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七剑下天山破解恒成立求参
【第一剑】特殊点效应
端点效应
特征：代入区间端点使不等式取到等号。
原理：满足端点效应的恒成立问题。例如：，不能用分离参数的方法，只能找出函数的最值。而函数的最小值有可能在两个位置取到，一个是（左右）端点处（即此时函数单调），另一个是极小值（此时函数不单调）。所以就必须要先去讨论含参函数的单调性，找出最小值，并让其，求出范围。
【例1】设函数。当时，，求的取值范围。（两次端点效应）
【详解】已知，，且满足，
此时我们需要讨论的图像，，
当时，在上恒成立，则在，，则恒成立，
在，则，故恒成立；
当时，令，，则在，，
，则，当，，
故，使得，则在，
则，故不成立；则舍去；
综上得的取值范围为。
变式1已知函数．当时，，求的取值范围．
【答案】
【详解】；，；
设，
则，
①当，即时，，故在上为增函数，
故，即，所以在上为增函数，故.
②当，即时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.
③当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
综上，.
2. 最值点效应，适用于将某个特殊点（通常函数中含有考虑带入）带入不等式中，等号成立（也就是函数恒过一定点），则需要讨论函数的单调性证明这个特殊点是函数的极值点。或者将特殊点带入函数中求出参数的范围，之后再去验证所解的范围可以使不等式恒成立。
【例2】已知函数，若恒成立，求实数的取值范围。
【详解】设，且，则，
设，则，
当时，易知，所以在R上是减函数，即在R上是减函数.
又，，所以存在，使得，
当时，，单调递增，则，不符合题意；
当时，由（1）可知，满足题意；
当时，易知在上单调递减，又，则在上单调递减，即在上单调递减.
又，，则存在，使得，
所以当时，，单调递减，则，不符合题意；
当时，因为，所以不符合题意.
综上可知，实数的取值范围为.
变式2 已知函数，若恒成立，求a的值．
【答案】
【详解】①当时，不合题意；
②当时，单调递减，单调递增，
所以
因为所以，
令
当单调递增，当单调递减，
所以，
所以满足，只有，
所以.
【第二剑】分离参数
1. 常规分离法：就是通过解不等式或者方程把参数解出来，再研究分离出来的函数的值域或最值，从而求出参数的取值范围。
【例3】已知函数若求的范围。
【详解】当时，，恒成立，
所以只需时，恒成立，即，
又即又即，即恒成立
由于为增函数，则所以
令，，则注意到，
当时，，单调递减;当时，，单调递增;
所以，则，综上所述，实数的取值范围为
【例4】若不等式恒成立，求的范围。
【详解】，令，，则；
设，则，得，所以；
变式3 已知函数，若恒成立，求的范围。
【详解】
；
显然上单调递增，所以;
又由，；得；
易知在上递增，在上递减，所以；
综上，。
变式4 已知，，若对任意的，求的范围。
【详解】当时，易求得的值域为。又的值域包含在中；
所以，使得成立且成立，
即使得成立且成立,
设，则，；
易得，，则.
2. 分类讨论法：对于恒成立的情况，符号可正可负，可为零。要想分离参数，需要对的正负进行分类讨论，再分离出参数，然后讨论的最大（小）值。
【例5】已知恒成立，求的范围。
【详解】恒成立，
令，则，易知在单调递增，在递增，在递减。
所以，由，恒成立，，
由，恒成立，，
因此，故实数的取值集合为{4}.
变式5 已知，恒成立，求实数的范围。
【详解】分离参数得：恒成立，
令，则，
易知在单调递增，在递增，在递减。
所以，，，
因此实数的取值为
3. 换元分离法： 若参数含在复合函数中，如。(表示为：中含有参数a)观察时候可以通过换元法分离出参数，令，把当做函数的未知数，即得到关于的函数，并把当做参数，再考虑分离出。
【例6】已知，恒成立，求参数的范围。
【详解】令,则,则题设等价于恒成立，
又即对成立；令,则,
易得·所以.
变式6 已知函数在区间上有且仅有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，因为有且仅有两个极值点，
所以有两个变号零点，即在所给区间上有两个不等实数根.
令，则，上式可化为，其中；
令，则，
令，则，即为增函数，
又，所以时，，为减函数；
时，，为增函数；
因为，所以.
故选：A.
