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可分离参数隐零点
【例1】已知函数，证明：函数存在唯一的极大值点，且．
【详解】证明：，则，
令，则，易知在单调递减，
又，（1），
故存在，使得，
且当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
由于，（1），（2），
故存在，使得，
且当时，，，单调递增，当，时，，，单调递减，故函数存在唯一的极大值点，且，即，
则，
令，则，
故在上单调递增，
由于，故（2），即，．
【例2】 已知，恒成立，求实数的取值范围．
【详解】分离参数，对任意的恒成立
记，则，
记，则，易知在上恒成立，
在上单调递增，且，（1），
存在，使得，且当时，即，
函数在上单调递减；
当，时，即，故在，上单调递增，
，即，
又，故，即，即，
由知函数在上单调递增，
，，
．综上，实数的取值范围是，．
变式1已知，在上恒成立，为整数。求的最大值．
变式2 已知，在上，恒成立，求实数的取值范围.
不可分离参数隐零点代换参数
【例3】已知函数，对任意，恒成立，求的取值范围
【答案】．
【详解】设，则，
设，则，
因为在上递增，
所以当时，，当时，
所以在上递减，在上递增，
所以，
令，则
所以在递减，
因为，所以，所以．
变式3已知函数恒成立，求实数的取值范围．
【例4】已知恒成立，求的取值范围.
【答案】{1}
【详解】令函数，则
①当时，在区间恒成立，此时g(x)在区间单调递增，又，易知，所以，故不合题意，
②当时，由 可得 即
令，则在区间上恒成立
所以在区间上单调递增，又因为，
所以存在，使得，两边同时取对数可得，
则当时，，即，当时，，即，
所以当时，，
故要使恒成立，只需，
令，则，
由，得到，由，得到，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，即，
所以只有唯一解，即.综上，a的取值集合为.
变式4 函数．证明：当时，．
【例5】 函数，有且仅有一个零点，求实数的值．
【答案】
【详解】因为，所以，
因为，所以令的根为，则，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，
因为函数有且仅有一个零点，所以，即，
又，所以，
令，则，
所以函数在上单调递增，
又因为时，，所以有唯一解，
将代入，可得.
变式5 已知函数有两个相异的零点，求的取值范围．
课后作业
1．已知函数，当时，证明．
已知函数，其中.若是的极小值点，证明:.
3．已知函数，试判断函数零点的个数．
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可分离参数隐零点
【例1】已知函数，证明：函数存在唯一的极大值点，且．
【详解】证明：，则，
令，则，易知在单调递减，
又，（1），
故存在，使得，
且当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
由于，（1），（2），
故存在，使得，
且当时，，，单调递增，当，时，，，单调递减，故函数存在唯一的极大值点，且，即，
则，
令，则，
故在上单调递增，
由于，故（2），即，．
【例2】 已知，恒成立，求实数的取值范围．
【详解】分离参数，对任意的恒成立
记，则，
记，则，易知在上恒成立，
在上单调递增，且，（1），
存在，使得，且当时，即，
函数在上单调递减；
当，时，即，故在，上单调递增，
，即，
又，故，即，即，
由知函数在上单调递增，
，，
．综上，实数的取值范围是，．
变式1已知，在上恒成立，为整数。求的最大值．
【详解】令，，
令，则，
所以在上单调递增，
而（3），（4），所以存在，使得，即，
故，且时，，，，，
即在上单调递减，在，上单调递增，
所以的最小值为，所以，
因为，，即的最大值为3．所以，的最大值为3．
变式2 已知，在上，恒成立，求实数的取值范围.
【详解】，
记，则恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以存在，使得，即当时，，此时；当时，，此时，所以在上单调递减，在上单调递增，
由，得，，
所以，
①当时，因为，所以不等式恒成立，所以；
②当时，因为存在，使得，而，此时不满足，所以无解.综上所述，.
