广东省深圳市福田区外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
一、选择题
1．（2024九上·福田开学考）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．三叶玫瑰线 B．笛卡尔心形线
C．蝴蝶曲线 D．四叶玫瑰线
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据轴对称和中心对称的定义：轴对称是值存在一条直线（对称轴），将图形沿此线对折，两部分完全重合。中心对称是值存在一个中心点，图形绕此点旋转180度后与原图形重合。据此即可判断。
2．（2024九上·福田开学考）下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、该变形过程是整式乘除，不是因式分解，A不符合题意；
B、该变形过程不是因式分解，B不符合题意；
C、该变形过程是因式分解，C符合题意；
D、该变形过程分解不完全，不是因式分解，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
3．（2024九上·福田开学考）已知点在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第三象限，
，解得，
∴此不等式组的解集为：，
故答案为：B.
【分析】根据点所在的象限，列出不等式组求解．
4．（2024九上·福田开学考）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
，
解得，，
∵此方程有增根无解，
∴，
解得，，
故答案为：A。
【分析】先对分式方程进行求解，，根据“方程有增根无解”，可得，，最后再进行求解即可。
5．（2024九上·福田开学考）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，中，，平分的外角，点M是的中点，连接并延长交于点D，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：， ， ，，， ①______， 又，， （②______）， ， 四边形ABCD是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】证明：，
，
，，，
，
又，，
（），
，
四边形是平行四边形．
故答案为：D。
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角定理，即可求出①，然后再根据全等三角形的判定定理（ASA），即得求出②。
6．（2024九上·福田开学考）某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，得：
故答案为：A．
【分析】根据“单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个”即可列出方程。
7．（2024九上·福田开学考）在中，，过点A作，连接与交于点F，E是边的中点，，若，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
，
∵是边的中点，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：C。
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质得出，代入数据求出AE的值，然后再根据全等三角形的等边对等角以及三角形外角的定理，即可求出，利用等角对等边可得出，最后在中，根据勾股定理：，代入数据即可求解。
8．（2024九上·福田开学考）如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】把绕顺时针旋转得到过作垂足为，
∴
∴，
∵四边形内角和为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点三点在同一条直线上，
∵，
，
，
，
，
在中， ，
，
故答案为：A
【分析】把绕顺时针旋转得到， 过作垂足为，易证 ，可得，，然后再根据四边形内角和，可得，从而证得点三点共线，根据 ，易得 进一步得，再根据 ，在 中，根据余弦函数的定义：，代入数据即可求出BD的值。
二、填空题
9．（2024九上·福田开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：提取公因式，．
故填：.
【分析】本题主要考查因式分解，运用提公因式法对原式进行分解 ．
10．（2024九上·福田开学考）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 .
【答案】x＞-3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使代数式在实数范围内有意义，必须
2x+6＞0，
解得：x＞-3．
故答案为：x＞-3.
【分析】根据二次根式有意义的条件：根号下的数或式子大于等于0；分式有意义的条件：分母不等于0，进行求解即可．
11．（2024九上·福田开学考）如图所示，一次函数与的交点坐标为，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象得：不等式的解集为：，
故答案为：
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的交点可知，要使，只需要使x的值大于等于交点的横坐标即可。
12．（2024九上·福田开学考）如图，为中的外角平分线，于点，为中点，，，则长为 ．
【答案】6
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长、交于点，如图：
为中的外角平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
又为中点，
，
，
，
，
故答案为：。
【分析】延长、交于点，根据为中的外角平分线，可得，易证，根据全等三角形的性质，得到，，进而易得，最后根据三角形中位线定理解答即可
13．（2024九上·福田开学考）如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，取的中点O，连接
则，
在矩形中，，，
所以
所以
故是等边三角形，，则
连接并延长交于E
由旋转性质得，
所以
在和中，
，所以，
所以，
由得
解得，则
故点Q在射线上运动，
因为
所以
过Q作于M，于N，则四边形是矩形
所以
设，则，，
在中，，，
所以
在中，，则
所以
由得
解得，则
所以，
在中，由得，
整理，得，即，
所以，又
故，．
故填：．
【分析】本题全面考查了矩形的判定与性质，旋转性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质.解题过程中，通过连接辅助线AC和BO，构造出等边三角形，为后续的角度和边长计算提供了基础.利用旋转的性质得到AP=AQ和，结合矩形的性质证明，确定点Q的运动轨迹为射线OE.再根据得出，通过作辅助线QM和QN，将问题转化为直角三角形中的边长计算，最后利用勾股定理建立方程求解.整个过程需要综合运用多种几何知识，是一道综合性较强的几何题．
三、解答题
14．（2024九上·福田开学考）解方程：．
【答案】解：由方程，
方程两边都乘，得，解得：，
检验：当时，，所以是增根，
即原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据分式的运算法则，方程两边都乘，转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验，即可求解.
