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等差数列
知识点一 等差数列的有关概念
等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
【题型一】等差数列的通项
【例1】在等差数列中，已知，，则等于
A．50 B．52 C．54 D．56
【答案】C
【详解】设等差数列公差为
则，解得：
，本题正确选项：
【例2】判断下列数列是否为等差数列，若是，首项和公差分别是多少？
(1)数列的通项公式为；
(2)数列的通项公式为．
【答案】(1)数列为等差数列，且首项，公差;(2)数列不是等差数列
【详解】（1）由可得，
因为，所以数列为等差数列，且首项，公差．
（2）由可得 ，，因为不是常数，
所以数列不是等差数列．
变式1已知数列的通项公式为（p，q为常数），当p和q满足什么条件时，数列是等差数列？
变式2已知等差数列：3，7，11，15，….
（1）求的通项公式.
（2）135，是数列中的项吗？如果是，是第几项？
（3）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？
【题型二】等差中项
【例3】等差数列中，已知，，求（ ）
A．11 B．22 C．33 D．44
【答案】B
【详解】∵等差数列中，，
∴，，
∴，，∴，故选：B.
【例4】设，，若是与的等差中项，则 .
【答案】2
【详解】是与的等差中项，
,即，
，即，则.故答案为：2.
【例5】已知在递增的等差数列中，，．求的通项公式．
【答案】
【详解】设数列的公差为，所以∴，，∴．
变式3等差数列中，，则的值为（ ）
A． B．
C．10 D．20
变式4设，若是与的等差中项，则的最小值为 .
变式5 已知在递增的等差数列中，，．求的通项公式．
知识点二 等差数列的性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
（1）通项公式的推广：．
（2）
（3），…仍是等差数列，公差为．
（4）若，是等差数列，则也是等差数列．
【题型三】等差数列的性质
【例6】已知，数列，，，与，，，，都是等差数列，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】数列，，，和，，，，各自都成等差数列，
，，，．故选:A．
【例7】若数列 是等差数列，且 ，则 （ ）
A．30 B． C．20 D．
【答案】A
【详解】数列是等差数列，则是和的等差中项，
有，即，解得.故选：A
【例8】已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为为等差数列，设公差为，因为数列单调递增，所以，
所以，则，解得：，故选：C
【例9】（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数.
（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数.
【答案】（1），，；（2），，，.
【详解】（1）设这三个数依次为，，，
由题意可得：，解得：，所以这三个数依次为，，.
（2）设这四个数依次为，，， (公差为)，
由题意可得，解得或(舍)，故所求的四个数依次为，，，.
变式6（多选题）在等差数列中，公差，，则下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式7 数列是等差数列，且，，那么（ ）
A． B． C．5 D．
变式8已知是首项为－24的等差数列，且从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式9（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列；
（2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．
【题型四】等差数列的函数性质
【例10】（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为．
由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立；
若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立．故选：ABC．
【例11】（多选）已知函数，若函数有4个零点，且其4个零点，，，成等差数列，则（ ）
A．函数是偶函数 B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】因为，所以当时，，
当时，，其图象如图所示，
对于选项A，因为的定义域为关于原点对称，
又，所以选项A正确，
由图知，且，，
又，，，成等差数列，所以，又，得到，所以选项B错误，
对于选项C，因，得到，所以，故选项C正确；
对于选项D，又，所以，得到，
所以，故选项D正确，
故选：ABD.
变式10若函数在上的零点从小到大排列后构成等差数列，则的取值可以为（ ）
A．0 B．1 C． D．
变式11已知函数定义域为R，且.当时，.
若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【题型五】构造等差数列求通项
【例12】已知数列{}满足，（）．证明：数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式．
【详解】当时，由，得，
∴{}是公差为1的等差数列，又∵，∴，则．
变式12已知数列中，，．记，判断是否为等差数列，并说明理由；
【例13】已知数列满足，，设.
（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（2）求的通项公式.
【答案】（1）数列是以为首项，为公差的等差数列；答案见解析；（2）.
【详解】（1）数列是以为首项，为公差的等差数列.理由如下：
将两边同时除以可得
，化简可得，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，
所以.
变式13已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求.
【例14】已知数列满足，且.是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；求数列通项公式.
【答案】存在，；
【详解】假设存在一个实数符合题意，则必为与无关的常数，
∵，
要使是与无关的常数，则，得，
故存在一个实数，使得数列为公差为1等差数列.
由数列是首项为，公差的等差数列，
∴，得.
变式14已知数列满足，且（且）.
（1）求，的值；
（2）设，是否存在实数，使得是等差数列？若存在，求出的值，否则，说明理由.
