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导数求解双参数
【题型一】比值型
零点比大小法: 比较函数零点和直线的零点。
零点比大小是指将函数 与函数 的零点比较大小, 进而解决问题. 图 象上看, 是观察直线 与曲线 的横截距的大小关系. 此方法要求 函数具有凹凸性, 可以解决形如“已知 (或 恒成立, 求 的最值”的问题,一般有如下两种形式:
(1) 若 恒成立, 为上凸函数, 如下左图, 则 ;
(2) 若 恒成立, 为下凸函数, 如下右图, 则 .
由(1)或(2)得出 的大小,进而可以求得 的最值.
（一）零点比大小法
【例1】设函数，若不等式对任意恒成立，求的最大值
【详解】由题意可知，对任意恒成立，
等价于，
如图，与轴交于点，直线在曲线上方，
则直线与轴交点小于等于，
即，所以，的最大值为，故答案为：．
【例2】当a＞0时，若不等式恒成立，则的最小值是_____．
【详解】由题意知：，由可得，即不等式恒成立，
令，易得为斜率大于0的一条直线，；,
当时，单增，当时，单减，又，
要使不等式恒成立，必有的零点与的零点重合
或者在的零点左侧，如图所示：
故有，解得，
当且仅当恰为在处的切线时取等，
此时的图像恒在图像的下方，
即满足恒成立，即恒成立.又，
故在处的切线方程为，
即时，取得最小值. 故答案为：.
【例3】设，若关于x的不等式在上恒成立，则的最小值是__．
【详解】，则，同时减去，
则，即，
再令，即，带入原式得：，
最后两边同时+1，则；
转化为，与横轴交于点，直线在曲线上方，
则直线与横轴交点小于等于2，
即，所以，的最小值为0，故答案为：0．
【例4】已知不等式 对 恒成立, 则 的最小值为 .
【详解】，令，，则，
令，。令，，则，故答案为：
【例5】（多选题）已知a，b为实数，当时，，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】BCD
【详解】令，则，则B、C、D选项满足.故选：BCD.
变式1 已知不等式对一切正数 恒成立, 则 的最小值为 .
【详解】 恒成立,
直线 在函数 图象的上方,
直线 在 轴上的截距为 ,
函数 在 处的切线为
,
则 , 故
变式2已知，，若不等式对恒成立，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】显然，若，当时，有，而，矛盾，∴，
令，则恒成立，即，，
因为与在都是增函数，所以函数在是增函数，
又，当时，，所以存在使得，
在上，，单调递减，在上，，单调递增，且，
，
∴，，
∴，
当且仅当，即时取等号，所以的取值范围是．故答案为：．
变式3已知e为自然对数的底数，a，b为实数，且不等式对任意的恒成立．则的最大值为______．
【答案】
【详解】，的零点为。的零点为，所以，则，可得。
变式4已知函数，当，恒成立，则的最大值为___________.
【答案】1
【详解】，，令，，令，，
则。综上可知，的最大值为1. 故答案为：1.
【题型二】单一变量
【例6】设．若正实数a，b满足：对于任意，都有，求的最大值．
【详解】若对于任意，都有，即可得恒成立，
令，则，
当时，恒成立，即在上单调递增，
显然当趋近于时，不等式并不恒成立，不合题意；
当时，令，解得，
所以当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
所以在处取得最小值，
即满足即可，即，
由可得，
设，则，
令可得，即时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以，即，所以的最大值为.
【例7】已知函数.设，若函数在区间上有一个零点，求的最小值以及此时的值.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 ；
（2）取到最小值，此时.
【详解】，则，
因为，存在，使，即，
且在区间上单调递减，在区间上单调递增.
因为在区间上有一个零点，
所以，
解得，
，因此.
设，则，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，，
所以当解得：，时，
取到最小值，此时.
变式5 已知函数（，）且），若恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【详解】函数的定义域为，
当时，可得在上单调递增，，不合题意；
当时，，令，解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，有极小值，也是最小值，
又因为且，所以，
则，得，所以，
设，，令，得，
当，，当，，所以在区间单调递减，单调递增，
所以，即的最小值为.故答案为：.
变式6 已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 .
【答案】
【详解】恒成立，，，，
，
令，则，所以，
当且仅当，即，时，等号成立.故答案为：
【题型三】距离型
【例8】设函数（a，）在区间上总存在零点，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】在区间上总存在零点，
即，即在直线上，
表示点到原点的距离的平方，的最小值为原点到直线的距离的平方，
即，
构造函数，，
所以在区间递减；在区间递增.