15．（2024九上·福田开学考）先化简，再从中选择一个适当的数作为的值代入求值.
【答案】解：原式=
=
=
当a=1或2时，分式无意义.
当a=-1时，原式=
当a=0时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用分式的混合运算法则进行化简，将-1，0，1，2分别代入求得a的值.
16．（2024九上·福田开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的图形；
（2）画出绕点逆时针旋转所得到的图形，并写出的坐标．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示，其中，．
【知识点】中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质，分别找出A、B、C关于原点对称的对应点A1、B1、C1，然后再顺势连接A1B1、A1C1和B1C1，即可求解。
（2）根据旋转的性质，分别找出A、B、C对应点A2、B2、C2，然后再顺势连接A2B2、A2C2和B2C2，然后再根据从图中直接读出B2的坐标即可。
（1）解：如图所示：
（2）如图所示，其中，．
17．（2024九上·福田开学考）端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元．
（1）若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格；
（2）在(1)的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
【答案】（1）解：设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为元，由题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元。
（2）解：设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为盒，由题意得：
，
解得：，
设总费用为w元，
则，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w最小，
此时，，
答：购买咸蛋20盒，粽子10盒时，总费用最少。
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为元，根据题意“两种粽子的数量相等”，建立分式方程：，然后解方程，求出x的值，最后再将x的值代入原分式方程中进行验证，即可；
（2）设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为盒，根据咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，列出一元一次不等式：，然后再解出m的取值范围，再设总费用为w元，列出一次函数关系式：，最后再根据函数的性质进行判断即可求解。
（1）解：设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元；
（2）解：设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为盒，
由题意得：，
解得：，
设总费用为w元，
则，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w最小，
此时，，
答：购买咸蛋20盒，粽子10盒时，总费用最少．
18．（2024九上·福田开学考）如图，在中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点，，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案 乙方案
分别取，的中点， 作于点，于点
请回答下列问题：
（1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明；
（2）在（1）的基础上，若，，求的面积．
【答案】（1）解：①选甲方案，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是对角线的中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形；故甲方案正确；
②选乙方案，
证明：于点，于点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，故乙方案正确；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积是32．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
（1）①选甲方案，由平行四边形的性质得，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，由线段中点的性质得，、分别是、的中点，得，用边角边可证，由全等三角形的性质“全等三角形的对应边（角）相等”得，，由等角的补角相等可得，由平行线的判定“内错角相等，两直线平行可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解；
②选乙方案，由于点，于点，得，，由平行四边形的性质得，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，用角角边可证，由全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解；
（2）由（1）可得，，由线段的和差可得，结合已知可得，于是，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得，则可求解．
（1）解：选甲方案，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是对角线的中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形；故甲方案正确；
选乙方案，
证明：于点，于点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，故乙方案正确；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积是32．
19．（2024九上·福田开学考）如图①②，在四边形中，，顶点坐标分别为，，，，，动点从开始以每秒个单位长度的速度沿线段向运动，另一个动点以每秒个单位长度的速度从开始运动，、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．请回答下列问题：
（1） ， ；
（2）如图①，若点沿折线向运动，
①为何值时，，请说明理由；
②为何值时，以点、和四边形的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由；
（3）如图②，若点沿射线运动，当线段被平分时，直接写出点坐标为 ．
【答案】（1）；3
（2）解：①由题意可得点运动过程中的坐标为，∵，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即或，
解得：或（舍去）
∴时，；
②由题意，分两种情况，当时，时，
由题得当时，点在上运动，
若想，与四边形的任意两个顶点构成平行四边形，，
即且，
，，
，
；
当时，
根据题意，，
，
，，
