广东省深圳实验学校2024-2025学年九年级上学期开学评估数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（2024九上·深圳开学考）下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A该图标绕某一点旋转180度后能与原图重合，是中心对称图形，本选项不符合题意；
B该图标绕某一点旋转180度后不能与原图重合，不是中心对称图形，本选项符合题意；
C该图标绕某一点旋转180度后能与原图重合，是中心对称图形，本选项不符合题意；
D该图标绕某一点旋转180度后能与原图重合，是中心对称图形，本选项不符合题意.
故选：B.
【分析】本题着重考查了中心对称图形的识.中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合的图形.在解决本题时，准确理解中心对称图形的定义，能够有效判断每个选项的正确性.本题充分体现了中心对称图形的概念在实际图形判断中的应用，是对基础知识的考查．
2．（2024九上·深圳开学考）若分式 有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x＝0 B．x≠0 C．x＝5 D．x≠5
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式 有意义，
∴x﹣5≠0，
∴x≠5，
故答案为：D．
【分析】先求出x﹣5≠0，再求出x≠5即可作答。
3．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有（ ）
A． B．，，
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；不符合题意；
B、，，，
，
，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
平行四边形为矩形．不符合题意；
C、，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
，
平行四边形是矩形，不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断四边形ABCD是矩形；
B、由勾股定理的逆定理可得∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断四边形ABCD是矩形；
C、由等角对等边可得OA=OB，结合平行四边形的对角线互相平分可得AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断四边形ABCD是矩形；
D、根据对角线垂直的平行四边形是菱形可判断四边形ABCD是菱形.
4．（2024九上·深圳开学考）正八边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形外角和，
∴正八边形的外角和为，
故答案为：C。
【分析】根据任何多边形的外角和均等于360度，据此即可求解。
5．（2024九上·深圳开学考）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知，
综上有：，
解得．
故答案为：A．
【分析】假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程，解方程即可求出答案.
6．（2024九上·深圳开学考）温州是盛产瓯柑之乡，某超市将进价为每千克5元的瓯柑按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了减少库存且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降元，超市每天销售瓯柑的利润为120元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为8-x-5=（3-x）元，
平均每天的销售量为（50+10x）千克，
依题意得：（3-x）（50+10x）=120.
故答案为：B.
【分析】当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为8-x-5=(3-x)元，平均每天的销售量为(50+10x)千克， 然后根据每千克的利润×销售量=总利润就可列出方程.
7．（2024九上·深圳开学考）如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：连接，如图：
因为四边形是菱形，，，
所以，，，
所以，
故，
因为，，
所以，
所以四边形为矩形，
故，
当时，值最小，
此时，，
所以，
所以的最小值为．
故选：A．
【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理以及三角形面积等知识.通过连接OE，证明四边形OGEF是矩形，将FG的长度转化为OE的长度，再利用垂线段最短和三角形面积公式求出OE的最小值，从而得到FG的最小值．
8．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接交于，作于，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分线段是直角三角形，
∵，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：C。
【分析】连接交于，作于，在中，根据勾股定理：，代入数据，求出BC的值，根据 ，可得，然后再根据等面积关系，可得 ，代入数据，求出AH的值，根据 ，易证垂直平分线段是直角三角形，然后根据等面积关系： ，代入数据，求出OB的值，进而求出BE的值，在中，利用勾股定理： ，代入数据，即可求解。
二、填空题（每小题3分，共15分）
9．（2024九上·深圳开学考）因式分解： = ．
【答案】y（x-2）（x+2）
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式．根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式 ，完全平方公式 ）、三检查（彻底分解），因此 =y（x -4）=y（x+2）（x-2）．
【分析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式．根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式、完全平方公式）、三检查（彻底分解）。
10．（2024九上·深圳开学考）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象（如图所示），则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知，直线和直线的交点为，
关于的不等式的解集是，
故答案为：。
【分析】利用函数图象，确定两直线的交点坐标，然后再根据题意，可知，的解集为直线在直线下方所对应的自变量的范围。据此即可求解。
11．（2024九上·深圳开学考）如图，中，，将绕点A顺时针旋转，得到，且C在边上，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点A顺时针旋转，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】根据旋转的性质，可得，根据等腰三角形得性质可得，代入数据即可求解。
12．（2024九上·深圳开学考）已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝ .
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴
∵α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根
∴
∴
∴α2＋2β=5
故答案是：5
【分析】由一元二次方程的根的意义和根与系数的关系可求解.
13．（2024九上·深圳开学考）如图，，，点D在上，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；勾股定理；面积及等积变换
【解析】【解答】解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
过作于，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：。
【分析】设，可得，根据，可求出和的值，然后再根据三角形外角性质得的值，进而可得到，根据勾股定理：，代入数据即可求出AB的值，过作于，根据等面积法：，代入数据求出CE的值，然后再根据勾股定理：，求出AE的值，进而可得，代入数据求出DE的值，最后再根据勾股定理：，代入数据即可求出CD的值。
三、解答题（共61分）
14．（2024九上·深圳开学考）（1）解方程：；
（2）解不等式：．
【答案】解：（1）因式分解，得，
，，
原方程的解为：，；
（2）去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
故原不等式的解集为：。
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）用十字相乘法对一元二次方程进行分解，然后再进行求解即可。
（2）不等式两边同时乘以3，去掉分母，然后再去括号，移项，合并同类项，最后再将系数化为1，即可求解。
15．（2024九上·深圳开学考）先化简：，并在，0，1，2这5个数中选择一个你喜欢的数作为x的值，求出该代数式的值．
【答案】解：
，
∵当，2时，原分式无意义，
∴x可以是0或1，当时，原式。
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对括号里面的分式进行通分运算，然后再对除号后面的分式根据完全平方公式和平方差进行分解，再将除法换算成乘法，最后再进行约分化简，然后再根据分式有意义的条件，从题干中选择合适的值代入化简后的分式中，然后再进行运算即可。
16．（2024九上·深圳开学考）为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1） ，这次共抽取了 名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有 名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
【答案】（1）20，50，
如图所示；（人）．
（2）360
（3）解：列表如下：
男1 男2 男3 女
男1 男2，男1 男3，男1 女，男1
男2 男1，男2 男3，男2 女，男2
男3 男1，男3 男2，男3 女，男3
女 男1，女 男2，女 男3，女
所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
抽到一男一女的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；数据分析；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】(1)解：根据扇形统计图的性质，各部分百分比之和为一
所以；
跳绳的人数有4人，占的百分比为
故答案为：20，50
(2)；
故答案为：360；
【分析】本题围绕统计与概率展开，着重考查扇形统计图，条形统计图的应用以及概率的计算.
(1)求m的值和抽取的学生人数，需要根据扇形统计图各部分百分比之和为1计算m，再根据跳绳的人数和所占百分比求出抽取的总人数，进而补全条形统计图；
(2)估计该校喜爱打篮球的学生人数，运用样本估计总体的思想，用全校总人数乘以样本中喜爱打篮球的学生所占百分比；
(3)计算抽到一男一女学生的概率，通过列表法列出所有可能的结果，再根据概率公式计算．
（1）解：；
跳绳的人数有4人，占的百分比为，
；
故答案为：20，50；
如图所示；（人）．
（2）；
故答案为：360；
（3）列表如下：
男1 男2 男3 女
男1 男2，男1 男3，男1 女，男1
男2 男1，男2 男3，男2 女，男2
男3 男1，男3 男2，男3 女，男3
女 男1，女 男2，女 男3，女
所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
抽到一男一女的概率．
17．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接．
（1）作出线段的中点F（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接．求证：四边形是菱形．
（3）若，求四边形的面积．
【答案】（1）解：图形如图所示；
（2）证明：D，E分别是，的中点
，，
，，
∵F是中点，
∴，
，
，
∴四边形是平行四边形
∵，D是中点，
∵F是中点
，
是菱形。
（3）解：连接，如图，
∵F，E分别是的中点，
，
∵D是的中点，
∴，
在中，，
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的作图步骤，做BC的垂直平分线，即可得到BC的中点F。