所以.所以的最小值为.故答案为：
变式7 设函数在区间上存在零点，则的最小值为 ．
【答案】/0.5
【详解】设为在上的零点，则，
所以，即点在直线，
又表示点到原点距离的平方，则能成立，即能成立，
令，可得，
因为，，所以恒成立，可得在上为单调递增函数，
所以当时，，的最小值为．故答案为：.
变式8 设函数在上的零点为，则当取得最小值时， ．
【答案】/
【详解】因为是的一个大于零的零点，所以，即，
所以点在直线上．
所以代数式的几何意义为点与原点间的距离的平方，即．
设到直线的距离为，则．
设，则，，则，
当时，；当时，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，此时，
因为，解得.故答案为：.
【题型四】恒成立之零点重合
【例9】 已知，，不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【详解】设，又，所以在单调递增，
当时，；当时，，
由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根，
即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点；
由题意知，则当时，；当时，，
所以是方程的根，则，即，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，则的最小值是8，故选：C
变式9 不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得，需满足是的一个根，
即，且，所以，，
当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.
故选：A.
变式10 设函数，若恒成立，则的最小值为 ．
【答案】2
【详解】令，则，令，则，
当时，恒成立，此时不符合恒成立；
当时，令，则，因为恒成立，
所以，所以，
令，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.故答案为：2
【题型五】其他类型
【例10】若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
所以即求直线的纵截距的最小值，
设，所以，
所以在单调递增，所以在的图象上凹，
所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小，
令切点横坐标为，所以直线过点，且直线斜率为
所以的直线方程为，
当时，，即直线与相切时，直线与无交点，
设，所以，
所以在时斜率为，在时斜率为，均小于直线的斜率，
所以可令直线在处与相交，在处与相交，
所以直线方程为，所以截距为.
故选：A.
变式11 若不等式在上恒成立，则的最大值为 ．
【答案】6
【详解】由，即，且，则，可得，
令，则，
可知在上单调递增，且，即，
由题意可知：在上恒成立，则，可得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为6.故答案为：6.
课后作业
1．已知函数，若恒成立，则的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】当时，函数为单调递减函数，为单调递增函数，
显然不能恒成立，所以，
由恒成立，即恒成立，即恒成立，
令，可得，
令，即，可得，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
所以，则，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，所以，
即的最大值为.故选：B.
2．已知对定义域内的任意恒成立，则的最大值为 .
【答案】
【详解】由得，
令，则原不等式变为，
令，则，
令，，，
令，解得，
时，，函数单调递减；，时，，函数单调递增．
时，函数取得极小值即最小值，，时，；
故当所以此时，单调递减，当，此时，单调递增，
函数在时取得极小值即最小值，，
的最大值为，故答案为：
若不等式对一切恒成立，其中为自然对数的底数，则的取值范围是________．
【解析】设,则f(0)=1,不等式对一切x∈R恒成立等价于不等式f(x)≤f(0)对一切x∈R恒成立,则f(x)max=f(0)=1,即x=0为函数f(x)的最大值点.
.
显然x=0为的一个零点,所以b+1=0,所以b=-1,所以.
（1）当a=0时,.当x>0时, <0,函数f(x)单调递减；当x<0时, >0,函数f(x)单调递增,所以f(x)max=f(0),满足题意.
（2）当a≠0时,.
①若a<0时，则，当或时，<0,函数f(x)单调递减；当时，>0,函数f(x)单调递增.又当时，，所以x=0为函数f(x)的最大值点，符合题意；
②若a>0时，则当时，，不符合题意；
综上所述：. 故答案为：.
若对于任意正实数 , 都有 (e 为自然对数的底数) 成立, 则 的最小值是 .
【答案】0
【解析】令 , 代入得: ,以下说明 时满足条件,
当 时, 令 ,
则 , 令 , 解得: ,
可知当 时, , 当 时, ,
故对任意正实数 , 都有 ,
故 时, , 满足题意, 故 的最小值是 0 ,故答案为: 0 .
已知不等式 , 且 对任意实数 恒成立, 则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】由 得,
考虑 与 在 轴上的截距,
只需 .
6．设函数，若恒成立，则的最小值为 ．
【答案】2
【详解】令，则，令，则，
当时，恒成立，此时不符合恒成立；
当时，令，则，因为恒成立，
所以，所以，
令，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
故答案为：2
7．已知函数，恒成立，求的最大值．
【详解】，
①当时，恒成立，所以在上单调递增，当时，，与矛盾．
②当时，在，上递减，在，上递增，
所以
所以，又，
所以
令，则
所以在上递增，，上递减，即．
所以当时，取到最大值，为．
8．已知，设，若函数在区间上存在零点，则当取到最小值时的零点为 .
