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异构（恒正保值性）
异构的概念：使用了多个不同的母函数，且把原式拆分成若干个均“ ”的复合函数的和，则原式“ ”，注意验证每个部分是否能够在同一个，取到最小值0，再去通过余量函数恒“ ”，得出的范围。注意要分别说明充分性和必要性。通常余量函数的特征为的函数形式，则最后，可得出的范围。
母函数的构造可以基于泰勒公式：
展开到一次项的母函数有：
展开到二次项的母函数有：
此时
【题型一】证明不等式
【例1】已知，当，时，求证：.
令，，
，原式成立.
【例2】已知，设，求证：当时，恒成立。
，令，可得
，上式成立。
变式1 证明：，恒成立。
变式2 证明.
【题型二】端点效应，通常矛盾区间找点用端点附近的点。
【例3】已知，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
解析：由题意得：
构造，当且仅当时等号成立
即，即
【例4】（展开至二次项）已知，设，当，恒成立，求的取值范围。
此时由于前的符号为“+”，没办法构造的形式，
选择展开到二次项：
当，上式均，且同一点取等，显然成立；
当，，，且，
，不成立
变式3已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围。
变式4 ，不等式恒成立，求的取值范围.
【题型三】恒成立求参，通常矛盾区间找点用其他“”的母函数的零点。
【例5】已知函数，若，对，不等式恒成立，求的最小值.
当，上式均，当，同一点取等，成立；
当，，令
则，可知
，，舍去。
【例6】已知，，恒成立，求的取值范围。
当，上式均，且同一点取等，显然成立；
当，。
变式5 恒成立，求的取值范围。
变式6 恒成立，求的取值范围。
★【例7】已知，。当时，不等式恒成立，求的取值范围.
余量项中的最高项为，且左边是在取最小值，
系数相等，
当，上式均，且同一点取等，显然成立；
，由于
（2）当，，，，不成立
（3）当，，，不成立
变式7 设函数，，如果在区间内恒成立，求的范围.
课后练习（一）
1.已知函数若，求的取值范围.
2.设函数，证明：.
3.设函数．证明：当时，．
4.已知，若且关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
5.设函数．
（1）讨论的导函数零点的个数；
（2）证明：当时，．
课后练习（二）
1.设函数若不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
2.已知函数，当时，证明：
3.已知函数，为常数，若时，恒成立，求实数的取值范围.
4.已知函数若，求的取值范围
5.设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求；
（2）证明：.
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同构
知识点一 同构的概念
（一）同构式到底是什么？
同构式源于指对跨阶的问题，与属于跨阶函数，而属于跳阶函数，所以指对跳阶的函数问题，在中学阶段没有解决它的巧妙方法，只能构造隐零点代换来简化，但通过指对跨阶函数进行同构，即我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问题通过跨阶函数的同构，变成了内函数的两阶问题，所以通过构造跨阶函数的同构式，大大简化了分析和计算．
（二）同构式如何选取函数？
根据参数出现的次数可以大致判断怎么构造外函数，（1）一般情况下，若参数出现了2次则构造并利用外函数递增的特性，转化为内函数的关系，且如果总共只有2项则构造，反之项数较多则考虑构造。（2）一般情况下，若参数只出现1次（或者可以合并成一个）则构造，再利用加减，乘除保值性解题。
构造原则和技巧：
1，指数与对数分居不等号两侧；
2，含参的项放不等号的同一侧；
3，参数的位置：如果指数函数的指数含参数，则参数选择和指数放一起，反之和对数函数放一起。
4，对数可以吸收系数和常数；
5，指数可以合并系数。
【题型一】利用lnxx同构式的单调性秒杀恒成立问题(只有两项或者可以合并成两项)
【例1】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
【详解】，即恒成立，，
【例2】设实数，若对任意的，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） ．
【详解】，得
【例3】若时，关于的不等式，则实数的最大值为（ ）
【详解】
因为，
【例4】已知函数，若，，求的取值范围.
【详解】由对恒成立。
构造，单增，
所以：，因为
变式1对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值 .
