参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B B D C C C
题号 9 10 11
答案 ABD BCD AB
12.7 13. 14.10
15．（1）易知，.令，则
即当时，单调递增，单调递减.则即时
若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，则需此铁棒的最大长度为
（3）延长分别交，于，，设，则.，可知，
在中，在中，则
令，则，即，，.当时单调递减.则即时.
平板车若想顺利通过直角走廊，其长度不能超过
16.
（1）由题意得，，
所以成等比数列，故；，而,
所以成等比数列，故，故；
（2）设中存在不同的三项恰好成等差数列，
①若均为奇数，不妨设，则，即，得，
因为是奇数，是偶数，故不可能成立；
②若二奇一偶，不妨设为奇数，为偶数，
则为偶数，为奇数，则，即，因为被3除余2，同理也被3除余2，故被3除余1，而为3的倍数，故不可能成立；
③若一奇二偶，不妨设为偶数，为奇数，则为奇数，为偶数，则，即，
因为为3的倍数，不是3的倍数（被3除余1），故不可能成立；
④若均为偶数，不妨设，则，即，得，因为被3除余是3的倍数，故不可能成立，综上中不存在不同的三项恰好成等差数列.
17.
（1）设表示共抽了3次，对应事件为{第一、二次都抽到，第三次抽到}，
由题意，第一、二次抽到的概率依次为、，第三次抽到的概率为，所以，
而最后一次抽到的情况有{抽了1次}、{抽了2次}、{抽了3次}、{抽了4次}，
除了最后一次，其它抽到，故对应概率依次为、、、，
所以该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率为.
（2）（i）这条灯谜的位置从第个到第个排序，有种情况，要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况：
①最适合灯谜是第个，其它的随意在哪个位置，有种情况；
②最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第个或第个，其它的随意在哪个位置，有种情况，
综上，所求概率为；
（ii）记事件表示最适合灯谜被摘到，事件表示最适合灯谜排在第个，则，由全概率公式知：，当时，最适合灯谜在前条中，不会被摘到，此时；
当时，最适合灯谜被摘到，当且仅当前条灯谜中的最适合那条在前个之中时，此时，
所以，令，则 ，由，得，
当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故，当时，取得最大值，从而的最大值为，此时的值为
18.
曲线的方程为.
（i）由题意可知：直线的斜率不为0，设，
联立方程，消去x可得，则，可得，
可知直线，联立方程，消去x可得，
由题意可知：，即，且，可得，
同理可得：，则，
因为，则，即，整理可得，由题意可知：点不在直线上，则，即，可得，即，所以直线的斜率；
（ii）由（i）可知：，则的中点，又因为，即，则的中点，
即直线，由梯形的性质可知：直线与的交点即为直线与的交点，因为直线的斜率，则直线，令可得，即直线与直线的交点为，所以直线与交于定点.
（2）当不经过点Q时，等价于，即．因为分别交C于A，B两点，所以不平行于x轴，设，，，，联立与C方程，得，
且，由韦达定理，得，，
又，同理，所以，所以，代入整理得，要使该式恒成立，则，解得，又经检验，当经过点Q时，仍然成立，所以存在定点使得；因为分别交C于A，B两点，
所以不平行于x轴，且，又因为，设，，联立与C方程，得，
且，所以；因为N为中点，所以，且，所以，所以，当时取到等号，所以折线围成面积的最小值为2，即最小值为2．
19.
Ⅰ. （1）因为，所以，
在上单调递增又，的值域是.
（2）方法一：①当时，
，
②当时，，
在上单调递增，成立.
③当时，令，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，，
使得当时，故在上单调递减，则，
④当时，令，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，，即在上递增，则成立.综上所述，若函数恒成立，则.
方法二
当时，成立，当时，成立，当时，恒成立，令，则，又，令，
当时，，，在上单调递增.
，，故，，又，
，故.