【答案】
【详解】设函数在区间上的零点为，则，即，
两边平方得，
由柯西不等式可得，当且仅当时等号成立，即，，
设，，则，
令，得，在上单调递增，
令，得，在上单调递减，
所以当时，在上取最小值，即取最小值.
证明柯西不等式：，
，即故答案为：.
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导数求解双变量
【题型一】构造函数（转化为函数在定义域内单调）
【例1】已知函数，，设，若对任意两个不相等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【详解】：假设，，；
设，此时说明是单调递增函数
；
设，，
变式1 若对任意的恒成立，则的最小值为 。
【题型二】零点差
题目中出现了两个函数，且它们的函数值相等，求对应的横坐标的差。
（一）引入新的参数，两个零点分别用新的参数表示出来，转化为与参数有关的单一变量的最值问题。
【例2】已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为
A． B． C． D．
【详解】令，则，令，可得，
则.
显然，是增函数，观察可得当时，，故有唯一零点．
故当时，取得最小值为.故选C.
变式2 已知函数若成立，则的最小值为（）
A． B． C． D．
变式3 f (x)= (x+3)，g(x)=2，若g ()=f ()，则最小值为
（二）切线夹放缩
【例3】已知函数在点处的切线方程为．
（1）求，；
（2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；
（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．
【详解】（1）将代入切线方程中，得，所以，
又或，
又，所以，
若，则（舍去）；所以，则；
（2）由（1）可知，，所以，
令，有或，
故曲线与轴负半轴的唯一交点为
曲线在点处的切线方程为，则，
因为，所以，
所以，．
若，，若，，，
所以.
若，，，
，所以在上单调递增，
，函数在上单调递增．
当时，取得极小值，也是最小值，所以最小值．
（3），设的根为，则，又单调递减，
由（2）知恒成立．又，所以，
设曲线在点处的切线方程为，则，
令，．
当时，，当时，，
故函数在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即，
设的根为，则，又函数单调递增，故，故．
又，所以．
变式4 已知函数，
（1）设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；
（2）关于的方程有两个实数根，，且，证明：1+
【题型三】零点的比值
【例4】已知函数，若有两个极值点，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】，，令可得：.
有两个极值点，有两根
令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，，
令，则，解得：，此时.
有两根等价于与交于两点，，
即的取值范围为.故选：.
变式5已知函数，若有两个极值点，且，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【例5】已知函数，
（Ⅰ）若函数有两个极值点，求的取值范围；
（Ⅱ）若函数的极值点有三个，最小的记为，最大的记为，若的最大值为，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ），令，，∵有两个极值点
∴ 有两个不等的正实根∵
∴当时，，在上单调递增，不符合题意．
当时，当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增．
又∵，当→时，→，∴∴
综上，的取值范围是．
（Ⅱ）．∵有三个极值点
∴有三个零点，1为一个零点，其他两个则为的零点，由（Ⅰ）知.
∵∴的两个零点即为的最小和最大极值点，，即.∴
令，由题知.∴，，
∴
令，，则，令，则．
∴在上单调递增∴∴在上单调递减
∴故的最小值为．
【例6】已知.若有两个极值点，.
（1）求的取值范围；
（2）证明：.
【答案】(1);（2）证明见解析.
【详解】（1），令，即，
令，，则、是方程的两个正根，
则，即，有，，即，
（2）
，
要证，即证，
令，则，
令，则，则在上单调递减，
又，，
故存在，使，即，则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，
又，则，故，
即，即.
变式6 的两个极值点满足，则的最小值为 .
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导数求解双参数
【题型一】比值型
零点比大小法: 比较函数零点和直线的零点。
零点比大小是指将函数 与函数 的零点比较大小, 进而解决问题. 图 象上看, 是观察直线 与曲线 的横截距的大小关系. 此方法要求 函数具有凹凸性, 可以解决形如“已知 (或 恒成立, 求 的最值”的问题,一般有如下两种形式:
(1) 若 恒成立, 为上凸函数, 如下左图, 则 ;
(2) 若 恒成立, 为下凸函数, 如下右图, 则 .
由(1)或(2)得出 的大小,进而可以求得 的最值.
