四川省绵阳市安州区2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分每个小题只有-个选项符合题目要求）
1．（2025·安州模拟）下列实数中满足的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安州模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·安州模拟）九洲体育馆是绵阳市的一座大型的体育会展场地，其主场馆建筑面积约，将24000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·安州模拟）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．球
5．（2025·安州模拟）如图，为的直径，，垂足为H， E是上的点， 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·安州模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·安州模拟）估算的运算结果应是（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．（2025·安州模拟）已知关于x的不等式组解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·安州模拟）如图，矩形中，，P为的中点，连接，以点P为圆心，为半径作，将得到的扇形围成一个圆锥，若该圆锥的高与母线形成的夹角为a，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·安州模拟）如图，四边形是菱形，，，E是上一动点，把沿翻折得到，其中点C的对应点为F，且，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
11．（2025·安州模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·安州模拟）如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（ ）
1 第1排
第2排
1 第3排
1 1 第4排
…… 第4列 第3列 第2列 第1列 ……
A． B． C． D．1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分．共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上）
13．（2025·安州模拟）因式分解： ．
14．（2025·安州模拟）如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为 ．
15．（2025·安州模拟）在一个口袋中有6个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6随机地摸出一个小球后然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和等于5的概率为 ．
16．（2025·安州模拟）在城区老旧燃气管道改造项目中，已知某小区需要新铺设一条长的管道，由于临近春节，平均每天实际施工长度比原计划减少，结果推迟了3天完成任务，则其原计划每天铺设管道的长度是 ．
17．（2025·安州模拟）如图，将等边三角形ABC绕点A顺时针旋转得到等边三角形ADE，若AD与BC交于点F，且，则的值是 .
18．（2025·安州模拟）如图，在四边形中， ，，，为上一点，且平分，为上一点，且，若，，则的长是
三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025·安州模拟）（1）计算：．
（2）已知，求代数式 的值．
20．（2025·安州模拟）某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图表信息回答下列问题：
体重频数分布表
组别 体重（千克） 人数
A 45≤x＜50 12
B 50≤x＜55 m
C 55≤x＜60 80
D 60≤x＜65 40
E 65≤x＜70 16
（1）填空：①m＝ （直接写出结果）；
②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于 度；
（2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？
21．（2025·安州模拟）已知某工厂生产甲、乙两种不同规格的产品，生产1吨的甲产品需要2吨原材料A；生产1吨的乙产品需要3吨原材料A．根据市场调研，甲、乙两种产品所获利润y（单位：万元）与其产量x（单位：吨）之间分别满足以下函数关系：
甲产品：．当时，；当时，．
乙产品：．
（1）求甲产品所获利润y（单位：万元）与其产量x（单位：吨）之间满足的函数关系．
（2）若现原材料A共有20吨，应怎样将原材料分配给甲、乙两种规格的产品，才能使得利润最大？求出最大利润．
22．（2025·安州模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴、y轴分别交于点A，B，且．求：
（1）该反比例函数的解析式；
（2）点A的坐标．
23．（2025·安州模拟）如图，为的直径，是的弦，，与交于点M，连接并延长与的延长线交于点F，延长至点E，使，连接，平分．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
24．（2025·安州模拟）如图，在中，，为边上的高，且，， E，M为边上两个不重合的动点（点E在点M的上方，且均不与端点重合），，与边交于点F，四边形为平行四边形，连接．
（1）求，的长．
（2）如图①，若四边形为菱形，当时，求该菱形的边长．
（3）如图②，若，则当长为多少时，平行四边形的面积取得最大值？求出最大值．
25．（2025·安州模拟）如图，已知抛物线分别与x轴、y轴交于点，，过点B作，与抛物线交于点C，轴，垂足为D，连接，与y轴交于点E，过点E作，垂足为F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的长；
（3）如图②，已知P为线段上一动点（不与点C、D重合），连接并延长，与x轴交于点M，N为上一点，且，求出当线段的长取何值时，线段最长，并求出此时的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】负整数指数幂；有理数的大小比较-直接比较法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：．，故该选项不符合题意；
． ，故该选项不符合题意；
．，故该选项不符合题意；
．，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】先利用立方根、算术平方根和负整数幂的性质化简，再比较大小即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：D.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解： 由主视图与左视图都是高平齐的矩形，主视图与俯视图都是长对正的矩形，得几何体是矩形，
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义及长方体、圆锥、圆柱和球的三视图的特征分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵为的直径，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理和圆周角的性质可得，再利用角的运算求出∠ADC的度数即可.