【第三剑】必要性探路
【例7】已知函数，恒成立，求的取值范围．
【答案】
【详解】由，令，则，故，
接下来证明：当时，，
以下证明，设，
则，
令，则，令，解得，
当，，则在单调递减，
当，，则在单调递增，
所以，即，
所以时，，则在单调递减，
所以时，，则在单调递增，
所以，
综上所述，实数．
变式7 已知函数，在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】在恒成立，所以，
下证：当时，恒成立.
因为，所以
设.
①当时，由知恒成立，
即在为增函数，所以成立；
②当时，设，可得，
由知恒成立，即在为增函数.
所以，即在为减函数，所以成立，
综上所述，实数的取值范围是.
【第四剑】洛必达法则
若满足端点效应，则也可以考虑分离参数，分离成之后，观察的最值为的形式，则使用洛必达法则求函数的最值。
1.零比零（）型，即趋向于某数时，分子、分母趋向于零.
若函数和满足下列条件：
（1）；
（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；
（3）且(可为实数，也可为)，那么：
.
2.无穷比无穷（）型，即趋向于某数时，分子、分母趋向于无穷.
若函数和满足下列条件：（公众号：凌晨讲数学）
（1）；
（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；
（3）且(可为实数，也可为)，那么：
.
【例8】设，如果，求的范围是
【详解】①当时，恒成立，此时a取任意值．
②当时，转化为，则．
可得；可得；
【例9】函数若当，求的范围为
【详解】①当时，恒成立，此时a取任意值．
②当时，转化为，则．
可得；可得；
变式8 函数，若恒成立，则的值是
【详解】利用分离参数法得，根据洛必达法则，
可得；可得；
变式9 函数，若恒成立，则的范围是
【详解】利用分离参数法得，根据洛必达法则，
可得；可得；
【第五剑】指数带朋友，对数单身狗
指数带朋友：由于的导数为判断导数的符号，函数的单调性求解最值的时候，则只需要判断的符号。【的导数为】
对数单身狗：对于，如果直接求导，甚至多次求导，都是无法判断其单调性的，则可以考虑通过等价变形，讲中的处理掉。
【例10】已知函数.当时，，求的取值范围.
【详解】等价于，令，
则.
①若，此时在上增，且，不合题意.
②若，故在上减，在增，故欲使得，故当时，满足题意.
③若，则，故，满足题意.综上所述，.
变式10 已知函数，若，，求。
【详解】，等价于，同除。
，令，且已知。即证恒成立。
。令，得，。
（1）当，在，，。当时，，故不成立，舍去。
（2）当，在，，是最大值，且，故成立。
（3）当，在，，，当时，，故不成立，舍去。
（4）当，在，无最大值，不成立，舍去。
（5）当，在，，，又，
故不成立，舍去。综上所述，。
【第六剑】直接分类讨论求极值
【例11】已知函数，若，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】①若，在定义域内单调递减，且，不合题意；
②若，在内单调递增，在内单调递减.
则，
令，则，
令，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
可知在内单调递增，且，则，可得，
所以实数的取值范围为.
变式11 已知函数，．，若不等式恒成立，求实数a的取值范围。
【答案】（1）当时，，在为增函数。当时，，，在为减函数，在为增函数。（2）
【详解】（1）.
①当，即时，，，为增函数.
②当，即时，令，，.
，，为减函数，，，为增函数.
故当时，在为增函数，恒成立；
当时，在为减函数，在为增函数.
.=
令，，，.
所以在为减函数，.
所以只要恒成立，即，即；
综上所述：.
【例12】已知．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，求整数的最大值．
【答案】(1)答案见解析；(2) a的最大值为-2
【详解】（1）．
当时，，则在上单调递增；
当时，令，可得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
（2）由（1）得，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点，
要使函数有两个零点，则，且，
令，且，即当成立时，求整数的最大值。
则，令，则，
∴即在上单调递减．
∵，，
∴，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，，则
当时，，，使得，
则的解集为，则最大的整数解为；
所以整数a的最大值为．
变式12 已知函数．若函数在上有零点，求实数a的取值范围．
【答案】
【详解】在上有零点等价于在上有零点，
则，，
①当时，∵，∴在上递减，
∴，∴在上无零点，∴不合题意；
②当时，
（ⅰ）当时，即时，
∵，∴在上递增，
∴，∴在上无零点，∴不合题意；
（ⅱ）当时，即时，令，则，
令，则；令，则，
∴在上递减，在上递增，
∴，
取时，
∵，∴，
∴，
∴，使得，∴符合题意；
综上，a的取值范围为．
【第七剑】放缩法
利用放缩法处理不等式，与切线型不等式有关的恒成立，记住三个切线型不等式：。对于含有的不等式，有时候运用切线型不等式进行放缩，去求参数取值范围或者证明不等式。:
【例13】已知函数在存在零点，求的范围。
【详解】方法一（放缩法）：依题意知，使得成立.
