6.3 反比例函数的应用
【学习目标】
1．会分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决实际问题．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
【学习重点】
建立反比例函数的模型，进而解决实际问题．
【学习难点】
经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力．
情景导入 生成问题
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1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图象是什么？
3．反比例函数的图象有哪些性质？
4．反比例函数的图象对称性如何？
教学说明：通过提出问题，引发学生思考，培养学生解决问题的能力．
自学互研 生成能力
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先阅读教材P158～159页的内容，然后完成下面的填空：
常见的反比例函数关系：
(1)行程问题(路程是定
( http: / / www.21cnjy.com )值)：例：一辆汽车从A地到B地，路程是200千米，所用时间t(小时)与速度v(千米/时)的关系是：t＝．(2)工程问题(工程总量是定值)：例：某车间计划生产3000个零件，所用工作时间t(天)与工作效率m(个/天)的关系是：t＝．(3)分配问题(总量是定值)：例：某村有600亩耕地，该村的人均耕地面积y(亩/人)与村里的人口数x(人)的关系是y＝．(4)几何问题(面积或体积是定值)：例：△ABC的面积为24平方米，高AD的长h(米)与底BC的长a(米)的关系是：h＝．(5)物理问题(压力、电压等是定值)：例：电路中，加在灯泡两端的电压为220V，则通过该灯泡的电流I(A)与灯泡的电阻R(Ω)的关系是：I＝．
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1．某校科技小组进行野外
( http: / / www.21cnjy.com )考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境．你能解释他们这样做的道理吗？(见书P158)，如果人和木板对湿地地面的压力合计为600N，那么
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(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流．
目的：多媒体给出情境材料，引起学生的兴趣，体现数学的现实性．
注意：在(4)中，要启发学生思考：为
( http: / / www.21cnjy.com )什么只需在第一象限作函数图象？此外，还要注意单位长度所表示的数值．在(5)中，要留有充分时间让学生交流，领会实际问题的数学意义及反比例函数模型的应用，体会数与形的统一．
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2．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示．(见书P158)
(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
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3．如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(，2)．
(1)分别写出这两个函数的表达式；
(2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？
对应练习：
1．一个水池装水12m3，如果从水管中
( http: / / www.21cnjy.com )每小时流出x(m3)的水，经过y(h)可以把水放完，那么y与x的函数关系式是y＝，自变量x的取值范围是x＞0．
2．某地资源总量Q一定，该地人均资源享有量x－与人口数n的函数关系图象是( B )
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,A)
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,B)
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,C)
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,D)
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3．蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)当R＝10Ω时，电流能是4A吗？为什么？
答：(1)设I＝(k≠0)，把(4，9
( http: / / www.21cnjy.com ))代入，得k＝4×9＝36，∴I＝.(2)当R＝10Ω时，I＝3.6A≠4A，∴电流不可能是4A.
交流展示 生成新知
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1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“
( http: / / www.21cnjy.com )自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
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知识模块 探索反比例函数的实际应用
检测反馈 达成目标
1．已知矩形的面积为36cm2，相邻两条边长分别为xcm和ycm，则y与x之间的函数图象大致是( A )
,A) ,B)
,C)
,D)
2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变
( http: / / www.21cnjy.com )时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m2)的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应( C )
A．不小于m3 B．小于m3
C．不小于m3
D．小于m3
3．某蔬菜生产基地气温较低时，
