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立体几何中的截面问题
知识点一 截面问题的基本思路
1.定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点) 叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3.作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
知识点二 作截面的几种方法
平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
模型演练：如下图E、F是中点，找到平面与正方体的截面。
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图. 方法二：平行线法，做法如下图.
3、正方体中的基本截面类型
【题型一】求截面的面积
【例1】在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】延长交于点，连接交于点，如图，
在正方体中，面面，
面面，面面
，又
四边形是梯形，且为平面截正方体的截面.
又，在等腰梯形中，过作，
.
故选：C.
【例2】如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .（请写出所有正确命题的编号）
①当时，S为等腰梯形；
②当时，S与的交点满足；
③当时，S为六边形；
④当时，S的面积为.
【答案】①②④
【详解】当时，S为等腰梯形，理由如下：
如图1，连接，，因为为的中点，为上的中点，
所以∥，
所以四边形为S，其中，
所以S为等腰梯形，①正确；
当时，S与的交点满足，理由如下：
如图2，延长至点E，使得，连接EA，EQ交于点R，
取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN，
则，DN=CP，
所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形，
所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形，
所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE，
所以四边形AEQP即为S，其中，
所以，所以，②正确；
当时，S为五边形，理由如下：
如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着向上移动，
则点E点沿着射线向上移动，此时AE与相交于点G，
EQ与相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误；
当时，S的面积为，理由如下：
如图4，点Q与重合，此时G为的中点，可证得：∥，AP∥GQ，
其中，所以S为菱形APQG，
且，S的面积为，④正确.
故答案为：①②④
【例3】正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为 .
【答案】
【详解】如下图所示，将正三棱柱扩大成正三棱柱，
其中，
则点E为AH1的中点，点F为AC2的中点，设 ，则 ，
所以过点A、E、F的截面为AEGF，
因为和均为两直角边分别为2， 1的直角三角形，所以，
在中，连接H1F交于，则为的重心，
所以，因为，
所以，
又因为平面，所以三角形为直角三角形，且，所以，所以截面的周长为.
故答案为：.
变式1 在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为 ．
变式2 正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2 B． C． D．
变式3 已知正四棱锥的体积为，底面的面积为，点、分别为、的中点，点为的靠近点的三等分点，过点、、的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例4】在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，在平面VAC内，过点F作，交VC于点E；
在平面VBC内，过点E作，交BC于点Q；
在平面VAB内，过点F作，交AB于点D，连接DQ，如图所示，
因为，则∽，设其相似比为k，即，
则；
又因为，，，
由余弦定理得，，则，即．
又平面，平面，所以，．
又，则，．
因为，则∽，则，
因为，所以，即,同理可得，即，
因为，，则，
故四边形为平行四边形；而平面，平面，
故平面，同理平面，即四边形为截面图形；
又平面，平面，则，又，所以．
故平行四边形为矩形，则，
所以当时，有最大值，则，
在中，,
故选：B
变式4 在三棱锥ABCD中，对棱，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为 .
【题型二】圆锥的截面问题
【例5】圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【详解】设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为，则，得，
所以，因为为锐角，所以，即，则θ为钝角，
所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为，故选：A.
【例6】已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【详解】由题意，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，
设正三角形的边长为，可得，解得，
∴底面圆的半径为，圆锥的高为，所以该圆锥的体积.
【例7】若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意过顶点和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示：
所以，，所以，，
为矩形，设，所以，所以，
所以，即，即，解得.
故选：C.
变式5 某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式6 某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为 ．
变式7 已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（ ）
A．当时，S的最大值为
B．当时，S的最大值为
C．当时，S的最大值为
D．当时，S的最大值为
【题型三】先做垂面再找截面
【例8】已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，
侧面的中心，侧面的中心，而，有，
显然点M在平面与平面的交线上，设为这条交线上任意一点，
，而平面，则，
即，令，得点，令，得点，连，
平面与平面必相交，设为这条交线上任意一点，，
由，即，令，得点，连，
因为平面平面，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行，
过G作交于，，
由得，即，显然平面与平面都相交，
则平面与直线相交，令交点为，，由得，
连接得截面五边形，即截面为五边形，
，取中点，连接，则，
在中，，
的面积，
在中，，
边上的高，
梯形面积，
所以S的面积为.
