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数列与导数
【例1】函数．
(1)若对恒成立，求a的取值范围；
(2)设，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）由，，
则，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的最小值为，
要使对恒成立，则，解得，
故a的取值范围为.
（2）由（1）知，当时，，
即：，当且仅当时，等号成立.
所以当时， ，即，，
令，，又，
则，
即：，
故，，，，
，
各式相加得，
.
【例2】已知函数．
(1)当时，，求的取值范围；
(2)设，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）令，则当时，；
，；
令，则，；
①当时，，则在上存在点，使得当时，，
，即在上单调递增，此时，
在上单调递增，则，不合题意；
②当时，，
令，则，
在上单调递减，，即，
，则，，
，即在上单调递减，，
在上单调递减，，满足题意；
综上所述：的取值范围为.
（2）当时，由（1）知：当时，恒成立，
令，则，，，
，即对任意恒成立，
对，，即，
.
变式1已知函数）.
(1)讨论的单调性；
(2)若时，，求实数的取值范围；
(3)对任意，证明：.
【例3】已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若时，，求a的取值范围；
(3)对于任意，证明：．
【答案】(1)的单调递增区间为，无单调递减区间；(2)；(3)证明见解析．
【详解】（1）的定义域为；当时，，则；
令，则；故当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增．于是，即，
故的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由题意知，令，则；
由（1）可知若，则当时，，
若，则当时，有
，符合题意；
若，则当时，，于是，
单调递减，则，与题意矛盾；
若，则当时，，于是，
单调递减，此时，与题意矛盾；
综上所述：a的取值范围是．
（3）当时，上（2）可知，
即，取，可得
，
即．
令，，…，，累加可得
．
另一方面，考虑函数，，则，
在上单调递减，则，于是，．
取（），可得，
整理得．
令，，…，，累加可得．
综上所述，对于任意，成立．
变式2 已知函数，．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若时，，求的取值范围；
(3)对于任意的且，证明：
【例4】已知函数，且．
(1)求实数a的取值范围；
(2)已知，证明：．
【答案】(1)
【详解】（1），
由解得，故在区间上单调递增，
由解得，故在区间上单调递减，
故的最小值是，解得，所以实数a的取值范围为．
（2）由（1）得，，即，当且仅当时等号成立，
令，则，
所以，，，
令，则，
所以，函数在上单调递增，故时，，即．
所以，，
所以
．
变式3 已知函数．
(1)求证：当时，；
(2)求证：．
【例5】（多选题）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ）
A．（其中） B．数列是递减数列
C． D．数列的前项和
【答案】AD
【详解】对于A选项，由得，所以，故A正确.
二次函数有两个不等式实根，，不妨设，
因为，所以，
在横坐标为的点处的切线方程为：，
令，则，
因为
所以，即：,
所以为公比是2，首项为1的等比数列，所以故BC错.
对于D选项，，得故D正确.
故选：AD
变式4（多选题）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是递减数列
C．数列是等比数列 D．
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数列与导数
【例1】函数．
(1)若对恒成立，求a的取值范围；
(2)设，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）由，，
则，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的最小值为，
要使对恒成立，则，解得，
故a的取值范围为.
（2）由（1）知，当时，，
即：，当且仅当时，等号成立.
所以当时， ，即，，
令，，又，
则，
即：，
故，，，，
，
各式相加得，
.
【例2】已知函数．
(1)当时，，求的取值范围；
(2)设，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）令，则当时，；
，；
令，则，；
①当时，，则在上存在点，使得当时，，
，即在上单调递增，此时，
在上单调递增，则，不合题意；
②当时，，
令，则，
在上单调递减，，即，
，则，，
，即在上单调递减，，
在上单调递减，，满足题意；
综上所述：的取值范围为.
（2）当时，由（1）知：当时，恒成立，
令，则，，，
，即对任意恒成立，
对，，即，
.
变式1已知函数）.
(1)讨论的单调性；
(2)若时，，求实数的取值范围；
(3)对任意，证明：.