（一）零点比大小法
【例1】设函数，若不等式对任意恒成立，求的最大值
【解答】解：由题意可知，对任意恒成立，
等价于，
如图，与轴交于点，直线在曲线上方，
则直线与轴交点小于等于，
即，所以，的最大值为，故答案为：．
【例2】当a＞0时，若不等式恒成立，则的最小值是__________．
【解析】由题意知：，由可得，即不等式恒成立，
令，易得为斜率大于0的一条直线，；,
当时，单增，当时，单减，又，
要使不等式恒成立，必有的零点与的零点重合
或者在的零点左侧，如图所示：
故有，解得，
当且仅当恰为在处的切线时取等，
此时的图像恒在图像的下方，
即满足恒成立，即恒成立.又，
故在处的切线方程为，
即时，取得最小值. 故答案为：.
【例3】设，若关于x的不等式在上恒成立，则的最小值是__．
【解析】，则，同时减去，
则，即，
再令，即，带入原式得：，
最后两边同时+1，则；
转化为，与横轴交于点，直线在曲线上方，
则直线与横轴交点小于等于2，
即，所以，的最小值为0，故答案为：0．
【例4】已知不等式 对 恒成立, 则 的最小值为 .
【解析】，令，，则，
令，。令，，则，故答案为：
【例5】（多选题）已知a，b为实数，当时，，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】BCD
【详解】令，则，则B、C、D选项满足.故选：BCD.
变式1 已知不等式对一切正数 恒成立, 则 的最小值为 .
变式2已知，，若不等式对恒成立，则的取值范围是______．
变式3已知e为自然对数的底数，a，b为实数，且不等式对任意的恒成立．则的最大值为______．
变式4已知函数，当，恒成立，则的最大值为___________.
【题型二】单一变量
【例6】设．若正实数a，b满足：对于任意，都有，求的最大值．
【详解】若对于任意，都有，即可得恒成立，
令，则，
当时，恒成立，即在上单调递增，
显然当趋近于时，不等式并不恒成立，不合题意；
当时，令，解得，
所以当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
所以在处取得最小值，
即满足即可，即，
由可得，
设，则，
令可得，即时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以，即，所以的最大值为.
【例7】已知函数.设，若函数在区间上有一个零点，求的最小值以及此时的值.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 ；
（2）取到最小值，此时.
【详解】，则，
因为，存在，使，即，
且在区间上单调递减，在区间上单调递增.
因为在区间上有一个零点，所以，
解得，，因此.
设，则，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，，
所以当解得：，时，
取到最小值，此时.
变式5已知函数（，）且），若恒成立，则的最小值为 .
变式6 已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 .
【题型三】距离型
【例8】设函数（a，）在区间上总存在零点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】在区间上总存在零点，
即，即在直线上，表示点到原点的距离的平方，
的最小值为原点到直线的距离的平方，
即，
构造函数，，
所以在区间递减；在区间递增.
所以，所以的最小值为，故答案为：
变式7 设函数在区间上存在零点，则的最小值为 ．
变式8 设函数在上的零点为，则当取得最小值时， ．
【题型四】恒成立之零点重合
【例9】已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【详解】设，又，所以在单调递增，
当时，；当时，，
由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根，
即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点；
由题意知，则当时，；当时，，
所以是方程的根，则，即，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，则的最小值是8，故选：C
变式9 不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
B．2 C． D．
变式10 设函数，若恒成立，则的最小值为 ．
【题型四】其他类型
【例10】若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，所以即求直线的纵截距的最小值，
设，所以，
所以在单调递增，所以在的图象上凹，
所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小，
令切点横坐标为，所以直线过点，且直线斜率为
所以的直线方程为，
当时，，即直线与相切时，直线与无交点，
设，所以，
所以在时斜率为，在时斜率为，均小于直线的斜率，
所以可令直线在处与相交，在处与相交，
所以直线方程为，所以截距为.故选：A.
变式11 若不等式在上恒成立，则的最大值为 ．
课后作业
1．已知函数，若恒成立，则的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
2．已知对定义域内的任意恒成立，则的最大值为 .
3.若不等式对一切恒成立，其中为自然对数的底数，则的取值范围是________．
4.若对于任意正实数 , 都有 成立, 则 的最小值是 .
5.已知不等式 对任意实数 恒成立, 则 的最大值为（ ）
B. C. D.
6．设函数，若恒成立，则的最小值为 ．
7．已知函数，恒成立，求的最大值．
8．已知，设，若函数在区间上存在零点，则当取到最小值时的零点为 .
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导数求解双变量
【题型一】构造函数（转化为函数在定义域内单调）
【例1】已知函数，，设，若对任意两个不相等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【详解】：假设，，；
设，此时说明是单调递增函数
；
设，，
变式1 若对任意的恒成立，则的最小值为 。
【详解】 ，，两边同时除以，得到
；
设，此时说明在上是单调递减；
，，设在单调递减，
，
二、零点差，题目中出现了两个函数，且它们的函数值相等，求对应的横坐标的差。
（一）引入新的参数，两个零点分别用新的参数表示出来，转化为与参数有关的单一变量的最值问题。
【例2】已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，则，令，可得，
则.