( http: / / www.21cnjy.com )用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y＝的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
(2)求k的值；
(3)当x＝16时，大棚内的温度约为多少度？
解：(1)恒温系统在这天保持大棚温
( http: / / www.21cnjy.com )度18℃的时间为10小时；(2)∵点B(12，18)在双曲线y＝上，∴18＝，∴解得k＝216；(3)当x＝16时，y＝13.5，所以当x＝16时，大棚内的温度约为13.5℃
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________第六章
反比例函数
6.1 反比例函数
【学习目标】
1．领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，了解反比例函数三种表达式．
2．能根据现实情境确定反比例函数的解析式．
【学习重点】
反比例函数的概念及应用．
【学习难点】
正确理解反比例函数的含义．
情景导入 生成问题
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我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道
( http: / / www.21cnjy.com )一次函数的表达式为y＝kx＋b(其中k，b为常数且k≠0)，正比例函数的表达式为y＝kx(k为常数且k≠0)，在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式，如从A到B地的路程为1200km，某人开车从A地到B地，汽车的速度v(km/h)和时间t(h)之间的关系式为vt＝1200，则t＝中，t和v之间肯定不是正比例函数和一次函数关系，那么它们之间究竟是什么关系呢？这就是本节课我们要揭开的奥秘．
教学说明：通过对一次函数和正比例函数的概念、解析式的复习，引出本节课的内容．
自学互研 生成能力
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先阅读教材P149页的内容，然后完成下面的填空：
1．如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝(k为常数，k≠0)的形式，那么就把y叫做x的反比例函数，其中自变量x的取值范围是x≠0．
2．一般地，反比例函数有以下三种表达式：
①y＝(k≠0)，②y＝kx－1(k≠0)，③xy＝k(k≠0)．
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问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？
(1)京沪铁路全程为1318km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化；
(2)某住宅小区要种值一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y随宽x的变化而变化；
(3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S(单位：平方千米/人)随全市人口n(单位：人)的变化而变化．
解：(1)t＝；(2)y＝；(3)S＝，其中v是自变量，t是v的函数；x是自变量，y是x的函数；n是自变量，S是n的函数．
上面的函数关系式，都具有y＝的形式，其中k是常数．
归纳结论：一般地，如果两个变量x，y之间可以表示成y＝(k为常数且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数．
典例讲解：
已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝6.
(1)写出y与x的函数关系式；(2)求当x＝4时，y的值．
分析：因为y是x的反比例函数，所以可设y＝，再把x＝2和y＝6代入上式就可求出常数k的值．
解：(1)设y＝，因为x＝2时，y＝6，所以有6＝，解得k＝12，因此y＝.(2)把x＝4代入y＝，得y＝＝3.
对应练习：
1．已知函数y＝，当x＝1时，y＝－3，那么这个函数的解析式是( B )
A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－
2．已知y与x成反比，当x＝3时，y＝4，那么y＝3时，x的值等于( A )
A．4
B．－4
C．3
D．－3
3．若函数y＝(m－1)xm2－2是关于x的反比例函数，则m的值是－1．
4．已知y＋1与x成反比例，当y＝1时，x＝.(1)求y与x的函数关系式；(2)当x＝3时，求y的值．
解：(1)∵y＋1与x成反比例，∴设y＋1
( http: / / www.21cnjy.com )＝，∴y＝－1，把x＝，y＝1代入上式中，得1＝－1，∴k＝1，∴y与x的函数关系式为y＝－1；(2)当x＝3时，y＝－1＝－.
交流展示 生成新知
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1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主
( http: / / www.21cnjy.com )探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
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知识模块 反比例函数的概念及应用
检测反馈 达成目标
1．下面的函数是反比例函数的是( D )
A．y＝3x＋1 B．y＝x2＋2x
C．y＝
D．y＝
2．当路程s一定时，速度v与时间t之间的函数关系是( B )
A．正比例函数
B．反比例函数
C．一次函数
D．无法确定
3．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为( C )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
4．某工人承包运输粮食的总数是w吨，每天运x吨，共运了y天，则y与x的关系式为y＝，是反比例函数．
5．已知y＝y1＋y2，且y1与x成正比例，y2与x成反比例，当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求当x＝4时，y的值．
解：(1)y＝2x＋；(2)8.