6．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、∵，∴A选项正确；
B、∵，∴B选项错误；
C、∵，∴C选项错误；
D、∵，∴D选项错误．
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式、多项式乘多项式的计算方法及完全平方公式的计算方法逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先将原式中的第一个二次根式化简，同时根据二次根式的乘法法则计算第二项，进而再合并同类二次根式得出结果；最后根据二次根式的性质“被开方数越大，其算术平方根就越大”估算出运算结果的大小即可.
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵
∴
∵不等式的解集为，
∴，
解得：．
故答案为：C．
【分析】先求出不等式组的解集，再结合“不等式组的解集为”可得，最后求出a的取值范围即可.
9．【答案】D
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；圆锥的计算；求正弦值
【解析】【解答】解：设，圆锥底面半径为r，则，
∵P为的中点，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用弧长公式求出，再利用圆锥的底面周长与弧长相等可得，求出，最后求出正弦的定义及计算方法求出答案即可.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，记与的交点为，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
由对折可得：，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴为的内心，
∴，，，
∴，
故答案为：C
【分析】连接，记与的交点为，先证出是等边三角形，再证出为的内心，求出，，，最后利用解直角三角形的方法求出BE的长即可.
11．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；轴对称的应用-最短距离问题；求正切值
【解析】【解答】解：已知抛物线，P横坐标为
当时，则有
由可知：对称轴为直线
当时，则有
解得：
连接PB，PC，如图所示：
由轴对称可知：
所以
当P、B、C三点共线时，取得最小值
设直线PB的解析式为，则有
，解得：
故解析式为
当时，则有
所以，即
又
所以
故选：A．
【分析】本题聚焦二次函数，轴对称性质与三角函数的综合运用，熟练掌握三角函数，二次函数的图象与性质，轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键，解题思路分三步
定位关键点：先利用二次函数解析式，求出P点坐标，抛物线与x轴交点A，B坐标及对称轴，这是后续分析的基石.转化最值问题：借助抛物线对称轴的轴对称性，将AC转化为BC，把PC+AC的最小值转化为PC+BC的最小值，再依据两点之间线段最短，确定P，B，C共线时，PC+AC取得最小值.计算三角函数值：求出C点坐标后，构造含的直角三角形，通过直角边的长度比，结合正切函数定义算出.
12．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．
第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的．
所以表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数
因为前4排共有个数
故第5排第4列的数是第个
又
所以表示的数是
前50排共有个数
所以第5l排第30列的数是第个数
又
故表示的数是
所以与表示的两个数的积是.
故选：A.
【分析】本题是关于数字排列规律与循环的问题.关键在于找出数字的循环周期(每3个数1，一循环)，以及各排数字个数规律(第n排有n个数，且从右往左排列)，通过计算数的位置确定对应数字，可得表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数，进而找到循环规律得到相应的数，再计算乘积即可.
13．【答案】a(a-b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】根据本题特点，用“提公因式法”进行分解即可.
14．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：
把②代入①得，，
解得，，
把代入②得，，
∴，
把代入得，
，
解得，
故答案为：.
【分析】由于题干给出的方程组中的第二个方程已经用含x的式子表示出了y，故利用代入消元法解方程组，求出二次一次方程组的解，然后根据方程解的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”，把所求的x、y得值代入，解一元一次方程即可得到的值．
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
和 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
共有36种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和为5的有4种，
∴两次摸出的小球标号的和等于5的概率是
故答案为： ．
【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和为5的情况，再利用概率公式即可求得答案．
16．【答案】40
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设原计划每天铺设管道，则实际每天铺设管道，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设管道．
故答案为：40．
【分析】设原计划每天铺设管道，则实际每天铺设管道，根据“ 结果推迟了3天完成任务 ”列出方程，再求解即可.
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的综合；求正切值；已知某个三角函数值求其他三角函数值
【解析】【解答】解：过点A作，过点E作.
设，则，，
勾股定理得，
，
在和中，
可得，，
即
解得
即
解得
故填：．
【分析】本题需结合等边三角形性质，全等三角形判定(ASA)，三角函数定义求解.
核心思路：辅助线与设值：作，构造直角三角形，设BC长度简化计算.全等转化：证将未知角转化为已知角，关联边与角的关系.三角函数应用：利用正弦，余弦定义表示EN，GN，最后通过正切定义(对边邻边)求.
