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数列的和
知识点一：公式法
（1）等差数列{}的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列{}的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
④
知识点二：几种数列求和的常用方法
（1）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
（2）裂项相消法：如果一个数列是分式形式，例如：，可以考虑用裂项相消求和．
（3）错位相减法：如果一个数列是或的形式，且为等差数列，为等比数列，那么求这个数列的前n项和，即可用错位相减法求解．
（4）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，如：，则求和时可用分组求和法，分别对和求和后相加减．
（5）奇偶并项求和：如果一个数列通项公式中含有，，等形式，或者奇偶项的通项公式不同的话，那么将奇偶项合并成一个新的数列.
知识点三：裂项相消（重点）
常见的裂项技巧：，
其中1，A小B大；2，；3，
积累裂项模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（二）带的数列：，此时第1,2项为正，3,4项为负，依次类推，所以需要裂开成两项相加的形式，如此一来相邻项可以约去。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【题型一】倒序相加法
【例1】已知函数，，令，求数列的前2020项和.
【解析】因为，由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
①②，得，
所以.
变式1已知函数，正项等比数列满足，则值是多少？.
【解析】因为，所以.
因为数列是等比数列，所以，
即.
设 ①，
又＋…＋ ②，
①+②，得，所以.
【题型二】 裂项相消法求和
考向1 形如型(k为非零常数)
【例2】设数列，求数列的前项和.
【答案】
【详解】,
所以数列的前项和:
.
变式2 已知，记，求数列的前20项和.
【详解】可知，
设数列的前和为，则
，
所以
所以数列的前20和为
考向2 形如型
【例3】已知数列，求数列的前项和．
【解析】，所以
所以
..
变式3 数列满足，且.
（1）设，证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和为.
【答案】（1）证明见详解；（2）.
【详解】（1）由得，则，即，因为，所以，
即数列是以为公差的等差数列；
（2）因为，，所以；由（1）得，，即，
则，所以，，…，，
以上各式相乘可得，，所以；
因此，
因此数列的前项和为
.
考向3 形如型
【例4】已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，则，两式相除得：.当为奇数时，，
当为偶数时，，∴.
（2）由（1）知，
则，
∴，由恒成立，则.
【例5】在数列中，，，且对任意的N*，都有.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【详解】（Ⅰ）由可得． 又，，所以，故.所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以.
所以.
（Ⅱ）因为.
所以.
又因为对任意的都有，所以恒成立，
即,即当时，.
变式4已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若，恒成立，求常数k的最小值.
【解析】(1)由，得当时，，
当时，，
两式相减得，，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，.
由，，，，得，，…，，
累加得，，.
(2)由（1）得
，
，
，即常数k的最小值为.
考向4 形如型（将分子构造为）
【例6】已知正项数列满足：，，其中是数列的前项和．
求数列的通项公式；（2）设，证明：
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）由，又有，，
两式相减得，因为，所以，又，时，，解得，满足，因此数列是等差数列，首项为1，公差为1，所以．
（2）所以．
变式5 已知为单调递增数列，为其前项和，
（1）求的通项公式；
（2）若为数列的前项和，证明：.
【答案】(1)；(2)见解析.
试题解析：（Ⅰ）当时，,所以，即,又为单调递增数列，所以.
由得，所以,
整理得,所以.所以，即,
所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.
(Ⅱ)
所以.
考向5 形如型，处理方法：
【例7】已知，设数列，数列的前项和为，若，求正整数的最小值.
【答案】505.
【详解】，
，
，所以的最小值为505.
【例8】已知数列，，设，求的前项和，若恒成立，求取值范围.
【答案】.
【详解】
∴ 当为偶数时，是递减的，
此时当时，取最大值，则.
当为奇数时，是递增的，此时，则.
综上，的取值范围是.
变式6 数列满足：，当时，求证：．
【详解】，
，
∴
．
考向6 形如(k为非零常数)型
【例9】已知数列的前项和满足，且.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）50.
【详解】（1），（2），两式相减：，
即，.时，，
所以数列是常数数列.
（2）由（1）得，时，，所以：，，
而时，，解得满足，所以，
∴，
∴，，又，∴.所以的最小值为50
变式7已知，数列的通项公式，，求数列的前项和.
【详解】，
则
.
【题型三】 错位相减法求和
错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件：若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤：等差乘等比数列求和，令, 可以用错位相减法．
①
②
①-②得：．
整理公式得：．
【例10】设等差数列，设数列满足， 求数列的前项和.
【答案】.
【详解】由题意知：，所以，
则，两式相减得
，因此，.
变式8设数列满足，若，求的前项和.
【答案】.
【详解】，则
，
.
两式相减得
所以.
【题型四】 分组求和法
【例11】已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】(1)解：因为，①
当时，．②
①②得，所以．
当时，，也满足上式，
所以．
(2)解：因为，
则，
则．
【例12】已知数列的前n项和为，满足，
（1）若数列满足，求的通项公式；
（2）求数列的通项公式，并求.
【答案】（1）；（2）；；
变式 9 设是等差数列，，是等比数列，，设数列满足求.
【答案】
【详解】
，
记 ①
则 ②
②①得，，
所以
.
变式10 已知数列的前n项和为，且，，则
【详解】由题意得，
当时，，
所以，所以当n为偶数时。当n为奇数时，由已知可得，
①所以当n为偶数时
；
②当n为奇数时；
所以
【题型五】奇偶并项求和
【例13】数列，求前项的和.