，
；
当时，
，
；
故的值为或或2。
（3）
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】（1）解：过点作轴于点，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：设直线的解析式为，代入，两点：
，解得：，
∴，
∴，，
∵被平分，
∴的中点，
∵在线段上，
∴点的纵坐标为，
∴，
解得：，
∴代入可得：，
∴。
【分析】（1）过点作轴于点，根据A和B两点的坐标，求出BH和AH的长，然后再根据勾股定理，求出的值，根据A与D两点的坐标，即可求出AD的值。
（2）①根据题干信息，可求出N点在运动过程中的坐标，进而可推出是直角三角形，根据 ，可得 ，进而可知， ，然后再根据特殊角的三角函数和正弦函数的定义：，代入数据，求出t的值。
② 分两种情况，当时，时，根据题意，当时，点在上运动，若想，与四边形的任意两个顶点构成平行四边形，根据且 ，然后再代入数据，求出t的值，当时 和时 三种情况满足条件，根据两点间的距离公式，代入数据即可求解。
（3）设直线的解析式为求 ，将A和B坐标代入，求出直线的解析式，利用解析式设出点的坐标，根据M是AD的中点，根据中点坐标公式，表示出的中点，在线段上，则点纵坐标为，代入即可作答。
（1）解：过点作轴于点，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：①由题意可得点运动过程中的坐标为，
∵，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即或，
解得：或（舍去）
∴时，；
②由题意，分两种情况，当时，时，
由题得当时，点在上运动，
若想，与四边形的任意两个顶点构成平行四边形，，
即且，
，，
，
；
当时，
根据题意，，
，
，，
，
；
当时，
，
；
故的值为或或2；
（3）解：设直线的解析式为，代入，两点：
，解得：，
∴，
∴，，
∵被平分，
∴的中点，
∵在线段上，
∴点的纵坐标为，
∴，
解得：，
∴代入可得：，
∴．
20．（2024九上·福田开学考）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，点O是边的中点，连接．保持不动，将从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段与线段相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究．
（1）初步思考：如图2，连接，“勤学”小组在旋转的过程中发现，请你证明这一结论；
（2）操作探究：如图3，连接，“善思”小组在旋转的过程中发现垂直平分，请你证明这一结论；
（3）拓展延伸：已知，，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段的长度．
【答案】（1）证明：连接交于点，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴点是线段的中点，
∵点O是边的中点，
∴是的中位线，
∴。
（2）证明：延长交于点，
由（1），是线段的垂直平分线，
∴，
由题意得，
∴，
∵，，
∴，
∴垂直平分。
（3）线段的长度为1或或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】（3）解；当时，则点在线段的垂直平分线上，作于点，如图，
由题意得，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当时，如图，
由题意得，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴；
当时，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴在同一直线上，
设，
∴，，
在中，，即，
解得，
∴；
综上，线段的长度为1或或．
【分析】（1）连接交于点，根据O是AD的中点，可得， 易证，得到，根据 ，易得OM是线段AF的垂直平分线，进而可得是的中位线，据此证明即可；
（2）延长交于点，根据（1）可知是线段的垂直平分线，易得 ，根据 ，易证，进而可得，最后再根据等腰三角形的性质，即可证明。
（3）分当、和三种情况进行讨论，根据角平分线定义，勾股定理和等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，然后再逐一进行求解即可。
（1）证明：连接交于点，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴点是线段的中点，
∵点O是边的中点，
∴是的中位线，
∴；
（2）证明：延长交于点，
由（1），是线段的垂直平分线，
∴，
由题意得，
∴，
∵，，
∴，
∴垂直平分；
（3）解；当时，则点在线段的垂直平分线上，作于点，如图，
由题意得，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当时，如图，
由题意得，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴；
当时，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴在同一直线上，
设，
∴，，
在中，，即，
解得，
∴；
综上，线段的长度为1或或．
1 / 1广东省深圳市福田区外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
一、选择题
1．（2024九上·福田开学考）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．三叶玫瑰线 B．笛卡尔心形线
C．蝴蝶曲线 D．四叶玫瑰线
2．（2024九上·福田开学考）下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·福田开学考）已知点在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·福田开学考）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（ ）
A． B．1 C．2 D．
5．（2024九上·福田开学考）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，中，，平分的外角，点M是的中点，连接并延长交于点D，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：， ， ，，， ①______， 又，， （②______）， ， 四边形ABCD是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024九上·福田开学考）某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·福田开学考）在中，，过点A作，连接与交于点F，E是边的中点，，若，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．4
8．（2024九上·福田开学考）如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024九上·福田开学考）分解因式： ．
10．（2024九上·福田开学考）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 .