18．【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的应用；解直角三角形；内错角的概念
【解析】【解答】解：
，
设，则
如下图所示，过点作
，
，四边形是矩形
，
，是的垂直平分线
，
，，
过点作
，
，
平分
，
，
，
，
故填： ．
【分析】本题综合考查锐角三角函数，勾股定理，相似三角形等知识，
解题核心逻辑：基础量设值与矩形构造：由设AD，CD的表达式，结合用勾股定理表AC；作，利用平行与直角条件证四边形AMCD是矩形，推导CM为AB中垂线，得AC=BC，进而求出x确定边长.相似三角形应用：由得结合证，求出AE；再由角相等证，利用相似比求EF .
19．【答案】解：（1）
；
（2）
由，得到
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）先利用负整数指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）先利用分式的混合运算化简可得，再将 代入计算即可.
20．【答案】（1）52；144；
（2）解：九年级体重低于60千克的学生大约有×1000=720（人）．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1）①调查的人数为：40÷20%=200（人），∴m=200﹣12﹣80﹣40﹣16=52；
②C组所在扇形的圆心角的度数为×360°=144°；
故答案为：52，144；
【分析】（1）①根据统计图表提供的信息，用D组的人数除以其所占百分比可求出本次调查的总人数，然后根据各组频数之和等于本次调查的总人数可求出m的值；
②用C组所占的百分比乘360°即可得到C组所在扇形的圆心角的度数；
（2）用样本中体重低于60千克的学生所占的百分比乘以该校九年级学生总数，即可 估算 该校九年级体重低于60千克的学生数量．
21．【答案】（1）解：根据题意得，，
解得，
∴产品甲所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间满足的函数关系：；
（2）解：设产品甲生产了x吨，需要A原料吨，则可分配给新产品乙的原材料A有吨，则生产乙吨，
设甲、乙两种产品总的利润为w万元，
则，
整理得，，
即当且仅当生产甲吨时，利润达到最大．
吨，吨，
答：20吨材料A应分配给甲13吨，分配给乙7吨时，最终所获利润最大，最大利润为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）将 当时，；当时，代入可得，再求出a、b的值即可；
（2）设产品甲生产了x吨，需要A原料吨，则可分配给新产品乙的原材料A有吨，则生产乙吨，甲、乙两种产品总的利润为w万元，利用“总利润=甲的利润+乙的利润”列出函数解析式，最后利用二次函数的性质求解即可.
（1）解：根据题意得，
，
解得，
∴产品甲所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间满足的函数关系：；
（2）解：设产品甲生产了x吨，需要A原料吨，则可分配给新产品乙的原材料A有吨，则生产乙吨，
设甲、乙两种产品总的利润为w万元，则
，
整理得，，
即当且仅当生产甲吨时，利润达到最大．
吨，吨，
答：20吨材料A应分配给甲13吨，分配给乙7吨时，最终所获利润最大，最大利润为．
22．【答案】（1）解：把代入得：，
反比例函数为：．
（2）解：设，而，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
把，代入一次函数中，
∴，
解得：，
∴一次函数为，
当时，解得：，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将点C（1，2）代入解析式求出k的值即可；
（2）设，而，利用OB=BC列出方程求出m的值，可得点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点A的坐标即可.
（1）解：把代入得：，
反比例函数为：．
（2）解：设，而，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
把，代入一次函数中，
∴，
解得：，
∴一次函数为，
当时，解得：，
∴．
23．【答案】（1）证明∶如图，连接
∵平分
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
又
∴
∵
∴
∴
即
∵为的半径
∴与相切．
（2）解∶∵，为的直径
∴垂直平分
即
∵
∴
∴
∵
∴
由(1)可得
即
∵
设半径，则
∵，
∴
在中
，
∴
即
解得或
当时，，故不符合题意，舍去
∴
∴
∵
∴
设，则
在，
即
解得
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定；解直角三角形；角平分线的应用
【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定和性质，圆切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的有关计算，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．(1)角平分线与平行关系：由CF平分得；因，证得，从而.垂直推导与角度转化：由得.结合，转化得.等边对等角与切线判定：因OC=OB，.故，即又OC是半径，得CE与相切.
(2)垂径定理与正切值：由，AB是直径，得CD=2CM，因AM=CD，故AM=2CM，，角相等与线段关系：由，.故；结合(1)，得CE=EF.设半径与勾股定理：设OB=r，则BE=8-2r，由得CE=EF=2BE.在中，，解得r=3.求AC长：AB=2r=6，由得AC=2BC；设BC=m，则AC=2m，由勾股定理解得，故.
