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比大小
【题型一】构造函数
【例1】已知，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以，故选：A.
【例2】已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】构造，，
，
在时为减函数，且，
所以在恒成立，故在上单调递减，
所以，即，所以，即，故选：D
【例3】已知实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．a，b的大小无法判断
【答案】A
【详解】函数在上单调递增，且，则由，得，
又，所以.
故选：A
【例4】，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，则，，，
而且，即时单调增，时单调减，又，∴，.
若有两个解，则，，即，，
令，则，即在上递增，
∴，即在上，，若即，故，有
∴当时，，故，综上：.故选：A
变式1已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
变式2已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
变式3已知.满足.则，，的大小关系为（ ）.
A． B． C． D．
变式4 若，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【题型二】糖水不等式比较底数不同的对数大小
【例5】已知，，设，，，找出这三个数大小关系_________
【答案】
【详解】由已知，，，
又，则，∴，
，则，，
又，∴，，
而，∴，，
综上有．故答案为：．
变式5 已知，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知，则（ ）
B． C． D．
【答案】A
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，故选：A.
变式6 已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型三】泰勒展开
【例7】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，设则得
所以对这三个函数在x=0处进行四阶泰勒展开，得：
当x=1/4 时。，故选：A
【例8】设a＝，b＝ln1.01，c＝，则（ ）
A．abc B．bca C．bac D．cab
【答案】A
【详解】设，所以，
设，则，所以在（1，+∞）单调递增，
所以…①，所以…②，
由①，…③，
由②，…④，由②④，，则c>b，由③，b>a，所以c>b>a.故选：A.
变式7设，则（ ）
A． B． C． D．
变式8设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【例9】设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，即，所以，
所以，则，即；由，即；设，则，所以在上单调递增，且，
所以当时，即，当时，即，
又，则，所以，即，
综上，.故选：A
变式9若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【题型四】同构
【例10】要使成立，则一定有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】记．则在上是严格增函数．原不等式即．
故，即．故答案为B
【例11】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误，故选：B.
变式10 已知正数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
变式11 若，其中，，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
课后作业
1.设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2.已知，且（其中是自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
3.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4.设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5.已知，则（ ）
A． B． C． D．
6.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7.已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8.，记，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
9.设，则（ ）
A． B． C． D．
10.已知，，，其中是自然对数的底数，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．若实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知，则（ ）
A． B． C． D．
14．函数在定义域R上处处可导，其导函数为．已知，，且当时，．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
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比大小
【题型一】构造函数
【例1】已知，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以.
故选：A.
【例2】已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，，求其单调性，从而判断，，的大小关系.
【详解】构造，，
，
在时为减函数，且，
所以在恒成立，故在上单调递减，
所以，即，所以，即.
故选：D
【例3】已知实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．a，b的大小无法判断
【答案】A
【详解】函数在上单调递增，且，则由，得，
又，所以.
故选：A
【例4】，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，则，，，
而且，即时单调增，时单调减，又，∴，.
若有两个解，则，，即，，
令，则，即在上递增，
∴，即在上，，若即，故，有
∴当时，，故，
综上：.故选：A
变式1已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，则，
显然当时，是减函数且，故是减函数，
，即，
可得，即.
故选：A.
变式2已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，可得，
当时，恒成立，所以在上单调递减，所以，
即，可得，，所以，，
所以，，即，.所以.故选：B.
变式3已知.满足.则，，的大小关系为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，，，，，
，，；
，，，
令，则，
当时，，，，在上单调递减，
，即，，，故选：.
变式4 若，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由已知可得，，，
由可得，，所以.
设，则，
因为，故，
所以即，
所以在上为增函数，
又，，，又，所以.
故选：B.
【题型二】糖水不等式比较底数不同的对数大小
【例5】已知，，设，，，找出这三个数大小关系_________
【答案】
【详解】由已知，，，
又，则，∴，
，则，，
又，∴，，
而，∴，，
综上有．故答案为：．
变式5 已知，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，可知，所以，
易知，所以有，即，所以.
故选：A
【例6】已知，则（ ）
B． C． D．
【答案】A
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
变式6 已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，令函数，，
因为在上单调递增，且，
所以函数在上单调递增，所以，即，
又因为，所以.
故选：B.
