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§5导数与单调性
知识点一 导数的符号与单调性的关系
由导数的几何意义知，如果在某个区间上，即切线的斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，从而函数在这个区间上单调递增(如图1)；如果在某个区间上，即切线的斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势，从而函数在这个区间上单调递减(如图2)。于是我们得到:
在某个区间上满足在这个区间上单调递增；反之不成立，不是充要条件；
在某个区间上满足，则不能推出函数在这个区间上单调递增；（例如：，其导函数，而此时没有单调性）
在某个区间上单调递增在某个区间上恒成立。
在某个区间上单调递增，不能推出在某个区间上恒成立。（例如，其导函数，此时，而不是）
在某个区间上存在单调递增区间在某个区间上存在有解。
【总结】
单调递增恒成立；
单调递减恒成立；
存在增区间存在有解；
存在减区间存在有解.
知识点二 利用导数求函数的单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）令导数求根；
（4）画导数的图像：画出坐标系，在轴上标注出方程的根，再任意带入一点确定的正负，并在坐标系中标注出来，最后用穿针引线（奇穿偶不穿）的方法画出导数的完整图像。
（5）导数的图像中轴上方的代表，其对应的的取值范围为原函数的单调增区间；反之轴下方的代表，其对应的的取值范围为原函数的单调减区间
【注意】多个单调增（减）区间不能用“”符号连接，例如，单调减区间必须写成，。
知识点三 函数值的变化快慢与导数的关系
【题型一】导数与原函数图像的辨识
【例1】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】观察函数的图象得：在上单调递增，在上先递增，再递减，后又递增，
则当时，，即当时，函数的图象在x轴上方，于是排除A，C，
当时，的值先大于0，接着变为的值小于0，之后又变为大于0，
即当时，函数的图象先在x轴上方，接着变化到x轴下方，最后又变到x轴上方，于是排除B，选项D相符.
故选：D
【例2】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】分析：由条件利用导数与函数的单调性之间的关系，结合函数的导数的图像，利用当函数的导数为正实数时，到数值越大，函数增长的速度就越快，从而得到结果.
详解：根据导函数的图像可得函数在上增长速度越来越快，
在上增长速度逐渐变慢，
在上匀速增长，结合所给的选项，故选C.
变式1（多选题）已知函数的导函数图象如图，那么的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
变式2 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为
A． B．
C． D．
【题型二】求函数的单调区间
【例3】求下列函数的单调区间．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)单调递增区间为，单调递减区间为和.
(3)单调递增区间为，单调递减区间为和．
【详解】（1）函数的定义域为，．
令，得，令，得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）函数的定义域为，，
令，得；令，得或．
∴函数单调递增区间为，单调递减区间为和.
（3）函数的定义域为R，
，
令，得；令，得或．
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．
变式3求下列函数的单调区间：
；
；
；
(4)．
【题型三】已知含参函数单调性，求参数的取值范围
【例4】已知函数，
若在上单调递增，求的范围。
若在上单调递减，求的范围。
若在上存在增区间，求的范围。
若在上存在减区间，求的范围。
【例5】已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，
令可得-2 ≤ x ≤ 2，所以要使函数f(x）在区间上单调递减，
则区间（2m，m+1）是区间的子区间，
所以，求解不等式组可得：，解得-1≤m<1，所以实数m的取值范围是.故选：D
变式4若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式5若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式6若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【例6】已知，，且，，且，恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】，，且，恒成立，
对，，且恒成立，
令，则只需，对恒成立，
即，对恒成立，只需，
令，则，当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，，的取值范围为．故选：B．
变式7已知函数，对于任意不同，有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例7】已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】已知函数，则，
因为在，上为增函数，在上为减函数，所以，即，
解得 ，所以实数的取值范围为，故选：B
变式8若函数恰好有三个不同的单调区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型四】构造函数解不等式
【例10】已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】令，则函数的定义域为，
且，则函数为奇函数，
所以，，
当时，，所以，函数在上为增函数，
故函数在上也为增函数，
由等价于可知：
当时，由可得；
当时，由可得.
综上所述，不等式的解集为，故选：A.
变式9已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
含参函数单调性讨论
所谓的讨论单调性，本质就是找出含参函数的所有可能的不同的单调性的情况。
那么高中阶段涉及的含参函数的单调性主要有以下四种情况：
所以我们分类讨论单调性主要分两大类：①先讨论单调，②再讨论不单调。
另外所谓单调无变号零点，不单调有变号零点，据此求出函数单调时参数的范围。
【题型一】导函数为（准）一次函数
先讨论一阶导图像的起点（及终点）的位置（正负），及讨论后续的单调性，画出对应的一阶导图像。这时注意变号零点的情况。
若一阶导后续的单调性无法判断（原因有二：①一阶导过于复杂，②一阶导含参），则求二阶导。
再讨论二阶导图像的起点（及终点）的位置（正负），及确定后续的单调性，画出对应的二阶导图像，目的是推断出一阶导的单调性，从而画出一阶导的图像。
若二阶导后续的单调性无法判断，则求三阶导，如此反复步骤2,3，直到画出一阶导图像，即可得出原函数的单调性。
【关键】当可以判断该阶导函数的单调性了，则无需再次求导。
【例1】已知函数，讨论函数的单调性；
【详解】由题知，则，
①当时，在上恒成立，故函数在上递增；
②当时，令，解得，
令，解得；故在上递减，在上递增，
综上：当时，在上递增；
当时，在上递减，在上递增
【例2】已知函数．讨论的单调性；
【详解】由题意可得的定义域为，且．
①当时，恒成立，则在上单调递增；
②当时，由，得，由，得，
则在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
变式1 已知函数，，讨论函数的的单调性；
【例3】已知函数(a≠0)．讨论函数f(x)的单调性；
【详解】∵，
①当时，，，
∴在上单调递减，在单调递增；
②当时，，，
∴在上单调递增，在单调递减；
综述：当时，在上单调递减，在单调递增；
当时，在上单调递增，在单调递减；
【例4】已知，讨论函数的单调性;
【详解】
①若 ，在上单调递增；
②若
当时，，所以在单调递增，在单调递减；
当时，，所以在单调递增；
变式2 已知函数，.讨论的单调性；
【题型二】导数为二次函数可因式分解
（1）若二次项系数含参，优先讨论二次项系数的正负，分三类，之后求出两根再去讨论两根的大小，也分三类，具体按以下情况分类： ，
【例5】已知函数，讨论函数的单调性.
【详解】，
①若时，，在上单调递增；
②若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数，
③若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数.
综上，时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
变式3 已知函数．试讨论函数的单调性．
（2）但是如果有限定定义域，还需要讨论含参的根和定义域的大小关系，讨论情况增加至4类：
（3）若因式分解之后的因式为准一次函数，一定存在的根先不管，先讨论可能存在根的因式起点处的导数值的正负。
【例6】已知函数，讨论的单调性.
【详解】由题意得：定义域为，
①当时，，∴在上恒成立，∴在上单调递增；
②当时，令，解得：，∴当时，；当时，；
∴在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【例7】已知，讨论函数的单调性；
【详解】，
①当时，，，，在递增，在递减.
当时，，或，即或，
②当时，，当或时，，当时，，
所以在递增，在递减，在递增.
③当时，，，在上单调递增；
④当时，，当或时，，当时，，
所以在递增，在递减，在递增.
【例8】已知函数，讨论函数的单调性；
【详解】，，
①若，则，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
②若，则，所以函数在上递增，
③若，则，当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在和上递增，
④若，则，当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在和上递增，
综上所述：当时，函数在上递减，在上递增，
当时，函数在上递增，
当时，函数在上递减，在和上递增，
当时，函数在上递减，在和上递增；
变式4 已知函数，讨论的单调性.
变式5 已知函数．试讨论函数的单调性．
【题型三】导函数为二次函数不可因式分解
（1）若二次项系数含参，①优先讨论二次项系数的正负，分三类，②再根据有无变号零点，讨论判别式，分两类：
（2）若限制了定义域，还必须结合韦达定理和判别式一起讨论两根是否大于0（在定义域内），不限于以下情况：
① 两根之积为定值，则讨论两根之和的正负。
② 两根之和为定值，则讨论两根之积的正负。
【例9】已知函数，讨论函数的单调性；
【详解】（1）函数的定义域为，，
令，，，
①当，即时，在上恒成立，
此时在上恒成立，在上单调递增，
②当，即时，根据韦达定理；
当时，由，解得，此时，由，
可解得，此时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（ii）当时，在上恒成立，此时在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，无单调减区间，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【例10】已知函数，，讨论函数的单调性.
【详解】的定义域为，，，
令，，
①若，即，则，当时，，单调递增，
②若，即，则，仅当时，等号成立，当时，，单调递增.
③若，即，则有两个零点，，
由，得，当时，，单调递增；
当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
变式6 已知函数．讨论的单调性
变式7 已知函数，讨论的单调性；
含参函数单调性讨论总结
求导之后的形式 讨论策略
准一次 起点： 终点： 讨论一阶导图像的起点（及终点）的位置（正负），及后续的单调性。 若一阶导后续的单调性无法判断，则求二阶导。 再讨论二阶导图像的起点（及终点）的位置（正负），及后续的单调性。 重复步骤2,3 ①当，，在②当，令，，在
①当，，在②当，令，，在
求导之后的形式 讨论策略
二次可因式分解 解出，， 比较两根的大小，分为三种情况 当时,, ,当时， 当时,, ,
当时, ,当时,, , 当时，当时,, ,
求导之后的形式 讨论策略
一次与二次结合 其中； 可能不存在， 一定存在的根先不管，先讨论可能存在根的因式起点处的导数值的正负。 1.先讨论无零点，图像与x轴无交点（即起点大于0）；此时只有一个解。 2.再讨论有零点（即起点小于0），再去比较两个根，的大小关系，分为三种情况。 当时，即起点大于0 ,当时， ,当时,,当时,, ,
当时，即起点大于0 ,当时， ,当时,,当时,, ,
求导之后的形式 讨论策略
二次不可因式分解 此时， 先讨论判别式，分为，以及两类。 如果有定义域的限制，。当的前提下再讨论韦达定理的两根和与积的正负，目的是判断根的正负（负根舍去）。 当时,当时, ,
当时,当时,当时, ,
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§4 利用导数求切线
知识点一 导数的几何意义
曲线的割线
设函数的图象是一条光滑的曲线，且函数在区间的平均变化率为，如下图它是经过，两点的直线的斜率.这条直线称为曲线在点处的一条割线。
曲线的切线
如图，设函数的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出当取不同的值时，可以得到不同的割线；当趋于0时，点B将沿着曲线趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l，称直线l为曲线在点A处的切线，或称直线l和曲线在点A处相切。该切线的斜率就是函数在处的导数，即
【发散探讨】正确认识曲线在一点处的切线
圆上任一点的切线都与圆只有一个交点，故可以说与圆只有一个交点的直线是圆的切线，但这种说法对于一般曲线就不适用了。与曲线交于一点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线也未必只有一个交点，可能有多个交点，甚至有无穷多个交点，如图所示，对于曲线C，直线l与曲线C有唯一的公共点M，但不是曲线C的切线；直线l虽然与曲线C有不止一个公共点，但l却是曲线C在点N处的切线。
故切线可能与曲线有多个交点
曲线的切线
函数在处的导数的几何意义即为函数在处的切线的斜率．
用导数研究切线问题，切点是关键．（三大基本关键点：切点在切线上，切点在曲线上，切点横坐标的导函数值为切线斜率）．(表示倾斜角，注意等于的特殊情况)．
知识点二 求曲线的切线方程
在点的切线方程
函数在点处的切线方程为，抓住关键，此时。用导数研究切线问题，切点是关键。
过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程，又因为切线方程过点，所以然后解出的值，另外，过曲线外可能存在不止一条切线，所以关于切点的方程有几个解，那么就有几条切线，
例如：过二次函数外一点，过点A只能做1条切线，过点B可以做2条切线，过点C做不了切线。
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
【题型二】曲线在某点处的切线问题
【例1】 若是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】为偶函数，，
即，，解得：，
，则，，
，在点处的切线方程为，即.故选：A.
【例2】已知函数的图像关于直线对称，且时，，则曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【详解】设分别为函数的图像上关于直线对称的两点，不妨设，则.所以，所以，所以.
所以当时，.所以.
而，所以.
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
【例3】曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】记，则，
，又，
曲线在处的切线方程为：，即，
令，解得：；令，解得：；
该切线与坐标轴围成的三角形面积为，故选：A.
变式1 函数在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得：.
所以在处的切线方程为：，即.
故选：A
变式2 已知是曲线在处的切线，若点到的距离为1，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知，所以，
因为是曲线在处的切线，
所以当时，，且，所以，
因为点到的距离为1，所以，解得：，故选：A
变式3 已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数为奇函数，
当时，，所以，
，即，
则，，，
所以切线斜率，
切线方程为，即，故选：C.
【例4】已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，时，对两边分别求导，可知，令，得，求切线方程即可.
【详解】
即
令
则即
即
曲线在点处的切线方程为，即，故选：B
变式4 已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程.
【详解】，.
.
将代入，得，
，，
在处的切线斜率为，
函数在处的切线方程为，即.
故选：A.
【题型二】过某点的曲线的切线问题
【例5】已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____________.