（1）证明∶如图，连接，
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又
∴，
∵，
∴，
∴，
即．．
∵为的半径，
∴与相切．
（2）解∶∵，为的直径，∶
∴垂直平分，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
由(1)可得，
即．
∵，
设半径，则．
∵，，
∴．
在中，
，，
∴，
即，
解得或．
当时，，故不符合题意，舍去，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则．
在，，
即，
解得，
∴
24．【答案】（1）解：在中，为边上的高，所以是直角三角形
因为，
设，
故
解得，
所以，，
所以
（2）解：如图③，过点E作于点H，设与交于点R，过点M作于点G，过点N 作于点K
因为，，
所以，，
所以，
即．
设，
则，
∴
∵四边形为菱形，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴当时，该菱形的边长为．
（3）解：如图④，过点B作于点P，与交于点Q，过点E作于点T，设与交于点W
在中，，
∵
∴设，
∴
解得或（舍去）
∴，
∴．
当时，是等腰三角形
∵，
∴
∴为的中线和高
即
设，则
∴
∵
∴
即：
解得
∴
在中，
∴
∴
同（2）可得出
∴
当时，
∴当时，平行四边形的面积取得最大值，最大值为．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；菱形的性质；解直角三角形；已知正切值求边长
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算和利用，菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，利用二次函数的性质求面积的最大值，平行线截线段成比例等知识，难度较大，掌握这些知识是解题的关键．
(1)在中，利用的定义设边，结合勾股定理列方程求解.具体关联：由，设CD=4x，AD=3x；因AC=5，根据勾股定理，解出x得AD，CD，再由CD=BD得BD.
(2)通过作辅助线构造直角三角形，利用菱形性质(边相等，平行)，三角函数定义(sin，tan)建立等式，联立方程求解边长.具体关联：作，，，由，得结合推出ER与RF的关系，设RF=x表示EF；由菱形性质EM=EF，利用求EH，进而得MG，NK；由得BK=2NK，结合AB总长及线段关系列方程，解出x即得菱形边长.(3)作辅助线构造等腰三角形，相似三角形，用变量表示EF与高ET，结合二次函数性质求面积最大值.具体关联：作，由BF=BN得等腰，结合，证BQ是中线，设WF=m表示NF，BF；由平行线截线段成比例可得出，求出QF，进而得ME；利用求ET，结合EF与m的关系，将平行四边形面积表示为关于m的二次函数，根据二次函数顶点式求最大值.
（1）解：在中，为边上的高，
∴是直角三角形，
∵，
设，，
∴
解得，
∴，，
∴
（2）如图③，过点E作于点H，设与交于点R，过点M作于点G，过点N 作于点K，
∵，，，
∴，，，
∴，
即．
设，
则，
∴
∵四边形为菱形，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴当时，该菱形的边长为．
（3）解：如图④，过点B作于点P，与交于点Q，过点E作于点T．设与交于点W．
在中，，，
∵，
∴设，
∴
解得或（舍去）
∴，
∴．
当时，是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴为的中线和高，
即．
设，则，
∴，
∵，
∴，
即：，
解得，
∴，
在中，，
∴，
∴，
同（2）可得出，
∴，
当时，，
∴当时，平行四边形的面积取得最大值，最大值为．
25．【答案】（1）解：抛物线分别与x轴、y轴交于点，
，解得：
抛物线的解析式为
（2）解：如图，过点作轴于点
，
，
点在抛物线上
设
，
在中，，
解得：或（舍）
在和中
，
，
，
（3）解：如图，过点作于点
，
由（2）可知，
设
，
，
，
在中，，
，
在中，
在中，
当时，有最大值为
当线段时，线段最长，此时的长为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形全等的判定；解直角三角形；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】本题围绕抛物线与几何图形的综合应用，涉及待定系数法、三角形全等与相似、二次函数最值等知识，分三问逐步求解：
（1）利用待定系数法，将已知点A(-6，0)，B(0，8)代入抛物线，联立方程组求解系数a，c
(2)通过作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理求点C坐标，再利用三角形全等，转化线段关系，最终求出BF.具体关联：作轴，设(由抛物线解析式)，结合，利用勾股定理列方程求m，确定C坐标；证得AG=AB，再证得AF=OA，从而计算BF
(3)作辅助线构造相似三角形，用二次函数最值求解.通过角的关系证得OE，结合线段关系设DP=x，表示AM，MQ，AQ，NQ，再根据将AN表示为关于x的二次函数，根据二次函数性质求最大值.
