重庆市九龙坡、渝中区等4地2024-2025学年高一下学期期末学业质量调研抽测数学试卷（含解析）

2024-2025学年度（下期）高中学业质量调研抽测
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.7，则4人都没中靶的概率为（ ）
A．0.2401 B．0.7599 C．0.0081 D．0.081
2．已知向量满足与的夹角为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，为棱上一点，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．平面
B．八面体的体积为
C．的最小值为
D．点到平面的距离为
7．甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（ ）
甲同学：中位数为22，众数为20
乙同学：中位数为25，平均数为22
丙同学：第40百分位数为22，极差为2
丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．以人工智能 量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大.某公司抓住机遇，成立了甲 乙 丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克了该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲 乙 丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（ ）
A．甲 乙 丙三个小组均受到奖励的概率为
B．只有甲 丙小组受到奖励的概率为
C．只有一个小组受到奖励的概率等于
D．技术难题被攻克的概率为
10．已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）
A．复数是实数，则实数或
B．若是复数，且，则的最大值为
C．若是复数，且，则
D．若是关于的方程的一个根，则
11．在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最大值为4
C．的取值范围为
D．若为的中点，则的取值范围为
三、填空题
12．第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，某团队两位运动员10次跳台跳水的成绩为：，则这组数据的第60百分位数为 .
13．若向量，且为单位向量，定义，则的取值范围是 .
14．如图，现有棱长为的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥且，，分别为棱，，上离最远的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的半径的最大值为 cm.
四、解答题
15．某中学800名学生参加某次数学测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)从总体的800名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中女生的人数.
16．在中，角的对边分别为，已知.
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，且，求的周长.
17．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉创立，该公式联系了指数函数与三角函数，被誉为“数学中的天骄”，广泛应用于高等数学和初等数学，如把它与复数的三角形式联系，就可以利用该公式轻松解决“1的次方根问题”.
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)请结合幂的运算，利用欧拉公式证明：；
(3)已知，求.
18．如图，在五面体中，平面，分别为的中点，连接.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由.
19．在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点.
(1)求事件“为偶数”的概率；
(2)若，求“二面角的平面角大于”的概率.
重庆市主城四区2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A D D C B ACD ABD
题号 11
答案 ABD
1．C
【详解】4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.7，
则4人都没中靶的概率为.
故选：C.
2．B
【详解】由与的夹角为，得，
所以.
故选：B.
3．C
【详解】设，则，，
又，故，解得，
故，.
故选：C.
4．A
【详解】因为，所以，
在中，由正弦定理得，
即，
在直角三角形中，，所以.
故选：A.
5．D
【详解】对于A，若，则或，故A错误；
对于B，若，则或与是异面直线，故B错误；
对于C，若，则或，故C错误；
对于D，若，则，又因为所以，故D正确，
故选：D.
6．D
【详解】
在正方体中，连接，可知相交于点，且被互相平分，
故四边形是平行四边形，
所以，而平面，平面，
所以平面，故A正确；
因为正方体棱长为，所以四边形是正方形且，
面,，
所以八面体的体积等于棱锥体积的2倍，
而棱锥体积等于，
故八面体的体积为，B正确；
因为为棱上一点，将和展开成一个平面，
由题和均为正三角形，且边长为，
由三角形两边之和大于第三边知最小值为，
在中由余弦定理可知：
，故C正确；
对于D选项：设点到平面的距离为，由等体积法知：
即，
，故D错误.
故选：D.
7．C
【详解】甲同学的5个数据的中位数为22，众数为20，则数据中必有20，20，22，余下两个数据都大于22，
且不相等，所有数据一定都不小于20；
乙同学的5个数据的中位数为25，平均数为22，当5个数据为17，18，25，25，25时，
符合题意，而有小于20的数，不满足所有数据一定都不小于20；
丙同学的5个数据的第40百分位数为22，极差为2，则5个数据由小到大排列后第二和第三个
数只可能是22，22或21，23，由极差为2知，所有数据一定都不小于20；
丁同学的5个数据中有一个数据为30，平均数为24，设其余4个数据依次为，
则方差
，若中有小于20的数，
，不符合题意，因此均不小于20，5个数21，21，24，24，30可满足条件，
所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三位同学.
故选：C
8．B
【详解】
，
若是上的“完整函数”，
则在上存在，使得成立，
即，
又因为，所以，
即在上至少存在两个最大值点，
所以，解得；
当，即时，一定满足题意；
若，因为，，所以，
又易知；所以只需保证即可，
解得.
综上可知.
故选：B.
9．ACD
【详解】A选项，甲 乙 丙三个小组均受到奖励的概率为，A正确；
B选项，只有甲 丙小组受到奖励的概率为，B错误；
C选项，只有一个小组受到奖励的概率等于
，C正确；
D选项，技术难题没有被攻克的概率为，
故技术难题被攻克的概率为，D正确.