【答案】
【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率，
故切线方程为，又因为点在切线上，
所以，整理得到，
解得，所以切线方程为．
故答案为: .
【例6】若曲线在点处的切线经过坐标原点，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】由题意，，设切点的坐标为，故切线的斜率.
由于切线过原点，故切线方程为.
又切线经过切点，即.
整理可得：，
即.
即，故或，故选：C
【例7】曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）
A．(1, 0) B．(2, 8)
C．(1, 0)和(-1, -4) D．(2, 8)和(-1, -4)
【答案】C
【详解】依题意,令，解得，故点的坐标为(1, 0)和(-1, -4)，故选：C
变式5过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.
【答案】或
【分析】设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入，即可求得本题答案.
【详解】由可得，设切点坐标为，
所以切线斜率，又因为，
则切线方程为，
把代入并整理可得，解得或.
故答案为：或
变式6 过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
【答案】
【详解】时，，设切点，则，切线过，
，
，
时，，切点，，
切线过，
，，
故.故答案为：.
变式7已知函数（且），曲线在处的切线与直线垂直，则___．
【答案】
【详解】因为（且），则，
因为直线的斜率为，
又因为曲线在处的切线与直线垂直，
所以，，解得，故答案为：。
【题型三】倾斜角的值与取值范围（且）
【例8】已知函数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则______．
【答案】
【详解】由，得则，解得．
【例9】曲线在处切线的倾斜角为，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【详解】因为，则，因此，
所以，故选：C
变式8设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ）
B． C． D．
【答案】C
【详解】，所以。
变式9 已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以
所以，解得，所以
由题意可知，，
所以，故选：B.
【例10】设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴或，故选：B.
【例11】已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
因为，当且仅当，即时取等号，
则，所以，即，
即，又，所以，故选：A
变式10过曲线上一点作曲线的切线，若切点的横坐标的取值范围是，则切线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：求导函数可得，，
∵切点的横坐标的取值范围是，∴，
设切线的倾斜角为，则，
∵，∴．故选：B．
变式11设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，
，，，，.
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.
，，故选：B.
【题型四】由曲线的切线（斜率）求参数
通法步骤：①设出切点，并写出切线方程；②切线方程与条件中的直线重合，即斜率与截距都相等
【例12】已知曲线在处的切线的斜率为，则______.
【答案】
【详解】因为，
所以，当时，，
因为曲线在点处的切线的斜率为，
所以，解得，故答案为：
【例13】已知函数的图象的一条切线为，则a＝______
【答案】1
【详解】求导函数得，设直线与曲线切于点，
则，，解得，故答案为：.
【例14】已知直线与曲线相切，则k=___________.
【答案】1
【详解】设切点为，，则.
根据导数的几何意义，可知.
又，即.
令，则，
所以当时，；当时，，
所以，在处取得极小值，也是最小值.
又，所以有唯一解，所以，
即切点为，所以，故答案为：1.
变式12曲线在点处的切线方程为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】由切点在曲线上，得①；
由切点在切线上，得②；
对曲线求导得，∴，即③，
联立①②③，解之得，故选：A.
变式13 已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设切点坐标为，
因为，所以，
所以切线的斜率，解得，
又，即，所以，故选：A.
变式14 已知曲线在处的切线方程为，则_____，_____．
【答案】
【详解】易知
由题意可得当时，，所以.
【题型五】由曲线的切线条数求参数
【例15】已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】设切点为，直线的斜率为，又，
则，所以切线方程为，
将代入化简得，
所以方程有两个不同的实数解，
所以，且，所以或，
即实数的取值范围为，故答案为：.
变式15 已知曲线存在两条斜率为的切线，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题得，则方程有两个解，令，且，则由图象可知，有且，即且，解得，故选B.
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
【题型六】公切线
【例16】已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 __________.
【答案】
【详解】函数的图象在处的切线的切点为，
因为，所以切线斜率为，切线方程为，即，
设的图象的切线的切点为，因为，所以切线斜率为，
切线方程为，即，
由题，解得，，斜率为，故答案为：.
变式16 已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为___________.
【答案】/0.5
【详解】设曲线与曲线的切点分别为，，
又，，
所以，，
所以切线为，即，
，即，
所以，
所以，，即这条切线的斜率为，故答案为：.
【题型七】直线与曲线上两点的距离
【例17】 已知函数和直线，若点是函数图象上的一点，则点到直线的距离的最小值为 ．
【答案】
【详解】依题意，设点，则点到直线的距离，
令，求导得：，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，
显然有，当且仅当时取等号，所以点到直线的距离的最小值为.
故答案为：
【例18】对于任意，，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【详解】任意，，表示两点与的距离的平方，
而点在直线上，
则的最小值是点到直线的距离的最小值平方，
，令，求导得，当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，，
于是得，当且仅当时取等号，即的最小值为2，
依题意，，解得，所以实数的最大值为2.
故选：B
变式17 M、N分别为曲线与直线上的点，则的最小值为 .
【答案】
【详解】，，
令可得，所以，，单调递减；
，，单调递增；所以恒成立，恒成立，
则曲线在直线上方，则当M处切线与直线平行时最小，
求导得，
此时点到直线距离即为最短距离，此时.
故答案为：
变式18 若实数，，，满足，则的最小值为 ．
【详解】实数，，，满足，，．
分别设，．
设直线与曲线相切于点，．
则，，解得，．
．点到直线的距离．则的最小值为．
故答案为：．
【题型八】曲线与曲线上两点的距离
【例19】直线与曲线和的交点分别为P，Q，当m变化时，的最小值为 .
【答案】
【详解】由于和互为反函数，所以和的图象关于对称，与垂直，所以的最小值即为曲线的点到的距离的2倍，设的一点为,则点到直线的距离为，由，故当单调递增，当单调递减，故当时，取极小值也是最小值，最小值为，故此时，故的最小值为，
故答案：
【例20】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：与互为反函数，其图像关于直线对称
先求出曲线上的点到直线的最小距离．
设与直线平行且与曲线相切的切点，．
，，解得．．
得到切点，点P到直线的距离．
最小值为．
故选：B．
变式19 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，则，这两个函数互为反函数，图象关于对称.
所以与的图象可以看成是由，这两个函数图象向右平移一个单位得到的.
所以的最小值即为曲线与上两点的最小值.
曲线上的点到直线的距离为
设，则.
由可得，由可得
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，函数，所以
由图象关于对称得：的最小值为.
故选：B
变式20 设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为 .
【答案】
【分析】令、，易知分别由已知函数向上平移一个单位得到且互为反函数，即关于，所以仅需P、Q关于对称且两点处切线平行于时|PQ|的最小，利用导数的几何意义求点坐标，结合点线距离公式及对称性即可求最小值.
【详解】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，
∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时，P、Q关于对称，|PQ|有最小，对应曲线平移到、后，P、Q关于对称即可，
∴令，则，
∴有，则，即，
∴到的距离，
∴.
故答案为：.
【题型九】切线的应用
【例21】已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[0，1]
【答案】D
【详解】在上恒成立在上恒成立的图象在图象的上方，
其中，
画出与y=ax的图象，如下：
要想在上恒成立，则；
令，则，，
若为在的切线，则，
故要想在恒成立，则，
综上：；故选：D
【例22】已知函数，函数，若方程恰有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，画出的图象，如图所示．直线恒过定点（1，0），
由图象可知，函数的图象与的图象相切时，函数的图象恰有两个交点．
设切点为，其中，由，得，
化简得，解得或（舍去），要使方程恰有三个实数解，
则函数的图象恰有三个交点，结合图象可知，所以实数的取值范围为；
故选：D
变式21 已知直线与曲线有公共点，则实数的最大值为 .
【答案】
【详解】直线，所以直线过定点，
过点的直线与曲线相切，设切点，
由，， 则，
解得，所以切点为，所以切线的斜率为，由图可知，.
变式22 已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】作出与的图象，如图，
当时，设与相切于点，
则，解得，所以，
由图象可知，当时，与有2个交点，与有1个交点，即与有3个交点.；
当时，设与相切于点，
由可知，，
解得或（舍去），此时，而，
由图象知，当时，与有3个交点.
综上，或时图象有3个交点，即方程恰有三个不相等的实数根；故选：A
课后测
1．过曲线S：上一点的切线方程为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【详解】由题设，，则、上，上，
所以在、上递减，上递增，则极小值为，极大值为，
若A是切点，则，此时切线方程为，即，
若A不是切点，则过的切线为，故选：C
2．设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.
3．函数．曲线存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围；
【答案】
【详解】，则
由题意，存在，使得
即关于的方程在上有实根，
该方程等价于，
则的取值范围是函数的值域，
又函数在单调递增，
在单调递减，且，
则函数的值域为，
所以，的取值范围是
4．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】对于 ，设切点为 ， ，
则切线方程为 ，即 …①；
对于 ，设切点为 ，
则切线方程为 ， …②；
由①②得： 解得 ， ；故选：A.
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§ 导数的综合应用
【题型一】构造函数解不等式
【例1】已知定义在上的偶函数满足，，若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，且为偶函数，
，
所以是周期为的周期函数.
，，
由于为偶函数，所以，
构造函数，在上递增，
不等式，，
，.
所以不等式的解集为.
故选：B
变式1 已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，则，
∴在R上单调递增.
又，则.∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为，故选：A.
【例2】已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，则在R上为奇函数，且.
又，
当时，，所以在上为增函数，因此在R上为增函数.
又，当时，不等式化为，
即，所以；
当时，不等式化为，即，
解得，故无解，故不等式的解集为，故选：C
【例3】定义在 上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为是奇函数，可得是偶函数，又因为，所以，
令，可得，所以在上单调递增，
因为且是奇函数，
可得，则，
所以的周期为的周期函数，
因为，所以，
则不等式，即为，即，
又因为在上单调递增，所以，解得，所以不等式的解集为．
故选：C．
【例4】已知函数的导函数为，对恒成立，（e是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由，得，
令，则，所以，因为，所以，
所以，所以，故，
令，则或，
当或时，，当时，，
所以在和上递增，在上递减，
所以的极大值为，极小值为，
因为，，，
当时，，所以的图象如图所示，
因为不等式的解集中恰有3个整数，
所以时，不等式的解集中恰有3个整数，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
变式2已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为偶函数的定义域为，设，则，即也是偶函数.
当时，根据题意，则在上是减函数，而函数为偶函数，则在上是增函数.于是，，
所以.故选：A.
变式3 设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【详解】令，在上单调递增，，，，不等式，即，由函数在上单调递增得，故不等式的解集为，故选：C.
【题型二】函数的零点
【例5】已知函数，关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意可知，方程有3个不同的解转化为函数与图象的有个不同交点.
当时，，由，即，解得，由，即，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取的极大值为；
作出与的大致图象，如图所示.
由图可知，要使函数与图象的有个不同交点，只需要.
所以m的取值范围是.
故答案为：.
变式4 若函数在区间上只有一个零点，则常数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】令，则，
因为函数在区间上只有一个零点，
则函数与函数的图像只有一个交点
又， ，在上单调递增，
则，故选：C.
【题型三】已知方程的解个数，求参数范围
【例6】已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为，所以，令，得，
当时，，递增；当时，，递减；
所以当时，取得极大值，图象如图所示：
方程，即为，
解得 或 ，
由函数的图象知： 只有一个解，所以有两个解，
所以 ，解得，故选：A
变式5 已知函数，若关于的方程有3个实数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】．
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，有极小值．作出函数的图象如图，
令，则方程，化成，即，解得或，
显然有1个实数解，应该有2个实数解，，实数的取值范围为．
故答案为：.
【例7】已知若方程有且仅有3个实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由方程有且仅有3个实数解，等价于函数，图像有3个交点
且直线过定点如图：根据图形可知：
当直线与相切时。
设切点，又，所以
在点处的切线方程：
又过定点，代入上式，可得，所以
当直线过点时则
所以可知故选：D
【例8】已知关于的不等式解集中恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以.
设，，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又因为是过点的直线，如图所示：
由此可得当时，的解集中有若干个不同的正整数解，不满足题意；
当时，要使不等式的解集中恰有3个不同的正整数解，
当过点时，取最小值，
因为，此时，当过点时，取最大值，
因为，此时，所以的取值范围为.
故选：D.
变式6 已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】作出与的图象，如图，
当时，设与相切于点，则，解得，所以，
由图象可知，当时，与有2个交点，与有1个交点，
即与有3个交点.；
当时，设与相切于点，
由可知，，
解得或（舍去），此时，而，
由图象知，当时，与有3个交点.
综上，或时图象有3个交点，即方程恰有三个不相等的实数根.
故选：A
【题型四】直线与曲线上两点的距离
【例9】 已知函数和直线，若点是函数图象上的一点，则点到直线的距离的最小值为 ．
【答案】
【详解】依题意，设点，则点到直线的距离，
令，求导得：，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，
显然有，当且仅当时取等号，所以点到直线的距离的最小值为.
故答案为：
【例10】对于任意，，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【详解】任意，，表示两点与的距离的平方，
而点在直线上，
则的最小值是点到直线的距离的最小值平方，
，令，求导得，当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，，
于是得，当且仅当时取等号，即的最小值为2，
依题意，，解得，所以实数的最大值为2.
故选：B
变式7 M、N分别为曲线与直线上的点，则的最小值为 .