11．（2024九上·福田开学考）如图所示，一次函数与的交点坐标为，则不等式的解集为 ．
12．（2024九上·福田开学考）如图，为中的外角平分线，于点，为中点，，，则长为 ．
13．（2024九上·福田开学考）如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为 ．
三、解答题
14．（2024九上·福田开学考）解方程：．
15．（2024九上·福田开学考）先化简，再从中选择一个适当的数作为的值代入求值.
16．（2024九上·福田开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的图形；
（2）画出绕点逆时针旋转所得到的图形，并写出的坐标．
17．（2024九上·福田开学考）端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元．
（1）若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格；
（2）在(1)的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
18．（2024九上·福田开学考）如图，在中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点，，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案 乙方案
分别取，的中点， 作于点，于点
请回答下列问题：
（1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明；
（2）在（1）的基础上，若，，求的面积．
19．（2024九上·福田开学考）如图①②，在四边形中，，顶点坐标分别为，，，，，动点从开始以每秒个单位长度的速度沿线段向运动，另一个动点以每秒个单位长度的速度从开始运动，、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．请回答下列问题：
（1） ， ；
（2）如图①，若点沿折线向运动，
①为何值时，，请说明理由；
②为何值时，以点、和四边形的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由；
（3）如图②，若点沿射线运动，当线段被平分时，直接写出点坐标为 ．
20．（2024九上·福田开学考）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，点O是边的中点，连接．保持不动，将从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段与线段相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究．
（1）初步思考：如图2，连接，“勤学”小组在旋转的过程中发现，请你证明这一结论；
（2）操作探究：如图3，连接，“善思”小组在旋转的过程中发现垂直平分，请你证明这一结论；
（3）拓展延伸：已知，，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据轴对称和中心对称的定义：轴对称是值存在一条直线（对称轴），将图形沿此线对折，两部分完全重合。中心对称是值存在一个中心点，图形绕此点旋转180度后与原图形重合。据此即可判断。
2．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、该变形过程是整式乘除，不是因式分解，A不符合题意；
B、该变形过程不是因式分解，B不符合题意；
C、该变形过程是因式分解，C符合题意；
D、该变形过程分解不完全，不是因式分解，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
3．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第三象限，
，解得，
∴此不等式组的解集为：，
故答案为：B.
【分析】根据点所在的象限，列出不等式组求解．
4．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
，
解得，，
∵此方程有增根无解，
∴，
解得，，
故答案为：A。
【分析】先对分式方程进行求解，，根据“方程有增根无解”，可得，，最后再进行求解即可。
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】证明：，
，
，，，
，
又，，
（），
，
四边形是平行四边形．
故答案为：D。
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角定理，即可求出①，然后再根据全等三角形的判定定理（ASA），即得求出②。
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，得：
故答案为：A．
【分析】根据“单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个”即可列出方程。
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
，
∵是边的中点，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：C。
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质得出，代入数据求出AE的值，然后再根据全等三角形的等边对等角以及三角形外角的定理，即可求出，利用等角对等边可得出，最后在中，根据勾股定理：，代入数据即可求解。
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】把绕顺时针旋转得到过作垂足为，
∴
∴，
∵四边形内角和为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点三点在同一条直线上，
∵，
，
，
，
，
在中， ，
，
故答案为：A
【分析】把绕顺时针旋转得到， 过作垂足为，易证 ，可得，，然后再根据四边形内角和，可得，从而证得点三点共线，根据 ，易得 进一步得，再根据 ，在 中，根据余弦函数的定义：，代入数据即可求出BD的值。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：提取公因式，．
故填：.
