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等比数列前n项和
知识点一 等比数列的有关概念
（1）等比数列的公比为，其前项和为
注：①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．
②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．
（2）当，时，是成等比数列的充要条件，此时．
（3）公比不为－1的等比数列的前项和，为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
【题型一】 等比数列求和的计算
【例1】设等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【详解】由题知：显然
即，解得或（舍），所以 故选：C
【例2】已知正项等比数列的首项，前项和为．且，，成等差数列，则（ ）．
A．8 B． C．16 D．
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，
所以，所以，所以，即，解得或
因为，所以，所以故选：A
【例3】若等比数列的前n项和则（ ）
A． B．4n-1 C． D．无法确定
【答案】C
【详解】当时，，
当时，，
因为数列为等比数列，所以当时，，解得，
所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，
当时，，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.故选：C
【例4】设数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题 故选D
变式1等比数列各项为正，成等差数列，为的前n项和，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设的公比为，∵，，成等差数列，∴，，，
∴，得或（舍去），∴.故选D.
变式2已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【详解】因为，所以，设公比为q，可得：，
两式相除得： 故选：A
变式3已知等比数列的项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】已知等比数列的项和.
当时，；
当时，.
由于数列为等比数列，则满足，所以，，解得，
，则，，且，
所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，
因此，. 故选：D.
变式4在与之间插入个数，组成等比数列，若所有项的和为，则此数列的项数为 .
【答案】
【详解】设此等比数列的公比为，则，故此数列共有项，故答案为：.
【题型二】 等比数列前n项和的性质
【例5】一个等比数列前项和为，前项和为，则前项和为 ．
【答案】
【详解】等比数列的第一个n项和为48，第二个n项和为，从而可以求得第三个n项和为，所以前3n项和为，故答案是63.
【例6】设是等比数列的前项和，若，则 .
【答案】
【详解】法一：设，当时，，不符合要求，故，
故，即，则.
法二：由为等比数列，故，
由，即，即，即，即.
【例7】设正项等比数列的首项，前项和为，且，则公比的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】化简得，因为为等比数列，为其前项和，
所以，所以故选A
变式5已知为等比数列的前项和，，，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，为等比数列的前n项和，则成等比数列，
由等比中项，得，即，解得或（舍去）.故选：C
变式6已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为( )
A．18 B．20 C．24 D．28
【答案】D
【详解】由等比数列的性质知，构成等比数列，
设，则构成等比数列，，解得或 (舍去)．
是以2为首项，为公比的等比数列，
则，故，故选：D
变式7等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由等比数列性质可知，成等比数列，因为，所以，
所以成等比数列，所以，所以，所以.故选：C.
【例8】已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.
又，，成等差数列，所以，，所以.
又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号. 故选：B.
变式8已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 .
【答案】
【详解】由等比数列的性质可得：，，成等比数列，则，
由于，所以
，
当且仅当时取最小值，故最小值为
知识点二 等边数列奇偶项求和
（1）项数为时：
，
结论：
项数为
，
结论：
【题型三】 奇偶项求和
【例9】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
【答案】D
【详解】设等比数列共有项，公比为，则该数列为：，
依题意，，于是得，，解得，
所以这个数列的公比为2，项数为8. 故选：D
【例10】一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求此数列的通项公式；
【答案】
【详解】解：设此等比数列有项，公比为，则．
由题意可得：，，，，
化为，，解得，．．
变式9已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64，则（ ）
A．1 B． C．2 D．1或
【答案】D
【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为，因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以，
所以，，故满足，解得，
又，所以.故选：D
变式10已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，
得到奇数项为，
偶数项为，整体代入得，
所以前项的和为，解得.故选：B
知识点三 错位相减求和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：．
【题型四】 错位相减法
【例11】记为数列的前n项和，且．
(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，；(2)
【详解】（1）证明：，
时，，相减可得：，可得．
时，，解得．
数列为等比数列，首项，公比为．．
（2）由（1）可得，，
数列的前项和，
，
相减可得，
化为得．
变式 11已知，求数列的前n项和．
【详解】，
则①，
②，
两式相减得：，
所以
【例12】已知数列前项和为，首项，且满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）时，；时， 两式作差得，故
又，故
（2）由（1）
，
变式 12 已知数列的前项和为，其中，且.
（1）求的通项公式.
（2）设，求的前项和.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由，可得，则，两式相减，可得，即，
又由，易知，所以当时，，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，可得，
则，
所以，
两式相减得
，
所以.
知识点四 其他求和方法
（1）数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．
（2）分组转化法求和的常见类型
【题型五】 分组求和法
【例13】已知数列{}满足，．
(1)求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【详解】(1)由题意可得：∵
所以是首项为2，公比为2的等比数列则，即
因此{}的通项公式为
由（1）知，令则
所以．
．综上．
变式 13已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】(1)解：因为，①
当时，．②
①②得，所以．当时，，也满足上式，所以．
(2)解：因为，
则，
则．
【例14】已知数列的前n项和为，且，，则
【详解】由题意得，
当时，，
所以，所以当n为偶数时。当n为奇数时，由已知可得，
①所以当n为偶数时
；
②当n为奇数时；
所以
变式 14设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足求.
【答案】（I），；（II）
【详解】（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意，得，解得，故，，
所以，的通项公式为，的通项公式为；
（II）
，
记 ①
则 ②
②①得，，
所以.
【题型六】 奇偶并项求和
【例15】已知数列，，数列的前n项和为，求
【详解】构造
变式15 已知，求数列的前项之和.
【答案】．
【详解】 ， ，
①
②
，
，
.