【答案】
【详解】，，
令可得，所以，，单调递减；
，，单调递增；所以恒成立，恒成立，
则曲线在直线上方，则当M处切线与直线平行时最小，
求导得，
此时点到直线距离即为最短距离，此时.
故答案为：
变式8 若实数，，，满足，则的最小值为 ．
【详解】实数，，，满足，，．
分别设，．
设直线与曲线相切于点，．
则，，解得，．
．点到直线的距离．则的最小值为．
故答案为：．
【题型五】曲线与曲线上两点的距离
【例11】直线与曲线和的交点分别为P，Q，当m变化时，的最小值为 .
【答案】
【详解】由于和互为反函数，所以和的图象关于对称，与垂直，所以的最小值即为曲线的点到的距离的2倍，设的一点为,则点到直线的距离为，由，故当单调递增，当单调递减，故当时，取极小值也是最小值，最小值为，故此时，故的最小值为，
故答案：
【例12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：与互为反函数，其图像关于直线对称
先求出曲线上的点到直线的最小距离．
设与直线平行且与曲线相切的切点，．
，，解得．．
得到切点，点P到直线的距离．
最小值为．
故选：B．
变式9 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，则，这两个函数互为反函数，图象关于对称.
所以与的图象可以看成是由，这两个函数图象向右平移一个单位得到的.
所以的最小值即为曲线与上两点的最小值.
曲线上的点到直线的距离为
设，则.
由可得，由可得
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，函数，所以
由图象关于对称得：的最小值为.
故选：B
变式10 设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为 .
【答案】
【详解】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，
∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时，P、Q关于对称，|PQ|有最小，对应曲线平移到、后，P、Q关于对称即可，
∴令，则，
∴有，则，即，
∴到的距离，
∴.
故答案为：.
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§1 平均变化率与瞬时变化率
知识点一 平均变化率
对一般的函数来说，当自变量从变为时,函数值从变为，它在区间的平均变化率。
通常我们把自变量的变化称作自变量的改变量，记作，函数值的变化称作函数值的改变量,记作。这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即。用它来刻画函数值在区间上变化的快慢。
知识点二 平均变化率的几何意义
对于函数定义域内任意的，设，，则函数在区间上的平均变化率为，如右图所示,即函数在区间上的平均变化率的几何意义是函数图象上过两点的直线的斜率.
知识点三 瞬时变化率
对于一般的函数，在自变量从变为的过程中，若设，，则该函数的平均变化率为。
如果当趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在点的瞬时变化率。瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢。
【对比解析】
1.“趋于0”的含义:到0的距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数，且始终有。
2.平均变化率与瞬时变化率的关系:①区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在点处变化的快慢。②联系:当趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在处的瞬时变化率，它是一个固定值。
【例1】若函数在区间上的平均变化率为5，则______．
【答案】3
【详解】函数在区间上的平均变化率为，解得.
变式1函数区间上的平均变化率为（ ）
A．2 B．4 C．c D．2c
【例2】如果一个质点从固定点A开始运动，时间t的位移（单位：m）函数为，求当s时的瞬时速度．
【答案】.
【详解】因为质点在s到s的位移改变量，
所以该时间段内的平均速度
，所以质点在s时的瞬时速度为.
变式2做直线运动的物体，其位移与时间的关系是.求此物体在时的瞬时速度.
§2 导数的概念及其几何意义
知识点一 导数的概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作。导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．
通用变形式：（分母必须是分子两项括号内的差）
【例1】已知，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【详解】.故选：D.
【例2】设是可导函数，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【详解】，
所以.故选：D
变式1已知函数且，则__________.
变式2设是可导函数，且，则（ ）
A． B．-1 C．0 D．-2
变式3函数在上可导，若，则（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
知识点二 导数的几何意义
曲线的割线
设函数的图象是一条光滑的曲线，且函数在区间的平均变化率为，如下图它是经过，两点的直线的斜率.这条直线称为曲线在点处的一条割线。
曲线的切线
如图，设函数的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出当取不同的值时，可以得到不同的割线；当趋于0时，点B将沿着曲线趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l，称直线l为曲线在点A处的切线，或称直线l和曲线在点A处相切。该切线的斜率就是函数在处的导数，即
【发散探讨】正确认识曲线在一点处的切线
圆上任一点的切线都与圆只有一个交点，故可以说与圆只有一个交点的直线是圆的切线，但这种说法对于一般曲线就不适用了。与曲线交于一点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线也未必只有一个交点，可能有多个交点，甚至有无穷多个交点，如图所示，对于曲线C，直线l与曲线C有唯一的公共点M，但不是曲线C的切线；直线l虽然与曲线C有不止一个公共点，但l却是曲线C在点N处的切线。
故切线可能与曲线有多个交点
曲线的切线
函数在处的导数的几何意义即为函数在处的切线的斜率．
用导数研究切线问题，切点是关键．（三大基本关键点：切点在切线上，切点在曲线上，切点横坐标的导函数值为切线斜率）．(表示倾斜角，注意等于的特殊情况)．
【例3】已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由图象可知，即.故选：D
变式4 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
§3导数的计算
知识点一 利用导数定义求导数
求函数在处的导数的一般步骤：
通过自变量在处的改变量，确定函数值在处的改变量
确定函数从到处的平均变化率
（3）当趋于0时，得到导数
这此步骤可以概括为“一差、二比、三极限.”
知识点二 导函数
一如果一个函数在区间的每一点处都有导数，那么是关于的函数，称为的导函数，也简称为导数。(有时也将导数记作)
【辨析比较】“函数在处的导数”与“导函数”的区别与联系
在处的导数 导函数
区别 函数在处的导数是一个数值，不是变量，反映了函数在处变化的快慢，表现为曲线在这个点处切线的斜率。 函数的导函数是关于的函数，是相对于一个区间而言的，反映了随着的变化，函数值的变化快慢的规律，是一种映射关系。
联系 函数在处的导数即函数的导函数在处的函数值.所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值.
知识点三 导数公式表
基本初等函数 导函数
（为常数）
知识点四 导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
知识点五 简单复合函数的导数
对于两个函数和，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。它的导数与函数，的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x. 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。
总结：的导数，即外函数的导数乘以内函数的导数。
知识点六 原函数和导函数的奇偶性，对称性和周期性
奇偶性
（1）若函数是奇函数，则，两边对x求导，得，即，所以导函数为偶函数。
于是我们得到：奇函数的导数是偶函数。(但反之不然，即为偶函数时，未必为奇函数，如不是奇函数，而是偶函数)。
（2）若函数为偶函数，则。两边对x求导，得，即，所以导函数为奇函数。
于是我们得到：偶函数的导数是奇函数。(反之亦成立，即若为奇函数，则必为偶函数)
对称性
原函数 导函数
对称性 关于轴对称 关于中心对称，此时
关于中心对称 关于轴对称
周期性
若函数为周期函数，则。两边对x求导，得。所以导函数仍为周期函数。于是有：周期函数的导函数仍是周期函数，且周期相同.
【题型一】导数的计算
【例1】求函数在处的导数．
【答案】
【详解】由题意可得，
所以，
所以.
故在的导数为.
变式1用导数的定义求函数的导数．
【例2】求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
【答案】(1).，(2).，(3).，(4).，(5).
【详解】（1）
（2）
（3）
（4），故
（5），故
变式2求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【例3】求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)；
(6)
【答案】(1)，(2)，(3)，
(4)，(5)，(6)
【详解】（1）.
（2）.
（3）因为，
所以.
（4）.
（5）.
（6）因为，
所以.
变式3求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)
(4)
【题型二】导数的应用
【例4】已知函数，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．20
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，故选：D
【例5】已知函数，则______．
【答案】
【详解】当时，，所以，
又，
则，解得，
由定义可知，，故答案为：
变式4 已知函数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
变式5 已知函数，则__________.
【题型三】复合函数求导
【例6】求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
变式6求下列函数的导数．
(1)
(2)；
【题型四】复合函数求导
【例7】（多选题）已知连续函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则（ ）
A． B．
C．在上至少有2个零点 D．
【答案】AC
【解析】定理1：若函数连续且可导，则图象关于直线对称导函数图象关于点对称．
定理2：若函数连续且可导，则图象关于点对称导函数图象关于直线对称．
以下证明定理1，定理2：
证明：若函数图象关于直线对称，则，
则，所以导函数图象关于点对称．
若导函数图象关于点对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，则，所以图象关于直线对称．
若函数图象关于点对称，则，
则，所以图象关于直线对称．
若导函数图象关于直线对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于点对称．
故下面可以直接引用以上定理．
由的图象关于y轴对称，
则，两边求导得，
即，的图象关于点对称，
又由定理2，所以的图象关于直线对称．
又为奇函数，则，的图象关于点对称，
又由定理1，则的图象关于对称．
为和的一个周期，，∴A正确；
，∴B错误；
由，得在上至少有2个零点．∴C正确；
由的图象关于对称，且周期为3，则的图象关于对称，
，，，，，，
，，D错误，故选：AC．
变式7 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
求导练习
1．求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)
(4)
2．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
4．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
5．求下列函数的导函数.
(1)
(2)
(3)
(4)
6．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
7．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
求下列函数的导数：
(1)；
(2).
(3)；
(4)；
(5)y＝.
9．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
10．求下列函数的导数：
(1)；
(2)y＝.
(3).
11.（多选题）已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（ ）
A．函数为偶函数 B．函数的图像关于点对称
C． D．
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§4 利用导数求切线
知识点一 导数的几何意义
曲线的割线
设函数的图象是一条光滑的曲线，且函数在区间的平均变化率为，如下图它是经过，两点的直线的斜率.这条直线称为曲线在点处的一条割线。
曲线的切线
如图，设函数的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出当取不同的值时，可以得到不同的割线；当趋于0时，点B将沿着曲线趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l，称直线l为曲线在点A处的切线，或称直线l和曲线在点A处相切。该切线的斜率就是函数在处的导数，即
【注意】正确认识曲线在一点处的切线
圆上任一点的切线都与圆只有一个交点，故可以说与圆只有一个交点的直线是圆的切线，但这种说法对于一般曲线就不适用了。与曲线交于一点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线也未必只有一个交点，可能有多个交点，甚至有无穷多个交点，如图所示，对于曲线C，直线l与曲线C有唯一的公共点M，但不是曲线C的切线；直线l虽然与曲线C有不止一个公共点，但l却是曲线C在点N处的切线。所以不能用联立之后判别式等于0，去判断直线与曲线是否相切。
故切线可能与曲线有多个交点
曲线的切线
函数在处的导数的几何意义即为函数在处的切线的斜率．
用导数研究切线问题，切点是关键．（三大基本关键点：切点在切线上，切点在曲线上，切点横坐标的导函数值为切线斜率）．(表示倾斜角，注意等于的特殊情况)．
知识点二 求曲线的切线方程
在点的切线方程
函数在点处的切线方程为，抓住关键，此时。用导数研究切线问题，切点是关键。
过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程，又因为切线方程过点，所以然后解出的值，另外，过曲线外可能存在不止一条切线，所以关于切点的方程有几个解，那么就有几条切线，
例如：过二次函数外一点，过点A只能做1条切线，过点B可以做2条切线，过点C则做不了切线。
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
【题型一】曲线在某点处的切线问题
【例1】 若是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】为偶函数，，
即，，解得：，
，则，，
，在点处的切线方程为，即.故选：A.
【例2】已知函数的图像关于直线对称，且时，，则曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【详解】设分别为函数的图像上关于直线对称的两点，不妨设，则.所以，所以，所以.
所以当时，.所以.
而，所以.
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
【例3】曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】记，则，
，又，
曲线在处的切线方程为：，即，
令，解得：；令，解得：；
该切线与坐标轴围成的三角形面积为，故选：A.
变式1 函数在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2 已知是曲线在处的切线，若点到的距离为1，则实数（ ）
A． B． C． D．
变式3 已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例4】已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，时，对两边分别求导，可知，令，得，求切线方程即可.
【详解】
即
令
则即
即
曲线在点处的切线方程为，即
故选：B
变式4 已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【题型二】过某点的曲线的切线问题
【例5】已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____________.
【答案】
【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率，
故切线方程为，又因为点在切线上，
所以，整理得到，
解得，所以切线方程为．
故答案为: .
【例6】若曲线在点处的切线经过坐标原点，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】由题意，，设切点的坐标为，故切线的斜率.
由于切线过原点，故切线方程为.
又切线经过切点，即.
整理可得：，
即.
即，故或，故选：C
【例7】曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）
A．(1, 0) B．(2, 8)
C．(1, 0)和(-1, -4) D．(2, 8)和(-1, -4)
【答案】C
【详解】依题意,令，解得，故点的坐标为(1, 0)和(-1, -4)，故选：C
变式5 过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.
变式6 过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
变式7 已知函数（且），曲线在处的切线与直线垂直，则___．
【题型三】倾斜角的值与取值范围（且）
【例8】已知函数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则______．
【答案】
【详解】由，得则，解得．
【例9】曲线在处切线的倾斜角为，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【详解】因为，则，因此，所以，选：C
变式8设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ）
B． C． D．
变式9 已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例10】设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴或，故选：B.