显然，是增函数，观察可得当时，，故有唯一零点．
故当时，b a取得最小值为.
故选C.
变式2 已知函数若成立，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【详解】由题意可知，，即
设，
设，
在单调递减，单调递增
，所以选择
变式3 f (x)= (x+3)，g(x)=2，若g ()=f ()，则最小值为
【详解】设g()=f()=m，则=2m3，=
=2m+3
令h(x)=2x+3，则h’(x)=2
令h’(x)>0，得x>4，所以h(x)在（-，4）上单调递减，在（4，+）上单调递增
h(x)最小值为h(4)=78，即最小值为78
（二）切线夹放缩
【例3】已知函数在点处的切线方程为．
（1）求，；
（2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；
（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．
【详解】（1）将代入切线方程中，得，所以，
又或，
又，所以，
若，则（舍去）；所以，则；
（2）由（1）可知，，所以，
令，有或，
故曲线与轴负半轴的唯一交点为
曲线在点处的切线方程为，则，
因为，所以，
所以，．
若，，若，，，
所以.
若，，，
，所以在上单调递增，
，函数在上单调递增．
当时，取得极小值，也是最小值，所以最小值．
（3），设的根为，则，又单调递减，
由（2）知恒成立．又，所以，
设曲线在点处的切线方程为，则，
令，．
当时，，当时，，
故函数在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即，
设的根为，则，又函数单调递增，故，故．
又，所以．
变式4 已知函数在点(，)处的切线方程为．
(1)求a、b；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；
(3)若关于的方程有两个实数根，，且，证明：1+
【详解】（1）将代入切线方程中，有，
∴，即，又，
∴．
若，则，与矛盾，故．
（2）由(1)可知，，，
令，有或，故为．
曲线在点处的切线方程为，则，
令，则，
∴，
令g(x)＝，则，∴在R上单调递增，
∵，
∴当时，，单调递减，当x＞－1时，，单调递增．
∴，即成立．
（3）由(2)知在处的切线方程为，且f(x)≥h(x)，则，
设，则，
故，∵单调递减，∴，
设在处的切线方程为，易得，
令，则，
令，则，
当时，,单调递减，，
当时，,单调递增，
又∵，∴当时，，T(x)单调递减，
当时，，T(x)单调递增，∴，即，∴，
设，则，故，∵单调递增，故，
又，则.
三、零点的比值
【例4】已知函数，若有两个极值点，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】，，令可得：.
有两个极值点，有两根
令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，，
令，则，解得：，此时.
有两根等价于与交于两点，，
即的取值范围为.故选：.
变式5已知函数，若有两个极值点、且，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】，有两个极值点，则有两个零点，
即方程有两个实根，也即方程有两个实根，
令，则，
所以解得，解得，
从而在上单调递增，在上单调递减，
时；时，，
据此可作出函数的图像如下：
首先当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点，
其次，由图可知，且当时，随a的减小而增大，
不妨考虑的情形，此时，因为，所以，
将代入得：，两式相除得，故，即．
所以当且仅当时，有两个极值点、且．故选：A
【例5】已知函数，其中无理数.
（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；
（2）若函数的极值点有三个，最小的记为，最大的记为，若的最大值为，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1），令，，
∵有两个极值点∴ 有两个不等的正实根
∵∴当时，，在上单调递增，不符合题意．
当时，当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增．
又∵，当→时，→∴∴
综上，的取值范围是．
（2）．
∵有三个极值点
∴有三个零点，1为一个零点，其他两个则为的零点，由（Ⅰ）知.∵
∴的两个零点即为的最小和最大极值点，，即.∴
令，由题知.
∴，，，∴
令，，则，令，则．
∴在上单调递增∴∴在上单调递减
∴，故的最小值为．
【例6】已知.若有两个极值点，.
（1）求的取值范围；
（2）证明：.
【答案】(1);（2）证明见解析.
【详解】（1），令，即，
令，，则、是方程的两个正根，
则，即，有，，即，
（2）
，
要证，即证，
令，则，
令，则，则在上单调递减，
又，，
故存在，使，即，则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，
又，则，故，
即，即.
变式6 的两个极值点满足，则的最小值为 .
【答案】
【详解】由函数，，则，
因为函数两个极值点，则
①，②，得③，设，则且，代入③得，
设，则，
设，则，
在单调递减，，从而，在单调递减，，故的最小值为.
故答案为：
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