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底面转换法求三棱锥的体积
求三棱锥的体积解题思路：先换顶点，再换底面。
通过转换顶点（等体积法），可以找到一条合适的高（垂直于底面的线段），再利用公式。
在转换顶点找不到高的情况下，也可以从共4个底面中寻找可以转换的底面（特征为：可以找到底面三角形所在平面的某个更大的平面），并扩大为一个更大的图形（或者也可以变为面积相等（或者更小）的另一个三角形），并找出面积扩大的比例。原理：在高不变的情况下，底面之比等于体积之比。然后又可以去尝试换顶点，直到可以找到一条已知的三棱锥的高，再利用三棱锥的体积公式。
难点：当没有现成的平面给我们去转换的时候，就需要我们去延伸（拓展）平面。
【例】 已知的值
解法：无论，，，都找不到合适的高，所以我们需要通过扩大某个底面的方法，转换到一个更大的三棱锥。观察，，，，其中可以扩大成，且画出平面PBC的展开图如下：
=
所以====***PA=
求四棱锥的体积思路：
方法一：直接利用公式。
方法二：把底面的四边形转化为三角形，并找出缩小的比例，则体积也同比例变化。然后转化为三棱锥的体积问题。
三棱锥体积的应用
利用等体积法求三棱锥的高，也就是点到面的距离。
【题型一】转换底面
【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，其中，，点M在线段PC上，且，N为AD的中点．若平面平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积．
【答案】
【详解】∵，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，，
∴平面ABCD，平面ABCD，∴，
∴，
∵平面PNB，，∴平面PNB，
∵，∴．
【例2】如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点．若平面平面，求点到平面的距离．
【答案】
【详解】.∵四边形是菱形，且，∴为正三角形，
取中点的，连接，，则，
∵平面平面，平面平面，∴平面，
∵均是正三角形，AB=2，易得， ，
∴．
易得，由，∴，
取的中点，连接，因为，∴，
∴，可得，
设点到平面的距离为，∴，
解得，即点到平面的距离为．
变式1 在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PA=2AB=2，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E为PD的中点，在平面PCD内作EF⊥PC于点F. 求三棱锥的体积.
【答案】
【详解】连接，在中，，.∴.
在中，，∴，
由题知，且为的中点，所以是的中点，
∴，
∵
∴平面
∴，
∴.
变式2 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，是边长为的等边三角形，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，，求点到平面的距离.
【答案】 (1)证明见解析；(2)
【详解】(1)，，又,平面,
平面,平面平面
(2)在中，,,可得,
在中, ,可得,
因为，，所以，又,,
所以平面,所以平面, 所以,
是平面与平面的交线，所以平面，即是棱锥的高，
因为直角三角形中，，所以,
设点到平面的距离为h,则
,，解得：.
即点到平面的距离为.
【题型二】先补形后转化底面（补形的两个方法，做平行线和做延长线）
【例3】如图，在多面体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】 (1)证明见解析；(2).
【详解】(1)如图，过作交于，连接 ，设交于点，连接.
由，，则四边形为平行四边形，
所以，而且，则且，
所以四边形为平行四边形，则为线段的中点，
又，在△中为中位线，
故，又平面，平面，
所以平面.
(2)由（1）知：平面，
故到平面的距离与点到平面的距离相等.
所以.
面面，面面，，面，
所以面.
则.
【例4】如图，三棱柱中，侧棱底面，，，是的中点，是的中点，是与的交点．
(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】 (1)证明见解析.；(2)
【详解】(1)证明：因为侧棱底面，底面
所以，，
因为，是的中点，所以，，
因为，所以平面，因为平面，所以，平面平面.
因为在三棱柱中，是与的交点，所以是和的中点，
所以，
因为，，所以，，
所以，
由（1）得为三棱锥的高，所以，所以
变式3 如图在平行六面体 中，分别是的中点， 侧面平面．
(1)求证：平面;
(2)试求三棱锥 体积．
【答案】(1)答案见解析；(2)16；
【详解】（1）取的中点为，连接．
在和中， 因为分别是的中点，
所以 ，且，
又在平行六面体中，，所以，
因此四边形为平行四边形，所以，
又因平面平面， 所以平面．
（2）由（1）知 平面知， 点到平面的距离相等，
所以 ，
在三角形 中，
过点作于，因侧面平面，
侧面平面，平面，
所以 平面， 因， 平面，
平面，所以平面，
因此点到平面的距离相等， 则的长为点到平面的距离，，
所以.
【题型三】求解四棱锥的体积
【例5】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形，，.
(1)证明：平面平面；
(2)点在侧棱上（异于点），，若过，，三点的平面与侧棱交于点，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）∵为等边三角形，四边形是正方形，
∴，
又∵，∴，∴，
由∵四边形是正方形，∴，
又∵，平面，平面，∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
（2）由第（1）问知，∵平面，，∴平面，
又∵平面，∴，∴，
又∵，，∴易知∽，
∴，即，∴，∴为中点.