【例11】已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
因为，当且仅当，即时取等号，
则，所以，即，
即，又，所以，故选：A
变式10过曲线上一点作曲线的切线，若切点的横坐标的取值范围是，则切线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式11设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型四】由曲线的切线（斜率）求参数
通法步骤：①设出切点，并写出切线方程；②切线方程与条件中的直线重合，即斜率与截距都相等
【例12】已知曲线在处的切线的斜率为，则______.
【答案】
【详解】因为，所以，当时，，
因为曲线在点处的切线的斜率为，所以，解得，故答案为：
【例13】已知函数的图象的一条切线为，则a＝______
【答案】1
【详解】求导函数得，设直线与曲线切于点，
则，，解得，故答案为：.
【例14】已知直线与曲线相切，则k =___________.
【答案】1
【详解】设切点为，，则.根据导数的几何意义，可知.
又，即.
令，则，所以当时，；当时，，
所以，在处取得极小值，也是最小值.
又，所以有唯一解，所以，
即切点为，所以，故答案为：1.
变式12曲线在点处的切线方程为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
变式13 已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式14 已知曲线在处的切线方程为，则_____，_____．
【题型五】由曲线的切线条数求参数
【例15】已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】设切点为，直线的斜率为，又，
则，所以切线方程为，
将代入化简得，所以方程有两个不同的实数解，
所以，且，所以或，
即实数的取值范围为，故答案为：.
变式15 已知曲线存在两条斜率为的切线，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【题型六】公切线
【例16】已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 __________.
【答案】
【分析】分别求两条曲线的切线方程，比较系数得a的值.
【详解】函数的图象在处的切线的切点为，
因为，所以切线斜率为，切线方程为，即，
设的图象的切线的切点为，因为，所以切线斜率为，
切线方程为，即，
由题，解得，，斜率为，故答案为：.
变式16 已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为___________.
【题型七】直线与曲线上两点的距离
【例17】 已知函数和直线，若点是函数图象上的一点，则点到直线的距离的最小值为 ．
【答案】
【详解】依题意，设点，则点到直线的距离，
令，求导得：，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，
显然有，当且仅当时取等号，所以点到直线的距离的最小值为.
【例18】对于任意，，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【详解】任意，，表示两点与的距离的平方，
而点在直线上，
则的最小值是点到直线的距离的最小值平方，
，令，求导得，当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，，
于是得，当且仅当时取等号，即的最小值为2，
依题意，，解得，所以实数的最大值为2.故选：B
变式17 M、N分别为曲线与直线上的点，则的最小值为 .
变式18 若实数，，，满足，则的最小值为 ．
【题型八】曲线与曲线上两点的距离
【例19】直线与曲线和的交点分别为P，Q，当m变化时，的最小值为 .
【答案】
【详解】由于和互为反函数，所以和的图象关于对称，与垂直，所以的最小值即为曲线的点到的距离的2倍，
设的一点为,则点到直线的距离为，
由，故当单调递增，当单调递减，
故当时，取极小值也是最小值，最小值为，故此时，故的最小值为，
故答案：
【例20】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：与互为反函数，其图像关于直线对称
先求出曲线上的点到直线的最小距离．
设与直线平行且与曲线相切的切点，．
，，解得．．
得到切点，点P到直线的距离．最小值为．故选：B．
变式19 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
变式20 设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为 .
【题型九】切线的应用
【例21】已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[0，1]
【答案】D
【详解】在上恒成立在上恒成立的图象在图象的上方，
其中，
画出与y=ax的图象，如下：
要想在上恒成立，则；
令，则，，
若为在的切线，则，
故要想在恒成立，则，
综上：；故选：D
【例22】已知函数，函数，若方程恰有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，画出的图象，如图所示．直线恒过定点（1，0），
由图象可知，函数的图象与的图象相切时，函数的图象恰有两个交点．
设切点为，其中，由，得，
化简得，解得或（舍去），要使方程恰有三个实数解，
则函数的图象恰有三个交点，结合图象可知，所以实数的取值范围为；
故选：D
变式21 已知直线与曲线有公共点，则实数的最大值为 .
变式22 已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
课后测
1．过曲线S：上一点的切线方程为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
2．设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．函数．曲线存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围；
4．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
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§ 导数与极值
知识点一 函数的极值
概念
如图，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，同时；而且在点附近的左侧，右侧，我们把实数叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；同为极小值的还有和。
类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，同时；而且在点附近的左侧，右侧. 我们把实数叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值；同为极大值的还有。极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
概念解析
（1）函数的极值是函数的一种局部性质，刻画的是函数在极值点附近两侧取值的大小情况；
（2）函数的极值点和函数的零点一样，都是一个实数，是使函数取得极值时自变量的值，是横坐标，而不是一个点；
（3）函数的极值点一定在函数的定义域内，但定义域的端点不能成为极值点；
（4）一个函数未必存在极值点（比如说函数单调），若存在极值点也未必是唯一的，也可能有多个极值点；
（5）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即极大值未必大于极小值，极小值也未必小于极大值；
（6）若函数在区间上有极值函数在区间上不是单调函数；同理，函数在区间单调在单调区间上没有极值；
3. 求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
【注意】
（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号。
（2）是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的。
【总结】
（1）为可导函数的极值点；
（2）但为的极值点；只有当是导函数的变号零点时为的极值点。
（3）可导函数有个极值点导函数有个变号零点；
如何画不含参函数的图像
首先我们要明白构成函数图像的3个基本要素，1，单调性；2，极值；3，端点值；单调性决定了函数图像的递增（减）的走势，极值决定了函数图像的拐（弯）点的位置的高低，端点值决定了函数的开始和结束的位置。以上3点缺一不可，
具体步骤如下：
先求导
令，并求出方程的根 ----------目的是为了求出单调区间
画出的图像。
先画出x轴，并把步骤二解出的根标记在x轴上。
再将的左边（或右边）的某一个整数（0、1、2）带入中判断出正负。
根据“（2）”的结果，再考虑的图像是从上往下（或从下往上）穿过的。
图像中x轴上方为区间，x轴下方为区间，并写出函数的单调区间。
画出的图像。
先把导数的零点带入，求出极大（小）值。
再把单调区间的左右端点带入中求出函数值，求出函数的起点和终点的位置。若单调区间的端点处取不到这个点，则也可选择一个比端点大一点点或者小一点点的值带入求函数值（注意此时为近似值）。
再根据起点，终点，极值点，3个特征可以画出的图像。
六大超越函数图像
1、 令，则x=； 当x-1)时，，单调递减； 当x)时，，单调递增； 拐点（极小值）： 2、 令，则x=1； 当x1)时，，单调递增； 当x)时，，单调递减； 拐点（极大值）：
3、 令，则x=1； 当x0),(0,1)时，，单调递减； 当x)时，，单调递增； 拐点（极小值）： 4、 令，则 当x时，，单调递减； 当x时，，单调递增； 拐点（极小值）：
5、 令，则x=； 当x1),(1,e)时，，单调递减； 当x)时，，单调递增； 拐点（极小值）： 6、 令，则x=； 当x,e)时，，单调递增； 当x)时，，单调递减； 拐点（极小值）：
【题型一】认识函数极值与极值点
【例1】如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数
B．当时，取到极小值
C．在区间上，是减函数
D．在区间上，是增函数
【答案】D
【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．
【例2】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点 B．是的极小值点
C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零
【答案】D
【详解】由图像知，当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，
是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误；
又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确.
变式1 已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
变式2 已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．在上有增也有减
B．有2个极小值点
C．
D．有1个极大值点
【题型二】求函数的极值与极值点
不含参
【例3】函数的极大值为______．
【答案】1
【详解】依题意，因为，所以，所以，
所以在上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以在处取得极大值：；故答案为：1.
【例4】（多选题）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．没有零点 B．当时，的图象位于轴下方
C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点
【答案】BC
【详解】函数的定义域为，，
令，则，所以函数在上递减，
又，
所以存在上，使得，即函数有唯一零点，且，
当时，，即，函数递增，故C正确；
当时，，即，函数递减，
所以为函数的极大值点，无极小值点，即有且仅有一个极值点，故D错误；
所以，
又，所以函数在上存在一个零点，故A错误；
当时，，所以，
即当时，的图象位于轴下方，故B正确.
变式3 （多选题）已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数有且仅有一个零点
C．函数有且仅有一个极值点
D．直线是曲线的切线
变式4 （多选题）对于函数，则（ ）
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．函数与的图象有两个交点
D．函数有两个零点
（二）含参
【例5】已知函数，．讨论的极值；
【详解】因为函数，则，，当时，，此时单调递增，无极值；
当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，无极小值；
当时，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，无极大值．
综上，当时，函数无极值；当时，，无极小值；当时，，无极大值．
变式5 已知函数．求函数的极值点
【题型三】根据极值、极值点求参数（注意区别极值和极大（小）值）
已知函数在处取极值
已知函数在处取极大值
已知函数在处取极小值
已知函数在上有极值函数有变号零点，在上有解，分离参数之后转化为有变号交点。
已知函数在上无极值函数无变号零点，在上无解，分离参数之后转化为无变号交点。
【例6】（多选题）已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】由题意可得，且是函数的极大值点，即，可得，
又极大值为3，所以，解得或；
当时，，此时，
时，，时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
此时函数在处取得极小值，与题意不符，即舍去；
当时，，此时，
时，，时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
此时函数在处取得极大值，符合题意，
所以，，即，所以A正确，B错误；
此时，所以，，即C错误，D正确.
变式6（多选题）已知函数在处取得极值10，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．一定有两个极值点 D．一定存在单调递减区间
变式7 若函数在处有极小值，则的值为______．
【例7】已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
【答案】
【详解】因为，所以，
为二次函数，且对称轴为，所以函数在单调递增，
则函数在单调递增，
因为函数在上有极值，所以在有解，
根据零点的存在性定理可知，即，解得，
变式8 已知没有极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式9 函数在上无极值，则m＝______．
【例8】若函数存在两个极值点，且，则 ．
【答案】
【详解】，定义域为，所以，
故，；又，所以．
又，故，所以，所以．
变式10 若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围
知识点二 函数的最值
1.概念
函数最大值为极大值与端点值之间的最大者；函数最小值为极小值与端点值之间的最小者；即函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
例如：导函数为二次函数，其原函数为三次函数，
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
2.求最值的步骤（一定要注意定义域能否取的到）
一般地，设是定义在上的函数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
求导，画出的图像；
基于导函数的图像的正负，判断出原函数的单调性；
（3）求在内的极大（小）值，以及定义域端点值，并比较极值和端点值的大小，再根据单调性画出原函数的图像；
（4）原函数的图像的最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值；
【题型四】求函数的最值（函数图像的最高（低）点的纵坐标）
【例9】函数在内的最大值为______．
【答案】
【详解】由题可得，
设，，
因为，所以，所以，
所以，单调递增，，
所以当时，，单调递减，则．
变式11 若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
【例10】若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为x，y为正实数，且，
所以，且（当且仅当时取“”）.
又因为.
设函数（）.问题转化为求函数的最小值.
因为，
由，又，所以；
由.所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以的最小值为：.
变式12 已知正数满足，则的最小值为_________．
【题型五】根据最值求参数（注意观察定义域的端点能不能取到等号）
【例11】当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知， ，
而 ，所以，即 ，所以 ，
因此当时，,故函数在递增；时，,
故函数在上递减，时取最大值，满足题意，即有 ；
【例12】若函数的最小值是，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】当时，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，函数的极小值为，
因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，
此时，函数在上无最小值，不合乎题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，函数在上的极小值为，且，则，
综上所述，.
变式13 函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式14 已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（ ）
A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值
知识点三 恒成立或存在有解，求参数的取值范围（分离参数）
1.方程存在有解（函数有零点）
若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则
在区间D上有解与函数图像有交点，即
2.不等式恒成立
若函数在区间D上存在最小值和最大值，，则
（1）不等式在区间D上恒成立；
（2）不等式在区间D上恒成立；
（3）不等式在区间D上恒成立；
（4）不等式在区间D上恒成立；
3. 不等式存在有解
若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则
（1）不等式在区间D上有解；
（2）不等式在区间D上有解；
（3）不等式在区间D上有解；
（4）不等式在区间D上有解；
4. 双变量不等式恒成立
（1）对于任意的，使得；
（2）对于任意的，使得；
（3）若存在，总存在，使得
（4）若存在，总存在，使得．
5. 双变量不等式存在，恒成立都有
（1）对于任意的，总存在，使得；
（2）对于任意的，总存在，使得；
（3）若存在，对于任意的，使得；
（4）若存在，对于任意的，使得；
【题型六】函数零点（分离参数转化为图像交点的个数）
【例13】已知函数有三个零点，则实数的取值范围是___________.
思考：如果是只有1个，或者2个零点，如何求a的范围？
【答案】
【详解】当时，此时，显然无零点.
当时，得，令，，分别令，，
前者解得，，后者解得或，故在，递减，递增.
故的极小值为，极大值为，
令，显然分母，则分子，，则有唯一零点0，
作出大致图像如图所示：所以，解得实数的取值范围是.
变式15 已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．
【题型七】不等式恒成立与能成立
【例14】已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________．
【答案】
【详解】由得，即，
令，求导得，则在上单调递增，
显然，当时，恒有，即恒成立，
于是当时，，有，
从而对恒成立，即对恒成立，
令，求导得，则当时，；当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
变式16 若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.