课后反思 查漏补缺
收获：
________________________________________________________________________
存在困惑：
________________________________________________________________________第2课时 反比例函数图象上点的增减变化规律
【学习目标】
1．进一步巩固作反比例函数的图象的方法．
2．结合反比例函数的图象，认识反比例函数的值随自变量的变化的规律．
3．逐步提高从函数的图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质．
【学习重点】
探索反比例函数的主要性质．
【学习难点】
理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题．
情景导入 生成问题
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1．已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是m＞1．
2．当x＞0时，函数y＝－的图象在( A )
A．第四象限
B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
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3．如图，直线y＝2x与双曲线y＝的一个交点的坐标为(2，4)，则它们的另一个交点的坐标为( B )
A．(－2，4)
B．(－2，－4)
C．(－4，－2)
D．(2，－4)
自学互研 生成能力
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先阅读教材P154－155页的内容，然后完成下面的填空：
1．对于反比例函数y＝的图象：
(1)当k＞0时，图象的两支
( http: / / www.21cnjy.com )曲线分别位于第一、三象限，在每一象限内，y的值随x的增大而减小；(2)当k＜0时，图象的两支曲线分别位于第二、四象限，在每一象限内，y的值随x的增大而增大．
2．若P是反比例函数y＝图象上任意一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S，则S＝|k|．
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试一试：观察反比例函数y＝，y＝，y＝的图象，你能发现它们的共同特征吗？
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(1)函数图象分别位于哪几个象
( http: / / www.21cnjy.com )限内？(2)在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？让学生通过对三个反比例函数的图象进行细致的观察、类比、分析、交流，归纳概括出反比例函数(k＞0)的主要性质．
议一议：考察当k＝－2，－4，－6时，反比例函数y＝的图象，它们有哪些共同特征？
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让学生通过类比，分析、归纳、概括出k＜0时图象的共同特征．
说一说：你能尝试着说说反比例函数y＝的图象有哪些共同特征吗？
归纳：对于反比例函数y＝的图象，当k＞0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，y的值随x的增大而增大．
想一想：在一个反比例函数图象上任取两点P、
( http: / / www.21cnjy.com )Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？
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(1)让我们从具体的反比例函数y＝开始考虑：
此时，S1与S2有什么关系？为什么？
(2)对于一般的反比例函数y＝呢？
给出具体的反比例函数y＝，让学生按题
( http: / / www.21cnjy.com )目要求，取点、构造矩形S1、S2，自主探究S1与S2之间的关系，然后由学生讲解，教师进行方法的总结和点拨．
变一变：在一个反比例函数图象上任取
( http: / / www.21cnjy.com )两点P、Q，过点P作x轴的垂线，连接PO(O为原点)，与坐标轴围成的三角形面积为S1；过点Q作x轴的垂线，连接QO，与坐标轴围成的三角形面积为S2，S1与S2有什么关系？
对应练习：
1．关于反比例函数y＝的图象，下列说法正确的是( D )
A．图象经过点(1，1) B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于x轴成轴对称
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
2．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在函数y＝的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是( A )
A．0＜y1＜y2 B．0＜y2＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
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3．如图，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，横坐标为1，过B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
交流展示 生成新知
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1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“
( http: / / www.21cnjy.com )自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
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知识模块 探索反比例函数图象上点的增减变化规律
检测反馈 达成目标
1．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝的图象经过点A，则k的值是( D )
A．2 B．－2
C．4
D．－4
2．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3，4)，顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y＝(x＞0)的图象经过顶点B，则k的值为( D )
A．12 B．20 C．24 D．32
3．若点A(1，y1)和点B(2，y2)在反比例函数y＝图象上，则y1与y2的大小关系是：y1＞y2(选填“＞”“＜”或“＝”)．
4．如图，M为反比例函数y＝的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为4．
5．如图，点A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y＝的图象于点C，则△OAC的面积为2．