【详解】由题意得，
即，.
变式2对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
【详解】
令，在，单增
所以：，即
变式3已知，不等式 对任意的实数恒成立，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
令单增函数，
【例5】已知是函数的零点，则为（ ）
【详解】
令可知单增，所以
变式4已知是方程的一个根，则的值是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【详解】
知识点二 合并系数（指数可以改写合并系数）
利用，则有①；
这一系列放缩的取等条件就是，或者；
利用（取等条件），则有②；；；这一系列放缩的取等条件就是，或者；
【题型二】 利用x+ex ≥ex+lnex同构式的单调性秒杀恒成立问题
构造函数，易知在区间。
【例6】已知函数若在上恒成立，求实数的取值范围_____.
【详解】
设，因为单增，
【例7】已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解法一：
,令，单增
解法二：
构造，因为单增，
，所以
【例8】已知恒成立，求实数的取值范围
【详解】；；
同加，；；；
【例9】已知函数，若存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【详解】
构造，做出图像：因为容易知道：
又因为在单增
所以：
口诀：
指对放两侧，参数同一侧；
对数真厉害，吸收常系数；
指数也不赖，系数放头上。
变式5 已知，若对任意，不等式恒成立，求正实数的取值范围.
【详解】
构造，单增，
所以：
变式6 已知不等式，对恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【详解】
令
变式7 对任意的，恒有，求实数的最小值 ．
【详解】由题意得：
即，
得.
变式8 已知函数，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【详解】
构造，单增，，
构造，则
所以：的最小值为
口诀：
指对放两侧，参数同一侧；
对数真厉害，吸收常系数；
指数也不赖，系数放头上。
【题型三】单参数的恒成立，选择作为外函数，内函数整体换元为t。
【例10】若恒成立，则的最大值（ ）
A. B. C. D.
【详解】
【例11】设函数，若恒成立，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【详解】，令，，，结合的切线，或者超越函数图像可以判断
变式9已知恒成立，则实数的最大值为（ ）。
【详解】，，。
变式10已知函数．当时，不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围________．
【详解】
当取等，所以：.
变式11已知函数．设，其中，若恒成立，求的取值范围.
【详解】由题意得：
因为，当且仅当时等号成立
因为，所以等价于证:
当且仅当时等号成立，所以.
知识点三 保值性定理（通常选择）
数乘保值性定理：若已知恒成立(即)，且满足（），则一定要满足；
加减保值性定理：若已知恒成立(即)，且满足，则一定要满足；或者，则一定满足，把把构造剩余的称为余量函数。
注意：在使用加减，数乘保值性的时候，内函数的选择，必须是两个相切函数的关系。
常见的内函数如下：
函数有零点定理：若恒成立，要满足有实根，则一定要满足；
恒正保值性定理（异构）：使用不同的外函数。若，且满足当时，，则一定满足不等式；若时和时的取的值不相等，则。
【逆向推论】：已知恒成立，求参数范围。我们可以把拆分成若干个恒大于等于“0”的函数的和，即，且已知，，但是要求必须在同一个x取最小值0，则可以得出也必须大于等于0，即恒成立，我们把构造剩余的称为余量函数。
【例12】已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【详解】由题意得：，
右边凑1，得
得.（说明：定义域大于零，所以，成立）.
【例13】 已知关于的不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围（ ）
【详解】.
【例14】已知不等式，对于任意的恒成立，则的最大值
【详解】，则；
，，则恒成立；
故，
变式12 已知函数，若对任意恒成立，求的取值范围（ ）
【详解】
变式13 已知不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围。
【详解】.
变式14 不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。
【详解】.
知识点四 零点及极值点问题
极值存在问题：若函数，则令，根据复合函数求导原理，若存在一个极值，则或者，若不存在极值，则，若存在多个极值，则，此方法叫做同构式内外函数分离法，通常可以简化求导计算，达到事半功倍效果.
零点个数问题：若函数，则令，先确定内值外定，即内函数的值域是外函数的定义域，再确定内外函数在相应区间的单调性，利用乘法原理来确定相应区间根的个数.