故选：C
变式8 已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【题型四】球的截面
【例9】已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（ ）．
A．1 B． C． D．或
【答案】B
【详解】过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，则球心O在线段或其延长线上，
为正的中心，则，．
设球O的半径为R，因为球O截平面ABC所得的截面面积为，
所以截面圆的半径为，所以，．
过O作PA的垂线，垂足为D，则，
∽，所以．
①当点O在线段上时，，即，
则，且，解得；
②当点O在线段的延长线上时，，即，
则，且，解得或，
当时，点O，重合，此时点O不在线段的延长线上，故舍去；
当时，切点D不在棱PA上，不符合题意．综合①②可知，，
故选：B．
变式9 若球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）
B． C． D．
变式10在三棱锥中，，平面平面，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，分别在线段上运动（端点除外），.当三棱锥的体积最大时，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例11】已知正方体的棱长为，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【详解】在正方体中，设平面平面，且平面，
由平面平面，可得，所以是的中点，
又四面体的外接球的直径为，可得半径，
设是的中点即球心，球心到平面的距离为，
又设与的交点为，则，则，
则，则截面圆的半径，
所以截面圆的面积为.
故选：A．
【例12】在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，取的中点为，连接，过作，垂足为，连接.
因为三角形为直角三角形，故，
同理，故，
所以为三棱锥的外接球的球心，而，
因为，平面，平面平面，
平面平面，故平面，
而平面，故.
在直角三角形中，，故，故，
在直角三角形中，，
故，故.
设球心到以为直径的截面的距离为，
则，
故选：B.
变式11传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式12 已知三棱锥中，Q为BC中点，，侧面底面，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 ．
【例13】已知正方体的棱长为，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心为球心作一个半径为的球，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，为的中点，为正方体的中心，过作的垂线交于点，正八面体的棱长为2，即，故，，，则，
设球与正八面体的截面圆半径为，如图所示，则，
由于，，所以，则，平面与球的交线所对应的圆心角恰为，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为
故选：B
课后作业
在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M、N、P与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______．
①当P为中点时，截面为六边形；
②当时，截面为五边形；
③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形；
已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A． B． C． D．
如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为
在棱长为的正方体中，点分别是、、的中点，则过线段且平行于平面的截面图形的周长为 .
如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）
B． C． D．
已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
B． C． D．
已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是线段AB上一点，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则＝ ．
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立体几何中的截面问题
一、截面问题的基本思路
1.定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3.作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
二、作截面的几种方法
（1）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图. 方法二：平行线法，做法如下图.
三、正方体中的基本截面类型
【题型一】求截面的面积
【例1】在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】延长交于点，连接交于点，如图，
在正方体中，面面，
面面，面面
，又
四边形是梯形，且为平面截正方体的截面.
又，在等腰梯形中，过作，
.
故选：C.
【例2】如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .（请写出所有正确命题的编号）
①当时，S为等腰梯形；
②当时，S与的交点满足；
③当时，S为六边形；
④当时，S的面积为.
【答案】①②④
【详解】当时，S为等腰梯形，理由如下：
如图1，连接，，因为为的中点，为上的中点，
所以∥，
所以四边形为S，其中，
所以S为等腰梯形，①正确；
当时，S与的交点满足，理由如下：
如图2，延长至点E，使得，连接EA，EQ交于点R，
取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN，
则，DN=CP，所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形，
所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形，
所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE，
所以四边形AEQP即为S，其中，
所以，所以，②正确；
当时，S为五边形，理由如下：
如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着向上移动，
则点E点沿着射线向上移动，此时AE与相交于点G，
EQ与相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误；
当时，S的面积为，理由如下：
如图4，点Q与重合，此时G为的中点，可证得：∥，AP∥GQ，
其中，所以S为菱形APQG，
且，S的面积为，④正确.
