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利用导数求零点个数
【题型一】分离参数法
【例1】已知函数.若有两个零点，求实数k的取值范围.
【答案】
【详解】由得：，
构造函数，由，因为，所以，
即函数在上单调递增，
由，根据单调性可得：
再构造，则，
则当时， ，当时， ，
所以在上递减，在上递增，即
当时，由，可知，
当，由对数函数没有一次函数增长得快，可知，
而函数有两个零点等价于直线与函数有两个交点，根据数形结合可得：
【例2】已知函数．讨论的零点个数．
【详解】①先考虑当时函数的零点个数.
当时，为减函数，有一个零点；
当时，由，
设，令，
时，单调递增，时，单调递减，
且，当时恒成立.
1.当即时，当时函数无零点，当时函数有一个零点；
2.当即时，当时函数有一个零点，当时函数有二个零点；
3.当即时，当时函数有两个零点，
当时函数有三个零点；
②再考虑的情形，若，则，同上可知：
1.当即时，函数有一个零点；
2.当即时，函数有两个零点；
3.当即时，函数有三个零点；
综上可知：当时，函数有一个零点；
当或时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点.
变式1 已知函数，函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】；
【详解】由得，显然不是方程的解，所以.
设函数，
则，
令得或；令得或.
所以在上单调递增，在和单调递减，在上单调递增.
又当时，，当时，，
当时，，当时，.
所以的大致图象如图：
若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，
由图象可知，或，即的取值范围为.
【题型二】极值讨论法之有定点
【例3】已知函数．若且函数在上没有零点，求实数a的取值范围．
【答案】
【详解】设函数，；显然；
令，其中，即；
①当时，，
则时，，，此时在上单调递减；
当时，，，此时在上单调递增；
因此，可知，因此在上存在零点，不合题意；
②当时，由可得；
所以，使得；
可得时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
所以要使函数在上没有零点，只需，解得，
所以实数a的取值范围为.
【例4】已知.当，试讨论函数的零点个数.
【详解】，设，则，
则有，，
设.因为，所以，则在为减函数，，
①当，即，结合在为减函数
当时，在为增函数；
当时，在为减函数；
所以，所以，即在上为减函数.
又因为，所以只有一个零点；
②当时，，
所以存在，使得，
当时，，所以在上增函数；
当时，，所以在上减函数.
因为，则，当，
使得，
所以时，，即，即在为减函数；
当时，，即，即在为增函数；
当时，，即，即在为减函数；
当，又因为，所以.
所以使得，
在为减函数，所以，所以存在两个零点.
综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点.
变式2讨论零点的个数。
【详解】方程即，
令，，则，
令，则，
①当时，在上单调递减，即在上单调递减，
又，所以当时，单调递增；当时，单调递减，
故在处取得最大值，即，所以只有一个零点，即原方程只有一个解；
②当时，令解得，
当时，在上单调递增，
即在上单调递增；
当时，在上单调递减，
即在上单调递减，所以在处取得最大值，
即，
若，则，故（不恒为零），故在上为减函数，
而，故所以只有一个零点，即原方程只有一个解.
若，令，则，
故在上为减函数，而即，
此时，而，故当时，，
当时，，故在上存在一个零点，
且当时，，当时，，
当时，，
故在为减函数，在上为增函数，在上为减函数，
而，当时，，
若，则有1个不同的零点；
若，则有2个不同的零点；
当时，在上为增函数，故即，
此时，而，故当时，，
当时，，故在上存在一个零点，
且当时，，当时，，
当时，，
故在为减函数，在上为增函数，在上为减函数，
而，当时，，故有两个不同的零点；
综上，当或时，方程只有一个解.
当或时，方程有两个解.
【题型三】无定点
【例5】已知函数
(1)证明：.
(2)若有且只有一个零点，求a的范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1），，
当时，；
当时，要证，即证，即证，即证，
构造函数，
当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，
所以函数在 处取得最小值，所以，即可得证，所以；
（2）令，
①当时，，
则在上单调递增，故，函数无零点；
②当时，，由（1）得，，
所以，所以，在上单调递增，，，
，当时，，且，
因为在上单调递增，所以存在一个，使，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以，在上没有零点，
又因为，所以，又因为，且在上单调递增，
此时存在一个使，
但当时，无零点,
综上，.
【例6】已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【详解】（1）的定义域为，
若，则，则在单调递减；
若，则由得.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）若，由（1）知，至多有一个零点.
若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，因为单调递增，单调递增，所以单调递增，
所以，，故没有零点；
③当时，由于，即，
又，
故在有一个零点.
设正整数满足，则，
故在有一个零点. 综上，的取值范围为.
变式3 已知．试讨论函数零点的个数．
【详解】由题意，（）．
①若，则，故在上单调递增，
又因为，且，
由零点存在性定理知，在上有且只有一个零点．
②若，当，，则在上单调递增；
当，，则在上单调递减，
所以，是在上的极大值点，也是最大值点，.