【例15】已知函数，，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】
【详解】因为，恒成立，所以，
①当时， ，即恒成立，
设，则
，
令得或，
因为，，所以在上单调递增，所以，所以时，；
②时，，即恒成立，
由①得，，
因为当时，当时，所以在单调递增，在单调递减，
所以当，，所以；
③当时，成立，综上所述，．
变式17 已知函数，，若在处取得极值，且对于，均有，则b的取值范围为______．
课后测
1．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在区间内有3个极值点 D．的图象在点处的切线的斜率小于0
2．已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是的极小值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，.对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
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§1 平均变化率与瞬时变化率
知识点一 平均变化率
对一般的函数来说，当自变量从变为时,函数值从变为，它在区间的平均变化率。
通常我们把自变量的变化称作自变量的改变量，记作，函数值的变化称作函数值的改变量,记作。这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即。用它来刻画函数值在区间上变化的快慢。
知识点二 平均变化率的几何意义
对于函数定义域内任意的，设，，则函数在区间上的平均变化率为，如右图所示,即函数在区间上的平均变化率的几何意义是函数图象上过两点的直线的斜率.
知识点三 瞬时变化率
对于一般的函数，在自变量从变为的过程中，若设，，则该函数的平均变化率为。
如果当趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在点的瞬时变化率。瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢。
【对比解析】
1.“趋于0”的含义:到0的距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数，且始终有。
2.平均变化率与瞬时变化率的关系:①区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在点处变化的快慢。②联系:当趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在处的瞬时变化率，它是一个固定值。
【例1】若函数在区间上的平均变化率为5，则______．
【答案】3
【详解】函数在区间上的平均变化率为，解得.
变式1函数区间上的平均变化率为（ ）
A．2 B．4 C．c D．2c
【答案】B
【详解】，故选：B
【例2】如果一个质点从固定点A开始运动，时间t的位移（单位：m）函数为，求当s时的瞬时速度．
【答案】.
【详解】因为质点在s到s的位移改变量，
所以该时间段内的平均速度
，所以质点在s时的瞬时速度为.
变式2做直线运动的物体，其位移与时间的关系是.求此物体在时的瞬时速度.
【答案】
【详解】取一时间段，
则
，
所以，
，
故当时，此物体的瞬时速度为.
§2 导数的概念及其几何意义
知识点一 导数的概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作。导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．
通用变形式：（分母必须是分子两项括号内的差）
【例1】已知，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【详解】.故选：D.
【例2】设是可导函数，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【详解】，
所以.故选：D
变式1已知函数且，则__________.
【答案】/
【详解】因为函数是可导函数，且，
根据导数的定义，有.
故答案为：.
变式2设是可导函数，且，则（ ）
A． B．-1 C．0 D．-2
【答案】B
【详解】试题分析：因为
所以，故选：B.
变式3函数在上可导，若，则（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】A
【详解】．故选：A
知识点二 导数的几何意义
曲线的割线
设函数的图象是一条光滑的曲线，且函数在区间的平均变化率为，如下图它是经过，两点的直线的斜率.这条直线称为曲线在点处的一条割线。
曲线的切线
如图，设函数的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出当取不同的值时，可以得到不同的割线；当趋于0时，点B将沿着曲线趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l，称直线l为曲线在点A处的切线，或称直线l和曲线在点A处相切。该切线的斜率就是函数在处的导数，即
【发散探讨】正确认识曲线在一点处的切线
圆上任一点的切线都与圆只有一个交点，故可以说与圆只有一个交点的直线是圆的切线，但这种说法对于一般曲线就不适用了。与曲线交于一点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线也未必只有一个交点，可能有多个交点，甚至有无穷多个交点，如图所示，对于曲线C，直线l与曲线C有唯一的公共点M，但不是曲线C的切线；直线l虽然与曲线C有不止一个公共点，但l却是曲线C在点N处的切线。
故切线可能与曲线有多个交点
曲线的切线
函数在处的导数的几何意义即为函数在处的切线的斜率．
用导数研究切线问题，切点是关键．（三大基本关键点：切点在切线上，切点在曲线上，切点横坐标的导函数值为切线斜率）．(表示倾斜角，注意等于的特殊情况)．
【例3】已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由图象可知，
即.故选：D
变式4 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 设，由图可得，
而，
故，故选：C.
§3导数的计算
知识点一 利用导数定义求导数
求函数在处的导数的一般步骤：
通过自变量在处的改变量，确定函数值在处的改变量
确定函数从到处的平均变化率
（3）当趋于0时，得到导数
这此步骤可以概括为“一差、二比、三极限.”
知识点二 导函数
一如果一个函数在区间的每一点处都有导数，那么是关于的函数，称为的导函数，也简称为导数。(有时也将导数记作)
【辨析比较】“函数在处的导数”与“导函数”的区别与联系
在处的导数 导函数
区别 函数在处的导数是一个数值，不是变量，反映了函数在处变化的快慢，表现为曲线在这个点处切线的斜率。 函数的导函数是关于的函数，是相对于一个区间而言的，反映了随着的变化，函数值的变化快慢的规律，是一种映射关系。
联系 函数在处的导数即函数的导函数在处的函数值.所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值.
知识点三 导数公式表
基本初等函数 导函数
（为常数）
知识点四 导数的四则运算法则
函数和差求导法则：；
函数积的求导法则：；
函数商的求导法则：，则．
知识点五 简单复合函数的导数
对于两个函数和，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。它的导数与函数，的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x. 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。
总结：的导数，即外函数的导数乘以内函数的导数。
知识点六 原函数和导函数的奇偶性，对称性和周期性
奇偶性
（1）若函数是奇函数，则，两边对x求导，得，即，所以导函数为偶函数。
于是我们得到：奇函数的导数是偶函数。(但反之不然，即为偶函数时，未必为奇函数，如不是奇函数，而是偶函数)。
（2）若函数为偶函数，则。两边对x求导，得，即，所以导函数为奇函数。
于是我们得到：偶函数的导数是奇函数。(反之亦成立，即若为奇函数，则必为偶函数)
对称性
原函数 导函数
对称性 关于轴对称 关于中心对称，此时
关于中心对称 关于轴对称
周期性
若函数为周期函数，则。两边对x求导，得。所以导函数仍为周期函数。于是有：周期函数的导函数仍是周期函数，且周期相同.
【题型一】导数的计算
【例1】求函数在处的导数．
【答案】
【详解】由题意可得，
所以，
所以.
故在的导数为.
变式1用导数的定义求函数的导数．
【答案】
【详解】设，
则，
得，
即函数的导数为.
【例2】求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
【答案】(1).，(2).，(3).，(4).，(5).
【详解】（1）
（2）
（3）
（4），故
（5），故
变式2求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)
【详解】（1）.
（2）.
（3），所以.
（4）.
（5），所以.
【例3】求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)；
(6)
【答案】(1)，(2)，(3)，
(4)，(5)，(6)
【详解】（1）.
（2）.
（3）因为，
所以.
（4）.
（5）.
（6）因为，
所以.
变式3求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)，(2)，(3)，(4)
【详解】（1）由可得
（2）由可得
（3）由得
（4）由得
【题型二】导数的应用
【例4】已知函数，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．20
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，故选：D
【例5】已知函数，则______．
【答案】
【详解】当时，，所以，
又，
则，解得，
由定义可知，，故答案为：
变式4 已知函数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】，
，
，
，，故选：D．
变式5 已知函数，则__________.
【答案】/
【详解】函数，求导得：，
所以，故答案为：
【题型三】复合函数求导
【例6】求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
变式6求下列函数的导数．
(1)
(2)；
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）因为，所以
（2）因为，所以
【题型四】复合函数求导
【例7】（多选题）已知连续函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则（ ）
A． B．
C．在上至少有2个零点 D．
【答案】AC
【解析】定理1：若函数连续且可导，则图象关于直线对称导函数图象关于点对称．
定理2：若函数连续且可导，则图象关于点对称导函数图象关于直线对称．
以下证明定理1，定理2：
证明：若函数图象关于直线对称，则，
则，所以导函数图象关于点对称．
若导函数图象关于点对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，则，所以图象关于直线对称．
若函数图象关于点对称，则，
则，所以图象关于直线对称．
若导函数图象关于直线对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于点对称．
故下面可以直接引用以上定理．
由的图象关于y轴对称，
则，两边求导得，
即，的图象关于点对称，
又由定理2，所以的图象关于直线对称．
又为奇函数，则，的图象关于点对称，
又由定理1，则的图象关于对称．
为和的一个周期，，∴A正确；
，∴B错误；
由，得在上至少有2个零点．∴C正确；
由的图象关于对称，且周期为3，则的图象关于对称，
，，，，，，
，，D错误，故选：AC．
变式7 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的对称性以及复合函数求导运算，利用举反例的形式，逐一判断，可得答案.
【详解】由函数为偶函数，可得，则，所以函数关于成轴对称；
由函数为偶函数，可得，所以函数关于成轴对称；
对于A，设，，显然符合题意，但，故A错误；
对于B，假设不关于成中心对称，，
求导可得，即，显然与题设矛盾，
所以必定关于成中心对称，
由，且为函数图象的对称轴，则，
由，
则函数图象的对称轴为直线，
由，则，所以，故B正确；
对于C，设，令，解得，则的对称轴为；
，令，解得，则的对称中心为；
所以此时函数符合题意，，故C错误；
对于D，由选项C，符合题意，则，
，故D错误.
故选：B.
求导练习
1．求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4），．
2．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
3．求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【详解】（1）
（2）
（3）．
（4）．
4．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
5．求下列函数的导函数.
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；
【详解】（1），所以.
（2），所以.
（3），所以，.
（4），所以.
6．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4），.
7．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
8求下列函数的导数：
(1)；
(2).
(3)；
(4)；
(5)y＝.
【答案】(1)；(2)；(3)
(4)；(5)
【详解】（1）解：因为，所以；
（2）解：因为，
所以；
（3）解：因为，
所以；
（4）解：因为，
所以；
（5）解：因为，
所以；
9．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)
【详解】（1）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（2）函数可以看作函数和的复合函数，
∴ .
（3）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（4）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（5）函数可以看作函数和的复合函数，
∴ ．
10．求下列函数的导数：
(1)；
(2)y＝.
(3).
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）解：因为，
所以；
（2）解：因为，
所以
＝＝；
（3）解：因为，
所以.
11．（多选题）已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（ ）
A．函数为偶函数 B．函数的图像关于点对称
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以．
又因为，所以．
于是可得，令，则，所以．
所以，即函数的图像关于直线对称，即．
因为，所以函数的图像关于点对称，即，所以，即，于是，所以函数是周期为4的周期函数．
因为函数的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称，所以为偶函数，所以A选项正确．
将的图像作关于轴对称的图像可得到的图像，再向右平移3个单位长度，可得到的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到的图像，因此函数也是周期为4的函数．又的图像关于点对称，所以的图像关于点对称，所以B选项不正确．
因为，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C选项正确．
因为，所以，，，，，
则有，
可得，所以D选项正确．
故选：ACD．
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§ 导数的综合应用
【题型一】构造函数解不等式
【例1】已知定义在上的偶函数满足，，若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，且为偶函数，
，
所以是周期为的周期函数.
，，
由于为偶函数，所以，
构造函数，在上递增，
不等式，，
，.
所以不等式的解集为.
故选：B
变式1 已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，则在R上为奇函数，且.
又，
当时，，所以在上为增函数，因此在R上为增函数.
又，当时，不等式化为，
即，所以；
当时，不等式化为，即，
解得，故无解，故不等式的解集为，故选：C
【例3】定义在 上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为是奇函数，可得是偶函数，又因为，所以，
令，可得，所以在上单调递增，
因为且是奇函数，
可得，则，
所以的周期为的周期函数，
因为，所以，
则不等式，即为，即，
又因为在上单调递增，所以，解得，所以不等式的解集为．
故选：C．
【例4】已知函数的导函数为，对恒成立，（e是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由，得，
令，则，所以，因为，所以，
所以，所以，故，
令，则或，
当或时，，当时，，
所以在和上递增，在上递减，
所以的极大值为，极小值为，
因为，，，
当时，，所以的图象如图所示，
因为不等式的解集中恰有3个整数，
所以时，不等式的解集中恰有3个整数，
即实数的取值范围为.故答案为：.
变式2已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式3 设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【题型二】函数的零点
【例5】已知函数，关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意可知，方程有3个不同的解转化为函数与图象的有个不同交点.
当时，，由，即，解得，由，即，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取的极大值为；
作出与的大致图象，如图所示.
由图可知，要使函数与图象的有个不同交点，只需要.
所以m的取值范围是.
故答案为：.
变式4 若函数在区间上只有一个零点，则常数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型三】已知方程的解个数，求参数范围
【例6】已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为，所以，令，得，
当时，，递增；当时，，递减；
所以当时，取得极大值，图象如图所示：
方程，即为，
解得 或 ，
由函数的图象知： 只有一个解，所以有两个解，
所以 ，解得，故选：A
变式5 已知函数，若关于的方程有3个实数解，则实数的取值范围为 ．
【例7】已知若方程有且仅有3个实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由方程有且仅有3个实数解，等价于函数，图像有3个交点
且直线过定点如图：根据图形可知：
当直线与相切时。
设切点，又，所以
在点处的切线方程：
又过定点，代入上式，可得，所以
当直线过点时则
所以可知故选：D
【例8】已知关于的不等式解集中恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以.
