广东省深圳市龙岗区新亚洲学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（共8小题）
1．（2024九上·龙岗开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B。
【分析】根据轴对称和中心对称图形的定义：轴对称是指存在一条直线（对称轴），将图形沿此线对折，两部分完全重合。中心对称是值存在一个中心点，图形绕此点旋转180度后与原图形重合。如平行四边形中心对称。据此即可判断。
2．（2024九上·龙岗开学考）3是下列哪个不等式的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；判断是否为不等式的解（集）
【解析】【解答】解：A解不等式，解得：，故该选项符合题意；
B解不等式，解得：，故该选项不符合题意；
C解不等式，解得：，故该选项不符合题意；
D解不等式，解得：，故该选项不符合题意.
故选：A．
【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法.需要分别解出每个选项中的不等式，然后判断3是否为其解.熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键，本题充分体现了不等式求解在判断解的问题中的应用，是对学生代数运算能力的考查.
3．（2024九上·龙岗开学考）对多项式进行因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：根据平方差公式-=(a + b)(a - b)
对进行因式分解，其中a = 2x，b = 1，
可得．
故选：B．
【分析】本题主要考查利用平方差公式进行因式分解.需要准确识别公式中的a和b，并正确应用公式．本题着重考查了平方差公式在因式分解中的应用.平方差公式是因式分解的重要公式之一，适用于形如-的多项式.在解决本题时，准确识别多项式的形式，正确应用平方差公式，是解决问题的关键.本题充分体现了公式法在因式分解中的重要性，是对基础知识的考查．
4．（2024九上·龙岗开学考）分式与互为相反数，则x的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】∵ 分式与互为相反数，
∴，
解得x=-2，
故答案为：C
【分析】先根据相反数的定义列出分式方程，进而结合题意解分式方程即可求解。
5．（2024九上·龙岗开学考）在中，，，则（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理建立方程求解即可．
6．（2024九上·龙岗开学考）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，即，
故选：A．
【分析】根据题意得等量关系：“加压后气体对气缸壁所产生的压强－加压前气体对气缸壁所产生的压强=15”，据此列方程即可．
7．（2024九上·龙岗开学考）如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
的边上的高与的边上的高相等，
，
，
同理：，
，
，，
，
故阴影部分的面积为．
故答案为：B。
【分析】连接EF，过E点作 于点M，根据三角形的面积公式和平行四边形的面积公式，分别求出，，进而可得，根据平行四边形的基本性质，可得，根据题意，易得， ，根据，，易得，阴影部分面积等于，代入数据即可求解。
8．（2024九上·龙岗开学考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形-动点问题；旋转全等模型
【解析】【解答】解：以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，如图：
∵△BDM和△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，DM＝BD，∠BDM＝∠FDE＝60°，
∴∠BDM﹣∠MDF＝∠FDE﹣∠MDF，即∠BDF＝∠MDE，
∴△BDF≌△MDE（SAS），
∴BF＝ME，
∴当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，如图：
过M作MN⊥BC于N，
∵BC＝3，CD＝1，
∴BD＝2，
∴ND＝0.5BD＝1，NC＝2，
而∠MNC＝∠NCE＝∠CEM＝90°，
∴四边形MNCE是矩形，
∴ME＝NC＝2，
而BF＝ME，
∴BF最小值是2．
故答案为：B。
【分析】以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，根据等边三角形的性质，易证△BDF≌△MDE（SAS），可得BF=ME，故当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，过M作MN⊥BC于N，即可得ME=NC=2，根据矩形的性质，可得ME＝NC＝2，从而知BF最小值是2。
二、填空题（共5小题）
9．（2024九上·龙岗开学考） 分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：对进行因式分解，首先观察到两项中都含有公因式xy，根据提公因式法，将公因式xy提取出来，得到.
故填：.
【分析】本题主要考查因式分解中的提公因式法。提公因式法是因式分解的基本方法之一，关键在于准确找出各项的公因式。在这个式子中，公因式为xy，提取公因式后即可完成因式分解。这种方法在初中数学因式分解的学习中是基础且重要的内容，需要熟练掌握。
10．（2024九上·龙岗开学考）化简的结果是 ．
【答案】
【知识点】分式的通分；分式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
故填：．
【分析】本题主要考查分式的混合运算。分式混合运算的关键在于熟练掌握运算法则，先通分计算括号内的分式，再将除法转化为乘法进行计算．
11．（2024九上·龙岗开学考）如图，直线与直线的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：结合图象，
直线与直线交于点，
的解集为．
故答案为：．
【分析】观察函数图象，可得到两个函数图象的交点坐标为（-3，2），利用此点的横坐标，可得到不等式的解集.