（2）根据中位线定理，可得，，，根据F是BC中点，可得，，易得DE=CF，根据平行四边形的判定定理，易证四边形是平行四边形；又跟据等腰三角形“三线合一”的性质，易得，再根据F是BC的中点，根据菱形的判定定理，即可求证。
（3）连接，根据中位线定理，可得，又根据D是AB的中点，可得，代入数据，求出EF和BD的值，在中，根据勾股定理：，代入数据，求出CD的值，最后再根据菱形的面积公式：，代入数据即可求解。
（1）解：图形如图所示；
（2）证明：D，E分别是，的中点
，，
，，
∵F是中点，
∴，
，
，
∴四边形是平行四边形
∵，D是中点，
∵F是中点
，
是菱形．
（3）解：连接，如图，
∵F，E分别是的中点，
，
∵D是的中点，
∴，
在中，，
．
18．（2024九上·深圳开学考）生活中的数学
沿着黄金海岸线的盐田海滨栈道其美丽的风光吸引很多市民选购自行车用以骑行．
信息1 某自行车店计划购进A，B两种型号的公路自行车，其中每辆B型公路自行车比每辆A型公路自行车多600元，用5000元购进的A型公路自行车与用8000元购进的B型公路自行车数量相同．
信息2 A型公路自行车每辆售价为1500元，B型公路自行车每辆售价为2000元．
信息3 该自行车店计划购进A，B两种型号的公路自行车共50辆，计划最多投入68000元，且B型公路自行车的数量不能低于A型公路自行车的数量．
任务1 （1）求A，B两种型号公路自行车的进货单价；
任务2 （2）根据进货要求，自行车店有______种进货方案；
任务3 （3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
【答案】解：（1）设A种型号公路自行车的进货单价是x元，则B种型号公路自行车的进货单价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：A种型号公路自行车的进货单价是1000元，B种型号公路自行车的进货单价是1600元。
（2）6；
（3）设该商店利润为W元，
根据题意得：，
，
∴W随m的增大而增大，
∵m是正整数，，
∴当时，W有最大值，，
答：该商店购进A型公路自行车25辆，B型公路自行车25辆能获得最大利润，此时最大利润是22500元。
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（2）设该自行车店计划购进A型号的公路自行车m辆，
根据题意得：，
解得，
∵m是正整数，
，
∴自行车店有六种进货方案，分别为：①购进A型公路自行车20辆，B型公路自行车30辆；②购进A型公路自行车21辆，B型公路自行车29辆；③购进A型公路自行车22辆，B型公路自行车28辆；④购进A型公路自行车23辆，B型公路自行车27辆；⑤购进A型公路自行车24辆，B型公路自行车26辆；⑥购进A型公路自行车25辆，B型公路自行车25辆；
故答案为：6。
【分析】（1）设A种型号公路自行车的进货单价是x元，则B种型号公路自行车的进货单价是（x+600）元，根据“每辆B型公路自行车比每辆A型公路自行车多600元，用5000元购进的A型公路自行车与用8000元购进的B型公路自行车数量相同”，建立分式方程：，然后再求方程，求出x的值，最后再将x的值代入原分式方程中验证，即可。
（2）根据总费用等于A型自行车的费用加上B型自行车的费用，且最多投入68000元，又跟据B型公路自行车的数量不能低于A型公路自行车的数量，据此建立不等式组：，然后求出m的解集，最后再根据m的取值特征，求出m的值，进而即可确定进货方案。
（3）设该商店利润为W元，根据“售价-进价”，求出每辆A型和B型自行车的利润，然后再乘以各自的数量，求出A型和B型自行车的总利润，然后再建立关系式：，最后再根据函数的性质，同时结合（2）中得出的m的取值范围，即可求出W的最大值。
19．（2024九上·深圳开学考）阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______；
【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．
已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______．
【答案】【理解应用】②；
【类比迁移】；；；
【拓展应用】，3，1或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：[理解应用]变形为，
如图所示，
图①一个长方形的面积为：；图②一个场方程的面积为；图③一个长方形的面积为：；
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，
故选：②；
[类比迁移]第一步：将原方程变形为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为；
故答案为：；；；
[拓展应用]∵
∴，
∴四个小矩形的面积各位，大正方形的的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
∴，，
解得，，，
当时，，
∴，
解得，，即方程的一个正根为1；
当时，，
∴，
解得，，即方程的一个正根为；
综上所述，方程的一个正根为或，
故答案为：，，或．
【分析】[理解应用]：根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案.