（i）当，即，恒成立，则在上无零点；
（ii）当，即，，则在上有一个零点；
（iii）当，即，，
而当时，有，理由如下：令（），则，
所以在上单调递增，，即．
，由（2）知，而，
由在上的单调性及零点存在性定理可知，分别在和上各有一个零点，即在上有两个零点．
综上所述，当或时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点；
当时，在上没有零点．.
课后练习
设函数．试讨论函数在区间上的零点个数．
【详解】由可得，
令，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以的最小值为，
若函数有零点，则，解得.
当时，函数在上单调递减．
又，，所以函数在上有一个零点；
当时，函数的最小值为正数，所以函数在上没有零点．
综上，当时，函数在上有一个零点，当时，函数在上没有零点．
已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围：
【答案】（1）答案见解析；（2）；
【详解】解：（1）函数的定义域为
，，
当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增；
当时，若，则函数在上递增；
若，则函数在区间，上单调递增，在上单调递减；
若，则函数在区间，上单调递增，在上单调递减；
（2）①当时，函数只有一个零点，不合题意，舍去；
②当时，由（1）知有最小值，
要使有两个零点，则需，即
此时，，则在上存在唯一零点；
又，
当时，设，，
所以在上递增，在上递减，
所以，即
由，所以，所以，所以
所以，
所以函数在上存在唯一零点，
所以当时，函数存在两个零点；
③当时，由（1）可知
（i）当，则函数在上递增，不合题意；
（ii）当，则函数的极大值为，
则函数在上无零点，在至多一个零点，不合题意，舍去；
(iii)当，则函数的极大值为，
则函数在上无零点，在至多一个零点，不合题意，舍去；
综上所述，函数存在两个零点时，；
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利用导数求零点个数
【题型一】分离参数法
【例1】已知函数.若有两个零点，求实数k的取值范围.
【答案】
【详解】由得：，
构造函数，由，因为，所以，
即函数在上单调递增，
由，根据单调性可得：
再构造，则，
则当时， ，当时， ，
所以在上递减，在上递增，即
当时，由，可知，
当，由对数函数没有一次函数增长得快，可知，
直线与函数有两个交点，根据数形结合可得：
【例2】已知函数．讨论的零点个数．
【详解】①先考虑当时函数的零点个数.
当时，为减函数，有一个零点；
当时，由，
设，令，
时，单调递增，时，单调递减，
且，当时恒成立.
1.当即时，当时函数无零点，当时函数有一个零点；
2.当即时，当时函数有一个零点，当时函数有二个零点；
3.当即时，当时函数有两个零点，
当时函数有三个零点；
②再考虑的情形，若，则，同上可知：
1.当即时，函数有一个零点；
2.当即时，函数有两个零点；
3.当即时，函数有三个零点；
综上可知：当时，函数有一个零点；
当或时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点.
变式1 已知函数，函数有两个零点，求实数的取值范围.
【题型二】极值讨论法之有定点
【例3】已知函数．若且函数在上没有零点，求实数a的取值范围．
【答案】
【详解】设函数，；显然；
令，其中，即；
①当时，，
则时，，，此时在上单调递减；
当时，，，此时在上单调递增；
因此，可知，因此在上存在零点，不合题意；
②当时，由可得；
所以，使得；
可得时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
所以要使函数在上没有零点，只需，解得，
所以实数a的取值范围为.
【例4】已知.当，试讨论函数的零点个数.
【详解】，设，则，
则有，，
设.因为，所以，则在为减函数，，
①当，即，结合在为减函数
当时，在为增函数；
当时，在为减函数；
所以，所以，即在上为减函数.
又因为，所以只有一个零点；
②当时，，
所以存在，使得，
当时，，所以在上增函数；
当时，，所以在上减函数.
因为，则，当，
使得，
所以时，，即，即在为减函数；
当时，，即，即在为增函数；
当时，，即，即在为减函数；
当，又因为，所以.
所以使得，
在为减函数，所以，所以存在两个零点.
综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点.
变式2讨论零点的个数。
【题型三】极值讨论法之无定点
【例5】已知函数
(1)证明：.
(2)若有且只有一个零点，求a的范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1），，
当时，；
当时，要证，即证，即证，即证，
构造函数，
当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，
所以函数在 处取得最小值，所以，即可得证，所以；
（2）令，
①当时，，
则在上单调递增，故，函数无零点；
②当时，，由（1）得，，
所以，所以，在上单调递增，，，
，当时，，且，
因为在上单调递增，所以存在一个，使，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以，在上没有零点，
又因为，所以，又因为，且在上单调递增，
此时存在一个使，
但当时，无零点,
综上，.
【例6】已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【详解】（1）的定义域为，
若，则，则在单调递减；
若，则由得.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）若，由（1）知，至多有一个零点.
若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，因为单调递增，单调递增，所以单调递增，
所以，，故没有零点；
③当时，由于，即，
又，
故在有一个零点.
设正整数满足，则，
故在有一个零点. 综上，的取值范围为.
变式3 已知．试讨论函数零点的个数．
课后练习
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已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围：
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