12．（2024九上·龙岗开学考）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时， ．
【答案】或2或4
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意得，，，
则，PD=(6-t)cm，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得，
即秒时四边形是平行四边形；
当四边形是平行四边形，
则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得，
当四边形DPBQ是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴当时，四边形DPBQ是平行四边形，
∴，
解得，
∴或2或4秒时， 点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形 .
故答案为：或2或4．
【分析】由题意得AP=tcm，CQ=2tcm，则BQ=(10-2t)cm，PD=(6-t)cm，由于AD∥BC，故分当AP=BQ，PD=CQ，PD=BQ三种情况时点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形，从而分别列出方程，求解可得答案.
13．（2024九上·龙岗开学考）如图，在三角形中，，，为边上的高，，点为边上的一动点，，分别为点关于直线，的对称点，连接，则线段长度的取值范围是 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形-动点问题；面积及等积变换
【解析】【解答】解：连接AP1、AP2、AP，过点A作AE⊥于点E，如图所示
∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为，，
∴AP1=AP= AP2，∠AB=∠PAB，∠AC=∠PAC，
∵
∴△P1AP2等腰直角三角形，
∴∠AE=45°，
∴AE==，=，
∵，为边上的高，，
∴AD=CD=6，BD=2，
∴BC=，CD=>8
作AP’⊥BC，
由面积法，
∴
∴
∴
即
故答案为：。
【分析】连接AP1、AP2、AP，过点A作AE⊥于点E，由对称性可知AP1=AP= AP2、易得△P1AP2是等腰直角三角形，进而即可得出=AP，根据勾股定理： BC=，代入数据，求出BC的值，然后再BC和CD的值进行比较，作AP’⊥BC根据等面积法： ，代入数据求出AP’的值，最后再根据AP的取值范围即可得出线段长的取值范围。
三、解答题（共7小题）
14．（2024九上·龙岗开学考）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是。
（2）解：，
方程可化为
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）将分式方程的两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，然后再求出x的值，最后再将x的值代回原分式进行验证，即可求解。
（2）将分式方程先进行简单变形：，然后再两边同时乘以（），将分式方程化为整式方程，然后再求出x的值，最后再将x的值代回原分式进行验证，即可求解。
（1），
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
（2），
方程可化为
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
15．（2024九上·龙岗开学考）先因式分解，再计算求值：，其中；
【答案】解：
；
把代入得，原式．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题着重考查了提公因式法进行因式分解.提公因式法是因式分解的基本方法之一，通过找出各项的公因式并提取出来，将多项式化简，再代入求值.
16．（2024九上·龙岗开学考）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将使点变换为点，点、分别是、的对应点．
（1）请在图中画出平移后的；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：如图：
（2）解：的面积。
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，分别找出点、、的位置，然后再将和，和，和进行连接，即可求解。
（2）用长为4，宽为2的矩形减去1个底边为1，高为4的直角三角形减去1个高为2，第为2的直角三角形再减去1个高为1，底为2的直角三角形，根据矩形的面积公式和直角三角形的面积，代入数据即可求解。
（1）解：如图：
（2）解：的面积．
17．（2024九上·龙岗开学考）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲
乙
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
【答案】（1）解：依据题意，得：，
解得：，
检验：当x=300时，x（x+200）≠0，
∴x=300是分式方程的解，
∴x的值为300；
（2）解：设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，
依据题意，得：，
解得：，
∴乙工程队至少施工15天.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据信息二中的条件列出关于x的分式方程，解分式方程并检验，即可求出x的值；
（2）设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，根据“体育中心需要支付施工费用不超过45000元”列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取m的最小值即可求解.
18．（2024九上·龙岗开学考）如图直线：经过点，．
（1）求直线的表达式；
（2）若直线与直线相交于点M，求点M的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：将点，代入得：，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：联立，解得，
∴点的坐标为；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（3）解：把代入得，，解得，
观察图象，关于的不等式的解集为．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）联立两直线解析式，解方程组即可求出答案.
