，不等式恒成立，
则，即，解得：或，
则实数的取值范围是．
故答案为：．
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