（1）解：抛物线分别与x轴、y轴交于点，，
，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴于点，
，，
，，
，
点在抛物线上，
设，
，，
在中，，
，
解得：或（舍），
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
由（2）可知，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
当时，有最大值为，
当线段时，线段最长，此时的长为．
1 / 1四川省绵阳市安州区2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分每个小题只有-个选项符合题目要求）
1．（2025·安州模拟）下列实数中满足的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】负整数指数幂；有理数的大小比较-直接比较法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：．，故该选项不符合题意；
． ，故该选项不符合题意；
．，故该选项不符合题意；
．，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】先利用立方根、算术平方根和负整数幂的性质化简，再比较大小即可.
2．（2025·安州模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．（2025·安州模拟）九洲体育馆是绵阳市的一座大型的体育会展场地，其主场馆建筑面积约，将24000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：D.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．（2025·安州模拟）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．球
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解： 由主视图与左视图都是高平齐的矩形，主视图与俯视图都是长对正的矩形，得几何体是矩形，
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义及长方体、圆锥、圆柱和球的三视图的特征分析求解即可.
5．（2025·安州模拟）如图，为的直径，，垂足为H， E是上的点， 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵为的直径，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理和圆周角的性质可得，再利用角的运算求出∠ADC的度数即可.
6．（2025·安州模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、∵，∴A选项正确；
B、∵，∴B选项错误；
C、∵，∴C选项错误；
D、∵，∴D选项错误．
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式、多项式乘多项式的计算方法及完全平方公式的计算方法逐项分析判断即可.
7．（2025·安州模拟）估算的运算结果应是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先将原式中的第一个二次根式化简，同时根据二次根式的乘法法则计算第二项，进而再合并同类二次根式得出结果；最后根据二次根式的性质“被开方数越大，其算术平方根就越大”估算出运算结果的大小即可.
8．（2025·安州模拟）已知关于x的不等式组解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵
∴
∵不等式的解集为，
∴，
解得：．
故答案为：C．
【分析】先求出不等式组的解集，再结合“不等式组的解集为”可得，最后求出a的取值范围即可.
9．（2025·安州模拟）如图，矩形中，，P为的中点，连接，以点P为圆心，为半径作，将得到的扇形围成一个圆锥，若该圆锥的高与母线形成的夹角为a，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；圆锥的计算；求正弦值
【解析】【解答】解：设，圆锥底面半径为r，则，
∵P为的中点，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用弧长公式求出，再利用圆锥的底面周长与弧长相等可得，求出，最后求出正弦的定义及计算方法求出答案即可.
10．（2025·安州模拟）如图，四边形是菱形，，，E是上一动点，把沿翻折得到，其中点C的对应点为F，且，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，记与的交点为，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
由对折可得：，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴为的内心，
∴，，，
∴，
故答案为：C
【分析】连接，记与的交点为，先证出是等边三角形，再证出为的内心，求出，，，最后利用解直角三角形的方法求出BE的长即可.
11．（2025·安州模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；轴对称的应用-最短距离问题；求正切值
【解析】【解答】解：已知抛物线，P横坐标为
当时，则有
由可知：对称轴为直线
当时，则有
解得：
连接PB，PC，如图所示：
由轴对称可知：
所以
当P、B、C三点共线时，取得最小值
设直线PB的解析式为，则有
，解得：
故解析式为
当时，则有
所以，即
又
所以
故选：A．
【分析】本题聚焦二次函数，轴对称性质与三角函数的综合运用，熟练掌握三角函数，二次函数的图象与性质，轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键，解题思路分三步
定位关键点：先利用二次函数解析式，求出P点坐标，抛物线与x轴交点A，B坐标及对称轴，这是后续分析的基石.转化最值问题：借助抛物线对称轴的轴对称性，将AC转化为BC，把PC+AC的最小值转化为PC+BC的最小值，再依据两点之间线段最短，确定P，B，C共线时，PC+AC取得最小值.计算三角函数值：求出C点坐标后，构造含的直角三角形，通过直角边的长度比，结合正切函数定义算出.
12．（2025·安州模拟）如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（ ）
1 第1排
第2排
1 第3排
1 1 第4排
…… 第4列 第3列 第2列 第1列 ……
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．
第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的．
所以表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数
因为前4排共有个数
故第5排第4列的数是第个
又
所以表示的数是
前50排共有个数
所以第5l排第30列的数是第个数
又
故表示的数是
所以与表示的两个数的积是.
故选：A.
【分析】本题是关于数字排列规律与循环的问题.关键在于找出数字的循环周期(每3个数1，一循环)，以及各排数字个数规律(第n排有n个数，且从右往左排列)，通过计算数的位置确定对应数字，可得表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数，进而找到循环规律得到相应的数，再计算乘积即可.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分．共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上）
13．（2025·安州模拟）因式分解： ．
【答案】a(a-b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】根据本题特点，用“提公因式法”进行分解即可.
