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等比数列
知识点一 等比数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．
等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．
即是与的等比中项 ，，成等比数列 ．
等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
【题型一】 等比数列通项公式
【例1】在等比数列中，
（1），，求；
（2），，若，求n的值．
（3）公比 ，且 ，求
（4）已知 ，求
【详解】（1）设数列的公比为q，
因为，所以，，所以．
（2）因为，所以．由，得．
由，解得．
（3）由 ，得 ，即，代入，得 ，
又 ，解得： （舍）或 ，∴ ，则 ，
（4）在等比数列中，，，设公比为，
故 ，显然不合题意，
两式相除得，即，即 ，解得或.
当时， ；当时，，∴或.
【例2】在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】解：依题意，由；
由且；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B
【例3】在等比数列中，，则（ ）
A．-4 B．8 C．-16 D．16
【详解】设等比数列的公比为，则，即，.故选:C.
变式1在等比数列中，，则（ ）
A． B． C．16 D．8
变式2已知等比数列的各项均为正，且成等差数列，则数列的公比是（ ）
A． B．2 C． D．或
变式3已知数列满足，且，则的值是（ ）
A． B．5 C．4 D．
知识点二 等比数列的性质
等比中项的推广．若时，则，特别地，当时，．
①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．
②若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为．
等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．
当或时，为递增数列；
当或时，为递减数列．
【题型二】 等比数列的性质
【例4】已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【例5】在等比数列中，是方程的两个实根，则（ ）
A．-5 B．±5 C．5 D．25
【答案】A
【详解】由题意得，得，则.由，得.
【例6】设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论：
①若与均为等差数列，则中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【详解】对于①，若与均为等差数列，不妨设各自公差分别为，
则，所以，
因为与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，所以：
（i）若，则，则；
（ii）若，则，则不存在；
（iii）若，，则；综上①正确；
对于②，若与均为等比数列，不妨设各自公比分别为，
显然，显然该数列的奇数项都相同，故②错误；
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，则由和的散点图可得
：关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，
否则，因单调性相反，
方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即
否则，因单调性相反，
方程至多一个奇数解，
因为，不可能同时成立，
故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确.
对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故选：C
变式4已知为递增等比数列，则
A． B．5 C．6 D．
变式5在等比数列中，，是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
变式6已知正项等比数列中，，，成等差数列.若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【题型三】 等比前n项积
【例7】（多选）已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ）
A． B．
C．的值是中最大的 D．使成立的最大正整数数的值为198
【答案】ABD
【详解】∵，∴，∴.∵，∴，
又，∴.故A正确.
由A选项的分析可知，，∴，∴，，故B正确，C不正确.
∴，
，
∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确.故选：ABD
变式7已知等比数列各项均为正数，且满足：，，其前项的积为，，则使得的最小正数n为（ ）
A．36 B．35 C．34 D．33
【题型四】 与混合
【例8】已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列前项和为，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，两式相减得，，
又，，．所以数列是首项为，公比是的等比数列，所以．
（2）证明：，
因为，
所以，
因为，所以．
变式8已知数列的前项和为，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【题型五】 构造等比数列
【例9】已知数列中，.求的通项公式；
【详解】因为，所以，
又，所以是等比数列，，所以；
变式9已知数列满足，若，则（ ）．
A．4 B．3 C． D．2
【例10】（多选）已知数列满足，则（ ）
A．成等比数列
B．当时，
C．当时，
【答案】BC
【详解】由，得．
当时，，
故．
当时，，是以2为首项，为公比的等比数列，
，．
选项A错误；选项B，C正确．故选：BC．
变式10已知数列满足，且，求数列的通项公式.
【例11】已知正项数列中，，则数列的通项（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】在递推公式的两边同时除以，得①，
令，则①式变为，即，
所以数列是等比数列，其首项为，公比为，
所以，即，所以，所以，
变式11已知数列满足，，．求的通项公式；
【题型六】 等比数列的判定
【例12】 在数列中，，，且.设，证明：是等比数列；
【详解】当时，，由得：，即，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列.
变式12已知数列满足，，设.
（1）证明：数列为等比数列.