∵，平面，平面，∴平面.
又∵平面平面，平面，
∴，∴，∴是的中点，且，
又∵平面，平面，∴，∴四边形为直角梯形.
又∵，∴，且，
由第（1）问，，∵，∴，
又∵，平面，平面，
∴平面，即是四棱锥的高.
∴四棱锥的体积.
变式4 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点F为线段PC上的点，过A，D，F三点的平面与PB交于点E．
(1)证明：平面ABCD；
(2)若E为PB中点，且，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)1.
【详解】（1）正方形中，，而平面，平面，平面，
又平面，平面平面，则有，
而平面，平面，所以平面.
（2）因平面ABCD，平面，则，
又，，平面，则平面，
平面，于是得，，
因，E为PB中点，则，，
而，平面，因此，平面，
由（1）知，则有，梯形面积，
所以四棱锥的体积.
变式5 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，点在线段上，，交于点，。
证明：；
求三棱锥的体积。
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，
则由，，且是中点，
所以点是的重心，因此可得必过点，且，
因为平面，面，而面面，所以.
（2），，
，，即，
，，
又，是矩形，
所以到平面与到平面的距离相等，
．
立体几何求体积练习
1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，AC、BD相交于点O，侧棱底面，，E是PC的中点，过E作交PB于点F，连FB接DF，BE．
(1)求证：平面；
(2)设正方形边长为2，求四面体的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】(1)连接，且分别为CA、CP的中点，
所以，平面BDE，平面，平面
(2)底面，底面是正方形，∴，，且，∴底面，即.
又，，，，
∵，∴．
∴四面体的体积
（或者）
2．如图，在正三棱柱中，，D，E分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】 (1)证明见解析；(2).
【详解】(1)在正三棱柱中，平面，
又平面，∴．
∵D是的中点，为正三角形，∴．
又，，平面，∴平面．
(2)在正三棱柱中，平面，又平面，，
∴点D到直线的距离为．∴．
由（1）知点B到平面的距离为，∴．
3．如图，在三棱锥中，已知底面是正三角形，，若，分别为和的中点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，所以.
因为是正三角形，所以，
又为的中点，所以.
因为平面，所以平面.
因为，分别为和的中点，所以.
因为是正三角形，为的中点，，所以.
在中，由，易得.
在中，可得，故，所以.
所以三棱锥的体积.
故选：A.
4．如图，四棱锥中，，，，平面CDP，E为PC中点.
(1)证明：平面PAD；
(2)若平面PAD，，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】(1)取PD中点F，连接EF，AF
则且
又∵且∴且
∴四边形ABEF是平行四边形∴
∵平面PAD,平面PAD；∴平面PAD
(2)∵平面PAD, 平面，∴
又∵，，∴
因为平面CDP，所以
5．如图，在中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，D，E分别为BC，AC的中点．将沿DE折起到的位置，连接PA，PB，得到四棱锥P-ABDE．
(1)证明：平面PAB⊥平面PBD；
(2)若PD⊥BD，F为PB的一个靠近点B的三等分点，求三棱锥P-AEF的体积．
【答案】 (1)证明见解析；(2).
【详解】(1)在中，D，E分别为BC，AC的中点，有，又，则，
在四棱锥P-ABDE中，，
于是得，而，，平面PBD，
因此，AB⊥平面PBD，又平面PAB，所以面PAB⊥平面PBD.
(2)连接BE，如图，因，，平面ABDE，，则有PD⊥平面ABDE，即P到平面ABDE的距离，
显然，则，
依题意，，则，于是得
所以，三棱锥P-AEF的体积为.
6．如图，四棱锥中，底面是梯形，，，，，，为边的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）如图所示：取中点，连接、，
是的中点，为的中点，则且，
，且，
且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，因此，平面；
（2）是的中点，，
取中点，连接、，取的中点，连接.
，为的中点，，
在梯形中，，，为的中点，
，
又，则四边形为矩形，
，且，，
为等腰直角三角形，且，
，，，
在中，由余弦定理得，
，，，
，平面，，
，三棱锥的体积为.
7．如图，已知在四棱锥中，底面是梯形，且，平面平面，，.