【答案】(1)答案见解析；’(2)；(3)证明见解析
【详解】（1）
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）记，由题知时恒成立，
由得，
，由（1）知：当时，在上单调递减，在上单调递增.
若，则，故在上单调递增，所以恒成立；
若，则，故，
由于，
因此，故不能恒成立.
综上得.
（3）证明：由知，令，
所以，即
所以，
故，
即.
【例3】已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若时，，求a的取值范围；
(3)对于任意，证明：．
【答案】(1)的单调递增区间为，无单调递减区间；(2)；(3)证明见解析．
【详解】（1）的定义域为；
当时，，则；
令，则；故当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增．于是，即，
故的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由题意知，令，则；
由（1）可知若，则当时，，
若，则当时，有
，符合题意；
若，则当时，，于是，
单调递减，则，与题意矛盾；
若，则当时，，于是，
单调递减，此时，与题意矛盾；
综上所述：a的取值范围是．
（3）当时，上（2）可知，
即，取，可得
，
即．
令，，…，，累加可得
．
另一方面，考虑函数，，则，
在上单调递减，则，
于是，．
取（），可得，
整理得．
令，，…，，
累加可得．
综上所述，对于任意，成立．
变式2 已知函数，．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若时，，求的取值范围；
(3)对于任意的且，证明：
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)；(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，
显然时，，此时在上单调递增，
时，，此时在上单调递减，
即的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由题意知，
若，此时在定义域上单调递减，即，不符合题意，
若，则，易知时，，此时单调递减，则，不符合题意，
若，则，时，，此时单调递增，所以，符合题意，
综上，
（3）由（1）、（2）可知，所以，
即，
所以，
累加得，证毕.
【例4】已知函数，且．
(1)求实数a的取值范围；
(2)已知，证明：．
【答案】(1)
【详解】（1），
由解得，故在区间上单调递增，
由解得，故在区间上单调递减，
故的最小值是，解得，所以实数a的取值范围为．
（2）由（1）得，，即，当且仅当时等号成立，
令，则，
所以，，，
令，则，
所以，函数在上单调递增，故时，，即．
所以，，
所以
．
变式3 已知函数．
(1)求证：当时，；
(2)求证：．
【详解】（1）证明：证法一：因为，
所以，且，．
当时，设，，
因为函数、在上均为减函数，
则在内单调递减，
又因为，，
所以，使得，
且当时，；当时，.
此时在内单调递增，在内单调递减，
又，，故对任意的，，
则在内单调递增，所以.
综上，当时，得证；
证法二：设，则，
所以在内单调递增，所以，即．
由题意，，
只需证在区间内恒成立．
设，，
设，
因为函数、在上均为减函数，
则在区间内单调递减，
因为，，
所以，，使得，
当时，；当时，.
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又因为，，，
，使得，
当时，；当时，.
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减．
因为，，
所以在区间内恒成立．
综上，当时，得证．
（2）证明：因为，所以，由（1）可得．
接下来证明，其中，
设，，
设，
因为函数、在上均为减函数，
则在区间内单调递减，
因为，，
所以，，使得，
当时，；当时，.
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又因为，，，
，使得，
当时，；当时，.
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减．
因为，，
所以在区间内恒成立．
令，所以，
所以，，，…，，
所以．
对，，所以，
所以
，
所以得证．
设，则，
则在区间上单调递减，
所以．
令，，所以，，
所以，…，，
所以．
综上，．
【例5】（多选题）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ）
A．（其中） B．数列是递减数列
C． D．数列的前项和
【答案】AD
【详解】对于A选项，由得，所以，故A正确.
二次函数有两个不等式实根，，不妨设，
因为，所以，
在横坐标为的点处的切线方程为：，
令，则，
因为
所以，即：,
所以为公比是2，首项为1的等比数列，所以故BC错.
对于D选项，，得故D正确.
故选：AD
变式4（多选题）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是递减数列
C．数列是等比数列 D．
【答案】ACD
【详解】，所以在点处的切线方程为：，
令0，得，故A正确.
，故，即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，
所以，D正确.
故选；ACD
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