（3）当直线图象在直线图象上方，且都在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
19．（2024九上·龙岗开学考）阅读材料，解答下面问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方2倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）理解并填空：
①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）奇异三角形；
②若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形 （填“是”或“不是”）奇异三角形；
（2）探究：在中，两边长分别是a，c，且，，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
【答案】（1）①是，②是
（2）解：当c为斜边时，则，
由于，
故不是奇异三角形；
当b为斜边时，，
则有，
所以是奇异三角形．
答：当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）是；设等边三角形的边长为a，则，显然成立；
是；因为，故是奇异三角形．
故答案为：是，是。
【分析】（1）①设等边三角形的边长为a，然后再根据奇异三角形的定义，代入数据即可求解。
②根据奇异三角形的定义，然后将题干中的三边数据，代入进行验证即可求解。
（2）根据c为斜边、b为斜边两种情况，然后根据奇异三角形的定义和勾股定理，代入数据即可求解验证。
（1）是；设等边三角形的边长为a，则，显然成立；
是；因为，故是奇异三角形．
故答案为：是，是；
（2）当c为斜边时，则，
由于，
故不是奇异三角形；
当b为斜边时，，
则有，
所以是奇异三角形．
答：当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形．
20．（2024九上·龙岗开学考）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点C在上，点D在线段延长线上，连接，．线段与的数量关系为______；
（2）如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转（）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．
（3）如图3，若，点C是线段外一动点，，连接，
①若将绕点C逆时针旋转 得到，连接，则的最大值______；
②若以为斜边作，（B、C、D三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）结论仍成立，理由如下：
∵和是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，即，
∴，
。
（3）①，②或。
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
∵和是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
，
故答案为：。
（3）①过点作，使，连接，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵， ，
∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
∴当在的延长线上时，的值最大，最大值为；
故答案为：；
②当点在上方时，如图，在上方作，过点作于点，连接、、，过点作于点．
，；
∴，
，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴
当点在下方时，如图，在上方作，过点作于点，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴；
综上：或。
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，，，易证，进而即可证明。
（2）根据等腰直角三角形的性质，易得，，根据 ，易证，进而即可证明。
（3）①过点作，使，连接，根据等腰直角三角形的性质，可得， ，根据相似三角形的判定定理，易证，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，即可得解；②分点在线段的上方和下方，两种情况进行讨论求解。
1 / 1广东省深圳市龙岗区新亚洲学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（共8小题）
1．（2024九上·龙岗开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·龙岗开学考）3是下列哪个不等式的解（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·龙岗开学考）对多项式进行因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·龙岗开学考）分式与互为相反数，则x的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2024九上·龙岗开学考）在中，，，则（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（2024九上·龙岗开学考）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·龙岗开学考）如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·龙岗开学考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
二、填空题（共5小题）
9．（2024九上·龙岗开学考） 分解因式： ．
10．（2024九上·龙岗开学考）化简的结果是 ．
11．（2024九上·龙岗开学考）如图，直线与直线的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
12．（2024九上·龙岗开学考）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时， ．
13．（2024九上·龙岗开学考）如图，在三角形中，，，为边上的高，，点为边上的一动点，，分别为点关于直线，的对称点，连接，则线段长度的取值范围是 .
三、解答题（共7小题）
14．（2024九上·龙岗开学考）解方程：
（1）
（2）
15．（2024九上·龙岗开学考）先因式分解，再计算求值：，其中；
16．（2024九上·龙岗开学考）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将使点变换为点，点、分别是、的对应点．
（1）请在图中画出平移后的；
（2）求的面积．
17．（2024九上·龙岗开学考）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲
乙
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
18．（2024九上·龙岗开学考）如图直线：经过点，．
（1）求直线的表达式；
（2）若直线与直线相交于点M，求点M的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
19．（2024九上·龙岗开学考）阅读材料，解答下面问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方2倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）理解并填空：
①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）奇异三角形；
②若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形 （填“是”或“不是”）奇异三角形；
（2）探究：在中，两边长分别是a，c，且，，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
20．（2024九上·龙岗开学考）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点C在上，点D在线段延长线上，连接，．线段与的数量关系为______；
（2）如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转（）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．
（3）如图3，若，点C是线段外一动点，，连接，
①若将绕点C逆时针旋转 得到，连接，则的最大值______；
②若以为斜边作，（B、C、D三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B。
【分析】根据轴对称和中心对称图形的定义：轴对称是指存在一条直线（对称轴），将图形沿此线对折，两部分完全重合。中心对称是值存在一个中心点，图形绕此点旋转180度后与原图形重合。如平行四边形中心对称。据此即可判断。
2．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；判断是否为不等式的解（集）
【解析】【解答】解：A解不等式，解得：，故该选项符合题意；
B解不等式，解得：，故该选项不符合题意；
C解不等式，解得：，故该选项不符合题意；
D解不等式，解得：，故该选项不符合题意.