【例15】已知数列中，，，且），则数列的最大项的值是
【答案】226
【详解】解：且，，即，
又，数列是等差数列，首项为29，公差为，，
当时，
，也满足上式 ，
数列的通项，由二次函数的知识知当时，取得最大值．
【题型六】数列的公共项
【例16】已知无穷等差数列，首项，公差，依次取出项数能被4除余3的项组成数列.
（1）求的通项公式；
（2）中的第503项是中的第几项？
【答案】（1）；（2）第2011项.
【详解】（1）设中的第项是中的第项，即，则，
，即的通项公式为.
（2），设它是的第项，则，解得，
即中的第503项是中的第2011项.
【例17】已知等差数列2,6,10，…，190，…，和等差数列2,8,14，…，200，…，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的通项公式＝ .
【答案】12n－10
【详解】解：等差数列2，6，10，，190，…的公差为4，2，8，14，，200，…的公差为6，
2与6的最小公倍数为12，两个等差数列的公共项为2，14，26，38，50，，则公共项为．
故答案为：
变式15已知等差数列和等差数列…各有100项，问它们有多少个相同的项？记这些共同的项从小到大依次构成数列，问数列是否为等差数列？
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等差数列
知识点一 等差数列的有关概念
等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
【题型一】等差数列的通项
【例1】在等差数列中，已知，，则等于
A．50 B．52 C．54 D．56
【答案】C
【详解】设等差数列公差为
则，解得：
，本题正确选项：
【例2】判断下列数列是否为等差数列，若是，首项和公差分别是多少？
(1)数列的通项公式为；
(2)数列的通项公式为．
【答案】(1)数列为等差数列，且首项，公差;(2)数列不是等差数列
【详解】（1）由可得，
因为，所以数列为等差数列，且首项，公差．
（2）由可得 ，，因为不是常数，
所以数列不是等差数列．
变式1已知数列的通项公式为（p，q为常数），当p和q满足什么条件时，数列是等差数列？
【答案】见解析
【详解】∵，∴
∴
若数列是等差数列，则①式应该是一个与n无关的常数，
∴，即当，时，数列为等差数列．
变式2已知等差数列：3，7，11，15，….
（1）求的通项公式.
（2）135，是数列中的项吗？如果是，是第几项？
（3）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？
【答案】（1）；（2）135是数列中的项，是第34项，是数列中的项，是第项；（3）是数列中的项，是第项.
【详解】解：（1）设数列的公差为.依题意，有，，∴.
（2）令，得，∴135是数列中的项，是第34项.
∵，且，∴是数列中的项，是第项.
∵，是数列中的项，∴，，
∴.
∵，∴是数列中的项，是第项.
【题型二】等差中项
【例3】等差数列中，已知，，求（ ）
A．11 B．22 C．33 D．44
【答案】B
【详解】∵等差数列中，，
∴，，∴，，∴，故选：B.
【例4】设，，若是与的等差中项，则 .
【答案】2
【详解】是与的等差中项，,即，
，即，则.故答案为：2.
【例5】已知在递增的等差数列中，，．求的通项公式．
【答案】
【详解】设数列的公差为，所以∴，，∴．
变式3等差数列中，，则的值为（ ）
A． B．
C．10 D．20
【答案】A
【详解】由，所以.故选：A
变式4设，若是与的等差中项，则的最小值为 .
【答案】9
【详解】由已知，即，
所以，又，所以，
当且仅当，即时等号成立．所以最小值为9．故答案为：9．
变式5 已知在递增的等差数列中，，．求的通项公式．
知识点二 等差数列的性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
（1）通项公式的推广：．
（2）
（3），…仍是等差数列，公差为．
（4）若，是等差数列，则也是等差数列．
【题型三】等差数列的性质
【例6】已知，数列，，，与，，，，都是等差数列，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】数列，，，和，，，，各自都成等差数列，
，，，．故选:A．
【例7】若数列 是等差数列，且 ，则 （ ）
A．30 B． C．20 D．
【答案】A
【详解】数列是等差数列，则是和的等差中项，
有，即，解得.故选：A
【例8】已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为为等差数列，设公差为，因为数列单调递增，所以，
所以，则，解得：，故选：C
【例9】（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数.
（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数.
【答案】（1），，；（2），，，.
【详解】（1）设这三个数依次为，，，由题意可得：，解得：，
所以这三个数依次为，，.
（2）设这四个数依次为，，， (公差为)，
由题意可得，解得或(舍)，故所求的四个数依次为，，，.
变式6（多选题）在等差数列中，公差，，则下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】，则是递增数列，因此由得，，
，，，又，故选：ABC
变式7 数列是等差数列，且，，那么（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【详解】令得，令得，
所以数列的公差为，所以，解得，故选：B
变式8已知是首项为－24的等差数列，且从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设的公差为d，则，，由题意可得，，解得．
变式9（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列；
（2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．
【答案】（1）或；（2）.