[类比迁移]：根据材料提示，进行计算即可求出答案.
[拓展应用]：先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，，分类讨论，由此即可求出答案.
20．（2024九上·深圳开学考）现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，
【发现与证明】
中，，将沿翻折至，连结．
结论1：与重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2：．
……
（1）请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）．
【理解与应用】
在中，将沿翻折至，连结．
（2）如图2，已知，若，，则______°；
【探究与拓展】
在中，将沿翻折至，连结．
（3）已知，，翻折后四边形为时，如果平分，求的值；
（4）已知，，当是直角三角形时，则______．
【答案】解：（1）由折叠可知，
∵在中，
，
，
，
∴是等腰三角形；
，
，
，
，
，
。
（2）；
（3）如图，过点作交于点，
，
，
平分，
，
，
，
由折叠可知，，
，
，
，
，
；
（4），，，
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：（2）∵，
根据折叠可得，
，
，
，
，
故答案为：135。
（4）解：当是直角三角形时，分为：
①如图，当时，
由（1）知，
∴，
由折叠可得
∵在在中，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴是直角三角形，
由折叠可得，，
∴，
∴；
②如图，当时，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
由（1）知，
，
由折叠可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
③如图，当时，
由（1）知，
，
由折叠可知，，
∵，，
∴；
④如图，当时，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
∴；
综上所述：的值为或或或．
【分析】（1）根据折叠的性质，可得，然后再根据平行四边形的性质，可得，易得是等腰三角形；根据，可得，再由，根据平行线的判断，即可得到；
（2）利用的度数，根据折叠的性质，可得 ，又跟据的度数，进而求出的度数，最后再根据平行线的判定定理， 内错角相等，两直线平行，据此即可证明；
（3）过点作交于点，题干中的结论1和结论2，同时再根据平行四边形的性质，可得AC=BC，然后再根据折叠的性质，即可知，，求出，再由，然后再根据余弦函数的定义：，代入数据求出求出，即可BCQ的值；
（4）根据当时，当时，当时，当时，三种情况，画出图形，结合结论1、结论2分别求解即可。
1 / 1广东省深圳实验学校2024-2025学年九年级上学期开学评估数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（2024九上·深圳开学考）下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·深圳开学考）若分式 有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x＝0 B．x≠0 C．x＝5 D．x≠5
3．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有（ ）
A． B．，，
C． D．
4．（2024九上·深圳开学考）正八边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·深圳开学考）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·深圳开学考）温州是盛产瓯柑之乡，某超市将进价为每千克5元的瓯柑按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了减少库存且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降元，超市每天销售瓯柑的利润为120元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·深圳开学考）如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题（每小题3分，共15分）
9．（2024九上·深圳开学考）因式分解： = ．
10．（2024九上·深圳开学考）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象（如图所示），则关于x的不等式的解集为 ．
11．（2024九上·深圳开学考）如图，中，，将绕点A顺时针旋转，得到，且C在边上，则的度数为 ．
12．（2024九上·深圳开学考）已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝ .
13．（2024九上·深圳开学考）如图，，，点D在上，，则的长为 ．
三、解答题（共61分）
14．（2024九上·深圳开学考）（1）解方程：；
（2）解不等式：．
15．（2024九上·深圳开学考）先化简：，并在，0，1，2这5个数中选择一个你喜欢的数作为x的值，求出该代数式的值．
16．（2024九上·深圳开学考）为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1） ，这次共抽取了 名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有 名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
17．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接．
（1）作出线段的中点F（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接．求证：四边形是菱形．
（3）若，求四边形的面积．
18．（2024九上·深圳开学考）生活中的数学
沿着黄金海岸线的盐田海滨栈道其美丽的风光吸引很多市民选购自行车用以骑行．
信息1 某自行车店计划购进A，B两种型号的公路自行车，其中每辆B型公路自行车比每辆A型公路自行车多600元，用5000元购进的A型公路自行车与用8000元购进的B型公路自行车数量相同．
信息2 A型公路自行车每辆售价为1500元，B型公路自行车每辆售价为2000元．
信息3 该自行车店计划购进A，B两种型号的公路自行车共50辆，计划最多投入68000元，且B型公路自行车的数量不能低于A型公路自行车的数量．
任务1 （1）求A，B两种型号公路自行车的进货单价；
任务2 （2）根据进货要求，自行车店有______种进货方案；
任务3 （3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
19．（2024九上·深圳开学考）阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______；
【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．
已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______．
20．（2024九上·深圳开学考）现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，
【发现与证明】
中，，将沿翻折至，连结．
结论1：与重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2：．
……
（1）请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）．
【理解与应用】
在中，将沿翻折至，连结．
（2）如图2，已知，若，，则______°；
【探究与拓展】
在中，将沿翻折至，连结．
（3）已知，，翻折后四边形为时，如果平分，求的值；
（4）已知，，当是直角三角形时，则______．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A该图标绕某一点旋转180度后能与原图重合，是中心对称图形，本选项不符合题意；
B该图标绕某一点旋转180度后不能与原图重合，不是中心对称图形，本选项符合题意；
C该图标绕某一点旋转180度后能与原图重合，是中心对称图形，本选项不符合题意；
D该图标绕某一点旋转180度后能与原图重合，是中心对称图形，本选项不符合题意.