14．（2025·安州模拟）如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为 ．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：
把②代入①得，，
解得，，
把代入②得，，
∴，
把代入得，
，
解得，
故答案为：.
【分析】由于题干给出的方程组中的第二个方程已经用含x的式子表示出了y，故利用代入消元法解方程组，求出二次一次方程组的解，然后根据方程解的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”，把所求的x、y得值代入，解一元一次方程即可得到的值．
15．（2025·安州模拟）在一个口袋中有6个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6随机地摸出一个小球后然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和等于5的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
和 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
共有36种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和为5的有4种，
∴两次摸出的小球标号的和等于5的概率是
故答案为： ．
【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和为5的情况，再利用概率公式即可求得答案．
16．（2025·安州模拟）在城区老旧燃气管道改造项目中，已知某小区需要新铺设一条长的管道，由于临近春节，平均每天实际施工长度比原计划减少，结果推迟了3天完成任务，则其原计划每天铺设管道的长度是 ．
【答案】40
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设原计划每天铺设管道，则实际每天铺设管道，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设管道．
故答案为：40．
【分析】设原计划每天铺设管道，则实际每天铺设管道，根据“ 结果推迟了3天完成任务 ”列出方程，再求解即可.
17．（2025·安州模拟）如图，将等边三角形ABC绕点A顺时针旋转得到等边三角形ADE，若AD与BC交于点F，且，则的值是 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的综合；求正切值；已知某个三角函数值求其他三角函数值
【解析】【解答】解：过点A作，过点E作.
设，则，，
勾股定理得，
，
在和中，
可得，，
即
解得
即
解得
故填：．
【分析】本题需结合等边三角形性质，全等三角形判定(ASA)，三角函数定义求解.
核心思路：辅助线与设值：作，构造直角三角形，设BC长度简化计算.全等转化：证将未知角转化为已知角，关联边与角的关系.三角函数应用：利用正弦，余弦定义表示EN，GN，最后通过正切定义(对边邻边)求.
18．（2025·安州模拟）如图，在四边形中， ，，，为上一点，且平分，为上一点，且，若，，则的长是
【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的应用；解直角三角形；内错角的概念
【解析】【解答】解：
，
设，则
如下图所示，过点作
，
，四边形是矩形
，
，是的垂直平分线
，
，，
过点作
，
，
平分
，
，
，
，
故填： ．
【分析】本题综合考查锐角三角函数，勾股定理，相似三角形等知识，
解题核心逻辑：基础量设值与矩形构造：由设AD，CD的表达式，结合用勾股定理表AC；作，利用平行与直角条件证四边形AMCD是矩形，推导CM为AB中垂线，得AC=BC，进而求出x确定边长.相似三角形应用：由得结合证，求出AE；再由角相等证，利用相似比求EF .
三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025·安州模拟）（1）计算：．
（2）已知，求代数式 的值．
【答案】解：（1）
；
（2）
由，得到
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）先利用负整数指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）先利用分式的混合运算化简可得，再将 代入计算即可.
20．（2025·安州模拟）某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图表信息回答下列问题：
体重频数分布表
组别 体重（千克） 人数
A 45≤x＜50 12
B 50≤x＜55 m
C 55≤x＜60 80
D 60≤x＜65 40
E 65≤x＜70 16
（1）填空：①m＝ （直接写出结果）；
②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于 度；
（2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？
【答案】（1）52；144；
（2）解：九年级体重低于60千克的学生大约有×1000=720（人）．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1）①调查的人数为：40÷20%=200（人），∴m=200﹣12﹣80﹣40﹣16=52；
②C组所在扇形的圆心角的度数为×360°=144°；
故答案为：52，144；
【分析】（1）①根据统计图表提供的信息，用D组的人数除以其所占百分比可求出本次调查的总人数，然后根据各组频数之和等于本次调查的总人数可求出m的值；
②用C组所占的百分比乘360°即可得到C组所在扇形的圆心角的度数；
（2）用样本中体重低于60千克的学生所占的百分比乘以该校九年级学生总数，即可 估算 该校九年级体重低于60千克的学生数量．
21．（2025·安州模拟）已知某工厂生产甲、乙两种不同规格的产品，生产1吨的甲产品需要2吨原材料A；生产1吨的乙产品需要3吨原材料A．根据市场调研，甲、乙两种产品所获利润y（单位：万元）与其产量x（单位：吨）之间分别满足以下函数关系：
甲产品：．当时，；当时，．
乙产品：．
（1）求甲产品所获利润y（单位：万元）与其产量x（单位：吨）之间满足的函数关系．
（2）若现原材料A共有20吨，应怎样将原材料分配给甲、乙两种规格的产品，才能使得利润最大？求出最大利润．
【答案】（1）解：根据题意得，，
解得，
∴产品甲所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间满足的函数关系：；
（2）解：设产品甲生产了x吨，需要A原料吨，则可分配给新产品乙的原材料A有吨，则生产乙吨，
设甲、乙两种产品总的利润为w万元，
则，
整理得，，
即当且仅当生产甲吨时，利润达到最大．
吨，吨，
答：20吨材料A应分配给甲13吨，分配给乙7吨时，最终所获利润最大，最大利润为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）将 当时，；当时，代入可得，再求出a、b的值即可；
（2）设产品甲生产了x吨，需要A原料吨，则可分配给新产品乙的原材料A有吨，则生产乙吨，甲、乙两种产品总的利润为w万元，利用“总利润=甲的利润+乙的利润”列出函数解析式，最后利用二次函数的性质求解即可.
