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参考答案：
1．B
2．B【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈(0，＋∞)，所以λ的方向与的方向相同.
而＝＋λ，
所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
故选：.
3．C【详解】由得：，
即，故，
故，，
又，，
，即，
同理，即，所以是的垂心．
故选：C.
4．C
【详解】取AB的中点D，则2＝＋，
∵＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ) ]，
∴＝ [2(1－λ) ＋(1＋2λ) ]＝＋，
而＋＝1，
∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
故选：C
5．ABC
【详解】A. 因为，所以，所以是的外心，故正确；
B. 如图所示：
设AB的中点为D，所以，因为， 所以，所以是的重心，故正确；
C. 因为，所以，则，同理，所以是的垂心，故正确；
D. ，所以即，则，得不出是的内心，故错误；
故选：ABC
6．ACD
【详解】对于，设的中点为，若，
则点是的重心，故正确；
对于，若，即有，即，
则点在边的延长线上，故错误；
对于，若，且，
由图可得为的中点，则的面积是面积的，故正确；
对于，因为，所以，
即，
所以，
因为，所以点在的角平分线上，
所以，所以，
所以，所以为等腰三角形，故正确．
故选：．
7．重.
【详解】设D为BC的中点，则，
于是有，
，P，D三点共线，
又D是BC的中点，所以AD是边BC的中线，
于是点P的轨迹一定通过的重心．
8．重心
【详解】∵动点P满足[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），
且，
∴P、C、D三点共线，
又D是AB的中点，
∴CD为中线，
∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．
故答案为重心．
9．垂心
【详解】，
，
即，
，，
，
∴与垂直，
即，
点P在BC的高线上，即P的轨迹过的垂心.
故答案为：垂心
10．
【详解】如图，令边AB，AC中点分别为D，E，连接DO，EO，因点为的外心，于是得，，
，
，，
，，
依题意，，
，
解得，
所以.
故答案为：
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向量四心
1．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
2．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故.
3．与面积相关的三角形四心的推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：．
（4）是的垂心：．
常见判断四心的结论：
重心：
①已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心。
②是所在平面内一点，动点满足，（），则动点的轨迹一定通过的重心。
内心：
①已知为所在平面上的一点，且，，．若，则是的内心。
②已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的内心。
③若在所在的平面内，且
，则是的内心。
外心：
①已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心。
垂心：
①是所在平面上一点，若，则是的垂心。
②已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心。
③若为所在平面内一点，且，则点是的垂心。
课后练习
一、单选题
1．在中，，O是内的一点，若，则O是的_______心．
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
2．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
4．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过（ ）
A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心 D．AB边的中点
二、多选题
5．已知点在所在平面内，下列说法正确的有（ ）
A．若，则是的外心
B．若，则是的重心
C．若，则是的垂心
D．若，则是的内心
6．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点M是的重心
B．若，则点M在线段的延长线上
C．若，且，则的面积是面积的
D．已知平面向量，满足，则为等腰三角形
三、填空题
7．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的__________心．
是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）．
已知是平面上一定点，满足，，，则的轨迹一定通过的__（外心、垂心、重心、内心）
10．在中，，，，点为的外心，若，、，则____________.
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