设，，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又因为是过点的直线，如图所示：
由此可得当时，的解集中有若干个不同的正整数解，不满足题意；
当时，要使不等式的解集中恰有3个不同的正整数解，
当过点时，取最小值，
因为，此时，当过点时，取最大值，
因为，此时，所以的取值范围为.
故选：D.
变式6 已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型四】直线与曲线上两点的距离
【例9】 已知函数和直线，若点是函数图象上的一点，则点到直线的距离的最小值为 ．
【答案】
【详解】依题意，设点，则点到直线的距离，
令，求导得：，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，
显然有，当且仅当时取等号，所以点到直线的距离的最小值为.
故答案为：
【例10】对于任意，，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【详解】任意，，表示两点与的距离的平方，
而点在直线上，
则的最小值是点到直线的距离的最小值平方，
，令，求导得，当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，，
于是得，当且仅当时取等号，即的最小值为2，
依题意，，解得，所以实数的最大值为2.
故选：B
变式7 M、N分别为曲线与直线上的点，则的最小值为 .
变式8 若实数，，，满足，则的最小值为 ．
【题型五】曲线与曲线上两点的距离
【例11】直线与曲线和的交点分别为P，Q，当m变化时，的最小值为 .
【答案】
【详解】由于和互为反函数，所以和的图象关于对称，与垂直，所以的最小值即为曲线的点到的距离的2倍，设的一点为,则点到直线的距离为，由，故当单调递增，当单调递减，故当时，取极小值也是最小值，最小值为，故此时，故的最小值为，
故答案：
【例12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：与互为反函数，其图像关于直线对称
先求出曲线上的点到直线的最小距离．
设与直线平行且与曲线相切的切点，．
，，解得．．
得到切点，点P到直线的距离．
最小值为．
故选：B．
变式9 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
变式10 设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为 .
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§ 导数与极值
知识点一 函数的极值
概念
如图，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，同时；而且在点附近的左侧，右侧，我们把实数叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；同为极小值的还有和。
类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，同时；而且在点附近的左侧，右侧. 我们把实数叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值；同为极大值的还有。极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
概念解析
（1）函数的极值是函数的一种局部性质，刻画的是函数在极值点附近两侧取值的大小情况；
（2）函数的极值点和函数的零点一样，都是一个实数，是使函数取得极值时自变量的值，是横坐标，而不是一个点；
（3）函数的极值点一定在函数的定义域内，但定义域的端点不能成为极值点；
（4）一个函数未必存在极值点（比如说函数单调），若存在极值点也未必是唯一的，也可能有多个极值点；
（5）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即极大值未必大于极小值，极小值也未必小于极大值；
（6）若函数在区间上有极值函数在区间上不是单调函数；同理，函数在区间单调在单调区间上没有极值；
3. 求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
【注意】
（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
（2）是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的。
【总结】
（1）为可导函数的极值点；
（2）但为的极值点；只有当是导函数的变号零点时为的极值点。
（3）可导函数有个极值点导函数有个变号零点；
如何画不含参函数的图像
首先我们要明白构成函数图像的3个基本要素，1，单调性；2，极值；3，端点值；单调性决定了函数图像的递增（减）的走势，极值决定了函数图像的拐（弯）点的位置的高低，端点值决定了函数的开始和结束的位置。以上3点缺一不可，
具体步骤如下：
先求导
令，并求出方程的根 ----------目的是为了求出单调区间
画出的图像。
先画出x轴，并把步骤二解出的根标记在x轴上。
再将的左边（或右边）的某一个整数（0、1、2）带入中判断出正负。
根据“（2）”的结果，再考虑的图像是从上往下（或从下往上）穿过的。
图像中x轴上方为区间，x轴下方为区间，并写出函数的单调区间。
画出的图像。
先把导数的零点带入，求出极大（小）值。
再把单调区间的左右端点带入中求出函数值，求出函数的起点和终点的位置。若单调区间的端点处取不到这个点，则也可选择一个比端点大一点点或者小一点点的值带入求函数值（注意此时为近似值）。
再根据起点，终点，极值点，3个特征可以画出的图像。
六大超越函数图像
1、 令，则x=； 当x-1)时，，单调递减； 当x)时，，单调递增； 拐点（极小值）： 2、 令，则x=1； 当x1)时，，单调递增； 当x)时，，单调递减； 拐点（极大值）：
3、 令，则x=1； 当x0),(0,1)时，，单调递减； 当x)时，，单调递增； 拐点（极小值）： 4、 令，则 当x时，，单调递减； 当x时，，单调递增； 拐点（极小值）：
5、 令，则x=； 当x1),(1,e)时，，单调递减； 当x)时，，单调递增； 拐点（极小值）： 6、 令，则x=； 当x,e)时，，单调递增； 当x)时，，单调递减； 拐点（极小值）：
【题型一】认识函数极值与极值点
【例1】如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数
B．当时，取到极小值
C．在区间上，是减函数
D．在区间上，是增函数
【答案】D
【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．
【例2】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点 B．是的极小值点
C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零
【答案】D
【详解】由图像知，当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，
是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误；
又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确.
变式1 已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【答案】C
【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，
又a因为，，且当时，；当c当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．
由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．
变式2 已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．在上有增也有减
B．有2个极小值点
C．
D．有1个极大值点
【答案】D
【详解】由图可得，当，时，，当时，.
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以有1个极大值点，1个极小值点.
故A、B错误，而，C错误.
【题型二】求函数的极值与极值点
不含参
【例3】函数的极大值为______．
【答案】1
【详解】依题意，因为，所以，
所以，
所以在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
所以在处取得极大值：；故答案为：1.
【例4】（多选题）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．没有零点 B．当时，的图象位于轴下方
C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点
【答案】BC
【详解】函数的定义域为，
，
令，则，
所以函数在上递减，
又，
所以存在上，使得，即函数有唯一零点，且，
当时，，即，函数递增，故C正确；
当时，，即，函数递减，
所以为函数的极大值点，无极小值点，
即有且仅有一个极值点，故D错误；
所以，
又，所以函数在上存在一个零点，故A错误；
当时，，所以，
即当时，的图象位于轴下方，故B正确.
变式3 （多选题）已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数有且仅有一个零点
C．函数有且仅有一个极值点
D．直线是曲线的切线
【答案】BC
【详解】函数的定义域为，则，
令，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，即，所以函数在上单调递减，
当时，，即，所以函数在上单调递增，
所以函数存在极小值，所以A选项不正确，B，C选项正确；
由得或，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，同理在点处的切线方程为，所以D选项不正确．
变式4 （多选题）对于函数，则（ ）
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．函数与的图象有两个交点
D．函数有两个零点
【答案】AD
【详解】，则，
因为在恒成立.
所以当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以在处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；
根据的单调性，画出函数图像，以及的图象，如图：
由此可知，函数与的图象只有一个交点，故C错误；
函数有两个零点等价于函数与图像有两个交点，如下图所示：
由此可知，函数与图像有两个交点，即函数有两个零点；故D正确.
（二）含参
【例5】已知函数，．讨论的极值；
【详解】因为函数，则，，当时，，此时单调递增，无极值；
当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，无极小值；
当时，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，无极大值．
综上，当时，函数无极值；当时，，无极小值；当时，，无极大值．
变式5 已知函数．求函数的极值点
【详解】，
①当，即时，，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故有唯一的极小值点1；
②当，即时，令，则，，
（ⅰ）当时，，则，在上单调递增，此时无极值点；
（ⅱ）当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
从而有两个极值点，极大值点为，极小值点为1；
（ⅲ）当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
从而有两个极值点，极大值点为1，极小值点为；
综上所述，当时，有唯一的极小值点1；
当时，有两个极值点，极大值点为，极小值点为1；
当时，无极值点；
当时，有两个极值点，极大值点为1，极小值点为．
【题型三】根据极值、极值点求参数（注意区别极值和极大（小）值）
已知函数在处取极值
已知函数在处取极大值
已知函数在处取极小值
已知函数在上有极值函数有变号零点，在上有解，分离参数之后转化为有变号交点。
已知函数在上无极值函数无变号零点，在上无解，分离参数之后转化为无变号交点。
【例6】（多选题）已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】由题意可得，且是函数的极大值点，即，可得，
又极大值为3，所以，解得或；
当时，，此时，
时，，时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
此时函数在处取得极小值，与题意不符，即舍去；
当时，，此时，
时，，时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
此时函数在处取得极大值，符合题意，
所以，，即，所以A正确，B错误；
此时，所以，，即C错误，D正确.
变式6（多选题）已知函数在处取得极值10，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．一定有两个极值点 D．一定存在单调递减区间
【答案】BCD
【详解】函数定义域为R，求导得，
依题意，，即，解得或，
当时，，函数在R上单调递增，无极值，不符合题意，
当时，，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，符合题意，
则，A不正确，B正确；函数在处取得极大值，一定有两个极值点，C正确；
一定存在单调递减区间，D正确.
变式7 若函数在处有极小值，则的值为______．
【答案】3
【详解】因为，所以，
又因为函数在处有极小值，所以，解得或，
当时，，所以时，，时，，
所以函数在处取得极小值；
当时，，所以时，，时，，所以函数在处取得极大值，不合题意，舍去，
【例7】已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
【答案】
【详解】因为，所以，
为二次函数，且对称轴为，
所以函数在单调递增，则函数在单调递增，
因为函数在上有极值，所以在有解，
根据零点的存在性定理可知，即，解得，
变式8 已知没有极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】；在上没有极值，，
即，解得：，即实数的取值范围为.
变式9 函数在上无极值，则m＝______．
【答案】3
【详解】函数在上无极值即导函数在上无根．
在上恒有 ①；
而，
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当m－1＝2时，①式解为x＝2，m＝3．
【例8】若函数存在两个极值点，且，则 ．
【答案】
【详解】，定义域为，所以，
故，；又，所以．
又，故，所以，所以．
变式10 若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【详解】因为，则，
令，且，整理得，
原题意等价于与有两个不同的交点，
构建，则，
令，解得；令，解得或；
则在上单调递增，在上单调递减，且，
由图可得：若与有两个不同的交点，可得：，
因为，则，
由图可知：当增大时，则减小，增大，可得减小，
取，令，则，
因为，解得，所以，则，即实数a的取值范围是.
知识点二 函数的最值
1.概念
函数最大值为极大值与端点值之间的最大者；函数最小值为极小值与端点值之间的最小者；即函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
例如：导函数为二次函数，其原函数为三次函数，
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
2.求最值的步骤（一定要注意定义域能否取的到）
一般地，设是定义在上的函数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
求导，画出的图像；
基于导函数的图像的正负，判断出原函数的单调性；
（3）求在内的极大（小）值，以及定义域端点值，并比较极值和端点值的大小，再根据单调性画出原函数的图像；
（4）原函数的图像的最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值；
【题型四】求函数的最值（函数图像的最高（低）点的纵坐标）
【例9】函数在内的最大值为______．
【答案】
【详解】由题可得，
设，，
因为，所以，
所以，
所以，单调递增，，
所以当时，，单调递减，则．
变式11 若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
【答案】/
【详解】由，得，
因为是函数的极小值点，所以，即，
即，解得或．
当时，，
当或时，，当时，，
所以，在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，不符合题意；
当时，，
当或时，，当时，，
所以在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故
又因为，，
所以函数在的最大值为．
【例10】若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为x，y为正实数，且，
所以，且（当且仅当时取“”）.
又因为.
设函数（）.问题转化为求函数的最小值.
因为，
由，又，所以；
由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以的最小值为：.故答案为：.
变式12已知正数满足，则的最小值为_________．
【答案】
【详解】因为，即，所以，所以.
令，则，所以在上单调递增，
所以，即，所以，
令.
则．令，解得：；令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
即的最小值为.
故答案为：.
【题型五】根据最值求参数（注意观察定义域的端点能不能取到等号）
【例11】当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知， ，
而 ，所以，即 ，所以 ，
因此当时，,故函数在递增；时，,
故函数在上递减，时取最大值，满足题意，即有 ；
【例12】若函数的最小值是，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】当时，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，
因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，
此时，函数在上无最小值，不合乎题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，函数在上的极小值为，且，则，
综上所述，.
变式13 函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，
设，因为，因此有两个不同实根，
又，因此两根一正一负，
由题意正根在内，
所以，解得，
变式14 已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（ ）
A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值
【答案】D
【详解】由，则时，时，
所以在上递增，上递减，
而，在上的最大值为k，
所以，即，此时在上递减，且无极大值和最大值.
知识点三 恒成立或存在有解，求参数的取值范围（分离参数）
1.方程存在有解（函数有零点）
若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则
在区间D上有解与函数图像有交点，即
2.不等式恒成立
若函数在区间D上存在最小值和最大值，，则
（1）不等式在区间D上恒成立；
（2）不等式在区间D上恒成立；
（3）不等式在区间D上恒成立；
（4）不等式在区间D上恒成立；
3. 不等式存在有解
若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则
（1）不等式在区间D上有解；
（2）不等式在区间D上有解；
（3）不等式在区间D上有解；
（4）不等式在区间D上有解；
4. 双变量不等式恒成立
（1）对于任意的，使得；
（2）对于任意的，使得；
（3）若存在，总存在，使得
（4）若存在，总存在，使得．
5. 双变量不等式存在，恒成立都有
（1）对于任意的，总存在，使得；
（2）对于任意的，总存在，使得；
（3）若存在，对于任意的，使得；
（4）若存在，对于任意的，使得；
【题型六】函数有零点
【例13】已知函数有三个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】当时，此时，显然无零点.