故答案为：①②④
【例3】正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为 .
【答案】
【详解】如下图所示，将正三棱柱扩大成正三棱柱，
其中，
则点E为AH1的中点，点F为AC2的中点，设 ，则 ，
所以过点A、E、F的截面为AEGF，
因为和均为两直角边分别为2， 1的直角三角形，所以，
在中，连接H1F交于，则为的重心，
所以，因为，
所以，
又因为平面，所以三角形为直角三角形，且，所以，所以截面的周长为.
故答案为：.
变式1 在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为 ．
【答案】
【详解】如图，在正方体中，
平面平面，
平面与平面的交线必过且平行于，
故平面经过的中点，连接，得截面，
易知截面是边长为的菱形，其对角线，
，截面面积．
故答案为：．
变式2 正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2 B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，在正三棱柱中，延长AF与CC1的延长线交于M，
连接EM交B1C1于P，连接FP，则四边形AEPF为所求截面.
过E作EN平行于BC交CC1于N，则N为线段CC1的中点，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，
在中，，则，
在中，，则，
在中，，则，
在中，，
由余弦定理：，则，
所以截面周长为：.
故选：B.
变式3 已知正四棱锥的体积为，底面的面积为，点、分别为、的中点，点为的靠近点的三等分点，过点、、的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】连接、，设，连接，
易知为正四棱锥的高，连接交于点．
因为点、分别为、的中点，则，
因为，所以，为的中点．
连接并延长交于点，连接、、、，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，则，
四边形为所求的截面四边形，如图1．
因为正四棱锥的体积为，底面的面积为，
所以底面是边长为的正方形，则，
由，可得，
在中，过点作交于点，交于点，
过点作交于点，如图2．
因为，则．
又为的中点，为的中点，所以，，
，，
所以，，
则，，所以，
故，所以，则，得．
故四边形的面积为，
故选：C．
【例4】在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，在平面VAC内，过点F作，交VC于点E；
在平面VBC内，过点E作，交BC于点Q；
在平面VAB内，过点F作，交AB于点D，连接DQ，如图所示，
因为，则∽，设其相似比为k，即，
则；
又因为，，，
由余弦定理得，，则，即．
又平面，平面，所以，．
又，则，．
因为，则∽，则，
因为，所以，即,同理可得，即，
因为，，则，
故四边形为平行四边形；而平面，平面，
故平面，同理平面，即四边形为截面图形；
又平面，平面，则，又，所以．
故平行四边形为矩形，则，
所以当时，有最大值，则，
在中，,
故选：B
变式4 在三棱锥ABCD中，对棱，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为 .
【答案】3
【详解】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为x，y，z，则，则.
当平面α与三棱锥ABCD的对棱AB，CD均平行时，截而为四边形EFGH，，，
设，则，，同理，（或其补角）是异面直线所成的角，
，
其中为定值，
，时，取得最大值，
即截面面积最大，此时是所在棱中点，
由长方体性知最大面积为长方体上下底面面积的一半，
同样地，当平面a与三棱锥ABCD的对棱AC，BD均平行时，截面最大面积为；当平面α与三棱锥ABCD的对棱AD，BC均平行时，截面最大面积为.
故答案为：3.
【题型二】圆锥的截面问题
【例5】圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【详解】设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为，则，得，
所以，
因为为锐角，所以，即，则θ为钝角，
所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为.
故选：A.
【例6】已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【详解】由题意，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，
设正三角形的边长为，可得，解得，
∴底面圆的半径为，圆锥的高为，
所以该圆锥的体积为.
故答案为：.
【例7】若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意过顶点和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示：
所以，，所以，，
为矩形，设，所以，所以，
所以，即，即，解得.
故选：C.