故选：ACD
10．ABD
【详解】选项A：复数是实数，所以，解得或，故选项A正确；
选项B：设，依题意，，即，其表示以原点为圆心，1为半径的圆，
同时，，表示点到点的距离，
即以原点为圆心，1为半径的圆上的点到点的距离，圆上一点到一个定点的距离的最大值为（为圆心到定点距离，为半径），
故的最大值为，选项B正确；
选项C：若，，此时，，，，但，，，故选项C错误；
选项D：若是关于的方程的一个根，则另一根为，
根据韦达定理，两根之积，故选项D正确.
故选：ABD.
11．ABD
【详解】由，结合正弦定理角化边得：，
再由余弦定理得：，
因为，所以，故A正确；
再由，因为，所以，
又因为，所以，解得，
当且仅当时取等号，此时，故B正确；
在直角中，，，斜边，故C错误；
由中线平方可得：，
即，利用可得：
，因为，
所以，当且仅当取等号，
因为，所以的取值范围为，故D正确；
故选：ABD.
12．75
【详解】10次跳台跳水的成绩从小到大排列如下：，
，故从小到大，选取第6个和第7个数据的平均数作为第60百分位数，
即.
故答案为：75
13．
【详解】由题意知，．设，
则．
又，∴，∴．
故答案为：.
14．
【详解】由题意可得，
所以为等边三角形，设的中心为，
则，因为平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，平面，
所以，同理可证，
平面，，
所以平面，
因为，所以，又，
所以，又，，平面，
所以平面，平面，
所以，同理证明，
又平面，，
所以平面，
所以三点共线，
设点到平面的距离为，
而，
，
由，得，
解得，即，
又，所以，
因为，所以该球不是正方体的内切球，
连接，交与点，连接，
由对称性可得球的球心位于线段上，且该球与平面相切，与平面相切，
设球心为，球的半径为，则，，故，
所以，所以，
所以所求球形饰品的半径的最大值为.
故答案为：.
15．(1)0.2
(2)40
(3)320
【详解】（1）根据频率分布直方图，可计算分数小于60的频率为：
所以从总体的800名学生中随机抽取一人，
估计其分数小于60的概率为0.2；
（2）根据频率分布直方图，可计算分数小于50的频率为：
所以可计算在100人的样本中，分数小于50的频数为：人，
已知样本中分数小于40的学生有5人，
所以分数在内的频数为：5人，
即分数在内的频率为：0.05，
从而可估计总体中分数在区间内的人数约为：人；
（3）根据频率分布直方图，可计算分数不小于70的频率为：，
则计算样本中分数不小于70的频数为：人，
由于样本中分数不小于70的男女生人数相等，所以此时男女生各有30人；
而样本中有一半男生的分数不小于70，则样本中男生人数共有60人，
所以样本中女生只有40人，
可以估计总体中女生的人数约为：人
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：（1）因为，
由正弦定理得，
即，
因为，则，故.
（2）因为，且，则，
，
.
，
，
.
（3），
因为由余弦定理得，
于是，
因为，则，所以，
因此，于是的周长.
17．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为，由于为纯虚数，
得，所以；
（2）由于，得：
所以；
（3）由得：，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1），
又分别为的中点，，A四点共面，
平面面，
平面，平面，
又平面，
又为，且，
又平面平面，
平面
（2）因为平面，所以直线与平面所成角为，
直角三角形中，，
.
即直线与平面所成角的大小为
（3）存在点P，使得平面
如图，连接，取其中点O，连接并延长与相交，交点即为
证明：因为分别为的中点，
，
面，在平面外，
平面，
由M是中点，M到面的距离为2，
根据条件，的面积为，
中，
，
得的面积为
设点到平面的距离为，则，
即，解得，
所以点到平面的距离为.
19．(1)
(2)
【详解】（1）用表示“均为奇数”的事件，用表示“均为偶数”的事件，
则从1-8个数字中任取两个数字标签贴在C D顶点的样本空间有56个样本点，
事件包含12个样本点，事件也包含12个样本点，根据古典概率知识得：
.
记“为偶数”为事件，则，
故；
（2）如图，取边的中点，连结.
因为均是边长为的正三角形，
所以，，平面,
因此平面，
从而是二面角的平面角，
又，则.
又，
同理，
当二面角的平面角大于时，
，
当时，，则可取3，4，5，6，7，8共六个值；
当时，，则可取共三个值；
当时，，则不存在.
从1-8个数字中任取两个数字标签贴在顶点的样本空间有56个样本点，
其中使得二面角的平面角大于的样本点有9个，所以.