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平行的判定与性质
知识点一 平行的判定与性质定理
1.直线与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理（一） 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行.
判定定理（二） 两平面平行，则平面内的任一条直线平行于另一个平面
性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.
2.平面与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理（一） 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
判定定理（二） 两个平面内两组相交直线分别平行，则这两个平面平行
性质定理 如果两个平行平面时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
平行判定与性质默写
1、直线与平面平行的判定与性质：
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理（一）
判定定理（二）
性质定理
2、平面与平面平行的判定与性质：
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理（一）
判定定理（二）
性质定理
知识点二 平行的证明与性质
方法一 线面平行构造之三角形中位线法（又称“A”型平行）
【例1】四棱椎底面为平行四边形，分别为中点，证明：
辅助线作图技巧：
Step1: 初学者可以拿一把直尺放在位置(与平齐)，如图一；
Step2: 然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二；
Step3: 此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接， 如图三；
Step4: 此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四．
图一 图二 图三 图四
方法二 线面平行构造之平行四边形法（又称“ ”型平行）
【例2】如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是△的中线，点是棱的中点，证明：平面.
方法三 线面平行构造之面面平行推导法（做一个辅助平行平面）
【例3】如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且，证明：平面；
变式1 在四棱锥中，四边形是直角梯形，且平面，，点在棱上．时，求证: 平面;
【详解】方法一找线：证明：连接交于点O，连接，
由 知，，∴，
∵，∴，∴，
又平面，平面，∴平面．
变式2 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，侧棱底面，，点是的中点，作交于点.
求证：平面；
【详解】连接交于，连接，因为为矩形，所以为中点，又为中点，所以又平面，平面，所以平面.
变式3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD满足AB＝CB＝，AD＝CD＝，∠ABC＝90°，棱PD上的点E满足PE＝2DE. 求证：直线CE∥平面PAB.
【详解】如图，连接AC，BD，记AC与BD交于点O，取OD的中点F，连接EF，CF，AF.
由AB＝CB，AD＝CD，得BD垂直平分AC.
又∠ABC＝90°，且AB＝，
所以AO＝BO＝CO＝1，所以DO＝＝2，
所以DF＝1，BF＝2.
所以＝＝2，所以EF∥PB.
因为PB 平面PAB，EF 平面PAB，所以EF∥平面PAB.
又点O为线段BF和AC的中点，所以四边形ABCF是平行四边形，所以CF∥AB.
因为AB 平面PAB，CF 平面PAB，所以CF∥平面PAB.
又EF∩CF＝F，EF，CF 平面CEF，所以平面CEF∥平面PAB.
又CE 平面CEF，所以直线CE∥平面PAB.
线面平行的性质(已知线a平行与面α，则线a平行与 经过线a的平面β与平面α的交线b )
【例4】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中点.
（1）求证：CE∥平面PAB.
（2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使得MN∥平面PAB？请说明理由.
【详解】（1）如图，取AP的中点F，连接EF，BF，
因为E，F分别是PD，AP的中点，所以EF∥AD且EF＝AD.
又BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD，
又BC＝AD，所以EF∥BC且EF＝BC，
所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF.
又BF 平面PAB，CE 平面PAB，所以CE∥平面PAB.
（2）线段AD上存在点N，且点N为AD的中点，使得MN∥平面PAB.理由如下：
如图，取AD的中点N，连接CN，EN，
因为E，N分别为PD，AD的中点，所以EN∥PA.
因为EN 平面PAB，PA 平面PAB，所以EN∥平面PAB.
由（1）知，CE∥平面PAB，又CE∩EN＝E，CE，EN 平面CEN，所以平面CEN∥平面PAB.
连接MN，则MN 平面CEN，所以MN∥平面PAB.
于是在线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB.
【例5】如图，已知圆锥的顶点为，是底面圆的直径，点在底面圆上且，点为劣弧的中点，过直线作平面，使得直线平面，设平面与交于点，则的值为（ ）
B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，连接交于点，连接，则平面平面，又平面，所以，所以.因为是底面圆的直径，，点为劣弧的中点，连接，所以，所以，易得，所以，则，故选：B.
变式4 如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
【答案】C
【详解】设与交于点，连接，如图所示，因为为的中点，则，
由四边形是菱形，可得，则，
所以，所以，
又因为平面，平面，平面平面，
所以，所以.
故选：C.
变式5 在如图所示的圆柱O1O中，AB，CD分别是圆O，圆O1的直径，E为圆O上一点，P为DE上一点，且OP∥平面BCE，求证：DP＝PE.
【详解】如图所示，连接O1P，O1O，
则易知OO1∥BC，
因为BC 平面BCE，且OO1 平面BCE，所以OO1∥平面BCE，
因为OP∥平面BCE，且OO1∩OP＝O，OO1，OP 平面OPO1，
所以平面OPO1∥平面BCE.
又因为平面DCE∩平面OPO1＝O1P，平面DCE∩平面BCE＝CE，所以O1P∥CE.
因为O1是CD的中点，所以P是DE的中点，即DP＝PE.
【例6】 如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，.点M在线段上，，试确定t的值，使得平面；
【答案】
【详解】当时，平面.
连接交于点N，连接，由题设，得
若平面，由平面平面，得
于是.