不可分离参数隐零点代换参数
【例3】已知函数，对任意，恒成立，求的取值范围
【答案】．
【详解】设，则，
设，则，
因为在上递增，
所以当时，，当时，
所以在上递减，在上递增，
所以，
令，则
所以在递减，
因为，所以，所以．
变式3已知函数恒成立，求实数的取值范围．
【详解】恒成立，
因为，设，
因为△，，故存在，有，
且在时，在，时，
则在上单调递减，在，上单调递增
故要满足题意，有，
由可得代入上式，
，即，
由，所以函数在上单调递减，而（1），
①当，时，函数（1）符合要求
又所以，，即，，
②当时，函数（1）不符合要求
综上：，．
【例4】已知恒成立，求的取值范围.
【答案】{1}
【详解】令函数，则
①当时，在区间恒成立，此时g(x)在区间单调递增，又，易知，所以，故不合题意，
②当时，由 可得 即
令，则在区间上恒成立
所以在区间上单调递增，又因为，
所以存在，使得，两边同时取对数可得，
则当时，，即，当时，，即，
所以当时，，
故要使恒成立，只需，
令，则，
由，得到，由，得到，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，即，
所以只有唯一解，即.综上，a的取值集合为.
变式4 函数．证明：当时，．
【详解】令，则，，
由知，当时，只有1个零点，设为，则，
，，故，
当，，单调递减，当时，，单调递增，
故当时，函数取得最小值
，
．
【例5】 函数，有且仅有一个零点，求实数的值．
【答案】
【详解】因为，所以，
因为，所以令的根为，则，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，
因为函数有且仅有一个零点，所以，即，
又，所以，
令，则，
所以函数在上单调递增，
又因为时，，所以有唯一解，
将代入，可得.
变式5 已知函数有两个相异的零点，求的取值范围．
【详解】，其中，
①若时，则，
所以函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意．
②若时，令，得，
由题知，当时，，
所以，所以，
所以当时，函数的值域为，
所以存在，使得，即，①
当时，，所以函数在单调递增，在，单调递减．
因为函数有两个零点，，
所以，②
设，，则，所以在上单调递增，
由于（1），所以当时，，所以②式中的，
由①式得，
由题可知，当时，函数在上单调递减，所以，即，，
当，时，
（1）由于，所以，
因为，且函数在上单调递减，函数在上图象不间断，
所以函数，上恰有一个零点．
（2）由于，
令，设，
由于时，，，所以设，即，
由①式得当时，，且，
同理可得函数在，上恰有一个零点，综上，，．
课后作业
1．已知函数，当时，证明．
【详解】，其中，则，
令，则，所以在上单调递增．
因为，所以存在，
使得，可得，
当时，，即，则在上单调递减；
当时，，即，则在上单调递增，
所以，
所以，
已知函数，其中.若是的极小值点，证明:.
【详解】，且，，，
由是的极小值点，则且，可得，
要证，即，需证，即，
令且，只需证，而，
所以当时，，当时，，
所以上单调递减，上单调递增，故，
综上，只需，即即可，
若，则，故，
此时，且，
对于，则，显然时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以，故单调递增，无极小值，不符合题设；
综上，，故得证.
3．已知函数，试判断函数零点的个数．
【详解】已知函数，所以 .
i.当 时，因为，且所以对恒成立，
所以在上单调递增，无极值；
ii.当时，
令，解得（舍）.
列表得：
x
- 0 +
减函数 极小值 增函数
所以当时，取得极小值，且.
综上，当时，函数在上无极值；
当时，函数在处取得极小值.
②当时，在上单调递增，函数零点的个数为1；
当时，在上单调递, 在上单调递增,
函数在处取得极小值.
设单调递增, 单调递减,
又 ,
当时，趋近于0时趋近于正无穷大，
函数零点的个数为2;
当时，趋近于正无穷大时趋近于正无穷大，
函数零点的个数为2;
当时， 在上单调递, 在上单调递增,
函数在处取得极小值,
函数零点的个数为1;
当或时，函数零点的个数1; 当或时,函数零点的个数2;
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