由于，则，即，，所以,
又因为，所以，则，
则，即，
令，则，
①当，即，，在单调递增，此时，不合题；
②当，即，则时，，在单调递减，
此时，满足题意;综上，实数的取值范围为。
方法二（分类讨论）：设 ,
，设，
则 .
先证明一个命题：当时，.令，，故在上是减函数，从而当时，，故命题成立.
（1）若 ,由 可知，.，故 ，对任意都成立，故 在上无零点，
（2）若.
①当，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时，，故 在 上为减函数，又 ，
所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故在 上恒有 ．即 ，注意到 ，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意.
②若，则由 可知， 恒成立，从而 在 上单调递增，也即 在上单调递增，因此，即在 上单调递增，从而恒成立，故方程 在 上无解.综上可知， 的取值范围是 .
变式13已知函数，证明。
【详解】由于，则，又，
则，
又由于时，，则，所以.
课后练习
1．已知函数,若不等式在上恒成立，求正实数m的取值范围.
【答案】
【详解】，∵不等式在上恒成立，
∴在上恒成立，即在上恒成立.
令，∵，当时，解得.
∴当时，，为减函数，当时，，为增函数，
∴的最小值为，∴，∴正实数m的取值范围为.
2．已知.设在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】∵，∴，
①时，.
②时，，
令，
则.
令，，
令，则，
∴在递增，
∵，∴，∴在递增，
∵，∴，∴即，
∴在上递增，在上递减，∴，
∴.
3．已知函数.当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
【答案】
【详解】当时，由得：，
令，则，
令，则，
当时，，在上单调递增，，
，在上单调递增，，
，即实数的取值范围为.
4.已知函数若当时，不等式恒成立，求的取值范围
【详解】由题意可知当时，恒成立，此时
当时，，设，
设，此时，，此时
恒成立，恒成立
在上单调递增，但是当时，型，用洛必达法则；
根据洛必达法则可知，所以的取值范围是
5．已知函数，．若在区间上恒成立，求的取值范围．
【答案】
【详解】若在区间上恒成立，即在区间上恒成立．
令．则，
令，，因为，
所以，所以，
所以在时单调递增．
可知．
①当时，，即，所以在时单调递增．所以成立．
②当时，，
当时，，
所以使得．
当时，，即，所以此时单调递减；
当时，，即，所以此时单调递增；
所以，不成立，舍去．
综上，．
6．已知函数．若，且在区间上恒成立，求a的取值范围．
【答案】
【详解】，则.
∵，在区间上恒成立，
①则当时，由得，则单调递减；
由得，则单调递增，故，符合题意；
②当，由得，则单调递减；
由得或，则单调递增，
故，则有；
③当时，，∴在区间上单调递增，
故，不满足题意.
综上，a的取值范围为.
7．已知函数，其中
（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（2）若，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点；(2)
【详解】（1）由题意知，函数的定义域为， ，
令，.
①当时，，此时，函数在单调递增，无极值点；
②当时，方程的判别式.
③当时，，，，函数在单调递增，无极值点；
④当时，，设方程的两根为，，因为，
的对称轴方程为，所以，，由，
可得 .
所以当时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增.因此函数有两个极值点.
⑤当时，，由，可得，
当时，，，函数单调递增；
当时，，,函数单调递减，所以函数有一个极值点.
综上所述，当时，函数有一个极值点；
当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点.
（2）由（1）知，
①当时，函数在单调递增，因为，所以时，，符合题意；
②当时，，得，函数在上单调递增，又，所以时，，符合题意；
③当时，设，因为时，所以 ，所以在上单调递增，所以，即，可得 ，而当时，，即此时，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
8．已知函数，.若恒成立，求的值；
【答案】
【详解】（1）因为，
所以是的极大值点，因为，所以。
且，可证当，，在
接下来证明：
（1）当时，，此时，
在且，，，使得，
故在，所以，不成立，故舍去。
当时，可得，
①当时，，，则在单调递减，
所以，在单调递增，，
②当时，，则在单调递减，所以，故符合题意
当时，已知在，，，
，使得，故在，
所以，不成立，故舍去。
当时，已知在，，，
在，，不成立，故舍去。
综上所述：
9．已知函数，当时，求证：对任意，恒有成立.
【详解】当时，，要证，即证，
当时，，而，
所以成立，即成立.