（2）求的通项公式.
【例13】已知数列满足，，.
（1）若，试问是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）在（1）的条件下，求数列的通项公式.
【答案】（1）存在，使得数列是首项为1，公比为的等比数列.（2）
【详解】（1）由，得，
因为，所以
要使数列是等比数列，需使对任意恒成立，所以，解得.
此时，且首项
所以存在，使得数列是首项为1，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，，所以.
令，得，即，所以.
因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
所以. 即.
变式13已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数．
（1）对于任意实数，证明：数列不是等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论．
变式14（多选）记为数列的前项和，若，，则（ ）
A．为等比数列 B．为等差数列
C．为等比数列 D．为等差数列
【例14】已知数列满足，．
(1)求，；
(2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
【答案】(1)，；(2)证明见解析，
【详解】（1）因为数列满足，，
所以，．即，
（2）．
∵，∴数列的各项均不为0，
∴，即数列是首项为，公比为的等比数列，
变式15已知数列，，，则
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等比数列
知识点一 等比数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．
等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．
即是与的等比中项 ，，成等比数列 ．
等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
【题型一】 等比数列通项公式
【例1】在等比数列中，
（1），，求；
（2），，若，求n的值．
（3）公比 ，且 ，求
（4）已知 ，求
【详解】（1）设数列的公比为q，
因为，所以，，所以．
（2）因为，所以．由，得．
由，解得．
（3）由 ，得 ，即，代入，得 ，
又 ，解得： （舍）或 ，∴ ，则 ，
（4）在等比数列中，，，设公比为，
故 ，显然不合题意，
两式相除得，即，即 ，解得或.
当时， ；当时，，∴或.
【例2】在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】解：依题意，由；
由且；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B
【例3】在等比数列中，，则（ ）
A．-4 B．8 C．-16 D．16
【详解】设等比数列的公比为，则，即，.故选:C.
变式1在等比数列中，，则（ ）
A． B． C．16 D．8
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，则，即，
由，可得，即，所以.故选：A
变式2已知等比数列的各项均为正，且成等差数列，则数列的公比是（ ）
A． B．2 C． D．或
【答案】C
【详解】成等差数列，，
，即，，故.故选：C
变式3已知数列满足，且，则的值是（ ）
A． B．5 C．4 D．
【答案】A
【详解】由，可得，所以数列是公比为3的等比数列，
因为，所以.故选：A
知识点二 等比数列的性质
等比中项的推广．若时，则，特别地，当时，．
①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．
②若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为．
等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．
当或时，为递增数列；
当或时，为递减数列．
【题型二】 等比数列的性质
【例4】已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【例5】在等比数列中，是方程的两个实根，则（ ）
A．-5 B．±5 C．5 D．25
【答案】A
【详解】由题意得，得，则.由，得.
【例6】设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论：
①若与均为等差数列，则中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【详解】对于①，若与均为等差数列，不妨设各自公差分别为，
则，所以，
因为与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，所以：
（i）若，则，则；
（ii）若，则，则不存在；
（iii）若，，则；综上①正确；
对于②，若与均为等比数列，不妨设各自公比分别为，
显然，显然该数列的奇数项都相同，故②错误；
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，则由和的散点图可得
：关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，
否则，因单调性相反，
方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即
否则，因单调性相反，
方程至多一个奇数解，
因为，不可能同时成立，
故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确.
对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故选：C
变式4已知为递增等比数列，则
A． B．5 C．6 D．
【答案】D
【详解】根据题意，等比数列中，设其公比为，
因为，则有，又由，且，解得，所以，
所以，故选D.
变式5在等比数列中，，是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，，，则，且，选A
变式6已知正项等比数列中，，，成等差数列.若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【详解】设正项等比数列公比为，由，，成等差数列，
有，即，得，由，解得，
若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，
则，即，得，则，
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3. 故选：B
【题型三】 等比前n项积
【例7】（多选）已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ）
A． B．
C．的值是中最大的 D．使成立的最大正整数数的值为198
【答案】ABD
【详解】∵，∴，∴.∵，∴，
又，∴.故A正确.
由A选项的分析可知，，∴，∴，，故B正确，C不正确.