变式5 某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设圆锥顶点为，底面直径为，圆心，另有一任意弦，为的中点，连接、、，
如图，设为过圆锥顶点的截面，
因为底面，，
因为，为的中点，所以，
由题意可知：，，
设，，则，，
所以，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为．
故选：A．
变式6 某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为 ．
【答案】
【详解】如图，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r，三棱柱的高为h,
根据题意作出圆锥的轴截面，
由可得，则该三棱柱的高，，
则该三棱柱的体积，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
所以时，V取得最大值，且最大值为．
故答案为：.
变式7 已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（ ）
A．当时，S的最大值为
B．当时，S的最大值为
C．当时，S的最大值为
D．当时，S的最大值为
【答案】D
【详解】如图,将圆台补成圆锥.
设圆台的母线长为,则,等腰梯形为过两母线的截面.
设，由，得,
则，
当时，，当最大，即截面为轴截面时面积最大，
则的最大值为.
当时,，当时，截面面积最大，
则的最大值为.
故选：D.
【题型三】先做垂面再找截面
【例8】已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，
侧面的中心，侧面的中心，而，有，
显然点M在平面与平面的交线上，设为这条交线上任意一点，
，而平面，则，
即，令，得点，令，得点，连，
平面与平面必相交，设为这条交线上任意一点，，
由，即，令，得点，连，
因为平面平面，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行，
过G作交于，，
由得，即，显然平面与平面都相交，
则平面与直线相交，令交点为，，由得，
连接得截面五边形，即截面为五边形，
，取中点，连接，则，
在中，，
的面积，
在中，，
边上的高，
梯形面积，
所以S的面积为.
故选：C
变式8 已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】记的中点分别为E，F，连接，
由正方体性质可知，平面，
因为平面，所以
又为正方形，所以
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以
因为P，E分别为的中点，所以，所以，
同理可证，
又，平面，所以平面，
所以三角形即为平面截正方体所得截面，
易知三角形为正三角形，，所以截面周长为.
故选：C
【题型四】球的截面
【例9】已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（ ）．
A．1 B． C． D．或
【答案】B
【详解】过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，则球心O在线段或其延长线上，
为正的中心，则，．
设球O的半径为R，因为球O截平面ABC所得的截面面积为，
所以截面圆的半径为，所以，．
过O作PA的垂线，垂足为D，则，
∽，所以．
①当点O在线段上时，，即，
则，且，解得；
②当点O在线段的延长线上时，，即，
则，且，解得或，
当时，点O，重合，此时点O不在线段的延长线上，故舍去；
当时，切点D不在棱PA上，不符合题意．综合①②可知，，
故选：B．
变式9 若球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）
B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示，其中是球心，是等边三角形的中心，
可得，，
设球的半径为，在三角形中，由，
即，解得，即，所以，
因为在中，，，
所以，，，
由题知，截面中面积最小时，截面圆与垂直，
设过且垂直的截面圆的半径为，则，所以，最小的截面面积为.
故选：A
变式10在三棱锥中，，平面平面，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，分别在线段上运动（端点除外），.当三棱锥的体积最大时，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，取的中点,连接,
因为，所以，即为球心，
则球的半径,又,所以,
又平面平面，平面平面平面.
所以平面，
设，则,所以，
所以三棱锥的体积.
当时,取得最大值，
由于，在中，由余弦定理得:
根据球的性质可知，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，
设此时截面圆的半径为，所以.
则截面面积的最小值为.
故选:C.
【例11】已知正方体的棱长为，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在正方体中，设平面平面，且平面，
由平面平面，可得，所以是的中点，
又四面体的外接球的直径为，可得半径，
设是的中点即球心，球心到平面的距离为，
又设与的交点为，则，则，
则，则截面圆的半径，
所以截面圆的面积为.
故选：A．
【例12】在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，取的中点为，连接，过作，垂足为，连接.
因为三角形为直角三角形，故，
同理，故，
所以为三棱锥的外接球的球心，而，
因为，平面，平面平面，
平面平面，故平面，
而平面，故.