【分析】本题主要考查因式分解，运用提公因式法对原式进行分解 ．
10．【答案】x＞-3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使代数式在实数范围内有意义，必须
2x+6＞0，
解得：x＞-3．
故答案为：x＞-3.
【分析】根据二次根式有意义的条件：根号下的数或式子大于等于0；分式有意义的条件：分母不等于0，进行求解即可．
11．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象得：不等式的解集为：，
故答案为：
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的交点可知，要使，只需要使x的值大于等于交点的横坐标即可。
12．【答案】6
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长、交于点，如图：
为中的外角平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
又为中点，
，
，
，
，
故答案为：。
【分析】延长、交于点，根据为中的外角平分线，可得，易证，根据全等三角形的性质，得到，，进而易得，最后根据三角形中位线定理解答即可
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，取的中点O，连接
则，
在矩形中，，，
所以
所以
故是等边三角形，，则
连接并延长交于E
由旋转性质得，
所以
在和中，
，所以，
所以，
由得
解得，则
故点Q在射线上运动，
因为
所以
过Q作于M，于N，则四边形是矩形
所以
设，则，，
在中，，，
所以
在中，，则
所以
由得
解得，则
所以，
在中，由得，
整理，得，即，
所以，又
故，．
故填：．
【分析】本题全面考查了矩形的判定与性质，旋转性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质.解题过程中，通过连接辅助线AC和BO，构造出等边三角形，为后续的角度和边长计算提供了基础.利用旋转的性质得到AP=AQ和，结合矩形的性质证明，确定点Q的运动轨迹为射线OE.再根据得出，通过作辅助线QM和QN，将问题转化为直角三角形中的边长计算，最后利用勾股定理建立方程求解.整个过程需要综合运用多种几何知识，是一道综合性较强的几何题．
14．【答案】解：由方程，
方程两边都乘，得，解得：，
检验：当时，，所以是增根，
即原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据分式的运算法则，方程两边都乘，转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验，即可求解.
15．【答案】解：原式=
=
=
当a=1或2时，分式无意义.
当a=-1时，原式=
当a=0时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用分式的混合运算法则进行化简，将-1，0，1，2分别代入求得a的值.
16．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示，其中，．
【知识点】中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质，分别找出A、B、C关于原点对称的对应点A1、B1、C1，然后再顺势连接A1B1、A1C1和B1C1，即可求解。
（2）根据旋转的性质，分别找出A、B、C对应点A2、B2、C2，然后再顺势连接A2B2、A2C2和B2C2，然后再根据从图中直接读出B2的坐标即可。
（1）解：如图所示：
（2）如图所示，其中，．
17．【答案】（1）解：设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为元，由题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元。
（2）解：设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为盒，由题意得：
，
解得：，
设总费用为w元，
则，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w最小，
此时，，
答：购买咸蛋20盒，粽子10盒时，总费用最少。
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为元，根据题意“两种粽子的数量相等”，建立分式方程：，然后解方程，求出x的值，最后再将x的值代入原分式方程中进行验证，即可；
（2）设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为盒，根据咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，列出一元一次不等式：，然后再解出m的取值范围，再设总费用为w元，列出一次函数关系式：，最后再根据函数的性质进行判断即可求解。
（1）解：设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元；
（2）解：设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为盒，
由题意得：，
解得：，
设总费用为w元，
则，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w最小，
此时，，
答：购买咸蛋20盒，粽子10盒时，总费用最少．
18．【答案】（1）解：①选甲方案，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是对角线的中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形；故甲方案正确；
②选乙方案，
证明：于点，于点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，故乙方案正确；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积是32．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