故选：B.
【分析】本题着重考查了中心对称图形的识.中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合的图形.在解决本题时，准确理解中心对称图形的定义，能够有效判断每个选项的正确性.本题充分体现了中心对称图形的概念在实际图形判断中的应用，是对基础知识的考查．
2．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式 有意义，
∴x﹣5≠0，
∴x≠5，
故答案为：D．
【分析】先求出x﹣5≠0，再求出x≠5即可作答。
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；不符合题意；
B、，，，
，
，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
平行四边形为矩形．不符合题意；
C、，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
，
平行四边形是矩形，不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断四边形ABCD是矩形；
B、由勾股定理的逆定理可得∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断四边形ABCD是矩形；
C、由等角对等边可得OA=OB，结合平行四边形的对角线互相平分可得AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断四边形ABCD是矩形；
D、根据对角线垂直的平行四边形是菱形可判断四边形ABCD是菱形.
4．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形外角和，
∴正八边形的外角和为，
故答案为：C。
【分析】根据任何多边形的外角和均等于360度，据此即可求解。
5．【答案】A
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知，
综上有：，
解得．
故答案为：A．
【分析】假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为8-x-5=（3-x）元，
平均每天的销售量为（50+10x）千克，
依题意得：（3-x）（50+10x）=120.
故答案为：B.
【分析】当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为8-x-5=(3-x)元，平均每天的销售量为(50+10x)千克， 然后根据每千克的利润×销售量=总利润就可列出方程.
7．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：连接，如图：
因为四边形是菱形，，，
所以，，，
所以，
故，
因为，，
所以，
所以四边形为矩形，
故，
当时，值最小，
此时，，
所以，
所以的最小值为．
故选：A．
【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理以及三角形面积等知识.通过连接OE，证明四边形OGEF是矩形，将FG的长度转化为OE的长度，再利用垂线段最短和三角形面积公式求出OE的最小值，从而得到FG的最小值．
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接交于，作于，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分线段是直角三角形，
∵，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：C。
【分析】连接交于，作于，在中，根据勾股定理：，代入数据，求出BC的值，根据 ，可得，然后再根据等面积关系，可得 ，代入数据，求出AH的值，根据 ，易证垂直平分线段是直角三角形，然后根据等面积关系： ，代入数据，求出OB的值，进而求出BE的值，在中，利用勾股定理： ，代入数据，即可求解。
9．【答案】y（x-2）（x+2）
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式．根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式 ，完全平方公式 ）、三检查（彻底分解），因此 =y（x -4）=y（x+2）（x-2）．
【分析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式．根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式、完全平方公式）、三检查（彻底分解）。
10．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知，直线和直线的交点为，
关于的不等式的解集是，
故答案为：。
【分析】利用函数图象，确定两直线的交点坐标，然后再根据题意，可知，的解集为直线在直线下方所对应的自变量的范围。据此即可求解。
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点A顺时针旋转，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】根据旋转的性质，可得，根据等腰三角形得性质可得，代入数据即可求解。