当时，令，则，
设，则，
∵，所以，所以当时，单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
所以，即成立.
综上，对任意，恒有成立.
10．已知函数，若，时，恒成立，求整数的最小值．
【答案】1
【详解】若，时，恒成立，则，故，
下面证明时，在，恒成立，
，时，，故时，，
令，，，故，
令，则，在区间，单调递增，
因为，，所以在上存在零点，
且时，；时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
又，，，
故存在，，使得，且，时，，递增，
，时，，单调递减，故时，取得最大值，且，
，，，故单调递减，
故，时，即成立，
综上，若，时，恒成立，则整数的最小值1．
11．已知函数．
（1）若存在，使成立，求k的取值范围；
（2）已知，若在上恒成立，求k的最小值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由得，
可得存在，使成立，
令，，令得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
若存在，使成立，则；
（2），
若在上恒成立，
则在上恒成立，
令，则，
令，则（舍）或，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
则，则k的最小值为．
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七剑下天山破解恒成立求参
【第一剑】特殊点效应
端点效应
特征：代入区间端点使不等式取到等号。
原理：满足端点效应的恒成立问题。例如：，不能用分离参数的方法，只能找出函数的最值。而函数的最小值有可能在两个位置取到，一个是（左右）端点处（即此时函数单调），另一个是极小值（此时函数不单调）。所以就必须要先去讨论含参函数的单调性，找出最小值，并让其，求出范围。
【例1】设函数。当时，，求的取值范围。（两次端点效应）
【详解】已知，，且满足，
此时我们需要讨论的图像，，
当时，在上恒成立，则在，，则恒成立，
在，则，故恒成立；
当时，令，，则在，，
，则，当，，
故，使得，则在，
则，故不成立；则舍去；
综上得的取值范围为。
变式1已知函数．当时，，求的取值范围．
2. 最值点效应，适用于将某个特殊点（通常函数中含有考虑带入）带入不等式中，等号成立（也就是函数恒过一定点），则需要讨论函数的单调性证明这个特殊点是函数的极值点。或者将特殊点带入函数中求出参数的范围，之后再去验证所解的范围可以使不等式恒成立。
【例2】已知函数，若恒成立，求实数的取值范围。
【详解】设，且，则，
设，则，
当时，易知，所以在R上是减函数，即在R上是减函数.
又，，所以存在，使得，
当时，，单调递增，则，不符合题意；
当时，由（1）可知，满足题意；
当时，易知在上单调递减，又，则在上单调递减，即在上单调递减.
又，，则存在，使得，
所以当时，，单调递减，则，不符合题意；
当时，因为，所以不符合题意.
综上可知，实数的取值范围为.
变式2 已知函数，若恒成立，求a的值．
【第二剑】分离参数
1. 常规分离法：就是通过解不等式或者方程把参数解出来，再研究分离出来的函数的值域或最值，从而求出参数的取值范围。
【例3】已知函数若求的范围。
【详解】当时，，恒成立，
所以只需时，恒成立，即，
又即又即，即恒成立
由于为增函数，则所以
令，，则注意到，
当时，，单调递减;当时，，单调递增;
所以，则，综上所述，实数的取值范围为
【例4】若不等式恒成立，求的范围。
【详解】，令，，则；
设，则，得，所以；
变式3 已知函数，若恒成立，求的范围。
变式4 已知，，若对任意的，求的范围。
2. 分类讨论法：对于恒成立的情况，符号可正可负，可为零。要想分离参数，需要对的正负进行分类讨论，再分离出参数，然后讨论的最大（小）值。
【例5】已知恒成立，求的范围。
【详解】恒成立，
令，则，易知在单调递增，在递增，在递减。
所以，由，恒成立，，
由，恒成立，，
因此，故实数的取值集合为{4}.
变式5 已知，恒成立，求实数的范围。
3. 换元分离法： 若参数含在复合函数中，如。(表示为：中含有参数a)观察时候可以通过换元法分离出参数，令，把当做函数的未知数，即得到关于的函数，并把当做参数，再考虑分离出。
【例6】已知，恒成立，求参数的范围。
【详解】令,则,则题设等价于恒成立，
又即对成立；令,则,
易得·所以.
变式6 已知函数在区间上有且仅有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【第三剑】必要性探路
【例7】已知函数，恒成立，求的取值范围．
【答案】
【详解】由，令，则，故，
接下来证明：当时，，
以下证明，设，
则，
令，则，令，解得，
当，，则在单调递减，
当，，则在单调递增，
所以，即，
所以时，，则在单调递减，
所以时，，则在单调递增，
所以，
综上所述，实数．
变式7 已知函数，在恒成立，求实数的取值范围.