课后反思 查漏补缺
收获：
________________________________________________________________________
存在困惑：
_______________________________________________________________________6.2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数图象的分布规律
【学习目标】
1．会通过列表、描点、连线等步骤，作反比例函数的图象．
2．了解反比例函数图象的形状的特点，会根据函数表达式的系数特点判别反比例函数图象的分布规律．
3．了解反比例函数图象是中心对称和轴对称图形．
【学习重点】
画反比例函数的图象；并从函数图象中获取信息，探索并研究反比例函数的主要性质．
【学习难点】
反比例函数的图象特点及性质的探究．
情景导入 生成问题
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教师幻灯片展示下列问题：
1．当初我们从哪些方面研究了一次函数？
2．画一次函数图象的步骤是什么？
3．借助图象我们研究了一次函数的哪些性质？
目的：通过对上面问题的回答，使学生回顾研究一次函数的过程，类比研究一次函数的思路，来研究反比例函数．
自学互研 生成能力
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先阅读教材P152－153页的内容，然后完成下面的填空：
1．已知函数解析式，画函数图象的一般步骤是：列表、描点、连线．
2．反比例函数y＝(k≠0)的图象是双曲线，每一条曲线都与x轴和y轴无限接近，但又不与x轴和y轴相交．
3．当k＞0时，反比例函数y＝(k≠0)的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，反比例函数(k≠0)的图象的两支曲线分别位于第二、四象限内．
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"../../../合作探究.TIF"
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1．教师引导学生类比着画一次函
( http: / / www.21cnjy.com )数图象的过程来尝试画出反比例函数y＝的图象．小组内交流；教师在巡视过程中，当发现大部分学生完成时，让同学们先在小组内进行互查、互批，让小组长汇总各小组出现的问题或不足．
全班交流：小组代表发言，谈一下各小组在画图过程中存在哪些问题，教师组织、指导学生对各组情况和问题进行汇总．
问题：(1)反比例函数图象是什么？(2)画出反比例函数图象应该注意的问题是什么？
总结归纳：①x≠0；②用光滑的曲线连接各点；③图象是延伸的，不要画成有明确端点；④曲线的发展趋势是无限靠近坐标轴，但不和坐标轴相交．
2．画反比例函数y＝的图象．
目的：让学生巩固作反比例函数图象的步骤
( http: / / www.21cnjy.com )，并且初步感受反比例函数图象的特征．观察y＝和y＝的图象的形状和位置，有什么相同点和不同点．(图象见课件)
(1)自己观察图象找出相同点和不同点；(2)小组展开讨论反比例函数y＝和y＝的图象在哪两个象限，由什么确定；(3)引导总结．
结论：①图象分别都是由两支曲线组成，因此称
( http: / / www.21cnjy.com )反比例函数的图象为双曲线；②反比例函数的图象由k决定；③当k＞0时，两支双曲线分别位于一、三象限内；④当k＜0时，两支双曲线分别位于二、四象限内．
典例讲解：
作出反比例函数y＝的图象，并根据图象解答下列问题：(1)当x＝4时，求y的值；(2)当y＝－2时，求x的值；(3)当y＞2时，求x的范围．
解：列表：
x
…
－3
－2
－1
1
2
3
…
y
…
－4
－6
－12
12
6
4
…
eq
\a\vs4\al()由图知：(1)y＝3；(2)x＝－6；(3)0＜x＜6.
对应练习：
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"../../../../../../../../Documents%20and%20Settings/Administrator/桌面/教案·北师9数（上）/Q190.TIF"
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1．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则实数m的取值范围是( A )
A．m＞1 B．m＞0 C．m＜1 D．m＜0
2．作出反比例函数y＝－的图象，结合
( http: / / www.21cnjy.com )图象回答：(1)当x＝2时，y的值；(2)当1＜x≤4时，y的取值范围；(3)当1≤y＜4时，x的取值范围．
解：列表：
x
…
－4
－2
－1
1
2
4
…
y
…
1
2
4
－4
－2
－1
…
eq
\a\vs4\al()由图知：(1)y＝－2；(2)－4＜y≤－1；(3)－4≤x＜－1.
交流展示 生成新知
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"../../../交流预展.TIF"
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"../../../../../../../../Documents%20and%20Settings/Administrator/桌面/教案·北师9数（上）/交流预展.TIF"
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1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“
( http: / / www.21cnjy.com )自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
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"../../../展示提升.TIF"
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知识模块 探索反比例函数图象的分布规律
检测反馈 达成目标
1．如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数表达式可能是( B )
A．y＝x B．y＝
C．y＝－
D．y＝x
2．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是( A )
A．0 B．1 C．2 D．以上都不是
3．已知反比例函数y＝，当1＜x＜2时，y的取值范围是( C )
A．0＜y＜5 B．1＜y＜2
C．5＜y＜10
D．y＞10
4．一矩形的面积是6cm2，设其一边长为xcm，另一相邻边长为ycm.
(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)在图中作出函数的图象．
解：(1)y＝(x＞0)；(2)函数y＝(x＞0)的图象如图．
课后反思 查漏补缺
收获：
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存在困惑：
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