12．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴
∵α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根
∴
∴
∴α2＋2β=5
故答案是：5
【分析】由一元二次方程的根的意义和根与系数的关系可求解.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；勾股定理；面积及等积变换
【解析】【解答】解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
过作于，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：。
【分析】设，可得，根据，可求出和的值，然后再根据三角形外角性质得的值，进而可得到，根据勾股定理：，代入数据即可求出AB的值，过作于，根据等面积法：，代入数据求出CE的值，然后再根据勾股定理：，求出AE的值，进而可得，代入数据求出DE的值，最后再根据勾股定理：，代入数据即可求出CD的值。
14．【答案】解：（1）因式分解，得，
，，
原方程的解为：，；
（2）去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
故原不等式的解集为：。
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）用十字相乘法对一元二次方程进行分解，然后再进行求解即可。
（2）不等式两边同时乘以3，去掉分母，然后再去括号，移项，合并同类项，最后再将系数化为1，即可求解。
15．【答案】解：
，
∵当，2时，原分式无意义，
∴x可以是0或1，当时，原式。
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对括号里面的分式进行通分运算，然后再对除号后面的分式根据完全平方公式和平方差进行分解，再将除法换算成乘法，最后再进行约分化简，然后再根据分式有意义的条件，从题干中选择合适的值代入化简后的分式中，然后再进行运算即可。
16．【答案】（1）20，50，
如图所示；（人）．
（2）360
（3）解：列表如下：
男1 男2 男3 女
男1 男2，男1 男3，男1 女，男1
男2 男1，男2 男3，男2 女，男2
男3 男1，男3 男2，男3 女，男3
女 男1，女 男2，女 男3，女
所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
抽到一男一女的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；数据分析；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】(1)解：根据扇形统计图的性质，各部分百分比之和为一
所以；
跳绳的人数有4人，占的百分比为
故答案为：20，50
(2)；
故答案为：360；
【分析】本题围绕统计与概率展开，着重考查扇形统计图，条形统计图的应用以及概率的计算.
(1)求m的值和抽取的学生人数，需要根据扇形统计图各部分百分比之和为1计算m，再根据跳绳的人数和所占百分比求出抽取的总人数，进而补全条形统计图；
(2)估计该校喜爱打篮球的学生人数，运用样本估计总体的思想，用全校总人数乘以样本中喜爱打篮球的学生所占百分比；
(3)计算抽到一男一女学生的概率，通过列表法列出所有可能的结果，再根据概率公式计算．
（1）解：；
跳绳的人数有4人，占的百分比为，
；
故答案为：20，50；
如图所示；（人）．
（2）；
故答案为：360；
（3）列表如下：
男1 男2 男3 女
男1 男2，男1 男3，男1 女，男1
男2 男1，男2 男3，男2 女，男2
男3 男1，男3 男2，男3 女，男3
女 男1，女 男2，女 男3，女
所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
抽到一男一女的概率．
17．【答案】（1）解：图形如图所示；
（2）证明：D，E分别是，的中点
，，
，，
∵F是中点，
∴，
，
，
∴四边形是平行四边形
∵，D是中点，
∵F是中点
，
是菱形。
（3）解：连接，如图，
∵F，E分别是的中点，
，
∵D是的中点，
∴，
在中，，
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的作图步骤，做BC的垂直平分线，即可得到BC的中点F。
（2）根据中位线定理，可得，，，根据F是BC中点，可得，，易得DE=CF，根据平行四边形的判定定理，易证四边形是平行四边形；又跟据等腰三角形“三线合一”的性质，易得，再根据F是BC的中点，根据菱形的判定定理，即可求证。
（3）连接，根据中位线定理，可得，又根据D是AB的中点，可得，代入数据，求出EF和BD的值，在中，根据勾股定理：，代入数据，求出CD的值，最后再根据菱形的面积公式：，代入数据即可求解。
（1）解：图形如图所示；
（2）证明：D，E分别是，的中点
，，
，，
∵F是中点，
∴，
，
，
∴四边形是平行四边形
∵，D是中点，
∵F是中点
，
是菱形．
（3）解：连接，如图，
∵F，E分别是的中点，
，
∵D是的中点，
∴，
在中，，
．