Ⅱ. （1）10（将1000瓶酒编号为0到999。用10只老鼠，编号为0到9）
（2）8
（3）46
解决方案：互斥组测试策略，采用互斥组测试（即酒瓶被划分为互不相交的组）：1.第一轮（第一天）：将1000瓶酒划分为 (m) 个互斥组（每组大小尽量均匀）。每只老鼠测试一个组：喝下该组所有酒瓶的混合液。
- 如果组内无毒酒，老鼠存活。
- 如果组内至少有一瓶毒酒，老鼠死亡（1日内）。
- 第一轮结束（第一天结束时），观察老鼠生死状态，确定死亡组（至少有一瓶毒酒）和存活组（无毒酒）。2. 可疑酒瓶集合：毒酒一定位于死亡组中（存活组无毒酒）。设死亡组数为 d，可疑酒瓶总数记为 S。3. 第二轮（第二天）：使用第一轮存活的老鼠（数量为 k = m - d) 测试可疑酒瓶集合 S。每只存活老鼠测试 S的一个子集（喝混合液）。第二天结束时，根据老鼠生死状态确定毒酒子集。数学试题
永嘉中学 2023 级高三 Z20 第一次联考数学模拟试题卷
考生注意：
1.本科目试卷共 1 张，4 页,19 道小题。满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，请务必检查试题
卷与答题卷印刷情况，并将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷，草
稿纸上作答一律无效。同时考生请注意端正考试行为，把握考试时间，预祝考试顺利。
3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用 2B 铅笔，
确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
一．选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，每题有且仅有一个正确选项符合题意，共计 40 分。
1．对于命题 、 ,若 ∨ 是假命题，下列说法正确的是
A． 、 都是真命题 B． 、 都是假命题 C． 是真命题， 是假命题 D． 是假命题， 是真命题
2．将收集到的 6组数据对( , )( = 1,2,3,4,5,6)制作如图所示的散点图
（点旁数据为该点坐标），由最小二乘法计算得回归直线 1方程： = 1 + 1，
相关系数为 1，相关指数为 21；残差分析确定点 对应残差过大，把它去掉
后，再用剩下的 5组数据计算得回归直线 2方程： = 2 + 2，相关系数为
2，相关指数为 22. 则以下结论中，不正确的是
A． 1 > 0， 22 > 0 B． 1 > 0， 2 > 0 C． 1 > 2 D． 1 > 22
3．空间直角坐标系中过点 1,2, 1 的直线 的一个方向向量为 1,1,1 ，直线 与 轴之间的距离为
A．2 B． 2 C 2 D 1． ．
2 2
4．运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一
个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底面半径和高都与球的半径相等
的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底
面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的
2 2
两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等．现将椭圆 + = 1 绕 轴旋转一周后得一橄榄
4 9
状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于
A．8π B．16π C．24π D．32π
高三数学 试题第 1页 （共 4页）
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数学试题
5．在△ 中，内角 A，B，C对边分别为 a，b，c，若 2, 2, 2 2成等差数列，则 tan( )的最小值为
A 1 B 1． ． C 2 D 3． ．
3 2 3 3
6．已知函数 = 2 2 + + 1（a， ∈ 且 ≠ 2）在区间 1,2 上有零点，则 2 + 2最小值为
A 3 1． B． C．1 D．2
4 2
7．已知递增正整数数列 满足 +2 =
+1（ ∈ N
），则
A． < 1 + 1 B． 1， 2， 3可能成等比数列
C． 3 4 < 5 D． 3， 4， 5可能成等比数列
8．如图，在正方体 中， 在棱 上， = ，
平行于 的直线 在正方形 内，点 到直线 的距离记为 ，
记二面角 为 ，已知初始状态下 = 0， = 0，则
A．当 增大时， 先增大后减小
B．当 增大时， 先减小后增大
C．当 增大时， 先增大后减小
D．当 增大时， 先减小后增大
二．选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，每题至少有一个正确选项符合题意，共计 18 分。
9．关于非零复数 1 = + i， 2 = + i, , ∈ R及其共轭复数 1， 2，下列说法正确的有
A． 1 2 + 1 2 = 0 B． 1 1 = 2 2
C 2 = ． 2 D． 1 2 = 2 11 1
10.已知 (1 x)2025 a a x a x2 a x20250 1 2 2025 ，则
A．展开式的各二项式系数的和为 0 B． a1 a2 a2025 1
C 22025a 22024 a 2023
1 1 1
． 0 1 2 a2 a2025 1 D． 1a1 a2 a2025
11．已知空间向量 ， ， 两两的夹角均为60 ，且 = = 2， = 4.若向量 ， 满足 + = ，
+ = ，则 的可能值是
A．1 + 2 3 B．6 C．9-2 3 D．5 3
2
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共计 15 分。
12.设集合 = 1,2,3 ，则 的非空子集个数为 ▲ ．
13.如图，两个正方形 ABCD，CDEF边长都是 2，且二面角
A CD E为 60°，M，N为对角线 AC和 FD上的动点，且
满足 AM FN，则线段 MN长的最小值为 ▲ ．
14.已知样本： 1， 2， 3， 4， 5 N ，该样本的平均数为
7，样本的方差为 4，且样本的数据互．不．相．同．，
则样本数据中的最大值是 ▲ .