当时，得，
令，，分别令，，
前者解得，，后者解得或，
故在，递减，递增.
故的极小值为，极大值为，
令，显然分母，则分子，，则有唯一零点0，
作出大致图像如图所示：
所以，解得实数的取值范围是.
故答案为：.
变式15 已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】．
【详解】由 ，x=0不是方程的解，∴ ，
将原方程唯一零点转变为直线与曲线 有唯一交点，
下面讨论曲线的图像：
的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
因此y在处，取得极小值，其极小值为 ，
当 时，，即y是单调递减的，
当x从小于0的方向趋向0的时候，y趋向于 ，
故图像如下图：
；
【题型七】不等式恒成立与能成立
【例14】已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________．
【答案】/
【详解】由得，即，
令，求导得，则在上单调递增，
显然，当时，恒有，即恒成立，
于是当时，，有，
从而对恒成立，即对恒成立，
令，求导得，则当时，；当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
变式16 若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.
【答案】[1，+∞）
【详解】，其中，分离参数为，
令，定义域为有.
令，，则，
所以在上单调递增，
又，，
故存在，使得，
可得函数f（x）的递增区间为（0，m），递减区间为 ，
有，可得：，
【例15】已知函数，，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】
【详解】法一：分类讨论
因为，，恒成立，
所以，，
因为，所以，
令得，
①当即时，，所以在上单调递增，
所以，不满足，舍去；
②当即时，，所以在单调递增，
所以，满足；
③当即时，，
则时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，综上所述，实数m的取值范围为．
法二：变量分离
因为，恒成立，
所以，
①当时， ，即恒成立，
设，则
，
令得或，
因为，，所以在上单调递增，
所以，所以时，；
②时，，即恒成立，
由①得，，
因为当时，当时，
所以在单调递增，在单调递减，
所以当，，所以；
③当时，成立，
综上所述，．
变式17 已知函数，，若在处取得极值，且对于，均有，则b的取值范围为______．
【答案】
【详解】由，则，解得，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以是的极值点，且，
由题意得，
令，解得，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故，
因为对于，均有，则，
即，解得，
课后测
1．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在区间内有3个极值点 D．的图象在点处的切线的斜率小于0
【答案】B
【详解】由图象可知：当和时，；当时，；
在，上单调递增；在上单调递减；
对于A，，，A错误；
对于B，，，B正确；
对于C，由极值点定义可知：为的极大值点；为的极小值点，即在区间内有个极值点，C错误；
对于D，当时，，在点处的切线的斜率大于，D错误.
2．已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由已知可得，定义域为，.
若，则恒成立，则在上单调递增，与已知不符，舍去；
当时，由可知，或（舍去）.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，有，所以在上单调递增.
由已知函数在上不是单调函数，
所以应有，所以.
故选：A.
3．已知是的极小值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，
由得或，
①若，则时，，即单调递增；
时，，即单调递减；
时，，即单调递增；
所以是极大值点，不满足题意；
②若，则时，，即单调递增；
时，，即单调递减；
时，，即单调递增；
满足是极小值点；
若，则恒成立，故在定义域上单调递增，无极值；
综上，；故选：D.
4．已知函数，.对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】
【解析】对任意，不等式恒成立，即恒成立，
分离参数得.
令，则．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，即，
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特殊点效应——分类讨论函数的图像
【题型一】端点效应
特征：代入区间端点使不等式取到等号。
原理：满足端点效应的恒成立问题。例如：，不能用分离参数的方法，只能找出函数的最值。而函数的最小值有可能在两个位置取到，一个是（左右）端点处（即此时函数单调），另一个是极小值（此时函数不单调）。所以就必须要先去讨论含参函数的单调性，找出最小值，并让其，求出范围。
【例1】已知函数.若对任意的，都有成立，求的范围.
【详解】对任意的，要使成立，只需任意的，.
又由，
①当时，即时，在上是增函数，所以只要，从而，所以满足题意；
②当时，即时，，
所以在上是减函数，上是增函数，
从而时，与矛盾，故不满足题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【例2】已知函数．对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【详解】同除x之后，令，在恒成立，
①当时，恒成立，故在上单调递增，所以，显然不合题意；
②当，在上单调递减，故，显然符合；
③当时，在单调递增，单调递减，由于，故存在，，故不满足.综上，实数的取值范围为
变式1 已知，若在上恒成立，求a的范围.
变式2已知函数．若，求a的取值范围．
【例3】设函数。当时，，求的取值范围。（两次端点效应）
【详解】已知，，且满足，
此时我们需要讨论的图像，，
当时，在上恒成立，则在，，则恒成立，
在，则，故恒成立；
当时，令，，则在，，
，则，当，，
故，使得，则在，
则，故不成立；则舍去；综上得的取值范围为。
【总结】基于定点讨论出导函数的所有可能图像，从而推导出原函数的所有可能图像，并从中选择出满足题目要求的图像，即对应参数的取值范围。
变式3已知函数．当时，，求的取值范围．
【题型二】 最值点效应
【例4】已知函数，若恒成立，求a的值．
【答案】
【详解】①当时，不合题意；
②当时，单调递减，单调递增，
所以
因为所以，
令
当单调递增，当单调递减，
所以，
所以满足，只有，
所以.
变式4 函数.若恒成立，求的取值范围.
【题型三】基于定点讨论零点个数
【例5】已知函数，若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】
【详解】，，设
（1）若,当,即；所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
（2）若,当,则；
所以在上单调递增所以,即；
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
（3）若，
①当,则,所以在上单调递增；
；所以存在,使得,即
当单调递减；当单调递增
所以当,
令则
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
又，，所以在上有唯一零点；
又没有零点,即在上有唯一零点
②当，设，，所以在单调递增
，所以存在,使得
当单调递减，当单调递增，
又，所以存在,使得,即
当单调递增，当单调递减，
当，，又，
而,所以当
所以在上有唯一零点，上无零点即在上有唯一零点。所以,符合题意
所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为
变式5 若函数有三个不同的零点，求的取值范围．
课后练习：
1．已知函数.若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
2．已知函数.若不等式，恒成立，求实数a的范围.
3．已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围：
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特殊点效应——分类讨论函数的图像
【题型一】端点效应
特征：代入区间端点使不等式取到等号。
原理：满足端点效应的恒成立问题。例如：，不能用分离参数的方法，只能找出函数的最值。而函数的最小值有可能在两个位置取到，一个是（左右）端点处（即此时函数单调），另一个是极小值（此时函数不单调）。所以就必须要先去讨论含参函数的单调性，找出最小值，并让其，求出范围。
【例1】已知函数.若对任意的，都有成立，求的范围.
【详解】对任意的，要使成立，只需任意的，.
又由，
①当时，即时，在上是增函数，所以只要，从而，所以满足题意；
②当时，即时，，
所以在上是减函数，上是增函数，
从而时，与矛盾，故不满足题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【例2】已知函数．对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【详解】同除x之后，令，在恒成立，
①当时，恒成立，故在上单调递增，所以，显然不合题意；
②当，在上单调递减，故，显然符合；
③当时，在单调递增，单调递减，由于，故存在，，故不满足.综上，实数的取值范围为
变式1 已知，若在上恒成立，求a的范围.
【详解】，
令，
i）当时，，在上单调递减，∴，舍.
ii）当时，令或，
①当时，，
若，则，若，则，
在上是减函数，在上是增函数，
所以在上，，即在上不恒成立.
②时，，当时，，在增函数，又，所以.
综上所述，所求a的取值范围是
变式2已知函数．若，求a的取值范围．
【详解】令，
则等价于．
．
①若，则在区间上恒成立，在区间上单调递增，故，符合条件．
②若，则当时，；当时，．故在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，不符合条件．
③若，则在区间上恒成立，在区间上单调递减，故，不符合条件．
综上所述，a的取值范围为．
【例3】设函数。当时，，求的取值范围。（两次端点效应）
【详解】已知，，且满足，
此时我们需要讨论的图像，，
当时，在上恒成立，则在，，则恒成立，
在，则，故恒成立；
当时，令，，则在，，
，则，当，，
故，使得，则在，
则，故不成立；则舍去；综上得的取值范围为。
【总结】基于定点讨论出导函数的所有可能图像，从而推导出原函数的所有可能图像，并从中选择出满足题目要求的图像，即对应参数的取值范围。
变式3已知函数．当时，，求的取值范围．
【答案】
【详解】；，；
设，
则，
①当，即时，，故在上为增函数，
故，即，所以在上为增函数，故.
②当，即时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.
③当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
综上，.
【题型二】 最值点效应
【例4】已知函数，若恒成立，求a的值．
【答案】
【详解】①当时，不合题意；
②当时，单调递减，单调递增，
所以
因为所以，
令
当单调递增，当单调递减，
所以，
所以满足，只有，
所以.
变式4 函数.若恒成立，求的取值范围.
【答案】
【详解】由题意得，
令，得或（舍去），
在上，，在上，，
在上单调递增，在上单调递减，
当且仅当时，取得最大值，即.
已知恒成立..
又，所以，所以，解得.
所以的取值的集合为.
【题型三】基于定点讨论零点个数
【例5】已知函数，若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】
【详解】，，设
（1）若,当,即；所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
（2）若,当,则；
所以在上单调递增所以,即；
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
（3）若，
①当,则,所以在上单调递增；
；所以存在,使得,即
当单调递减；当单调递增
所以当,
令则
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
又，，所以在上有唯一零点；
又没有零点,即在上有唯一零点
②当，设，，所以在单调递增
，所以存在,使得
当单调递减，当单调递增，
又，所以存在,使得,即
当单调递增，当单调递减，
当，，又，
而,所以当
所以在上有唯一零点，上无零点即在上有唯一零点。所以,符合题意
所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为
变式5 若函数有三个不同的零点，求的取值范围．
【答案】
【详解】，
因为与同号，所以只有一个零点，
令，，由，
则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，
函数定义域为，
因为，
设，则，
①当时，，恒成立，此时在上单调递减，显然不符合题意，
②当时，，有两个零点，，
所以当时，，即；当时，，即；
当时，，即．
故在，,上单调递减，在,上单调递增；
因为，且，所以，所以，
令，所以，
所以，即，
所以，
所以由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点，
因为，
因为，所以，所以时，存在三个不同的零点，1，，
故实数的取值范围是．
课后练习：
1．已知函数.若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【详解】令，在恒成立在恒成立，
由①知时，恒成立，故在上单调递增，所以，显然不合题意；
当，在上单调递减，故，显然符合；
当时，在单调递增，单调递减，由于，故存在，，故不满足.综上，实数的取值范围为
2．已知函数.若不等式，恒成立，求实数a的范围.
【详解】由题，，
令，则.
①当，即时，，有在上单调递增，
则，得在上单调递增，
此时，故满足题意.
②当，即时，令，得，
则在上单调递减，又，
得在上单调递减，此时，故不合题意.
综上可得：.
3．已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围：
【答案】（1）答案见解析；（2）；
【详解】解：（1）函数的定义域为
，，
当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增；
当时，若，则函数在上递增；
若，则函数在区间，上单调递增，在上单调递减；
若，则函数在区间，上单调递增，在上单调递减；
（2）①当时，函数只有一个零点，不合题意，舍去；
②当时，由（1）知有最小值，
要使有两个零点，则需，即
此时，，则在上存在唯一零点；
又，
当时，设，，
所以在上递增，在上递减，
所以，即
由，所以，所以，所以
所以，
所以函数在上存在唯一零点，
所以当时，函数存在两个零点；
③当时，由（1）可知
（i）当，则函数在上递增，不合题意；
（ii）当，则函数的极大值为，
则函数在上无零点，在至多一个零点，不合题意，舍去；
(iii)当，则函数的极大值为，
则函数在上无零点，在至多一个零点，不合题意，舍去；
综上所述，函数存在两个零点时，；
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§5导数与单调性
知识点一 导数的符号与单调性的关系
由导数的几何意义知，如果在某个区间上，即切线的斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，从而函数在这个区间上单调递增(如图1)；如果在某个区间上，即切线的斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势，从而函数在这个区间上单调递减(如图2)。于是我们得到:
在某个区间上满足在这个区间上单调递增；反之不成立，不是充要条件；
在某个区间上满足，则不能推出函数在这个区间上单调递增；（例如：，其导函数，而此时没有单调性）
在某个区间上单调递增在某个区间上恒成立。
在某个区间上单调递增，不能推出在某个区间上恒成立。（例如，其导函数，此时，而不是）
在某个区间上存在单调递增区间在某个区间上存在有解。
【总结】
单调递增恒成立；
单调递减恒成立；
存在增区间存在有解；
存在减区间存在有解.