（1）①选甲方案，由平行四边形的性质得，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，由线段中点的性质得，、分别是、的中点，得，用边角边可证，由全等三角形的性质“全等三角形的对应边（角）相等”得，，由等角的补角相等可得，由平行线的判定“内错角相等，两直线平行可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解；
②选乙方案，由于点，于点，得，，由平行四边形的性质得，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，用角角边可证，由全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解；
（2）由（1）可得，，由线段的和差可得，结合已知可得，于是，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得，则可求解．
（1）解：选甲方案，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是对角线的中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形；故甲方案正确；
选乙方案，
证明：于点，于点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，故乙方案正确；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积是32．
19．【答案】（1）；3
（2）解：①由题意可得点运动过程中的坐标为，∵，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即或，
解得：或（舍去）
∴时，；
②由题意，分两种情况，当时，时，
由题得当时，点在上运动，
若想，与四边形的任意两个顶点构成平行四边形，，
即且，
，，
，
；
当时，
根据题意，，
，
，，
，
；
当时，
，
；
故的值为或或2。
（3）
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】（1）解：过点作轴于点，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：设直线的解析式为，代入，两点：
，解得：，
∴，
∴，，
∵被平分，
∴的中点，
∵在线段上，
∴点的纵坐标为，
∴，
解得：，
∴代入可得：，
∴。
【分析】（1）过点作轴于点，根据A和B两点的坐标，求出BH和AH的长，然后再根据勾股定理，求出的值，根据A与D两点的坐标，即可求出AD的值。
（2）①根据题干信息，可求出N点在运动过程中的坐标，进而可推出是直角三角形，根据 ，可得 ，进而可知， ，然后再根据特殊角的三角函数和正弦函数的定义：，代入数据，求出t的值。
② 分两种情况，当时，时，根据题意，当时，点在上运动，若想，与四边形的任意两个顶点构成平行四边形，根据且 ，然后再代入数据，求出t的值，当时 和时 三种情况满足条件，根据两点间的距离公式，代入数据即可求解。
（3）设直线的解析式为求 ，将A和B坐标代入，求出直线的解析式，利用解析式设出点的坐标，根据M是AD的中点，根据中点坐标公式，表示出的中点，在线段上，则点纵坐标为，代入即可作答。
（1）解：过点作轴于点，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：①由题意可得点运动过程中的坐标为，
∵，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即或，
解得：或（舍去）
∴时，；
②由题意，分两种情况，当时，时，
由题得当时，点在上运动，
若想，与四边形的任意两个顶点构成平行四边形，，
即且，
，，
，
；
当时，
根据题意，，
，
，，
，
；
当时，
，
；
故的值为或或2；
（3）解：设直线的解析式为，代入，两点：
，解得：，
∴，
∴，，
∵被平分，
∴的中点，
∵在线段上，
∴点的纵坐标为，
∴，
解得：，
∴代入可得：，
∴．
20．【答案】（1）证明：连接交于点，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴点是线段的中点，
∵点O是边的中点，
∴是的中位线，
∴。
（2）证明：延长交于点，
由（1），是线段的垂直平分线，
∴，
由题意得，
∴，
∵，，
∴，
∴垂直平分。
（3）线段的长度为1或或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】（3）解；当时，则点在线段的垂直平分线上，作于点，如图，
由题意得，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当时，如图，
由题意得，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴；
当时，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴在同一直线上，
设，
∴，，
在中，，即，
解得，
∴；
综上，线段的长度为1或或．
【分析】（1）连接交于点，根据O是AD的中点，可得， 易证，得到，根据 ，易得OM是线段AF的垂直平分线，进而可得是的中位线，据此证明即可；
（2）延长交于点，根据（1）可知是线段的垂直平分线，易得 ，根据 ，易证，进而可得，最后再根据等腰三角形的性质，即可证明。
（3）分当、和三种情况进行讨论，根据角平分线定义，勾股定理和等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，然后再逐一进行求解即可。
（1）证明：连接交于点，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴点是线段的中点，
∵点O是边的中点，
∴是的中位线，
∴；
（2）证明：延长交于点，
由（1），是线段的垂直平分线，
∴，
由题意得，
∴，
∵，，
∴，
∴垂直平分；
（3）解；当时，则点在线段的垂直平分线上，作于点，如图，
由题意得，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当时，如图，
由题意得，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴；
当时，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴在同一直线上，
设，
∴，，
在中，，即，
解得，
∴；
综上，线段的长度为1或或．
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