当平面
变式6 如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为中点．
线段上是否存在一点F，使平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】
【详解】线段上存在一点，且时，平面
证明如下：连接交于点，在平面中过点作，则交于
又∵平面平面，∴平面，
∵四边形，∴
∵，∴
∴当时，平面
【例7】如图，在直三棱柱中中，，，，点是的中点．
在棱上取点，使得平面平面，确定点的位置，并给出证明．
【详解】取棱的中点，连接、、，如下图所示：
在直三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，
所以，且，
、分别为、的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
且，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
由题可知，，平面，平面，平面，
，所以，平面平面.
因此，当点为棱的中点时，平面平面.
变式7已知正四棱锥的各条棱长都相等，且点分别是的中点.
（1）求证:；
（2）在上是否存在点，使平面平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析（2）
【详解】（1）设,则为底面正方形中心，连接,
因为为正四棱锥.所以平面,所以.
又,且,所以平面；
因为平面,故.
（2）存在点，设,连.
取中点，连并延长交于点，
∵是中点，∴,即，
又，平面，平面，
∴平面,平面，
又，平面，
∴平面平面，
在中，作交于，则是中点，是中点，
∴.
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平行的判定与性质
知识点一 平行的判定与性质定理
1.直线与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理（一） 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行.
判定定理（二） 两平面平行，则平面内的任一条直线平行于另一个平面
性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.
2.平面与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理（一） 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
判定定理（二） 两个平面内两组相交直线分别平行，则这两个平面平行
性质定理 如果两个平行平面时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
平行判定与性质默写
1、直线与平面平行的判定与性质：
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理（一）
判定定理（二）
性质定理
2、平面与平面平行的判定与性质：
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理（一）
判定定理（二）
性质定理
知识点二 平行的证明与性质
方法一 线面平行构造之三角形中位线法（又称“A”型平行）
【例1】四棱椎底面为平行四边形，分别为中点，证明：
辅助线作图技巧：
Step1: 初学者可以拿一把直尺放在位置(与平齐)，如图一；
Step2: 然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二；
Step3: 此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接， 如图三；
Step4: 此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四．
图一 图二 图三 图四
方法二 线面平行构造之平行四边形法（又称“ ”型平行）
【例2】如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是△的中线，点是棱的中点，证明：平面.
方法三 线面平行构造之面面平行推导法（做一个辅助平行平面）
【例3】如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且，证明：平面；
变式1 在四棱锥中，四边形是直角梯形，且平面，，点在棱上．时，求证: 平面;
变式2 .在如图所示的“阳马”中，侧棱底面，，点是的中点，作交于点.求证：平面；
变式3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD满足AB＝CB＝，AD＝CD＝，∠ABC＝90°，棱PD上的点E满足PE＝2DE. 求证：直线CE∥平面PAB.
线面平行的性质(已知线a平行与面α，则线a平行与 经过线a的平面β与平面α的交线b )
【例4】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中点.
（1）求证：CE∥平面PAB.
（2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使得MN∥平面PAB？请说明理由.
【详解】（1）如图，取AP的中点F，连接EF，BF，
因为E，F分别是PD，AP的中点，所以EF∥AD且EF＝AD.
又BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD，
又BC＝AD，所以EF∥BC且EF＝BC，
所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF.
又BF 平面PAB，CE 平面PAB，所以CE∥平面PAB.
（2）线段AD上存在点N，且点N为AD的中点，使得MN∥平面PAB.理由如下：
如图，取AD的中点N，连接CN，EN，
因为E，N分别为PD，AD的中点，所以EN∥PA.
因为EN 平面PAB，PA 平面PAB，所以EN∥平面PAB.
由（1）知，CE∥平面PAB，又CE∩EN＝E，CE，EN 平面CEN，所以平面CEN∥平面PAB.
连接MN，则MN 平面CEN，所以MN∥平面PAB.
于是在线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB.
【例5】如图，已知圆锥的顶点为，是底面圆的直径，点在底面圆上且，点为劣弧的中点，过直线作平面，使得直线平面，设平面与交于点，则的值为（ ）
B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，连接交于点，连接，则平面平面，又平面，所以，所以.因为是底面圆的直径，，点为劣弧的中点，连接，所以，所以，易得，所以，则，故选：B.
变式4 如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
变式5 在如图所示的圆柱O1O中，AB，CD分别是圆O，圆O1的直径，E为圆O上一点，P为DE上一点，且OP∥平面BCE，求证：DP＝PE.
【例6】 如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，.
点M在线段上，，试确定t的值，使得平面；
【答案】
【详解】当时，平面.
连接交于点N，连接，由题设，得
若平面，由平面平面，得
于是.
当平面
变式6 如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为中点．线段上是否存在一点F，使平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【例7】如图，在直三棱柱中中，，，，点是的中点．在棱上取点，使得平面平面，确定点的位置，并给出证明．
【详解】取棱的中点，连接、、，如下图所示：
在直三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，
所以，且，
、分别为、的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
且，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
由题可知，，平面，平面，平面，
，所以，平面平面.
因此，当点为棱的中点时，平面平面.
变式7已知正四棱锥的各条棱长都相等，且点分别是的中点.
（1）求证:；
（2）在上是否存在点，使平面平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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