【例15】若函数无零点，则整数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【详解】
【例16】函数，若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【详解】
当，即
变式15 若函数有零点，则的取值范围.
【详解】
变式16 已知函数有两个零点，则的取值范围（ ）
【详解】，令
容易知单增，，
①,至多有一个根，不符合题意。
②符合题意
课后练习
1.若关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围
解析1：，令，因为单增
所以：。答案：
解析2：
构造，因为单增。所以.
2.已知对任意的，都有，则实数的取值范围是 .
【详解】
构造函数：，容易知道单增
3.对任意，不等式恒成立，则实数的最小值。
【详解】
令，在，单增
所以：，即
4.若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围
A. B. C. D.
【详解】同构：
又因为在单增，
5.函数，当时，不等式恒成立，求的取值范围。
【详解】
构造，易知单增，
6.已知，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。
【详解】
构造
在单增， ，
所以：
7.已知函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围。
【详解】不等式即：在恒成立，
等价于：在恒成立
构造函数：，知在上单增，所以
8.已知函数，恒成立，求实数的取值范围。
【详解】构造函数知在上单增
所以
故，故。
9.已知函数，其中，若在区间恒成立，求实数的取值范围。
【详解】
构造：，在单增
则
10.若时，恒有成立，则实数的取值范围是 .
【详解】
，
11.已知函数，则不等式得解集为（ ）
A. B. C. D.
【详解】
构造
在单调递减，单调递增
①当时，,递减
所以取交集：
②当时，,递增
所以取交集：无解，故选B。
12.已知不等式对一切正数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【详解】设，恒增，
取等号，。
13.已知函数，若函数有且仅有两个零点，则的取值范围。
【详解】有两解，
指对分离：
同乘得：
构造函数：
单增图像有两个交点
，综上：
14..已知函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围
【详解】
又，，又
构造，单减
，综上：
15.已知，当时，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，当时，，
即，，
令，则，
因为恒成立，故在R上单调递增，故，即，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，最大值为，故，解得.
故选：B
16.已知函数
①求函数的单调性
②当，证明：
③若不等式对恒成立，求实数的取值范围
【详解】①在单减，单增。
②要证：
即证：
又由（1）可得：在单增，故
故原不等式成立。
③
又因为,在单减
.
17.已知函数，若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【详解】所以：
当且仅当：
18.已知函数，若，若，则的最小值？
【详解】，
构造
单增，
19.已知函数，若，则的最大值？
【详解】由题意：
而：
构造在单增
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异构
异构的概念：使用了多个不同的母函数，且把原式拆分成若干个均“”的复合函数的和，则原式“”，注意验证每个部分是否能够在同一个，取到最小值0，再去通过余量函数恒“”，得出的范围。注意要分别说明充分性和必要性。通常余量函数的特征为的函数形式。
母函数的构造可以基于泰勒公式：
展开到一次项的母函数有：
展开到二次项的母函数有：
此时
【题型一】证明不等式
【例1】已知，当，时，求证：.
令，，
，原式成立.
【例2】已知，设，求证：当时，恒成立。
，令，可得
，上式成立。
变式1 证明：，恒成立。
，，同时平方，则
也可以构造，并证明恒成立
（取等），（取等）
不在同一点处取等，所以
变式2 证明.
（取等），（取等）
当时，不等式恒成立
即，设，，，成立
【题型二】端点效应，通常矛盾区间找点用端点附近的点。
【例3】已知，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
解析：由题意得：
构造，当且仅当时等号成立
即，即
【例4】（展开至二次项）已知，设，当，恒成立，求的取值范围。
此时由于前的符号为“+”，没办法构造的形式，
选择展开到二次项：
当，上式均，且同一点取等，显然成立；
当，，，且，
，不成立
变式3已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围。
解析：
变式4 ，不等式恒成立，求的取值范围.
当，上式，且同一点取等，成立；
当，，，，不成立
【题型三】恒成立求参，通常矛盾区间找点用其他“”的母函数的零点。
【例5】已知函数，若，对，不等式恒成立，求的最小值.