（1）解：根据题意得，
，
解得，
∴产品甲所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间满足的函数关系：；
（2）解：设产品甲生产了x吨，需要A原料吨，则可分配给新产品乙的原材料A有吨，则生产乙吨，
设甲、乙两种产品总的利润为w万元，则
，
整理得，，
即当且仅当生产甲吨时，利润达到最大．
吨，吨，
答：20吨材料A应分配给甲13吨，分配给乙7吨时，最终所获利润最大，最大利润为．
22．（2025·安州模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴、y轴分别交于点A，B，且．求：
（1）该反比例函数的解析式；
（2）点A的坐标．
【答案】（1）解：把代入得：，
反比例函数为：．
（2）解：设，而，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
把，代入一次函数中，
∴，
解得：，
∴一次函数为，
当时，解得：，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将点C（1，2）代入解析式求出k的值即可；
（2）设，而，利用OB=BC列出方程求出m的值，可得点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点A的坐标即可.
（1）解：把代入得：，
反比例函数为：．
（2）解：设，而，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
把，代入一次函数中，
∴，
解得：，
∴一次函数为，
当时，解得：，
∴．
23．（2025·安州模拟）如图，为的直径，是的弦，，与交于点M，连接并延长与的延长线交于点F，延长至点E，使，连接，平分．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明∶如图，连接
∵平分
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
又
∴
∵
∴
∴
即
∵为的半径
∴与相切．
（2）解∶∵，为的直径
∴垂直平分
即
∵
∴
∴
∵
∴
由(1)可得
即
∵
设半径，则
∵，
∴
在中
，
∴
即
解得或
当时，，故不符合题意，舍去
∴
∴
∵
∴
设，则
在，
即
解得
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定；解直角三角形；角平分线的应用
【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定和性质，圆切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的有关计算，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．(1)角平分线与平行关系：由CF平分得；因，证得，从而.垂直推导与角度转化：由得.结合，转化得.等边对等角与切线判定：因OC=OB，.故，即又OC是半径，得CE与相切.
(2)垂径定理与正切值：由，AB是直径，得CD=2CM，因AM=CD，故AM=2CM，，角相等与线段关系：由，.故；结合(1)，得CE=EF.设半径与勾股定理：设OB=r，则BE=8-2r，由得CE=EF=2BE.在中，，解得r=3.求AC长：AB=2r=6，由得AC=2BC；设BC=m，则AC=2m，由勾股定理解得，故.
（1）证明∶如图，连接，
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又
∴，
∵，
∴，
∴，
即．．
∵为的半径，
∴与相切．
（2）解∶∵，为的直径，∶
∴垂直平分，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
由(1)可得，
即．
∵，
设半径，则．
∵，，
∴．
在中，
，，
∴，
即，
解得或．
当时，，故不符合题意，舍去，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则．
在，，
即，
解得，
∴
24．（2025·安州模拟）如图，在中，，为边上的高，且，， E，M为边上两个不重合的动点（点E在点M的上方，且均不与端点重合），，与边交于点F，四边形为平行四边形，连接．
（1）求，的长．
（2）如图①，若四边形为菱形，当时，求该菱形的边长．
（3）如图②，若，则当长为多少时，平行四边形的面积取得最大值？求出最大值．
【答案】（1）解：在中，为边上的高，所以是直角三角形
因为，
设，
故
解得，
所以，，
所以
（2）解：如图③，过点E作于点H，设与交于点R，过点M作于点G，过点N 作于点K
因为，，
所以，，
所以，
即．
设，
则，
∴
∵四边形为菱形，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴当时，该菱形的边长为．
（3）解：如图④，过点B作于点P，与交于点Q，过点E作于点T，设与交于点W
在中，，
∵
∴设，
∴
解得或（舍去）
∴，
∴．
当时，是等腰三角形
∵，
∴
∴为的中线和高
即
设，则
∴
∵
∴
即：
解得
∴
在中，
∴
∴
同（2）可得出
∴
当时，
∴当时，平行四边形的面积取得最大值，最大值为．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；菱形的性质；解直角三角形；已知正切值求边长
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算和利用，菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，利用二次函数的性质求面积的最大值，平行线截线段成比例等知识，难度较大，掌握这些知识是解题的关键．
(1)在中，利用的定义设边，结合勾股定理列方程求解.具体关联：由，设CD=4x，AD=3x；因AC=5，根据勾股定理，解出x得AD，CD，再由CD=BD得BD.