高三数学 试题第 2页 （共 4页）
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数学试题
四．解答题：本题共 5 小题，其中第 15，16，17，18 题一题 15 分，第 19 题 17 分，共计 77 分。
15.如图所示，一条直角走廊宽为 > 0 。
（1）若位于水平地面上的一根铁棒在此直角走廊内，
能水平地通过此直角走廊，求此铁棒最大长度；
（2）现有一辆转动灵活的平板车，其平板面是矩形，
它的宽 为 (0 < < )如图 2.平板车若想顺利
通过直角走廊，其长度 不能超过多少米？
2n 1
a ,n为偶数
a a 2,a 16. 3
n n
在已知数列 n 中， 1 n 1 3n 1
n an ,n为奇数 2
(1)求数列 an 的通项公式.
(2)数列 an 中是否存在不同的三项 ap ,aq ,ar p,q, r N* 恰好成等差数列？若存在，求出 p,q, r的关系；若
不存在，请说明理由.
17.猜灯谜是我国元宵节传统的文化活动.
(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为 、 两类，抽到较易的 类并答对购物打八折优惠，抽
到稍难的 类并答对购物打七折优惠.抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有 8张完全相同的卡片，其
中 3张写有 字母，3张写有 字母，2张写有 字母，顾客每次不放回从箱中随机取出 1张卡片，若抽到
写有 的卡片，则再抽 1次，直至取到写有 或 卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有 的卡
片的条件下，求他共抽了 3次的概率.
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共
会遇到 条灯谜(不妨设每条灯谜的适合度各不相同)最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备
采用如下策略：不摘前 (1 ≤ < )条灯谜，自第 + 1 条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就
摘这条灯谜，否则就摘最后一条.设 = ，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为 .
（i）若 = 4, = 2，求 ；
ii . 1+ 1 + + 1 （ ）当 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 的最大值及 取最大值时 的值 （取 = ln +1 ） 1
高三数学 试题第 3页 （共 4页）
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数学试题
18．已知平面内一动圆过点 2,0 ，且该圆被 轴截得的弦长为 4，设其圆心的轨迹为曲线 ，点 A，B，C，
D为曲线 的四点。
(1)若梯形 的四个顶点均在曲线 上， // ，对角线 与 交于点 2,1 .
（i）求直线 的斜率；
（ii）证明：直线 与 交于定点.
(2)已知点 (5, 2)。过点 R作直线 1交曲线 于 A，B两点，M为线段 的中点，点 Q为曲线 上的一点
且始终满足| | = 2| |，过点 Q作直线 2 ⊥ 1交曲线 于点 D，N为线段 的中点，F为曲线 的焦点，
记△ 的面积为 1，△ 的面积为 2，求 1 + 2的最小值．
19.
Ⅰ. π已知函数 = e + sin cos 1, ∈ 0, ，
2
(1)当 = 1时，求函数 的值域；
(2)若函数 ≥ 0恒成立，求 的取值范围.
Ⅱ. M瓶酒中有 m瓶毒酒，活着的老鼠可以无限量饮用并且会因为喝了毒酒在 d日死亡，至少需要 A
只活着的老鼠才能于 t日内检测出毒酒。请从下列三种情况中选出两种，试求出对应情况下的 A。
(1)M=1000, m=1, d=3, t=3
(2)M=10, m=7, d=1, t=3
(3)M=1000, m=7, d=1, t=2
高三数学 试题第 4页 （共 4页）
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