当，上式均，当，同一点取等，成立；
当，，令
则，可知
，，舍去。
【例6】已知，，恒成立，求的取值范围。
当，上式均，且同一点取等，显然成立；
当，。
变式5 恒成立，求的取值范围。
当，上式均，当时，等号成立；
当，
变式6 恒成立，求的取值范围。
先尝试凑
这个部分，很难构造再继续拆分出含的恒的项。而且很难讨论的范围。所以我们再尝试以含的部分构造另一种对数母函数。
（1）当即，上式均，成立；
（2）当即，，，
，不成立
★【例7】已知，。当时，不等式恒成立，求的取值范围.
余量项中的最高项为，且左边是在取最小值，
系数相等，
当，上式均，且同一点取等，显然成立；
，由于
（2）当，，，，不成立
（3）当，，，不成立
变式7 设函数，，如果在区间内恒成立，求的范围.
设
，
（1）当，上式，且同一点取等，显然成立；
（2）当，此时，，则不成立；
（3）当，，，则不成立；
课后练习（一）
1.已知函数若，求的取值范围（ ）
解析：
当时，不一定满足，所以综上
2.设函数，证明：.
解析：
3.设函数．证明：当时，．
解析：
。
4.已知，若且关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
解析：由题目得：
①当时，
②当时，
综合①②
5.设函数．
（1）讨论的导函数零点的个数；
（2）证明：当时，．
解析：
。
课后练习（二）
1.设函数若不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
解析：
2.已知函数，当时，证明：
解析：
3.已知函数，为常数，若时，恒成立，求实数的取值范围
解析：
所以：
所以：，
4.已知函数若，求的取值范围
解析：
当时，不一定满足，所以综上
5.设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求；
（2）证明：.
解析：
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同构
知识点一 同构的概念
（一）同构式到底是什么？
同构式源于指对跨阶的问题，与属于跨阶函数，而属于跳阶函数，所以指对跳阶的函数问题，在中学阶段没有解决它的巧妙方法，只能构造隐零点代换来简化，但通过指对跨阶函数进行同构，即我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问题通过跨阶函数的同构，变成了内函数的两阶问题，所以通过构造跨阶函数的同构式，大大简化了分析和计算．
（二）同构式如何选取函数？
根据参数出现的次数可以大致判断怎么构造外函数，（1）一般情况下，若参数出现了2次则构造并利用外函数递增的特性，转化为内函数的关系，且如果总共只有2项则构造，反之项数较多则考虑构造。（2）一般情况下，若参数只出现1次（或者可以合并成一个）则构造，再利用加减，乘除保值性解题。
构造原则和技巧：
1，指数与对数分居不等号两侧；
2，含参的项放不等号的同一侧；
3，参数的位置：如果指数函数的指数含参数，则参数选择和指数放一起，反之和对数函数放一起。
4，对数可以吸收系数和常数；
5，指数可以合并系数。
【题型一】利用lnxx同构式的单调性秒杀恒成立问题(只有两项或者可以合并成两项)
【例1】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
【详解】，即恒成立，，
【例2】设实数，若对任意的，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） ．
【详解】，得
【例3】若时，关于的不等式，则实数的最大值为（ ）
【详解】
因为，
【例4】已知函数，若，，求的取值范围.
【详解】由对恒成立。
构造，单增，
所以：，因为
口诀：指对放两侧，参数同一侧，对数真厉害，吸收常数和系数！
变式1对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.
变式2对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
变式3已知，不等式 对任意的实数恒成立，则实数的最小值是（ ）
B． C． D．
【例5】已知是函数的零点，则为（ ）
【详解】
令可知单增，所以
变式4已知是方程的一个根，则的值是
知识点二 合并系数（指数可以改写合并系数）
利用，则有①；
这一系列放缩的取等条件就是，或者；
利用（取等条件），则有②；；；这一系列放缩的取等条件就是，或者；
【题型二】 利用x+ex ≥ex+lnex同构式的单调性秒杀恒成立问题
构造函数，易知在区间。
【例6】已知在上恒成立，求实数的取值范围_____.