故选：A．
【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法.需要分别解出每个选项中的不等式，然后判断3是否为其解.熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键，本题充分体现了不等式求解在判断解的问题中的应用，是对学生代数运算能力的考查.
3．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：根据平方差公式-=(a + b)(a - b)
对进行因式分解，其中a = 2x，b = 1，
可得．
故选：B．
【分析】本题主要考查利用平方差公式进行因式分解.需要准确识别公式中的a和b，并正确应用公式．本题着重考查了平方差公式在因式分解中的应用.平方差公式是因式分解的重要公式之一，适用于形如-的多项式.在解决本题时，准确识别多项式的形式，正确应用平方差公式，是解决问题的关键.本题充分体现了公式法在因式分解中的重要性，是对基础知识的考查．
4．【答案】C
【知识点】解分式方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】∵ 分式与互为相反数，
∴，
解得x=-2，
故答案为：C
【分析】先根据相反数的定义列出分式方程，进而结合题意解分式方程即可求解。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理建立方程求解即可．
6．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，即，
故选：A．
【分析】根据题意得等量关系：“加压后气体对气缸壁所产生的压强－加压前气体对气缸壁所产生的压强=15”，据此列方程即可．
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
的边上的高与的边上的高相等，
，
，
同理：，
，
，，
，
故阴影部分的面积为．
故答案为：B。
【分析】连接EF，过E点作 于点M，根据三角形的面积公式和平行四边形的面积公式，分别求出，，进而可得，根据平行四边形的基本性质，可得，根据题意，易得， ，根据，，易得，阴影部分面积等于，代入数据即可求解。
8．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形-动点问题；旋转全等模型
【解析】【解答】解：以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，如图：
∵△BDM和△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，DM＝BD，∠BDM＝∠FDE＝60°，
∴∠BDM﹣∠MDF＝∠FDE﹣∠MDF，即∠BDF＝∠MDE，
∴△BDF≌△MDE（SAS），
∴BF＝ME，
∴当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，如图：
过M作MN⊥BC于N，
∵BC＝3，CD＝1，
∴BD＝2，
∴ND＝0.5BD＝1，NC＝2，
而∠MNC＝∠NCE＝∠CEM＝90°，
∴四边形MNCE是矩形，
∴ME＝NC＝2，
而BF＝ME，
∴BF最小值是2．
故答案为：B。
【分析】以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，根据等边三角形的性质，易证△BDF≌△MDE（SAS），可得BF=ME，故当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，过M作MN⊥BC于N，即可得ME=NC=2，根据矩形的性质，可得ME＝NC＝2，从而知BF最小值是2。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：对进行因式分解，首先观察到两项中都含有公因式xy，根据提公因式法，将公因式xy提取出来，得到.
故填：.
【分析】本题主要考查因式分解中的提公因式法。提公因式法是因式分解的基本方法之一，关键在于准确找出各项的公因式。在这个式子中，公因式为xy，提取公因式后即可完成因式分解。这种方法在初中数学因式分解的学习中是基础且重要的内容，需要熟练掌握。
10．【答案】
【知识点】分式的通分；分式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
故填：．
【分析】本题主要考查分式的混合运算。分式混合运算的关键在于熟练掌握运算法则，先通分计算括号内的分式，再将除法转化为乘法进行计算．
11．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：结合图象，
直线与直线交于点，
的解集为．
故答案为：．
【分析】观察函数图象，可得到两个函数图象的交点坐标为（-3，2），利用此点的横坐标，可得到不等式的解集.
12．【答案】或2或4
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意得，，，
则，PD=(6-t)cm，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得，
即秒时四边形是平行四边形；
当四边形是平行四边形，
则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得，
当四边形DPBQ是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴当时，四边形DPBQ是平行四边形，
∴，
解得，
∴或2或4秒时， 点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形 .