18．【答案】解：（1）设A种型号公路自行车的进货单价是x元，则B种型号公路自行车的进货单价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：A种型号公路自行车的进货单价是1000元，B种型号公路自行车的进货单价是1600元。
（2）6；
（3）设该商店利润为W元，
根据题意得：，
，
∴W随m的增大而增大，
∵m是正整数，，
∴当时，W有最大值，，
答：该商店购进A型公路自行车25辆，B型公路自行车25辆能获得最大利润，此时最大利润是22500元。
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（2）设该自行车店计划购进A型号的公路自行车m辆，
根据题意得：，
解得，
∵m是正整数，
，
∴自行车店有六种进货方案，分别为：①购进A型公路自行车20辆，B型公路自行车30辆；②购进A型公路自行车21辆，B型公路自行车29辆；③购进A型公路自行车22辆，B型公路自行车28辆；④购进A型公路自行车23辆，B型公路自行车27辆；⑤购进A型公路自行车24辆，B型公路自行车26辆；⑥购进A型公路自行车25辆，B型公路自行车25辆；
故答案为：6。
【分析】（1）设A种型号公路自行车的进货单价是x元，则B种型号公路自行车的进货单价是（x+600）元，根据“每辆B型公路自行车比每辆A型公路自行车多600元，用5000元购进的A型公路自行车与用8000元购进的B型公路自行车数量相同”，建立分式方程：，然后再求方程，求出x的值，最后再将x的值代入原分式方程中验证，即可。
（2）根据总费用等于A型自行车的费用加上B型自行车的费用，且最多投入68000元，又跟据B型公路自行车的数量不能低于A型公路自行车的数量，据此建立不等式组：，然后求出m的解集，最后再根据m的取值特征，求出m的值，进而即可确定进货方案。
（3）设该商店利润为W元，根据“售价-进价”，求出每辆A型和B型自行车的利润，然后再乘以各自的数量，求出A型和B型自行车的总利润，然后再建立关系式：，最后再根据函数的性质，同时结合（2）中得出的m的取值范围，即可求出W的最大值。
19．【答案】【理解应用】②；
【类比迁移】；；；
【拓展应用】，3，1或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：[理解应用]变形为，
如图所示，
图①一个长方形的面积为：；图②一个场方程的面积为；图③一个长方形的面积为：；
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，
故选：②；
[类比迁移]第一步：将原方程变形为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为；
故答案为：；；；
[拓展应用]∵
∴，
∴四个小矩形的面积各位，大正方形的的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
∴，，
解得，，，
当时，，
∴，
解得，，即方程的一个正根为1；
当时，，
∴，
解得，，即方程的一个正根为；
综上所述，方程的一个正根为或，
故答案为：，，或．
【分析】[理解应用]：根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案.
[类比迁移]：根据材料提示，进行计算即可求出答案.
[拓展应用]：先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，，分类讨论，由此即可求出答案.
20．【答案】解：（1）由折叠可知，
∵在中，
，
，
，
∴是等腰三角形；
，
，
，
，
，
。
（2）；
（3）如图，过点作交于点，
，
，
平分，
，
，
，
由折叠可知，，
，
，
，
，
；
（4），，，
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：（2）∵，
根据折叠可得，
，
，
，
，
故答案为：135。
（4）解：当是直角三角形时，分为：
①如图，当时，
由（1）知，
∴，
由折叠可得
∵在在中，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴是直角三角形，
由折叠可得，，
∴，
∴；
②如图，当时，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
由（1）知，
，
由折叠可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
③如图，当时，
由（1）知，
，
由折叠可知，，
∵，，
∴；
④如图，当时，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
∴；
综上所述：的值为或或或．
【分析】（1）根据折叠的性质，可得，然后再根据平行四边形的性质，可得，易得是等腰三角形；根据，可得，再由，根据平行线的判断，即可得到；
（2）利用的度数，根据折叠的性质，可得 ，又跟据的度数，进而求出的度数，最后再根据平行线的判定定理， 内错角相等，两直线平行，据此即可证明；
（3）过点作交于点，题干中的结论1和结论2，同时再根据平行四边形的性质，可得AC=BC，然后再根据折叠的性质，即可知，，求出，再由，然后再根据余弦函数的定义：，代入数据求出求出，即可BCQ的值；
（4）根据当时，当时，当时，当时，三种情况，画出图形，结合结论1、结论2分别求解即可。
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