在直角三角形中，，故，故，
在直角三角形中，，
故，故.
设球心到以为直径的截面的距离为，
则，
故选：B.
变式11传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，过作于，
如图所示：则由题可得，
设平面截得球的截面圆的半径为，
当EF在底面圆周上运动时，到平面的距离
所以，
所以平面截得球的截面面积最小值为，故D正确；
故选：D.
变式12 已知三棱锥中，Q为BC中点，，侧面底面，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 ．
【答案】
【详解】连接,由,可知：和是等边三角形,
设三棱锥外接球的球心为,
所以球心到平面和平面的射影是和的中心,，
是等边三角形,为中点,所以,
又因为侧面底面,侧面底面，侧面，
所以底面,而底面,因此,
所以是矩形,应为和是边长为4的等边三角形,
所以两个等边三角形的高,
在矩形中,，
连接,所以,
设过点的平面为,当时,此时所得截面的面积最小,该截面为圆形,
可得,
因此圆的半径为,
所以此时面积为,当点在以为圆心的大圆上时,此时截面的面积最大,
面积为:,所以截面的面积范围为.
故答案为：.
【例13】已知正方体的棱长为，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心为球心作一个半径为的球，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，为的中点，为正方体的中心，过作的垂线交于点，正八面体的棱长为2，即，故，，，则，
设球与正八面体的截面圆半径为，如图所示，则，
由于，，所以，则，平面与球的交线所对应的圆心角恰为，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为
故选：B
课后作业
在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M、N、P与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______．
①当P为中点时，截面为六边形；
②当时，截面为五边形；
③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形；
【答案】 ①③.
【详解】如图①，延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交于，连接，
因为M为AB中点，N为BC中点，所以，同理，
又因，所以，
同理，所以共面，
此时六边形为截面，
所以截面为六边形；故①正确；
如图②，延长交于，交于，连接交于，连接交于，此时截面为五边形
因为，所以，
所以，即，
所以当时，截面为五边形；故②错误；
当截面为四边形时，点与点重合，如图，
由①得，，所以四边形即为截面，
设正方体的棱长为1，则，，所以，
所以四边形是等腰梯形；故③正确.
故答案为：①③.
已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形，
其中，高为，
故面积为.
故选:D．
如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为
【答案】
【详解】设正方体棱长为1，，
如图所示，该截面把正方体分为几何体和另一几何体，
由面面平行的性质可知：，
延长，相交于点，则平面，且平面，
又平面平面，
所以在直线上，即三线共点，
所以几何体为三棱台，
其中三棱台上底面积是，下底面积为，高等于1，
所以，解得：，
所以.
故：
在棱长为的正方体中，点分别是、、的中点，则过线段且平行于平面的截面图形的周长为 .
【答案】
【详解】取的中点为，连接，，
因为点分别是、、的中点，
由正方体性质可得，所以四点共面，
因为，平面，平面，所以平面，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
四边形即为经过线段且平行于平面的截面图，
正方体棱长为，所以，，，，所以截面图形周长为.
故答案为：.
如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径，
要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点，
连接，则，所以，
此时截面圆的半径，此时，截面面积的最小值.
故选：C.
已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】是在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径.
由勾股定理得棱锥的高设球的半径为，
则，解得，所以，即与重合，
所以当过点E作球O的截面垂直于时，截面面积最小，
此时截面半径为，截面面积为.故选：A.
已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是线段AB上一点，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则＝ ．
【答案】或
【详解】在等腰梯形中，连接，如图，
因为，，，则，，
于是，取中点，连接，则，
得均为正三角形，
即有，即是梯形外接圆圆心，
而O为四棱锥的外接球球心，因此平面，又PA⊥平面ABCD，
则，而为球O的弦，则过点O垂直于的平面必过的中点E，连接，
于是，而，即有，四边形为矩形，，
因此球O的半径，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于，
而此截面圆半径为，则，连接，在中，，
在中，，，
即有，解得或，所以或.
故答案为：或
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