(2)通过作辅助线构造直角三角形，利用菱形性质(边相等，平行)，三角函数定义(sin，tan)建立等式，联立方程求解边长.具体关联：作，，，由，得结合推出ER与RF的关系，设RF=x表示EF；由菱形性质EM=EF，利用求EH，进而得MG，NK；由得BK=2NK，结合AB总长及线段关系列方程，解出x即得菱形边长.(3)作辅助线构造等腰三角形，相似三角形，用变量表示EF与高ET，结合二次函数性质求面积最大值.具体关联：作，由BF=BN得等腰，结合，证BQ是中线，设WF=m表示NF，BF；由平行线截线段成比例可得出，求出QF，进而得ME；利用求ET，结合EF与m的关系，将平行四边形面积表示为关于m的二次函数，根据二次函数顶点式求最大值.
（1）解：在中，为边上的高，
∴是直角三角形，
∵，
设，，
∴
解得，
∴，，
∴
（2）如图③，过点E作于点H，设与交于点R，过点M作于点G，过点N 作于点K，
∵，，，
∴，，，
∴，
即．
设，
则，
∴
∵四边形为菱形，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴当时，该菱形的边长为．
（3）解：如图④，过点B作于点P，与交于点Q，过点E作于点T．设与交于点W．
在中，，，
∵，
∴设，
∴
解得或（舍去）
∴，
∴．
当时，是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴为的中线和高，
即．
设，则，
∴，
∵，
∴，
即：，
解得，
∴，
在中，，
∴，
∴，
同（2）可得出，
∴，
当时，，
∴当时，平行四边形的面积取得最大值，最大值为．
25．（2025·安州模拟）如图，已知抛物线分别与x轴、y轴交于点，，过点B作，与抛物线交于点C，轴，垂足为D，连接，与y轴交于点E，过点E作，垂足为F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的长；
（3）如图②，已知P为线段上一动点（不与点C、D重合），连接并延长，与x轴交于点M，N为上一点，且，求出当线段的长取何值时，线段最长，并求出此时的长．
【答案】（1）解：抛物线分别与x轴、y轴交于点，
，解得：
抛物线的解析式为
（2）解：如图，过点作轴于点
，
，
点在抛物线上
设
，
在中，，
解得：或（舍）
在和中
，
，
，
（3）解：如图，过点作于点
，
由（2）可知，
设
，
，
，
在中，，
，
在中，
在中，
当时，有最大值为
当线段时，线段最长，此时的长为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形全等的判定；解直角三角形；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】本题围绕抛物线与几何图形的综合应用，涉及待定系数法、三角形全等与相似、二次函数最值等知识，分三问逐步求解：
（1）利用待定系数法，将已知点A(-6，0)，B(0，8)代入抛物线，联立方程组求解系数a，c
(2)通过作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理求点C坐标，再利用三角形全等，转化线段关系，最终求出BF.具体关联：作轴，设(由抛物线解析式)，结合，利用勾股定理列方程求m，确定C坐标；证得AG=AB，再证得AF=OA，从而计算BF
(3)作辅助线构造相似三角形，用二次函数最值求解.通过角的关系证得OE，结合线段关系设DP=x，表示AM，MQ，AQ，NQ，再根据将AN表示为关于x的二次函数，根据二次函数性质求最大值.
（1）解：抛物线分别与x轴、y轴交于点，，
，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴于点，
，，
，，
，
点在抛物线上，
设，
，，
在中，，
，
解得：或（舍），
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
由（2）可知，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
当时，有最大值为，
当线段时，线段最长，此时的长为．
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