【详解】
设，因为单增，
【例7】已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解法一：
,令，单增
解法二：
构造，因为单增，
，所以
【例8】已知恒成立，求实数的取值范围
【详解】；；
同加，；；；
【例9】已知函数，若存在，使得成立，则的最大值为
【详解】
构造，做出图像：因为容易知道：
又因为在单增，所以：
口诀：
指对放两侧，参数同一侧；
对数真厉害，吸收常系数；
指数也不赖，系数放头上。
变式5 已知，若对任意，不等式恒成立，求正实数的取值范围.
变式6 已知不等式，对恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
变式7 对任意的，恒有，求实数的最小值 ．
变式8 已知函数，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【题型三】单参数的恒成立，选择作为外函数，内函数整体换元为t。
【例10】若恒成立，则实数的取值范围
【详解】
【例11】设函数，若恒成立，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【详解】，令，，，结合的切线，或者超越函数图像可以判断
变式9 已知恒成立，则实数的最大值为（ ）。
变式10 已知函数．当时，不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围________．
变式11 已知函数．设，其中，若恒成立，求的取值范围.
知识点三 保值性定理（通常选择）
数乘保值性定理：若已知恒成立(即)，且满足（），则一定要满足；
加减保值性定理：若已知恒成立(即)，且满足，则一定要满足；或者，则一定满足，把把构造剩余的称为余量函数。
注意：在使用数乘，加减保值性的时候，内函数的选择，必须是两个相切函数的关系。
常见的内函数如下：
函数有零点定理：若恒成立，要满足有实根，则一定要满足；
恒正保值性定理（异构）：使用不同的外函数。若，且满足当时，，则一定满足不等式；若时和时的取的值不相等，则。
【逆向推论】：已知恒成立，求参数范围。我们可以把拆分成若干个恒大于等于“0”的函数的和，即，且已知，，但是要求必须在同一个x取最小值0，则可以得出也必须大于等于0，即恒成立，我们把构造剩余的称为余量函数。
【例12】已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【详解】由题意得：，
右边凑1，得
得.（说明：定义域大于零，所以，成立）.
【例13】 已知关于的不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围（ ）
【详解】.
【例14】已知不等式，对于任意的恒成立，则的最大值
【详解】，则；
，，则恒成立；
故，
变式12 已知函数，若对任意恒成立，求的取值范围（ ）
变式13 已知不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围。
变式14 不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。
知识点四 零点及极值点问题
极值存在问题：若函数，则令，根据复合函数求导原理，若存在一个极值，则或者，若不存在极值，则，若存在多个极值，则，此方法叫做同构式内外函数分离法，通常可以简化求导计算，达到事半功倍效果.
零点个数问题：若函数，则令，先确定内值外定，即内函数的值域是外函数的定义域，再确定内外函数在相应区间的单调性，利用乘法原理来确定相应区间根的个数.
【例15】若函数无零点，则整数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【详解】
【例16】函数，若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【详解】
当，即
变式15 若函数有零点，则的取值范围。
变式16 已知函数有两个零点，则的取值范围。
同构课后练习
1.若关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围
2.已知对任意的，都有，则实数的取值范围是 .
3.对任意，不等式恒成立，则实数的最小值。
4.若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围
A. B. C. D.
5.函数，当时，不等式恒成立，求的取值范围。
6.已知，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。
7.已知函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围。
8.已知函数，恒成立，求实数的取值范围。
9.已知函数，其中，若在区间恒成立，求实数的取值范围
10.若时，恒有成立，则实数的取值范围是 .
11.已知函数，则不等式得解集为（ ）
A. B. C. D.
12.已知不等式对一切正数都成立，则实数的取值范围是（ ）
13.已知函数，若函数有且仅有两个零点，则的取值范围。
14..已知函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围
15.已知，当时，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16.已知函数
①求函数的单调性
②当，证明：
③若不等式对恒成立，求实数的取值范围
17.已知函数，若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
18.已知函数，若，若，求的最小值。
19.已知函数，若，求的最大值。
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