【第四剑】洛必达法则
若满足端点效应，则也可以考虑分离参数，分离成之后，观察的最值为的形式，则使用洛必达法则求函数的最值。
零比零（）型，即趋向于某数时，分子、分母趋向于零.
若函数和满足下列条件：
（1）；
（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；
（3）且(可为实数，也可为)，那么：
.
无穷比无穷（）型，即趋向于某数时，分子、分母趋向于无穷.
若函数和满足下列条件：（公众号：凌晨讲数学）
（1）；
（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；
（3）且(可为实数，也可为)，那么：
.
【例8】设，如果，求的范围是
【详解】①当时，恒成立，此时a取任意值．
②当时，转化为，则．
可得；可得；
【例9】函数若当，求的范围为
【详解】①当时，恒成立，此时a取任意值．
②当时，转化为，则．
可得；可得；
变式8 函数，若恒成立，则的值是
变式9 函数，若恒成立，则的范围是
【第五剑】指数带朋友，对数单身狗
指数带朋友：由于的导数为判断导数的符号，函数的单调性求解最值的时候，则只需要判断的符号。【的导数为】
对数单身狗：对于，如果直接求导，甚至多次求导，都是无法判断其单调性的，则可以考虑通过等价变形，讲中的处理掉。
【例10】已知函数.当时，，求的取值范围.
【详解】等价于，令，
则.
①若，此时在上增，且，不合题意.
②若，故在上减，在增，故欲使得，故当时，满足题意.
③若，则，故，满足题意.综上所述，.
变式10 已知函数，若，，求。
【第六剑】直接分类讨论求极值
【例11】已知函数，若，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】①若，在定义域内单调递减，且，不合题意；
②若，在内单调递增，在内单调递减.
则，
令，则，
令，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
可知在内单调递增，且，则，可得，
所以实数的取值范围为.
变式11 已知函数，．，若不等式恒成立，求实数a的取值范围。
【例12】已知．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，求整数的最大值．
【答案】(1)答案见解析；(2) a的最大值为-2
【详解】（1）．
当时，，则在上单调递增；
当时，令，可得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
（2）由（1）得，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点，
要使函数有两个零点，则，且，
令，且，即当成立时，求整数的最大值。
则，令，则，
∴即在上单调递减．
∵，，
∴，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，，则
当时，，，使得，
则的解集为，则最大的整数解为；所以整数a的最大值为．
变式12 已知函数．若函数在上有零点，求实数a的取值范围．
【第七剑】放缩法
利用放缩法处理不等式，与切线型不等式有关的恒成立，记住三个切线型不等式：。对于含有的不等式，有时候运用切线型不等式进行放缩，去求参数取值范围或者证明不等式。:
【例13】 已知函数在存在零点，求的范围。
【详解】方法一（放缩法）：依题意知，使得成立.
由于，则，
即，，所以,
又因为，所以，则，
则，即，
令，则，
①当，即，，在单调递增，此时，不合题；
②当，即，则时，，在单调递减，
此时，满足题意;综上，实数的取值范围为。
方法二（分类讨论）：设 ,
，设，
则 .
先证明一个命题：当时，.令，，故在上是减函数，从而当时，，故命题成立.
（1）若 ,由 可知，.，故 ，对任意都成立，故 在上无零点，
（2）若.
①当，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时，，故 在 上为减函数，又 ，
所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故在 上恒有 ．即 ，注意到 ，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意.
②若，则由 可知， 恒成立，从而 在 上单调递增，也即 在上单调递增，因此，即在 上单调递增，从而恒成立，故方程 在 上无解.综上可知， 的取值范围是 .
变式13已知函数，证明。
课后练习
1．已知函数,若不等式在上恒成立，求正实数m的取值范围.
2．已知.设在上恒成立，求实数的取值范围.
3．已知函数.当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
4.已知函数若当时，不等式恒成立，求的取值范围
5．已知函数，．若在区间上恒成立，求的取值范围．
6．已知函数．若，且在区间上恒成立，求a的取值范围．
7．已知函数，其中
（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（2）若，恒成立，求的取值范围.
8．已知函数，.若恒成立，求的值；
9．已知函数，当时，求证：对任意，恒有成立.
10．已知函数，若，时，恒成立，求整数的最小值．
11．已知函数．
（1）若存在，使成立，求k的取值范围；
（2）已知，若在上恒成立，求k的最小值．
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