故答案为：或2或4．
【分析】由题意得AP=tcm，CQ=2tcm，则BQ=(10-2t)cm，PD=(6-t)cm，由于AD∥BC，故分当AP=BQ，PD=CQ，PD=BQ三种情况时点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形，从而分别列出方程，求解可得答案.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形-动点问题；面积及等积变换
【解析】【解答】解：连接AP1、AP2、AP，过点A作AE⊥于点E，如图所示
∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为，，
∴AP1=AP= AP2，∠AB=∠PAB，∠AC=∠PAC，
∵
∴△P1AP2等腰直角三角形，
∴∠AE=45°，
∴AE==，=，
∵，为边上的高，，
∴AD=CD=6，BD=2，
∴BC=，CD=>8
作AP’⊥BC，
由面积法，
∴
∴
∴
即
故答案为：。
【分析】连接AP1、AP2、AP，过点A作AE⊥于点E，由对称性可知AP1=AP= AP2、易得△P1AP2是等腰直角三角形，进而即可得出=AP，根据勾股定理： BC=，代入数据，求出BC的值，然后再BC和CD的值进行比较，作AP’⊥BC根据等面积法： ，代入数据求出AP’的值，最后再根据AP的取值范围即可得出线段长的取值范围。
14．【答案】（1）解：，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是。
（2）解：，
方程可化为
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）将分式方程的两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，然后再求出x的值，最后再将x的值代回原分式进行验证，即可求解。
（2）将分式方程先进行简单变形：，然后再两边同时乘以（），将分式方程化为整式方程，然后再求出x的值，最后再将x的值代回原分式进行验证，即可求解。
（1），
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
（2），
方程可化为
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
15．【答案】解：
；
把代入得，原式．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题着重考查了提公因式法进行因式分解.提公因式法是因式分解的基本方法之一，通过找出各项的公因式并提取出来，将多项式化简，再代入求值.
16．【答案】（1）解：如图：
（2）解：的面积。
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，分别找出点、、的位置，然后再将和，和，和进行连接，即可求解。
（2）用长为4，宽为2的矩形减去1个底边为1，高为4的直角三角形减去1个高为2，第为2的直角三角形再减去1个高为1，底为2的直角三角形，根据矩形的面积公式和直角三角形的面积，代入数据即可求解。
（1）解：如图：
（2）解：的面积．
17．【答案】（1）解：依据题意，得：，
解得：，
检验：当x=300时，x（x+200）≠0，
∴x=300是分式方程的解，
∴x的值为300；
（2）解：设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，
依据题意，得：，
解得：，
∴乙工程队至少施工15天.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据信息二中的条件列出关于x的分式方程，解分式方程并检验，即可求出x的值；
（2）设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，根据“体育中心需要支付施工费用不超过45000元”列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取m的最小值即可求解.
18．【答案】（1）解：将点，代入得：，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：联立，解得，
∴点的坐标为；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（3）解：把代入得，，解得，
观察图象，关于的不等式的解集为．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）联立两直线解析式，解方程组即可求出答案.
（3）当直线图象在直线图象上方，且都在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
19．【答案】（1）①是，②是
（2）解：当c为斜边时，则，
由于，
故不是奇异三角形；
当b为斜边时，，
则有，
所以是奇异三角形．
答：当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）是；设等边三角形的边长为a，则，显然成立；
是；因为，故是奇异三角形．
故答案为：是，是。
【分析】（1）①设等边三角形的边长为a，然后再根据奇异三角形的定义，代入数据即可求解。
②根据奇异三角形的定义，然后将题干中的三边数据，代入进行验证即可求解。
（2）根据c为斜边、b为斜边两种情况，然后根据奇异三角形的定义和勾股定理，代入数据即可求解验证。
（1）是；设等边三角形的边长为a，则，显然成立；
是；因为，故是奇异三角形．
故答案为：是，是；
（2）当c为斜边时，则，
由于，
故不是奇异三角形；
当b为斜边时，，
则有，
所以是奇异三角形．
答：当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形．
20．【答案】（1）；
（2）结论仍成立，理由如下：
∵和是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，即，
∴，
。
（3）①，②或。
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
∵和是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
，
故答案为：。
（3）①过点作，使，连接，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵， ，
∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
∴当在的延长线上时，的值最大，最大值为；
故答案为：；
②当点在上方时，如图，在上方作，过点作于点，连接、、，过点作于点．
，；
∴，
，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴
当点在下方时，如图，在上方作，过点作于点，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴；
综上：或。
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，，，易证，进而即可证明。
（2）根据等腰直角三角形的性质，易得，，根据 ，易证，进而即可证明。
（3）①过点作，使，连接，根据等腰直角三角形的性质，可得， ，根据相似三角形的判定定理，易证，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，即可得解；②分点在线段的上方和下方，两种情况进行讨论求解。
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