【题型七】 数列恒成立
【例16】已知数列的前n项和为，，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）当时，，
当时，，
两式相减，得，又，
所以数列为等比数列，首项为2，公比为3，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
，
则有，
两式相减得：
，
于是得，
因为且，，
当时，数列是递增数列，所以的最小值为18，
因此.
变式16 已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为 ．
【答案】
【详解】对于，
当时，
当时，
经检验：对也成立，∴所以，
∴
，
两式相减得，，，
所以 所以，
令 ，，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，t的最小值为．
故答案为：
【例17】（多选题）数列定义如下：，，若对于任意，数列的前项已定义，则对于，定义，为其前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列的第项为 B．数列的第2023项为
C．数列的前项和为 D．
【答案】ACD
【详解】
…，
，故A选项正确；
，
，故B选项错误；
，，…，当时，，
所以，故C选项正确；
当时，，
，故D选项正确；
故选：ACD.
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等比数列前n项和
知识点一 等比数列的有关概念
1.等比数列的公比为，其前项和为
注：①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．
②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．
当，时，是成等比数列的充要条件，此时．
公比不为－1的等比数列的前项和，为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
【题型一】 等比数列求和的计算
【例1】设等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【详解】由题知：显然
即，解得或（舍），所以 故选：C
【例2】已知正项等比数列的首项，前项和为．且，，成等差数列，则（ ）．
A．8 B． C．16 D．
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，
所以，所以，所以，即，解得或
因为，所以，所以故选：A
【例3】若等比数列的前n项和则（ ）
A． B．4n-1 C． D．无法确定
【答案】C
【详解】当时，，
当时，，
因为数列为等比数列，所以当时，，解得，
所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，
当时，，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.故选：C
【例4】设数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题 故选D
变式1等比数列各项为正，成等差数列，为的前n项和，则
A． B． C． D．
变式2已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
变式3已知等比数列的项和，则（ ）
A． B． C． D．
变式4在与之间插入个数，组成等比数列，若所有项的和为，则此数列的项数为 .
【题型二】 等比数列前n项和的性质
【例5】一个等比数列前项和为，前项和为，则前项和为 ．
【答案】
【详解】等比数列的第一个n项和为48，第二个n项和为，从而可以求得第三个n项和为，所以前3n项和为，故答案是63.
【例6】设是等比数列的前项和，若，则 .
【答案】
【详解】法一：设，当时，，不符合要求，故，
故，即，则.
法二：由为等比数列，故，
由，即，即，即，即.
【例7】设正项等比数列的首项，前项和为，且，则公比的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】化简得，因为为等比数列，为其前项和，
所以，所以故选A
变式5已知为等比数列的前项和，，，则（ ）
A．3 B． C． D．
变式6已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为( )
A．18 B．20 C．24 D．28
变式7等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例8】已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.
又，，成等差数列，所以，，所以.
又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号. 故选：B.
变式8已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 .
知识点二 等边数列奇偶项求和
（1）项数为时：
，
结论：
项数为
，
结论：
【题型三】 奇偶项求和
【例9】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
【答案】D
【详解】设等比数列共有项，公比为，则该数列为：，
依题意，，于是得，，解得，
所以这个数列的公比为2，项数为8. 故选：D
【例10】一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求此数列的通项公式；
【答案】
【详解】解：设此等比数列有项，公比为，则．
由题意可得：，，，，
化为，，解得，．．
变式9已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64，则（ ）
A．1 B． C．2 D．1或
变式10已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
知识点三 错位相减求和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：．
【题型四】 错位相减法
【例11】记为数列的前n项和，且．
(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，；(2)
【详解】（1）证明：，
时，，相减可得：，可得．
时，，解得．
数列为等比数列，首项，公比为．．
（2）由（1）可得，，
数列的前项和，
，
相减可得，
化为得．
变式 11已知，求数列的前n项和．
【例12】已知数列前项和为，首项，且满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）时，；时， 两式作差得，故
又，故
（2）由（1）
，
变式 12 已知数列的前项和为，其中，且.
（1）求的通项公式.
（2）设，求的前项和.
知识点四 其他求和方法
（1）数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．
（2）分组转化法求和的常见类型
【题型五】 分组求和法
【例13】已知数列{}满足，．
(1)求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【详解】(1)由题意可得：∵
所以是首项为2，公比为2的等比数列则，即
因此{}的通项公式为
由（1）知，令则
所以．
．综上．
变式 13已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【例14】已知数列的前n项和为，且，，则
【详解】由题意得，
当时，，
所以，所以当n为偶数时。当n为奇数时，由已知可得，
①所以当n为偶数时
；
②当n为奇数时；
所以
变式 14设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足求.
【题型六】 奇偶并项求和
【例15】已知数列，，数列的前n项和为，求
【详解】构造
变式15 已知，求数列的前项之和.
【题型七】 数列恒成立
【例16】已知数列的前n项和为，，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）当时，，
当时，，
两式相减，得，又，
所以数列为等比数列，首项为2，公比为3，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
，
则有，
两式相减得：
，
于是得，
因为且，，
当时，数列是递增数列，所以的最小值为18，
因此.
变式16 已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为 ．
【例17】（多选题）数列定义如下：，，若对于任意，数列的前项已定义，则对于，定义，为其前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列的第项为 B．数列的第2023项为
C．数列的前项和为 D．
【答案】ACD
【详解】
…，
，故A选项正确；
，
，故B选项错误；
，，…，当时，，
所以，故C选项正确；
当时，，
，故D选项正确；
故选：ACD.
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