【详解】（1）设这四个数分别为，，，，则，
又该数列是递增数列，所以，所以，，所以此等差数列为或．
（2）设等差数列的公差为，则其前三项分别为，，，
则，解得或．
因为数列为递增数列，所以，所以等差数列的通项公式为．
【题型四】等差数列的函数性质
【例10】（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为．
由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立；
若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立．
故选：ABC．
【例11】（多选）已知函数，若函数有4个零点，且其4个零点，，，成等差数列，则（ ）
A．函数是偶函数 B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】因为，所以当时，，
当时，，其图象如图所示，
对于选项A，因为的定义域为关于原点对称，
又，所以选项A正确，
由图知，且，，
又，，，成等差数列，所以，又，得到，所以选项B错误，
对于选项C，因，得到，所以，故选项C正确；
对于选项D，又，所以，得到，
所以，故选项D正确，
故选：ABD.
变式10若函数在上的零点从小到大排列后构成等差数列，则的取值可以为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】ABD
【详解】因为函数有零点，所以．
画出函数与的图象，如图所示．
当或1时，经验证，符合题意．
当时，由题意可得．
因为，所以．
故选：ABD.
变式11已知函数定义域为R，且.
当时，.若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】ABD
【详解】令，得到.
由已知，，则的周期为2.
其大致图像如图所示，由图可知，
令，得到.
①当时，零点为1 3 5 7 …，满足题意；
②当时，零点为0 2 4 6 …，满足题意；
③当时，若零点从小到大构成等差数列，公差只能为1.
由，得，此时；
④当时，函数无零点，不符合题意.
故选：ABD.
【题型五】构造等差数列求通项
【例12】已知数列{}满足，（）．证明：数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式．
【详解】当时，由，得，
∴{}是公差为1的等差数列，又∵，∴，则．
变式12已知数列中，，．记，判断是否为等差数列，并说明理由；
【详解】根据题意，当时，有；
当时， ；
所以数列是以1为首项、公差为1的等差数列．
【例13】已知数列满足，，设.
（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（2）求的通项公式.
【答案】（1）数列是以为首项，为公差的等差数列；答案见解析；（2）.
【详解】（1）数列是以为首项，为公差的等差数列.理由如下：
将两边同时除以可得
，化简可得，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，所以.
变式13已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求.
【答案】
【详解】因为，
所以，
则，故，
又，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列.
所以，则.
【例14】已知数列满足，且.是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；求数列通项公式.
【答案】存在，；
【详解】假设存在一个实数符合题意，则必为与无关的常数，
∵，
要使是与无关的常数，则，得，
故存在一个实数，使得数列为公差为1等差数列.
由数列是首项为，公差的等差数列，
∴，得.
变式14已知数列满足，且（且）.
（1）求，的值；
（2）设，是否存在实数，使得是等差数列？若存在，求出的值，否则，说明理由.
（3）求的前项和.
【答案】（1），；（2）存在；；（3）.
【详解】解析：（1）由，
令，，得，
令，，得；
（2），，，
若是等差数列，则有，即，解得，下证当时，是等差数列，
当时，，
所以是公差为1的等差数列，而，所以；
（3）由（2），所以，
令
则
两式相减得：
得，所以.
【例15】已知数列中，，，且），则数列的最大项的值是
【答案】226
【详解】解：且，，即，
又，数列是等差数列，首项为29，公差为，，
当时，
，也满足上式 ，
数列的通项，由二次函数的知识知当时，取得最大值．
【题型六】数列的公共项
【例16】已知无穷等差数列，首项，公差，依次取出项数能被4除余3的项组成数列.
（1）求的通项公式；
（2）中的第503项是中的第几项？
【答案】（1）；（2）第2011项.
【详解】（1）设中的第项是中的第项，即，则，
，即的通项公式为.
（2），设它是的第项，则，解得，
即中的第503项是中的第2011项.
【例17】已知等差数列2,6,10，…，190，…，和等差数列2,8,14，…，200，…，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的通项公式＝ .
【答案】12n－10
【详解】解：等差数列2，6，10，，190，…的公差为4，2，8，14，，200，…的公差为6，
2与6的最小公倍数为12，两个等差数列的公共项为2，14，26，38，50，，则公共项为．
故答案为：
变式15已知等差数列和等差数列…各有100项，问它们有多少个相同的项？记这些共同的项从小到大依次构成数列，问数列是否为等差数列？
【答案】25个相同的项，是以12为公差的等差数列
【详解】易得.假设数列的第n项与数列的第k项相同，即有，
所以．而，则k必是3的倍数．
设，于是．
由题设知，两数列各有100项，则，解得，
又，故两数列共有25个相同的项．
将代入 (或将代入)，
得 (或)，
即等差数列中的第项与等差数列中的第项是相同项，
于是，， (常数)，
故数列是以12为公差的等差数列．
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