（1）证明:;
（2）若，，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：取的中点
又平面平面平面
又 由可得平面；
（2），
，
由（1）可知平面
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底面转换法求三棱锥的体积
求三棱锥的体积解题思路：先换顶点，再换底面。
通过转换顶点（等体积法），可以找到一条合适的高（垂直于底面的线段），再利用公式。
在转换顶点找不到高的情况下，也可以从共4个底面中寻找可以转换的底面（特征为：可以找到底面三角形所在平面的某个更大的平面），并扩大为一个更大的图形（或者也可以变为面积相等（或者更小）的另一个三角形），并找出面积扩大的比例。
原理：在高不变的情况下，底面之比等于体积之比。然后又可以去尝试换顶点，直到可以找到一条已知的三棱锥的高，再利用三棱锥的体积公式。
难点：当没有现成的平面给我们去转换的时候，就需要我们去延伸（拓展）平面。
【例】 已知的值
解法：无论，，，都找不到合适的高，所以我们需要通过扩大某个底面的方法，转换到一个更大的三棱锥。观察，，，，其中可以扩大成，且画出平面PBC的展开图如下：
=
所以====***PA=
求四棱锥的体积思路：
方法一：直接利用公式。
方法二：把底面的四边形转化为三角形，并找出缩小的比例，则体积也同比例变化。然后转化为三棱锥的体积问题。
三棱锥体积的应用
利用等体积法求三棱锥的高，也就是点到面的距离。
【题型一】转换底面
【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，其中，，点M在线段PC上，且，N为AD的中点．若平面平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积．
【答案】
【详解】∵，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，，
∴平面ABCD，平面ABCD，∴，
∴，
∵平面PNB，，∴平面PNB，
∵，∴．
【例2】如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点．若平面平面，求点到平面的距离．
【答案】
【详解】.∵四边形是菱形，且，∴为正三角形，
取中点的，连接，，则，
∵平面平面，平面平面，∴平面，
∵均是正三角形，AB=2，易得， ，
∴．
易得，由，∴，
取的中点，连接，因为，∴，
∴，可得，
设点到平面的距离为，∴，
解得，即点到平面的距离为．
变式1 在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PA=2AB=2，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E为PD的中点，在平面PCD内作EF⊥PC于点F. 求三棱锥的体积.
变式2 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，是边长为的等边三角形，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，，求点到平面的距离.
【题型二】先补形后转化底面（补形的两个方法，做平行线和做延长线）
【例3】如图，在多面体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】 (1)证明见解析；(2).
【详解】(1)如图，过作交于，连接 ，设交于点，连接.
由，，则四边形为平行四边形，
所以，而且，则且，
所以四边形为平行四边形，则为线段的中点，
又，在△中为中位线，
故，又平面，平面，
所以平面.
(2)由（1）知：平面，
故到平面的距离与点到平面的距离相等.
所以.
面面，面面，，面，
所以面.
则.
【例4】如图，三棱柱中，侧棱底面，，，是的中点，是的中点，是与的交点．
(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】 (1)证明见解析.；(2)
【详解】(1)证明：因为侧棱底面，底面
所以，，
因为，是的中点，所以，，
因为，所以平面，因为平面，所以，平面平面.
因为在三棱柱中，是与的交点，所以是和的中点，
所以，
因为，，所以，，
所以，
由（1）得为三棱锥的高，所以，所以
变式3 在平行六面体中，分别是的中点，平面，，，，。
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积；
【题型三】求解四棱锥的体积
【例5】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形，，.
(1)证明：平面平面；
(2)点在侧棱上（异于点），，若过，，三点的平面与侧棱交于点，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）∵为等边三角形，四边形是正方形，
∴，
又∵，∴，∴，
由∵四边形是正方形，∴，
又∵，平面，平面，∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
（2）由第（1）问知，∵平面，，∴平面，
又∵平面，∴，∴，
又∵，，∴易知∽，
∴，即，∴，∴为中点.
∵，平面，平面，∴平面.
又∵平面平面，平面，
∴，∴，∴是的中点，且，
又∵平面，平面，∴，∴四边形为直角梯形.
又∵，∴，且，
由第（1）问，，∵，∴，
又∵，平面，平面，
∴平面，即是四棱锥的高.
∴四棱锥的体积.
变式4 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点F为线段PC上的点，过A，D，F三点的平面与PB交于点E．
(1)证明：平面ABCD；
(2)若E为PB中点，且，求四棱锥的体积．
变式5 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，点在线段上，，交于点，。
证明：；
求三棱锥的体积。
立体几何求体积练习
1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，AC、BD相交于点O，侧棱底面，，E是PC的中点，过E作交PB于点F，连FB接DF，BE．
(1)求证：平面；
(2)设正方形边长为2，求四面体的体积．
2．如图，在正三棱柱中，，D，E分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
3．如图，在三棱锥中，已知底面是正三角形，，若，分别为和的中点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四棱锥中，，，，平面CDP，E为PC中点.
(1)证明：平面PAD；
(2)若平面PAD，，求三棱锥的体积.
5．如图，在中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，D，E分别为BC，AC的中点．将沿DE折起到的位置，连接PA，PB，得到四棱锥P-ABDE．
(1)证明：平面PAB⊥平面PBD；
(2)若PD⊥BD，F为PB的一个靠近点B的三等分点，求三棱锥P-AEF的体积．
6．如图，四棱锥中，底面是梯形，，，，，，为边的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
7．如图，已知在四棱锥中，底面是梯形，且，平面平面，，.
（1）证明:;
（2）若，，求四棱锥的体积.
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