【题型四】泰勒展开
【例7】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，设则得
所以对这三个函数在x=0处进行四阶泰勒展开，得：
当x=1/4 时。
，故选：A
【例8】设a＝，b＝ln1.01，c＝，则（ ）
A．abc B．bca C．bac D．cab
【答案】A
【详解】设，所以，
设，则，所以在（1，+∞）单调递增，
所以…①，所以…②，
由①，…③，
由②，…④，由②④，，则c>b，由③，b>a，所以c>b>a.
故选：A.
变式7设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】利用泰勒展开来数值逼近比大小
当x=0.1时，显然
变式8设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为1.012>1.02，所以b
【例9】设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，即，所以，
所以，则，即；由，即；设，则，所以在上单调递增，且，
所以当时，即，当时，即，
又，则，所以，即，
综上，.故选：A
变式9若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，则，
∴在上单调递增，
∴，，，
∵，∴，故，
设，则，
所以函数在上单调递增，
由，所以时，，即，
∴，
又，∴，故.
故选：B.
【题型五】同构
【例10】要使成立，则一定有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】记．则在上是严格增函数．原不等式即．
故，即．故答案为B
【例11】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
变式10 已知正数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，易知在上单调递增，原式可整理为，由，
则，即.
因为在上单调递增，所以，所以，则，
所以当时，；当时，.
故ABC都错误，仅D正确.
故选：D.
变式11 若，其中，，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，其中，，
所以，其中，，
令，，
故时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以，所以
故令，则等价于，
因为，故函数在单调递增，
所以等价于，即
所以，即.故选：D
课后作业
1.设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设（），则，所以在上单调递增，
因为，所以，
由条件得，，，
所以．故选：C.
2.已知，且（其中是自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，令则f(a)＝f(4)＝f(2)，f(b)＝f(9)，当时，单调递增；
当时，单调递减.∵4，9∈，∴f(a)＝f(4)＞f(b)＝f(9)，
又，∴a＝2，∴f(2)＞f(b)，又，∴2＞b，即2＝a＞b；
∵，∴c＞a；综上：c＞a＞b.故选：C.
3.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵，构造函数，，
令，则，∴在上单减，∴，
故，所以在上单减，∴，
同理可得，故，故选：C.
4.设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期10月月考数学试题
【答案】B
【详解】，，，，，
，即，；
，即，；
，即，；，即.
设，则，
当时，，又，，，
在上单调递减，，即当时，，
，，即.
综上所述：，故选：.
5.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，则，即在上单调递增，，
因此，，即，于是得以，
设，则，令，则，
从而有在上单调递减，即，则在上单调递减，
于是得，即有，取，则，即，
综上，.故选：C
6.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，，时，，则在上递减，
时，，则在上递增，由可得，
化为∴，则，同理，；，，
因为，所以，可得，
因为在上递减，，∴，故选：C．
7.已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，所以， 构造函数，
，，所以，
，必有，，所以所以，
即所以单调递减，
所以即，所以故选：A
8.，记，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】构造函数，其中，则，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递减，则，
所以，对任意的恒成立，所以，函数在为减函数，
因为，则，则，即，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则，即，
所以，，则，所以，.
综上所述，.故选：C.
9.设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：令，现比较的大小，
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
于是当时，，
故当时，，从而，即.
设，
当时，，
故当时，，从而，即.
综上，.故选：A.
10.已知，，，其中是自然对数的底数，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对，，两边都取自然对数得
，，，
令，得，设，
得，∴在递减，∴，
∴，∴在递减，
又，，，∴，∴.故选A.
11．若实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题得，
所以当且仅当时取等.
令，则，所以，
所以函数在单调递增，在单调递减.所以，所以，所以，
又，所以.所以.故选：A.
12．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则.当时，，单调递减，
当时，，单调递增，则，故.
令，则.
当时，，单调递减，则，即.故.故选：A.
13．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，即，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，则有，即，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，则有，即，故.故选：A.
14．函数在定义域R上处处可导，其导函数为．已知，，且当时，．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由知，，即的图象关于对称，
又时，，记，则，
又，
从而在上单调递增，且时，
，故，同理当时，且.
而，故.
又，而，故，
故，即，，
又（因为），故，所以，
综上，，即.故选：A.
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