【答案】.
【详解】，令，
则，，...，则， 即，所以.
变式11已知数列满足，.
（1）并求出数列的通项;
（2）若，求数列的前100项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）5050.
【详解】解：（1）因为，即，
所以 ，
所以数列是公差与首项都为1的等差数列．
故即 .
（2）由（1）知，
当时，，
当时，
所以
所以
.
变式12已知数列， ， 为数列的前项和， ， ， （）
（1）求数列的通项公式；
（2）证明为等差数列；
（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】（1）当时，
当时， ，
综上，是公比为，首项为的等比数列，.
（2），，，
综上，是公差为，首项为的等差数列.
（3）由（2）知：
两式相减得：
，.
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数列的和
知识点一 公式法
等差数列{}的前n项和，推导方法：倒序相加法．
等比数列{}的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
④
知识点二 几种数列求和的常用方法
倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
裂项相消法：如果一个数列是分式形式，例如：，可以考虑用裂项相消求和．
错位相减法：如果一个数列是或的形式，且为等差数列，为等比数列，那么求这个数列的前n项和，即可用错位相减法求解．
分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，如：，则求和时可用分组求和法，分别对和求和后相加减．
奇偶并项求和：如果一个数列通项公式中含有，，等形式，或者奇偶项的通项公式不同的话，那么将奇偶项合并成一个新的数列.
知识点三 裂项相消（重点）
常见的裂项技巧：，
其中1，A小B大；2，；3，
积累裂项模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（二）带的数列：，此时第1,2项为正，3,4项为负，依次类推，所以需要裂开成两项相加的形式，如此一来相邻项可以约去。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【题型一】倒序相加法
【例1】已知函数，，令，求数列的前2020项和.
【解析】因为，由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
①②，得，所以.
变式1已知函数，正项等比数列满足，则值是多少？.
【题型二】 裂项相消法求和
考向1 形如型(k为非零常数)
【例2】设数列，求数列的前项和.
【答案】
【详解】,所以数列的前项和:
.
变式2 已知，记，求数列的前20项和.
考向2 形如型
【例3】已知数列，求数列的前项和．
【解析】，所以
所以
..
变式3 数列满足，且.
（1）设，证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和为.
考向3 形如型
【例4】已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；
令，记数列的前项和为，若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，则，两式相除得：.当为奇数时，，
当为偶数时，，∴.
（2）由（1）知，
则，
∴，由恒成立，则.
【例5】在数列中，，，且对任意的N*，都有.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【详解】（Ⅰ）由可得． 又，，所以，故.所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以.
所以.
（Ⅱ）因为.
所以.
又因为对任意的都有，所以恒成立，
即,即当时，.
变式4已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，，
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若，恒成立，求常数k的最小值.
考向4 形如型（将分子构造为）
【例6】已知正项数列满足：，，其中是数列的前项和．
求数列的通项公式；（2）设，证明：
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）由，又有，，
两式相减得，因为，所以，又，时，，解得，满足，因此数列是等差数列，首项为1，公差为1，所以．
（2）所以．
变式5 已知为单调递增数列，为其前项和，
（1）求的通项公式；
（2）若为数列的前项和，证明：.
考向5 形如型，处理方法：
【例7】已知，设数列，数列的前项和为，若，求正整数的最小值.
【详解】，
，
，所以的最小值为505.
【例8】已知数列，，设，求的前项和，若恒成立，求取值范围.
【详解】
∴ 当为偶数时，是递减的，
此时当时，取最大值，则.
当为奇数时，是递增的，此时，则.
变式6 数列满足：，当时，求证：．
考向6 形如(k为非零常数)型
【例9】已知数列的前项和满足，且.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.
【详解】（1），（2），两式相减：，
即，.时，，
所以数列是常数数列.
（2）由（1）得，时，，所以：，，
而时，，解得满足，所以，
∴，
∴，，又，∴.所以的最小值为50
变式7已知，数列的通项公式，，求数列的前项和.
【题型三】 错位相减法求和
错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件：若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤：等差乘等比数列求和，令, 可以用错位相减法．
①
②
①-②得：．
整理公式得：．
【例10】设等差数列，设数列满足， 求数列的前项和.
【答案】.
【详解】由题意知：，所以，
则，两式相减得
，因此，.
变式8设数列满足，若，求的前项和.
【题型四】 分组求和法
【例11】已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】(1)解：因为，①
当时，．②
①②得，所以．
当时，，也满足上式，
所以．
(2)解：因为，
则，
则．
【例12】已知数列的前n项和为，满足，
（1）若数列满足，求的通项公式；
（2）求数列的通项公式，并求.
【答案】（1）；（2）；；
变式 9 设是等差数列，，是等比数列，，设数列满足求.
【答案】
【详解】
，
记 ①
则 ②
②①得，，
所以
.
变式10 已知数列的前n项和为，且，，则
【题型五】奇偶并项求和
【例13】数列，求前项的和.
【答案】.
【详解】，令，
则，，...，则， 即，所以.
变式11 已知数列满足，.
（1）并求出数列的通项;
（2）若，求数列的前100项和.
变式12已知数列， ， 为数列的前项和， ， ， （）
（1）求数列的通项公式；
（2）证明为等差数列；
（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求.
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