∴，
，
∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确.故选：ABD
变式7已知等比数列各项均为正数，且满足：，，其前项的积为，，则使得的最小正数n为（ ）
A．36 B．35 C．34 D．33
【答案】B
【详解】由得：，.
，又，
，，
，则使得的最小正数n为35.故选：B.
【题型四】 与混合
【例8】已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列前项和为，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，两式相减得，，
又，，．所以数列是首项为，公比是的等比数列，所以．
（2）证明：，
因为，
所以，
因为，所以．
变式8已知数列的前项和为，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】由题意知，故时，，
当时，，，则，即，故，
则为首项是，公比为的等比数列，故，
随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值，
故时，取最大值，最大值为，故选：C
【题型五】 构造等比数列
【例9】已知数列中，.求的通项公式；
【详解】因为，所以，
又，所以是等比数列，，所以；
变式9已知数列满足，若，则（ ）．
A．4 B．3 C． D．2
【答案】B
【详解】由可得，所以，则是公比为的等比数列，
所以，所以.故选：B.
【例10】（多选）已知数列满足，则（ ）
A．成等比数列
B．当时，
C．当时，
【答案】BC
【详解】由，得．
当时，，
故．
当时，，是以2为首项，为公比的等比数列，
，．
选项A错误；选项B，C正确．故选：BC．
变式10已知数列满足，且，求数列的通项公式.
【答案】，见解析
【详解】，
，等式两边同时加上得
即
是以为首项，为公比的等比数列；
；
【例11】已知正项数列中，，则数列的通项（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①，
令，则①式变为，即，
所以数列是等比数列，其首项为，公比为，
所以，即，所以，所以，
解法二：设，则，
与比较可得，所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，所以，故选：D
变式11已知数列满足，，．求的通项公式；
【详解】因为，，所以，
又，则，所以以4为首项，4为公比的等比数列，故.
【题型六】 等比数列的判定
【例12】 在数列中，，，且.设，证明：是等比数列；
【详解】当时，，由得：，即，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列.
变式12已知数列满足，，设.
（1）证明：数列为等比数列.
（2）求的通项公式.
【答案】 (1)见证明；(2)
【详解】（1）由题知，
又因为，所以，
由（1）知，所以数列是公比和首项均为2的等比数列.
（2）由（2）知，所以，故.
【例13】已知数列满足，，.
（1）若，试问是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）在（1）的条件下，求数列的通项公式.
【答案】（1）存在，使得数列是首项为1，公比为的等比数列.（2）
【详解】（1）由，得，
因为，所以
要使数列是等比数列，需使对任意恒成立，所以，解得.
此时，且首项
所以存在，使得数列是首项为1，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，，所以.
令，得，即，所以.
因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
所以. 即.
变式13已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数．
（1）对于任意实数，证明：数列不是等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；(2)当时是等比数列，证明见解析
【详解】（1）解：假设若存在实数，使得数列是等比数列，
则必有，，，．
由，整理得，矛盾．
故假设错误，因此对于任意实数，数列不是等比数列；
（2）证明：若存在实数使得数列是等比数列，则常数．
，
当且仅当，即时上式成立．
因此当时，为常数，数列是等比数列．
变式14（多选）记为数列的前项和，若，，则（ ）
A．为等比数列 B．为等差数列
C．为等比数列 D．为等差数列
【答案】AB
【详解】由题意知，，故时，，则，即，
由，，得，，
故，故为等比数列，A正确；
由以上分析知，则，故为以为首项，公差为的等差数列，B正确；
则，即，
则，
即，则，则不为常数，
故不为等比数列，C错误；
由于，
故不为常数，
故不为等差数列，D错误，故选：AB
【例14】已知数列满足，．
(1)求，；
(2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
【答案】(1)，；(2)证明见解析，
【详解】（1）因为数列满足，，
所以，．即，
（2）．
∵，∴数列的各项均不为0，
∴，即数列是首项为，公比为的等比数列，
变式15已知数列，，，则
【详解】由题意得，
当时，，
所以，
①当n为偶数时。
②当n为奇数时，由已知可得，
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