知识点二 利用导数求函数的单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）令导数求根；
（4）画导数的图像：画出坐标系，在轴上标注出方程的根，再任意带入一点确定的正负，并在坐标系中标注出来，最后用穿针引线（奇穿偶不穿）的方法画出导数的完整图像。
（5）导数的图像中轴上方的代表，其对应的的取值范围为原函数的单调增区间；反之轴下方的代表，其对应的的取值范围为原函数的单调减区间
【注意】多个单调增（减）区间不能用“”符号连接，例如，单调减区间必须写成，。
知识点三 函数值的变化快慢与导数的关系
【题型一】导数与原函数图像的辨识
【例1】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】观察函数的图象得：在上单调递增，在上先递增，再递减，后又递增，
则当时，，即当时，函数的图象在x轴上方，于是排除A，C，
当时，的值先大于0，接着变为的值小于0，之后又变为大于0，
即当时，函数的图象先在x轴上方，接着变化到x轴下方，最后又变到x轴上方，于是排除B，选项D相符.
故选：D
【例2】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】分析：由条件利用导数与函数的单调性之间的关系，结合函数的导数的图像，利用当函数的导数为正实数时，到数值越大，函数增长的速度就越快，从而得到结果.
详解：根据导函数的图像可得函数在上增长速度越来越快，
在上增长速度逐渐变慢，
在上匀速增长，结合所给的选项，故选C.
变式1（多选题）已知函数的导函数图象如图，那么的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】从导函数的图象可知两个函数在处切线斜率相同，可以排除C，
再由导函数的函数值反映的是原函数的切线斜率大小，可明显看出的导函数的值在减小，
∴原函数切线斜率应该慢慢变小，排除A，
选项BD中的图象，都符合题意.
变式2 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由函数的图象可知，当时，单调递减，所以时， ，符合条件的只有D选项，故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.
【题型二】求函数的单调区间
【例3】求下列函数的单调区间．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)单调递增区间为，单调递减区间为和.
(3)单调递增区间为，单调递减区间为和．
【详解】（1）函数的定义域为，．
令，得，令，得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）函数的定义域为，，
令，得；令，得或．
∴函数单调递增区间为，单调递减区间为和.
（3）函数的定义域为R，
，
令，得；令，得或．
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．
变式3求下列函数的单调区间：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)单调递减区间为
(2)单调递增区间为和，单调递减区间为
(3)单调递增区间为，单调递减区间为和
(4)单调递增区间为，单调递减区间为
【详解】（1），则，
∴函数的单调递减区间为.
（2），则，
由，得或，当或时，；当时，，
∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为
（3），则，
由，得，当时，；当或时，，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.
（4），则，
由，得，当时，；当时，，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
【题型三】已知含参函数单调性，求参数的取值范围
【例4】已知函数，
若在上单调递增，求的范围。
若在上单调递减，求的范围。
若在上存在增区间，求的范围。
若在上存在减区间，求的范围。
【例5】已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，
令可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间上单调递减，
则区间（2m，m+1）是区间的子区间，
所以，求解不等式组可得：，解得-1≤m<1，所以实数m的取值范围是.故选：D
变式4若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为在上单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又函数在上为增函数，所以，故.故选：C
变式5若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】函数，.则，
因为在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即，
所以在区间上恒成立，所以，解得，故选：A.
变式6若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【详解】∵函数在区间内存在单调递增区间，
∴在区间上有解(成立)，即在区间上成立，
又函数在上单调递增，∴函数在上单调递增，
故当时，取最小值，即，即，得．故选：D﹒
【例6】已知，，且，，且，恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】，，且，恒成立，
对，，且恒成立，
令，则只需，对恒成立，
即，对恒成立，只需，
令，则，当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，，的取值范围为．故选：B．
变式7 已知函数，对于任意不同，有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】对于任意不同，有.
不妨设，则，即，
设，则，又，所以单调递增，恒成立. .所以，令，
要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立，，当且仅当时等号成立，所以，即，故选：A.
【例7】已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】已知函数，则，
因为在，上为增函数，在上为减函数，所以，即，
解得 ，所以实数的取值范围为，故选：B
变式8若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意得，
函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，所以，，解得.
因此，实数的取值范围是，故选：D.
【题型四】构造函数解不等式
【例8】已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】令，则函数的定义域为，
且，则函数为奇函数，
所以，，
当时，，所以，函数在上为增函数，
故函数在上也为增函数，
由等价于可知：
当时，由可得；
当时，由可得.
综上所述，不等式的解集为，故选：A.
变式9已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】设，由为奇函数，可得，
故为上的奇函数，当时，，，单调递增，
根据奇函数的对称性可知，在上单调递增，
则不等式可转化为，即，
即，即．故选：A
含参函数单调性讨论
所谓的讨论单调性，本质就是找出含参函数的所有可能的不同的单调性的情况。
那么高中阶段涉及的含参函数的单调性主要有以下四种情况：
所以我们分类讨论单调性主要分两大类：①先讨论单调，②再讨论不单调。
另外所谓单调无变号零点，不单调有变号零点，据此求出函数单调时参数的范围。
【题型一】导函数为（准）一次函数
先讨论一阶导图像的起点（及终点）的位置（正负），及讨论后续的单调性，画出对应的一阶导图像。这时注意变号零点的情况。
若一阶导后续的单调性无法判断（原因有二：①一阶导过于复杂，②一阶导含参），则求二阶导。
再讨论二阶导图像的起点（及终点）的位置（正负），及确定后续的单调性，画出对应的二阶导图像，目的是推断出一阶导的单调性，从而画出一阶导的图像。
若二阶导后续的单调性无法判断，则求三阶导，如此反复步骤2,3，直到画出一阶导图像，即可得出原函数的单调性。
【关键】当可以判断该阶导函数的单调性了，则无需再次求导。
【例1】已知函数，讨论函数的单调性；
【详解】由题知，则，
①当时，在上恒成立，故函数在上递增；
②当时，令，解得，
令，解得；故在上递减，在上递增，
综上：当时，在上递增；
当时，在上递减，在上递增
【例2】已知函数．讨论的单调性；
【详解】由题意可得的定义域为，且．
①当时，恒成立，则在上单调递增；
②当时，由，得，由，得，
则在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
变式1 已知函数，，讨论函数的的单调性；
【详解】函数的定义域为
，
①当时，恒成立，在上单调递减
②当时，令，得（舍去）
x
+ 0 -
递增 极大值 递减
的单调递增区间为，单调递减区间为
综上所述：当时在定义域上单调递减；
当时的单调递增区间为，单调递减区间为.
【例3】已知函数(a≠0)．讨论函数f(x)的单调性；
【详解】∵，
①当时，，，
∴在上单调递减，在单调递增；
②当时，，，
∴在上单调递增，在单调递减；
综述：当时，在上单调递减，在单调递增；
当时，在上单调递增，在单调递减；
【例4】已知，讨论函数的单调性;
【详解】
①若 ，在上单调递增；
②若
当时，，所以在单调递增，在单调递减；
当时，，所以在单调递增；
变式2 已知函数，.讨论的单调性；
【详解】，
①当时，，在上单调递减；
②当时，，，
则在上单调递减，在上单调递增；
③当时，，，
则在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【题型二】导数为二次函数可因式分解
（1）若二次项系数含参，优先讨论二次项系数的正负，分三类，之后求出两根再去讨论两根的大小，也分三类，具体按以下情况分类： ，
【例5】已知函数，讨论函数的单调性.
【详解】，
①若时，，在上单调递增；
②若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数，
③若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数.
综上，时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
变式3 已知函数．试讨论函数的单调性．
【详解】因为，，且，
①当时，，此时在单调递增；
②当时，，
当时，；当时，，此时单调递减；
③当时，，
当时，；当时，，此时单调递减；
综上所述：当时，函数单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为．
（2）但是如果有限定定义域，还需要讨论含参的根和定义域的大小关系，讨论情况增加至4类：
（3）若因式分解之后的因式为准一次函数，一定存在的根先不管，先讨论可能存在根的因式起点处的导数值的正负。
【例6】已知函数，讨论的单调性.
【详解】由题意得：定义域为，
①当时，，∴在上恒成立，∴在上单调递增；
②当时，令，解得：，∴当时，；当时，；
∴在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【例7】已知，讨论函数的单调性；
【详解】，
①当时，，，，在递增，在递减.
当时，，或，即或，
②当时，，
当或时，，当时，，
所以在递增，在递减，在递增.
③当时，，，在上单调递增；
④当时，，
当或时，，当时，，
所以在递增，在递减，在递增.
【例8】已知函数，讨论函数的单调性；
【详解】，
，
①若，则，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
②若，则，所以函数在上递增，
③若，则，当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在和上递增，
④若，则，当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在和上递增，
综上所述，当时，函数在上递减，在上递增，
当时，函数在上递增，
当时，函数在上递减，在和上递增，
当时，函数在上递减，在和上递增；
变式4 已知函数，讨论的单调性.
【详解】，
由函数的定义域为，有，
①当时，，此时函数单调递增；
②当时，令可得，
可得函数在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
变式5 已知函数．试讨论函数的单调性．
【详解】
①当时，，当时，单调递增，当时，，单调递减，
即当时在上递减，上递增
当时，
②当时，由（1）知在单调递增
③当时，当时，，当时,故当和时，，当时，,因此在上单调递减，在上单调递增
④当时，当时，，当时,故当和时，，当时，,在上递减，上递增
【题型三】导函数为二次函数不可因式分解
（1）若二次项系数含参，①优先讨论二次项系数的正负，分三类，②再根据有无变号零点，讨论判别式，分两类：
（2）若限制了定义域，还必须结合韦达定理和判别式一起讨论两根是否大于0（在定义域内），不限于以下情况：
① 两根之积为定值，则讨论两根之和的正负。
② 两根之和为定值，则讨论两根之积的正负。
【例9】已知函数，讨论函数的单调性；
【详解】（1）函数的定义域为，，
令，，，
①当，即时，在上恒成立，
此时在上恒成立，在上单调递增，
②当，即时，根据韦达定理；
（i）当时，
由，解得，此时，
由，可解得，此时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（ii）当时，在上恒成立，此时在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，无单调减区间，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【例10】已知函数，，讨论函数的单调性.
【详解】的定义域为，，，
令，，
①若，即，则，当时，，单调递增，
②若，即，则，仅当时，等号成立，当时，，单调递增.
③若，即，则有两个零点，，
由，得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
变式6 已知函数．讨论的单调性
【详解】因为，
①当时，，所以在上单调递增．
当时，令，则．
②若，即时，恒成立，所以在上单调递增．
③若，即时，方程的根为，
在和上单调递增；在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
变式7 已知函数，讨论在上的单调性；
【详解】，的定义域为，，
当，即时，且不恒为0，所以在上单调递增；
当时，方程有两不等正根，
结合定义域由可得，由可得，
所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，方程有一负根和一正根，
结合定义域由可得，由可得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可知：
当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
含参函数单调性讨论总结
求导之后的形式 讨论策略
准一次 起点： 终点： 讨论一阶导图像的起点（及终点）的位置（正负），及后续的单调性。 若一阶导后续的单调性无法判断，则求二阶导。 再讨论二阶导图像的起点（及终点）的位置（正负），及后续的单调性。 重复步骤2,3 ①当，，在②当，令，，在
①当，，在②当，令，，在
求导之后的形式 讨论策略
二次可因式分解 解出，， 比较两根的大小，分为三种情况 当时,, ,当时， 当时,, ,
当时, ,当时,, , 当时，当时,, ,
求导之后的形式 讨论策略
一次与二次结合 其中； 可能不存在， 一定存在的根先不管，先讨论可能存在根的因式起点处的导数值的正负。 1.先讨论无零点，图像与x轴无交点（即起点大于0）；此时只有一个解。 2.再讨论有零点（即起点小于0），再去比较两个根，的大小关系，分为三种情况。 当时，即起点大于0 ,当时， ,当时,,当时,, ,
当时，即起点大于0 ,当时， ,当时,,当时,, ,
求导之后的形式 讨论策略
二次不可因式分解 此时， 先讨论判别式，分为，以及两类。 如果有定义域的限制，。当的前提下再讨论韦达定理的两根和与积的正负，目的是判断根的正负（负根舍去）。 当时,当时, ,
当时,当时,当时, ,
含参函数单调性讨论总结
求导之后的形式 讨论策略
准一次 起点： 终点： 讨论一阶导图像的起点（及终点）的位置（正负），及后续的单调性。 若一阶导后续的单调性无法判断，则求二阶导。 再讨论二阶导图像的起点（及终点）的位置（正负），及后续的单调性。 重复步骤2,3 ①当，，在②当，令，，在
①当，，在②当，令，，在
求导之后的形式 讨论策略
二次可因式分解 解出，， 比较两根的大小，分为三种情况 当时,, ,当时， 当时,, ,
当时, ,当时,, , 当时，当时,, ,
求导之后的形式 讨论策略
一次与二次结合 其中； 可能不存在， 一定存在的根先不管，先讨论可能存在根的因式起点处的导数值的正负。 1.先讨论无零点，图像与x轴无交点（即起点大于0）；此时只有一个解。 2.再讨论有零点（即起点小于0），再去比较两个根，的大小关系，分为三种情况。 当时，即起点大于0 ,当时， ,当时,,当时,, ,
当时，即起点大于0 ,当时， ,当时,,当时,, ,
求导之后的形式 讨论策略
二次不可因式分解 此时， 先讨论判别式，分为，以及两类。 如果有定义域的限制，。当的前提下再讨论韦达定理的两根和与积的正负，目的是判断根的正负（负根舍去）。 当时,当时, ,
当时,当时,当时, ,
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